【高中数学】2018-2019学年最新北师大版数学必修四教学案：第二章3第2课时平面向量基本定理
北师大版数学必修四全套学案--第二章复习.doc
班级姓名层次第二章章末复习编写：赵桂芳审核高一数学组寄语：不希望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步！一、学习目标：1.对本章知识形成知识网络，注意各知识点之间的联系和综合运用；2.掌握向量加、减、数乘的运算；平面向量的基本定理；3.尝试用向量方法解决某些简单的平面几何问题以及一些实际问题；体会向量是一种处理几何问题的工具。
二、重点难点：学习重点：掌握向量加、减、数乘的运算；学习难点：平面向量的基本定理;向量数量积的运算公式.三、知识链接：(B) 1、平面向量的基本定理：______________________________(B) 2、共线向量定理： ___________________________________四、学习过程：1、判断题：(1)在ZXABC 中，AB + 5C + G4 = 0；( )⑵若向量a与b有公共的起点，则以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量等于b-a; ()(3)若腥R且b?0,当a=4b时，则一定有a,b共线；()(4)若= 贝= 0或间二0；()(5)若。
= 且。
0,则Z? = c；( )(6)切.。
卜冏四0 Q〃 Z?. ()2.已知点A(l,0),B(0,2)C(-l,-2),求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.五、基础练习：(C) 1、已知向量a=(8, |x),b=(x,l),其中X〉O,若(a-2b) // (2a+b), 求X的值。
(B) 2、已知一物体在共点力乌=(炬2,也2)£=(也5,也2)的作用下产生位移S= (21g5,1),则求共点力对物体做的功W.六：自我检测：(B) 1、已知三个向量a=(3,2),b=(-l,2),c=(4,l)(1).以b,c为基底表示a.(2)若(a + kc) // Qb — a),求实数k 的值.七、能力提升：(B)l、已知平面上三个向量a、b、c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。
2018版高中数学必修四学案打包34份北师大版2教案
．单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义．单位圆与周期性学习目标 .理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义及其应用 .掌握同角的正弦、余弦函数值间的关系 .理解周期函数的定义．知识点一任意角的正弦函数和余弦函数使锐角α的极点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，在终边上任取一点，⊥轴于，设(，)，＝.思虑角α的正弦、余弦分别等于什么？思虑对确立的锐角α，α，α的值能否随点在终边上的地点的改变而改变？思虑若取＝时，α，α的值如何表示？梳理 () 对于任意角α，使角α的极点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，交于独一的点 (， )，那么点的定义为角α的正弦函数，记作；点的定义为角记作．终边与单位圆α的余弦函数，()对于给定的角α，点的纵坐标、横坐标都是独一确立的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．知识点二正弦、余弦函数的定义域思虑对于任意角α，α，α都有意义吗？梳理正弦函数、余弦函数的定义域定义域函数名正弦函数余弦函数知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号思虑依据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦函数的值在各象限的符号吗？梳理正弦、余弦函数在各象限的符号象限第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数α＋＋－－α＋－－＋知识点四周期函数思虑由 (＋π)＝ (∈ ) 可知函数值跟着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？梳理一般地，对于函数()，假如存在，对定义域内的值，都有，我们就把()称为周期函数，称为这个函数的周期．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称π(∈，≠ )为正弦函数、余弦函数的周期，此中π是正弦函数、余弦函数正周期中的一个，称为，简称为周期．种类一正弦函数、余弦函数定义的应用命题角度已知角α终边上一点坐标求三角函数值例已知θ终边上一点 ()(≠ )，且θ＝，求θ的值．反思与感悟()已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法① 先利用直线与单位圆订交，求出交点坐标，而后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．②在α的终边上任选一点 (，)，设到原点的距离为 (>)，则α＝，α＝ .