初三数学圆的基本知识(一)知识精讲 人教版

初三数学圆的基本知识（一）知识精讲 人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容：圆的基本知识（一）（一）知识要点1. 圆与点、圆与直线、圆与圆的位置关系。

()1点在圆外⇔>d r 点在圆上⇔=d r 点在圆内⇔<d r ()2直线与圆相离⇔>d r 直线与圆相切⇔=d r 直线与圆相交⇔<d r圆的切线垂直于过切点的半径，它的逆命题也成立。

()3两圆外离⇔>+d R r两圆相切或⇔=+=-d R r d R r 两圆相交⇔-<<+>R r d R r R r ()两圆内含⇔<->d R r R r ()两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，两圆的外（内）公切线长相等。

2. 与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心、圆心角与它所对的弧的度数相等。

（2）圆周角：顶点在圆上，圆周角等于同弧上圆心角的一半。

（3）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切，弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

3. 圆与三角形、四边形、正多边形的关系（1）三角形有且只有一个外接圆和一个内切圆，它们的圆心分别叫三角形的外心和内心。

（2）圆的内接四边形对角互补，外角等于其内对角。

（3）正多边形有外接圆和内切圆。

（4）圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形。

4. 与圆有关的定理垂径定理、切线长定理、圆周角定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理。

（二）思想方法总结 1. 转化思想能将复杂图形转化为简单图形，将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题来解决。

2. 方程思想：在相交弦定理、切割线定理及弧长公式中，已知其它l n R=π180量，求一个量，运用方程的思想。

（三）有关辅助线的做法一些辅助线的添法概括如下：遇直径，作直径上的圆周角；遇切线，作过切点的半径或连结圆上某一点构成弦切角；证明圆周角相等，常用同弧上的圆心角过渡或作同弧上的圆周角；求弦长、弦心距、半径，常作垂直于弦的半径，连结圆心和弦的端点构造直角三角形；证明线段等积或成比例，一般构造相交弦、相交割线或相似三角形；遇到四个点在同一圆周上，要考虑到顺次连结四点构成圆内接四边形，用其性质解题；遇到圆外切三角形、多边形，应注意到切线长定理的应用。

【典型例题】1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。

132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示，过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ，∵，，∴，AB AC AD AE ====323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132cos c o s ∠O A E AE OA ==22∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示，同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形；()22求的值AD BC分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC22122===解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂=又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =12∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。

（2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA∴，即·AD DE DFADAD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==212∴·，故AD BC R AD BCR 22==例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）A AB CDB AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CD D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。

AB AB CD ⋂⋂⋂()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

CD CD AB ⋂⋂⋂解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ，则AF FB AB ⋂=⋂=⋂12AE EB AB ==12∵，∴AB CD AE CD AB ===212∵AF FB AF FB ⋂=⋂=，∴在△AFB 中，有AF+FB>AB∴，∴，∴，∴2222AF AB AF ABAF CD AF CD >>>⋂>⋂∴AB CD ⋂>⋂2∴选A 。

解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE则DE CD CE ⋂=⋂=⋂12在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE∵AB=2CD ，∴AB>CE∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂2∴选A 。

例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141 求CD 的长。

分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O 的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。

解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD ===141 ∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂==4∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CEAE=∴·CE BC AE AD BC AB BE AD ==+=+=()11412∴CD DE CE =-=-=41272例5. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=分析：由题意容易想到作辅助线OC ， （1）要使PC 与⊙O 相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH 就可以了。

()22要使·，即使，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DFADDAF DEA == 解：（1）当PC=PF ，（或∠PCF=∠PFC ）时，PC 与⊙O 相切， 下面对满足条件PC=PF 进行证明， 连结OC ，则∠OCA=∠FAH ，∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH ，∵DE ⊥AB 于H ，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC ⊥PC ，∴PC 与⊙O 相切。

()22当点是劣弧的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ⋂=连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ⋂=⋂= 又∵∠∠，ADF EDA =∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DFAD=即AD 2=DE ·DF点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，可以反过来，把PC 与⊙O 相切作为条件，探索△PCF 的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD 2=DE ·DF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D 的位置。

例6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。

分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。

ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。

解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ， ∴AD x =23 则∠t a n A D E AE AD x x ===22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O 2在⊙O 1上，（1）如下图，AD 是⊙O 2的直径，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，求证CO 2⊥AD ；（2）如下图，如果AD 是⊙O 2的一条弦，连结DB 并延长交⊙O 1于C ，那么CO 2所在直线是否与AD 垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD 是⊙O 2的直径，连结公共弦AB ，则∠A=∠C ，∠DBA=90°，问题就可以得证。

（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看，AC 等于CD ，到底AC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙O 1上，连结AO 2、DO 2、BO 2，可得∠1=∠2，且有△AO 2C ≌△DO 2C ，故CA=CD ，可得结论CO 2⊥AD 。