2012高考数学 考前冲刺第三部分专题一 集合与简易逻辑

2012考前冲刺数学第三部分专题一集合与简易逻辑【高考预测】1.集合的概念与性质2.集合与不等式3.集合的应用4.简易逻辑5.充要条件6.集合的运算7.逻辑在集合中的运用8.集合的工具性9.真假命题的判断10.充要条件的应用【易错点点睛】易错点1 集合的概念与性质1．(2012模拟题精选)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是 ( )A.M=P B．P⊂MC.M⊂P D．C UM P=ø【错误答案】 D【错解分析】忽视集合P中，x＜-1部分．【正确解答】 C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故M⊂P．2．(2012模拟题精选)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）A．9 B．8C．7 D．6【错误答案】 A P中元素与Q中元素之和共有9个．【错解分析】忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．【正确解答】 B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．3．(2012模拟题精选)设f(n)=2n+1(n∈N)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记Pˆ=｛n∈N|f(n) ∈P｝，Qˆ=｛n∈N|f(n) ∈则(Pˆ C N Qˆ) (Qˆ C N Pˆ)等于 ( )A．｛0，3｝ B．｛1，7｝C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝【错误答案】 D P C N Q=｛6，7｝．Q C N P=｛1，2｝．故选D．【错解分析】未理解集合Pˆ的意义.【正确解答】B ∵Pˆ =｛1，3，5｝．Qˆ=｛3，5，7｝．∴Pˆ C N Qˆ=｛1｝. Pˆ C N Qˆ=｛7｝．故选B．4．设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是 ( ) A．（C I A） B=IB．(C I A) (C I B)=IC．A (C I B)=øD．(C I A) (C I B)= C I B【错误答案】因为集合A与B的补集的交集为A，B的交集的补集．故选D．要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．2．注意空集ø的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A⊆B，则有A=ø或A≠ø 两种可能，此时应分类讨论．【变式探究】1 全集U=R ，集合M={1，2，3，4}，集合N=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤121|x x ，则M (C U N)等于 ( ) A ．{4} B ．{3，4} C ．{2，3，4} D ． {1，2，3，4} 答案：B3 设M={x|x4a ，a∈R}，N={y|y=3x，x∈R}，则 ( ) A ．M∩N=Ø B．M=N C. M ⊃N D. M ⊂N答案：B 解析：M={}{}{}B N y y x x M R a x x a 选.0|0|,4|=>=>==∈=4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b∈A 且a≠b}，则B 的子集的个数是 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．15答案：解析：{},6,0=B 它的子集的个数为22=4。

5 设集合M=｛(x ，y)|x=(y+3)·|y -1|+(y+3)，-25≤y≤3｝，若(a ，b)∈M，且对M 中的其他元素(c ，d)，总有c≥a，则a=_____.答案：解析：依题可知，本题等价于求函数不胜数x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在.325时的最小值≤≤-y 当.49,25,425)21(6)3()1)(3(,125min 22=-=++-=---=++-+=≤≤-x y y y y y y y x y 时所以时 1≤y≤3时，x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y 2+3y=(y+23)2-.49,49,25,494.4,1,49min =-===a x y x y 即有最小值时因此当而时所以当 易错点 2 集合与不等式 1．(2012模拟题精选)集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-011|x x x ，B={x|x-b|＜a ＝，若“a=1”是“A∩B≠Ø”的充分条件，则b 的取值范围是 ( )A ．-2≤b<2 B．-2<b≤2 C ．-3＜b ＜-1 D ．-2＜b ＜2【错误答案】 A 当a=l 时，A={x|-1＜x ＜1＝且B={x|b-1＜x ＜b+1＝．A∩B≠Ø.b -1＜1且b+1≥-1.故-2≤b＜2．