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．()当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要依据问题的实质状况对参数进行分类谈论．追踪训练已知角α的终边过点 (－)( ≠ )，求α＋α的值．命题角度已知角α终边所在直线求三角函数值例已知角α的终边在直线＝－上，求α＋的值．反思与感悟在解决相关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种状况办理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(，)，则对应角的三角函数值分别为α＝，α＝ .追踪训练已知角α的终边在直线＝上，求α，α的值．种类二正弦、余弦函数值符号的判断例 ()若α是第二象限角，则点(α，α)在 ()．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限()判断以下各式的符号．① °(－°)；②·.反思与感悟正确确立正弦函数、余弦函数值中角所在象限是基础，正确记忆正弦函数、余弦函数值在各象限的符号是解决这种问题的要点．追踪训练若三角形的两内角，，满足＜，则此三角形必为()．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形．以上三种状况都有可能种类三周期性例 ()已知函数 ()在其定义域上都满足(＋ )＝－ () ，求证：函数()是认为周期的周期函数；()已知函数 ()在其定义域上都满足(＋ )＝－，求证：函数()是认为周期的周期函数．反思与感悟 ()证明函数是周期函数，只要依据定义：存在非零常数，对任意定义域内实数，都有 (＋ )＝ ()．()一般地，假如(＋ )＝－ ()，那么 ()的周期为 (≠ )；假如 (＋ )＝，那么 ()的周期也为 (≠ )．追踪训练若函数＝ ()( ∈ )满足 () ＝ (－ )＋ (＋ )(<)， ()＝，求 ()的值．．已知角α的终边经过点(－ )，则α等于 ()．－．－．当α为第二象限角时，－的值是()．．．．－．设 ()是认为一个周期的函数，且当∈(－ )时， () ＝＋，则 ()的值为 ()．．．－．－．点 ( °，°)位于第象限．．已知角α的终边在直线＝上，求α＋α的值．．三角函数的定是此后学全部三角函数知的基，要充分理解其内涵，掌握住三角函数只与角的所在地点相关，与所取的点在上的地点没关一关点．．三角函数的符号主要涉及开方、去等算，同也要注意在座上的角的三角函数状况，因角的的点决定了三角函数的符号，所以当点的地点不确立注意行，体了分的思想．．正弦、余弦函数的周期性反响了同样的角的三角函数相等，作用是把求任意角的三角函数化求～π(或°～°)角的三角函数．答案精析学知点一思虑α＝，α＝ .思虑不会．思虑α＝，α＝ .梳理() 坐＝α横坐＝α知点二思虑由三角函数的定可知，于任意角α，α，α都有意．知点三思虑由三角函数定可知，在平面直角坐系中，α是一个任意角，它的与位交于点 (， )，α＝，α＝ .当α 第一象限角，>， >，故α>，α>，同理可得α在其余象限三角函数的符号．知点四思虑π，π，π，－π，⋯等都是函数的周期．梳理非零数任意一个(＋ )＝ ()最小最小正周期型研究由三角函数定得θ＝＝ .又∵ θ＝，∴＝.∵≠，∴ ＝±.当＝时， ()，此时θ＝＝ .当＝－时， (－ )，此时θ＝＝ .追踪训练解＝＝.①若>，则＝，角α在第二象限，α＝＝＝，α＝＝＝－，∴ α＋α＝－＝ .②若<，则＝－，角α在第四象限，α＝＝－，α＝＝，∴ α＋α＝－＋＝－ .例解由题意知，α≠ .设角α的终边上任一点为(，－ )(≠ )，则＝，＝－，＝＝.()当 >时，＝，α是第四象限角，α＝＝＝－，＝＝＝，∴ α＋＝× ＋＝－＋＝ .()当 <时，＝－，α是第二象限角，α＝＝＝，＝＝＝－，∴ α＋＝×＋× (－)＝－＝ .综上所述，α＋＝ .追踪训练解由于角α的终边在直线＝上，所以可设 (， )(≠ )为角α终边上任意一点，则＝＝ (≠ )．若>，则α为第一象限角，＝，所以α＝＝，α＝＝ .若<，则α为第三象限角，＝－，所以α＝＝－，α＝－＝－ .例 ()()解①∵ °是第二象限角，∴ °＞，∵ －°＝－°＋°，∴ －°是第二象限角，∴(－°)＜，∴°(－°)＜ .②∵ ＜＜π，π＜＜，＜＜π，∴ ＞，＜，∴ ·<.追踪训练例证明()∵ (＋ )＝ [(＋ )＋] ＝－ (＋ )＝－ [－()]＝()，∴由周期函数定义知，函数() 是认为周期的周期函数．()∵(＋)＝[( ＋)＋]＝－＝－＝ ()，∴由周期函数定义知，函数() 是认为周期的周期函数．追踪训练解由()＝(－)＋(＋)，①得(＋)＝()＋(＋)．②①＋②，得 (－ )＋ (＋ )＝，即 (－ )＝－ (＋ )，∴ ()＝－ (＋ )，即(＋ )＝－ ()，∴(＋ )＝－ (＋ )＝ ()．∴＝为函数＝ ()的一个周期，∴()＝ (×＋ )＝ ()＝ .当堂训练．.三．解在直线＝上任取一点 ()( ≠ )，则＝＝ .①若>，则＝，从而α＝＝，α＝＝，∴ α＋α＝ .②若<，则＝－，从而α＝＝－，α＝＝－，∴ α＋α＝－ .学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在困难的竞争中，或许我们疲惫过，在失败的暗影中，或许我们绝望过。
北师大版高中数学必修4全套教案全册
(北师大版)数学必修4全套教案§1 周期现象与周期函数（1课时）教学目标：知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
数学必修四第二章教案
数学必修四第二章教案【篇一：北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制】北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点:向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教法:探究交流法. 四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由a向西北逃窜，猫在b处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. （二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2019-2020学年度北师大版高中数学必修四学案：第三章 2
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修四学案：第三章 2______年______月______日____________________部门学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．知识点一两角和的余弦思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？梳理两角和的余弦公式公式cos(α＋β)＝________________简记符号使用条件α，β都是________记忆口决：“余余正正，符号相反”知识点二两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？梳理两角和与差的正弦公式内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(α＋β)S(α－β)公式形式sin(α＋β)＝___________________sin (α－β)＝__________________记忆口诀：“正余余正，符号相同”．类型一给角求值例1 (1)＝________.(2)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．类型二给值求值例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．反思与感悟(1)给值(式)求值的策略①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．类型三可化为两角和与差的正弦形式例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：(1)sin x－cos x；(2)sin(－x)＋cos(－x)．反思与感悟一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值．跟踪训练3 sin －cos ＝________.1．计算cos ＋sin 的值是( )A. B．2 C．2 D.222．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A．－ B. C．－ D.123．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________. 4．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(α－)＝________.5．化简：sincos－cos·sin.1．公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C(α－β)C(α＋β)S(α＋β) S(α－β)．(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．答案精析问题导学知识点一思考用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到．梳理cos αcos β－sin αsin βC(α＋β)任意角知识点二思考 1 sin(α＋β)＝cos α＋β))＝cos ＝cos cos β＋sin sin β＝sin αcos β＋cos αsin β.思考 2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.梳理sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β题型探究例1 (1) (2)22跟踪训练1解(1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.例2 解∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0. 又∵sin＝， cos ＝， ∴cos＝－， sin ＝－.