∴只有A 符合．【错解分析】 A∩B≠Ø时，在点-1和1处是空心点，故不含等于．说明理由．【错误答案】 (1)因为f(x)=222+-x a x (x∈R)，所以f(x)=222)2(422+++-x ax x ，依题意f(x)≥0在[-1，1]上恒成立，即2x 2-2ax-4≤0在[-1，1]上恒成立．当x=0时，a∈R;当0＜x≤1时，a≥x -x 2恒成立，又y=x-x2在(0，1)上单调递增，所以y=x-x 2的最大值为-1，得a≥-1,当-1≤x<0时x-x2恒成立，由上知a≤1．综上：a∈R(注意应对所求出的a 的范围求交集)．(2)方程f(x)=x1变形为x 2-ax-2=0,|x 1-x 2|=82+a ，又-1≤a≤1，所以|x 1-x 2|=82+a 的取大值为3，m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a∈A 及t∈[-1，1]恒成立等价于m 2+tm+1≥3在t∈[-1，1]恒成立，当 m=0时，显然不成立，当m>0时，t≥m m 22-恒成立，所以-1≥mm 22-,解得m≥2；当m<0时，t≤m m 22-恒成立，所以1≤mm 22-，解得m≤-2．综上：故不存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a∈A 及t∈[-1，1]恒成立． 【错解分析】 (1)讨论x 求参数的范围，最后应求参数的交集而不是并集．因为x∈[-1，1]时,f(x)≥0恒成立．(2)注意对求出的m 的值范围求并集而不是交集．当m<0时，t≤m m 22-恒成立，所以1<mm 22-，解得m≤-2． 综上：存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a∈A 及t∈[-1，1]恒成立，m 的取值范围是｛m|m≥2或m≤-｝2(注意对求出的m 的取值范围求并集)．方法2：方程f(x)=x1变形为x 2-ax-2=0，|x 1-x 2|=82+a ,又-1≤a≤1，所以|x 1-x 2|=82+a 的最大值为3，m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a∈A 及t∈[-1，1]恒成立等价于m 2+tm+1≥3在t∈[-1，1]恒成立，令g(t)=tm+m 2-2，有g(-1)=m 2+m-2≥0，g(1)=m 2-m-2≥0，解得{m|m≥2或m≤-2}．(注意对求出的m 的取值范围求交集)．【特别提醒】讨论参数a 的范围时，对各种情况得出的参数a 的范围，要分清是“或”还是“且”的关系，是“或”只能求并集，是“且”则求交集.【变式探究】1 设[x]表示不超过x 的最大整数，则不等式[x]2-5[x]+6≤0的解集为 ( ) A ．(2，3) B ．[2，3] C ．[2，4] D ．[2，4]答案：C 解析：由[x]2-5[x]+6≤0,解得2≤[x] ≤3,由[x]的定义知2≤x<4所选C. 2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要条件是2131 x ，则实数m 的取值范围是 ( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,34 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,21C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,34答案：B（2）∵B=（2a,a 2+1）, 当a <==-=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥⊆+=A a a a a a A B a A ,31;1,21132,)2,13(312时当此时必须要使时Ø，使 )13,2(,31;+=>⊆a A a a A B 时当不存在的要使1,13122,2此时必须⎪⎩⎪⎨⎧+≤+≥⊆a a a A B ≤a≤3.综上可知，使A B ⊆的实数a 的取值范围为[1，3]|1|-⋃ 易错点 3 集合的应用1．(2012模拟题精选)ω是正实数，设S ω={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数}，若对每个实数a,S ω∩(a,a+1)的元素不超过2个，且有a 使S ω∩(a，a+1)含2个元素，则ω的取值范围是_____.【错误答案】 (π，2π)【错解分析】 ∵a 使S ω∩(a,a+1)含两个元素，如果ωπ2>1时，则超过2个元素，注意区间端点．2．(2012模拟题精选)设函数f(x)=-||1x x+(x∈R)，区间M=[a,b](a<b)，集合N={y|y=f(x)，x∈M}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有 ( )A.0个 B ．1个 C.2个 D ．无数多个【错误答案】 D ∵y=f(x)是奇函数，不妨设x>0．f(x)=-1+11+x ,∴f(x)在(0，+∞)上为减函数，即y=f(x)在[a ，b]上为减函数，∴y=f(x)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-||1,||1a a b b ,∴N∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-||1,||1a a b b ∵M=N，∴M ⊆N∴a≥||1b b +-，且b≤||1a a+-，故有无数组解． 