∴cos(α＋β)＝sin α＋β)) ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝sincos －cos·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝×－×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－.跟踪训练2 解 ∵<β<α<， ∴0<α－β<，π<α＋β<. ∴sin(α－β)＝α－β) ＝ ＝，cos(α＋β)＝－α＋β) ＝－ ＝－.∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－×－×＝－，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.例3 解(1)sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2(cos sin x－sin cos x)＝2sin(x－)．(2)原式＝[sin(－x)＋cos(－x)]＝[sin sin(－x)＋cos cos(－x)]＝cos(－x－)＝cos(－x)＝sin(x＋)．跟踪训练3 －2当堂训练1．B 2.D 3. 4. 5.2－64。
2020-2021学年高一数学北师大版必修4第二章3.2.2两角和与差的余弦函数教案
北师大版高中数学必修4 “两角和与差的余弦函数”一、教学目标1.掌握利用平面内两点间的距离公式进行C αβ+公式的推导；2.能用代换法推导C αβ-公式；3.初步学会公式的简单应用和逆用公式等基本技能. 二、重点难点教学重点：两角和与差的余弦公式的推导与运用.教学难点：余弦和角公式的推导以及应用，学会恰当代换、逆用公式等技能. 三、教学方法创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题. 多媒体辅助教学 四、教学过程（一）新课引入，产生对公式的需求1.前面学习了三角函数的图像和性质，以及特殊角的三角函数值，比如cos45°2cos30°2.那么能否利用特殊角45°和30°来表示75°这样角的三角函数值？先讨论“cos （45°+30°）=cos45°+cos30°是否成立？”.（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解决问题）.得出cos （45°+30°）≠cos45° +cos30°.进而得出cos （α+β）≠cos α+cos β这个结论.那么此时cos （45°+30°）又是多少，75°虽然不是特殊角，但有某种特殊性，即可以表示成特殊角的和与差.那么能不能由特殊角的三角函数值来表示这种和角与差角的三角函数值？2.如果特殊角可以，对一般的两个角，当它的三角函数值已知时，能否求出和与差的三角函数值？即能否用单角的三角函数来表示复角的三角函数呢？提出cos （α+β）又等于什么呢？写出标题. （二）预备知识在解决上面的问题之前，我们先来作一点准备 （1）解决“平面内两点间距离的公式”这一问题.平面内1P （1,1x y ）,2P （2,2x y ）两点间的距离公式:12||PP = （2）三角函数定义：在单位圆内，角α的终边与单位圆交点的横坐标为cos α，角α的终边与单位圆交点的纵坐标为sin α. （三）公式推导我们要用α,β的三角函数来表示α+β的余弦，那么就得作出α,β的角，构造α,β,α+β的角时，联想建坐标系、作单位圆.（1）分别指出点123P P P 、、的坐标. （2）求出弦13||PP 的长.（3）思考构造弦13||PP 的等量关系.当发现13||PP 可以用cos(α+β)表示时，想到应该寻找与13||PP 相等的弦，从而才想到作出角(-β).1．根据“同圆中相等的圆心角所对的弦相等”得到距离等式2．将其转化为三角恒等式，逐步变形整理成余弦的和角公式.证明：在平面直角坐标系xOy 内,作单位圆,并作α、β和–β角,使α角的始边为Ox ，交圆O 于1P ,终边交圆O 于2P ;β角的始边为2oP ,终边交圆O 于3P ;–β角的始边为1oP ，终边交圆O 于4P ，1P (1,0)、2P （cos α，sin α）、3P （cos （α+β），（sin （α+β））、4P （cos （-β），sin （-β））由13||PP =24||P P 及两点间距离公式，得： 2222[cos()1]sin ()[cos()cos ][sin()sin ]αβαββαβα+-++=--+--展开，整理得2-2cos(α+β)=2-2cos αcos β+2sin αsin β 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.记作C αβ+公式具有一般性，所以此公式适用于任意角，具有一般性.以后可以用此公式导出其它公式，如用-β去代替β导出cos(α-β).cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.记作C αβ-.注意：（1）公式的结构特征：左边是两角和的余弦，右边是两两同名函数的积.等式左右两边“符号”相反（2）公式的用途：用单角α,β的三角函数来表示复角的α+β余弦. （3）注意强调公式中α,β是任意角. （四）公式应用例1 不查表，求cos （-435°）的值.分析：首先，较大的角可以用诱导公式化简.化简后发现75°可以写成特殊角45°与30°的和，利用公式C αβ+直接求解.解 cos(–435°)=cos 75°=cos(45°+30°) =cos 45°cos 30°–sin 45°sin 30°122224=-=.练习 不查表，求cos15°的值.例2 （1）sin 70°cos 25°-sin 25°sin 20°.分析：发现不满足公式C αβ+中的“两两同名函数的积”，经过分析可以发现70°和20°之间存在联系，即sin 70°=cos 20°.这样就是公式C αβ+的逆用.解：原式=cos 20°cos 25°-sin 25°sin 20°=cos （20°+25°）=cos 45°=2（2）cos 25°cos 35°—cos 65°cos 55°的值等于多少？分析：公式逆用.首先要联系到公式C αβ+，再变换到公式里要求的函数名. 解:原式=cos 25°cos 35°–sin 25°sin 35°=cos(25°+35°) =cos 60°12=.（学生思考）（3）sin140°cos20°+sin50°sin20° 分析：经过思考发现140°=90°+50°，而且利用诱导公式sin140°=cos50°，这样就可以直接利用公式C αβ-解：原式=cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos （50°-20°）=cos30°=2练习：（1）22cos 15sin 15︒-︒（2）sin95°cos55°+cos95°cos35°例3 233sin ,(,),cos ,(,),cos(),cos()3242ππααπββπαβαβ=∈=-∈+-已知求分析：利用同角三角函数的基本关系可以求出cos α和sin β，其中要注意α，β的象限.再利用C αβ+和C αβ-求解.2sin ,(,)32πααπ=∈解：cos 3α∴==,33cos ,(,)42πββπ=-∈sin 4β∴==-.cos()cos cos sin sin 12αβαβαβ∴+=-=,cos()cos cos sin sin 12αβαβαβ∴-=+=.练习：课本P118 2题，5题 （备用）（1）sin10°cos50°+sin50°cos10°（2）cos15°cos105°-sin105°sin15° （五）小结在单位圆内，由平面内两点间的距离公式和三角函数定义，证明得到C αβ+，以-β代β得到C αβ-.1.牢记公式的结构，学会逆用公式.不符合公式结构的，常通过诱导公式变形使之符合.2.强调公式中α、β的任意性.3.恰当代换是学好本节基础；逆用公式是本节基本技能. （六）作业P120 1题（1）（3），2题（3）（4），3题课后反思：本节课的内容既完成了教学任务，又让学生得到了锻炼.即复习了旧知识，又得到了新的知识.使学生对公式的推导过程理解透彻，层进式的例题让学生对公式的应用更加得心应手.代换法，公式的正用与逆用，转化、化归思想在本节课中都有体现.使学生处理问题的方法、能力进一步提高.这节课的设计，学生对公式的产生非常清楚，但不足之处就是对公式的推导中4P 点给出太早，造成对学生的发散思维的约束.。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程（一）、创设情境实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.（二）、探究新知1．学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。
例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些？①几何表示法：有向线段有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
高级中学高中数学(北师大版)必修四2.3.1数乘向量教案word版
课题
§3.1数乘向量
授课人
课时安排
1
课型
新授
授课时间
第1周
课标依据
通过实例，掌握数乘向量的运算，并理解其集合意义，以及两个向量共线的含义
教材分析
向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.引进向量运算后才使显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.
已知两个非零向量 不共线，如果 求证：（1） 共线。
（2）A,B,D三点共线。
3如图，在 中，已知 、 分别是 、 的中点，用向量方法证明：
作业布置
专家伴读对应练习
板书设计
3.1向量数乘
1.向量数乘的定义；例2、变式一、变式二
2.数乘向量的运算律；
3.共线向量定理；课堂练习
例题讲解课堂小结
例1．
教学反思
知识与技能
过程与方法
电子白板
（时钟计时器）
教师演示
教师制作
归纳出公式
知识与技能
过程与方法
电子白板
（特效交互功能）
教师演示
教师制作
课堂练习
知识与技能
过程与方法
电子白板（特效交互功能、钢笔）
学生操作
教师制作
师生活动
设计意图
批注
教
学
活
动
设
计
一、复习回顾
向量的加法、向量的减法
2、引入新课
3、已知非零向量 ，作出 + + 和（ ）+（ ）+（ ）
向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线 就可以用点A和某个向量 表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提条件：向量 是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.