【错解分析】 错误地理解了M=N,只是M ⊆N,忽视了M=N ，包含M ⊆N 和N ⊆M 两层含义．[对症下药]∵f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-≥++-)0(111)0(111 x x x x ，∵y=f(x)在[a ，b]上为减函数 ∴y=f(x)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-||1,||1a a b b ∵N={y|y=f(x)}，∴N 表示f(x)的值域-b∴M=N，∴b a a a b b b a =⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=||1||1,而已知a<b ，∴满足题意的a 、b 不存在，故选A. 3．(2012模拟题精选)记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A，g(x)=1g[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【错误答案】 (1)由2-13++x x ≥0，得x<-1或x≥1．∴A={x|x<-1或x≥1} (2)由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0．∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ∵B ⊆A ∴2a>1或a+1≤-1 ∴a>21或a≤-2又∵a<1∴a≤-2或21<a<1 【错解分析】 利用集合的包含关系时，忽视了端点的讨论．【变式探究】1 已知集合A={x|(a 2-a)x+1=0，x∈R}，B={x|ax 2-x+1=0，x∈R},若A∪B=Ø，则a 的值为 ( )A ．0B ．1C ．0或1D ．0或4答案：B 解析：AUB=ø，∴A= ø且B=ø，由A=ø得a=0或1；由B=ø 得a>0且△<0,解得a>.1,41=∴a2 设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}定义P※Q={(a，b)|a∈p，b∈Q，则P※Q 中元素的个数为 ( )A ．3B ．4C ．7D ．12 答案：D3 已知关于x 的不等式ax ax --250的解集为M.(1)a=4时，求集合M ；答案：(1)当a=4时，原不等式可化为04542<--x x ，即).2,45()2,(),2,45()2,(,0)2)(45(4⋃--∞⋃--∞∈∴<--为故M x x x(2)若3∈M 且5∉M ，求实数a 的取值范围． 答案：由3,359,0353<>∴<--∈a a aa M 或得 ① 由,251,055552<≤∴≥--∉a aa M 得② 由①、②得).25,9()35,1[.259,351⋃<<<≤的取值范围是因此或a a a 易错点4 简易逻辑1．(2012模拟题精选)对任意实数a 、b 、c ，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2＞b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【错误答案】 D【错解分析】 忽视①中c=0的情况，③中a ，b 小于0的情况．【正确解答】 B3．(2012模拟题精选)设原命题是“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a=b ，c=d ，则a+c=b+d”，则它的逆否命题是( )A.已知a ，b ，c ，d 是实数，若a+c≠b+d，则a≠b 且c≠dB.已知a ，b ，c ，d 是实数，若a+c≠b+d，则a≠b 或c≠dC.若a+c≠b+d，则a ，b ，c ，d 不是实数，且a≠b，c≠dD.以上全不对 【错误答案】 A【错解分析】 没有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”.【正确解答】 由函数y=c x在R 上单调递减，得0＜c<1；∵x+|x -2c|=,2,22,22⎩⎨⎧≥-cx c cx c x 所以函数y=x+|x-2c|在R 上的最小值为2c ，因为不等式x+|x-2c|>1的解集为R ，所以2c>1，得c>21．如果P 真Q 假，则0＜c≤21；如果Q 真P 假，则c≥1． 所以c 的取值范围是(0, 21)∪[1,+∞] 【特别提醒】1．在判断一个结论是否正确时，若正面不好判断，可以先假设它不成立，再推出矛盾， 这就是正难则反．2．求解范围的题目，要正确使用逻辑连结词，“且”对应的是集合的交集，“或”对应的是集合的并集．【变式探究】1 已知条件P ：|x+1|>2，条件q ：5x-6>x 2，则⌝p 是⌝q 的 ( )A.充要条件 B．充分但不必要条件C.必要但不充分条件D.既非充分也非必要条件答案：Ｂ解析：p:x<-3或x>1,q:2<x<3,则q是p的充分但不必要条件，故┒p是┒q的充分但不必要条件。