北师版数学高一北师大版必修4学案 第二章 疑难规律方法
1 向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用．在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面． 一、化简例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]． 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝124(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32b .点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用．数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量． 二、求参数例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________. 解析 如图，因为MA →＋MB →＋MC →＝0， 即MA →＝－(MB →＋MC →)， 即AM →＝MB →＋MC →，延长AM ， 交BC 于D 点，所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3. 答案 3点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值． 三、表示向量例3 如图所示，△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →.解 因为DE ∥BC ，AD →＝23AB →，所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )，又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， 所以DN →＝12DE →＝13(b －a )，AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量．2 走出平面向量的误区平面向量的基本定理与坐标表示是向量问题的基础，试题的特点是概念较多，应用也多，不少同学由于概念、性质掌握不清，在解题时经常出现错误，本文将常见的错误进行简单的总结，希望帮助同学们走出平面向量的误区． 一、理解失误例1 已知e 1、e 2是平面α内的一组基底，那么下列命题中正确的有________．(只填序号) ①e 1、e 2两个向量可以共线，也可以是零向量； ②λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；③对于平面α内的任意向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ、μ有无数对． 错解 ①②③正解 由平面向量的基本定理知，只有不共线的两个向量才能作为平面向量的一组基底，所以①错误；任一平面向量都可以用一组基底线性表示，且基底确定，其表示是唯一的，所以②正确，③错误；故正确答案为②. 答案 ②点评 对平面向量基本定理的学习要把握以下几点：①e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内的任意向量a 都可用e 1、e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③对基底的选取不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底． 二、考虑不全例2 与模长为13的向量d ＝(12,5)平行的单位向量为( ) A ．(1213，513)B ．(－1213，－513)C ．(1213，513)或(－1213，－513)D ．(±1213，±513)错解 由题意得|d |＝13，则与d ＝(12,5)平行的单位向量为(1213，513)，选择A.正解 与d ＝(12,5)平行的单位向量为(1213，513)或(－1213，－513)．选C.答案 C点评 与d 平行的单位向量有同向和反向两种情况，错解忽略了反向的情况． 三、概念混淆例3 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设CM →＝ 3CA →，CN →＝2CB →，试求点M ，N 和向量MN →的坐标． 错解 A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)， 所以点M (3,24)，点N (12,6)，MN →＝(9，－18)． 正解 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)， 又C (－3，－4)，所以点M (0,20)，点N 的坐标为(9,2)； 所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．点评 向量的坐标与点的坐标是两个不同的概念，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，只有当向量的起点在坐标原点处时，向量的坐标才与终点坐标相等.3 平面向量基本定理应用三技巧技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，且a ＝x 1e 1＋y 1e 2＝x 2e 1＋y 2e 2，则用⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2来求解．例1 在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →.解 ∵B ，P ，M 共线， ∴存在常数s ，使BP →＝sPM →， 则OP →＝11＋s OB →＋s 1＋s OM →.即OP →＝11＋s OB →＋s 3(1＋s )OA →＝s 3(1＋s )a ＋11＋sb .① 同理，存在常数t ，使AP →＝tPN →， 则OP →＝11＋t a ＋t 4(1＋t )b .②∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧11＋t ＝s3(1＋s )11＋s ＝t4(1＋t )，解之得⎩⎨⎧s ＝92t ＝83，∴OP →＝311a ＋211b .点评 这里选取OA →，OB →作为基底，构造OP →在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解． 技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，a ＝x 1e 1＋y 1e 2，b ＝x 2e 1＋y 2e 2，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0”来求解． 例2 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b . (1)用a 、b 表示OM →；(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1.(1)解 设OM →＝m a ＋n b ，则 AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线， ∴12(m －1)－(－1)×n ＝0，∴m ＋2n ＝1.① 而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线， ∴－14n －(m －14)＝0.∴4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明 EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ，∵EF →与EM →共线， ∴(17－p )q －37×(－p )＝0. ∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q＝1. 点评 这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解．技巧三 将题目中的已知条件转化成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式(e 1，e 2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解．例3 如图，已知P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用向量p 表示CQ →. 解 ∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0， ∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0，又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →， ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0，∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0.而BQ →，QP →为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP →＝－QP →＝PQ →. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →＝2p .点评 这里选取BQ →，QP →两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来求解.4 直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具．由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析． 一、直线的方向向量 1．定义设P 1，P 2是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的不同两点，那么向量P 1P 2→以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即x 2－x 1≠0，直线的斜率k 存在时，那么(1，k )是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为(1,0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B ，A )． 2．应用 (1)求直线方程例1 已知三角形三顶点坐标分别为A (2，－3)，B (－7,9)，C (18,9)，求AB 边上的中线、高线方程以及∠C 的内角平分线方程． 解 ①求中线方程由于CB →＝(－25,0)，CA →＝(－16，－12)，那么AB 边上的中线CD 的方向向量为CB →＋CA →＝(－41，－12)，也就是⎝⎛⎭⎫1，1241，因而直线CD 的斜率为1241， 那么直线CD 的方程为y －9＝1241(x －18)，整理得12x －41y ＋153＝0. ②求高线方程 由于k AB ＝9＋3－7－2＝－43，因而AB 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，－43， 而AB 边上的高CE ⊥AB ， 则直线CE 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，34， 那么高线CE 的方程为y －9＝34(x －18)，整理得3x －4y －18＝0. ③求∠C 的内角平分线方程 CB →|CB →|＝(－1,0)，CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－45，－35， 则∠C 的内角平分线的方向向量为 CB →|CB →|＋CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－95，－35，也就是⎝⎛⎭⎫1，13， 因而内角平分线CF 的方程为y －9＝13(x －18)，整理得x －3y ＋9＝0.点评 一般地，经过点(x 0，y 0)，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程是B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. (2)求直线夹角例2 已知l 1：x ＋3y －15＝0与l 2：y －3mx ＋6＝0的夹角为π4，求m 的值．解 直线l 1的方向向量为v 1＝(－3,1)， 直线l 2的方向向量为v 2＝(1,3m )， ∵l 1与l 2的夹角为π4，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|3m －3|9＋1·1＋9m 2＝22， 化简得18m 2＋9m －2＝0.解得m ＝－23或m ＝16.点评 一般地，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，其方向向量为v 1＝(1，k 1)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，其方向向量为v 2＝(1，k 2)，当1＋k 1k 2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k 1k 2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22；若设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，其方向向量为(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，其方向向量为(－B 2，A 2)，那么cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.二、直线的法向量 1．定义直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量．因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0，从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B )． 2．应用(1)判断直线的位置关系例3 已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1∥l 2，求实数a 的值．解 直线l 1，l 2的法向量分别为：n 1＝(a ，－1)，n 2＝(2a －1，a )，(1)若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝a (2a －1)＋(－1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝1.∴a ＝0或1时，l 1⊥l 2. (2)若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，∴a 2－(2a －1)×(－1)＝0.解得a ＝－1±2，且a 2a －1＝－1a ≠2.∴a＝－1±2时，l 1∥l 2.点评 一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，当n 1⊥n 2，即A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2，反之亦然；当n 1∥n 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (2)求点到直线的距离例4 已知点M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点．求证：点M (x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.证明 设P (x 1，y 1)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(A ，B )．则M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上投影的长度，如图所示：d ＝|PM →|·|cos 〈PM →，n 〉| ＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 0－x 1)＋B (y 0－y 1)|A 2＋B2＝|Ax 0＋By 0－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2.∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴Ax 1＋By 1＋C ＝0，∴Ax 1＋By 1＝－C ， ∴d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2.点评 同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A 2＋B 2≠0且C 1≠C 2)的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.证明过程如下：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(A ，B )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的投影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离．d ＝|P 1P 2→||cos 〈P 1P 2→，n 〉|＝|P 1P 2→·n ||n |打印版 高中数学 ＝|x 2－x 1，y 2－y 1·A ，B |A 2＋B 2＝|A x 2－x 1＋B y 2－y 1|A 2＋B 2＝|Ax 2＋By 2－Ax 1＋By 1|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.。
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第2课时平面向量基本定理
[核心必知]
平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：我们把不共线的两个向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
[问题思考]
1．零向量可以作为基底的一个向量吗？
提示：不能．因为零向量与任何向量都是共线向量．
2．平面向量的基底是唯一的吗？
提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，当基底一旦确定后，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．
3．为什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共线？
提示：若e1∥e2，则e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1
故a∥e1，即用e1，e2只能表示与之共线的向量．。