2020版高考数学一轮复习课后限时集训34基本不等式理含解析新人教A版

课后限时集训(三十四)　基本不等式(建议用时：60分钟)A 组　基础达标一、选择题1．“x ≥1”是“x ＋≥2”的( )1xA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [x ＋≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋≥2”的充分不必要条件，故选A.]1x 1x2．已知x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( )A ．8 B ．9 C ．12 D ．16B [由4x ＋y ＝xy 得＋＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当4y 1x(4y ＋1x )4x y y x 44xy＝，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B.]yx3．已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则＋的最小值为( )1x 13y A ．2 B ．2 C ．4D ．223C [∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg(2x ·8y )＝lg 2x ＋3y ＝lg 2，∴2x ＋3y ＝2，即x ＋3y ＝1.∵x ＞0，y ＞0，∴＋＝(x ＋3y )＝2＋＋≥2＋2＝4，1x 13y (1x ＋13y )3y x x 3y 3y x ·x 3y当且仅当x ＝3y ＝时等号成立．12∴＋的最小值为4.故选C.]1x 13y4．设a ＞1，b ＞1，且ab －(a ＋b )＝1，那么( )A ．a ＋b 有最小值2(＋1)2B ．a ＋b 有最大值(＋1)22C ．ab 有最大值＋12D ．ab 有最小值2(＋1)2A [因为ab －(a ＋b )＝1，ab ≤2，(a ＋b 2)所以2－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，(a ＋b2)解得a ＋b ≥2(＋1)或a ＋b ≤2(1－)(舍去)，22所以a ＋b 有最小值2(＋1)．2又因为ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2，ab所以ab －2≥1，它是关于的一元二次不等式，ab ab 解得≥＋1或≤1－(舍去)，ab 2ab 2所以ab ≥3＋2，即ab 有最小值3＋2.]225．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋的最大值ax 1x 2是( )A. B. C. D ．－63233433433D [∵不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋＝4a ＋.∵a ＜0，∴－≥2a x 1x 213a (4a ＋13a)＝，即4a ＋≤－，故x 1＋x 2＋的最大值为－.故选D]4a ×13a 43313a 433a x 1x 2433二、填空题6．若对任意x ＞0，≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．xx 2＋3x ＋1　[∵对任意x ＞0，≤a 恒成立，[15，＋∞)xx 2＋3x ＋1∴对x ∈(0，＋∞)，a ≥max ，(xx 2＋3x ＋1)而对x ∈(0，＋∞)，＝≤＝，x x 2＋3x ＋11x ＋1x ＋312x ·1x＋315当且仅当x ＝时等号成立，∴a ≥.]1x 157．(2019·石家庄模拟)已知正数a ，b 满足4a ＋b ＝30，使得＋取最小值的实数对(a ，b )是1a 4b________．　[∵正数a ，b 满足4a ＋b ＝30，(154，15)∴＋＝(4a ＋b )＝≥×＝，1a 4b 130(1a ＋4b )130(8＋b a ＋16a b)130(8＋2b a ·16a b )815当且仅当b ＝4a ＝15时，取等号．∴使得＋取最小值的实数对(a ，b )是.]1a 4b (154，15)8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．30　[一年的总运费为6×＝(万元)．600x3 600x一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为万元．(3 600x＋4x )因为＋4x ≥2＝240，当且仅当＝4x ，即x ＝30时取得等号，3 600x3 600x·4x 3 600x所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]三、解答题9．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求＋的最小值．1x 1y[解]　(1)因为x ＞0，y ＞0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ＝20≥2.10xy 即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立，此时x ＝5，y ＝2，所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)因为x ＞0，y ＞0，所以＋＝·＝≥＝，1x 1y (1x ＋1y )2x ＋5y 20120(7＋5y x ＋2xy )120(7＋25y x ·2x y )7＋21020当且仅当＝时等号成立．5yx2xy所以＋的最小值为.1x 1y 7＋2102010．某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－(k 为常数)，如果不搞促销活动，k m ＋1则该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解]　(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，则1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－.2m ＋1∵每件产品的销售价格为1.5×(元)，8＋16xx∴2018年的利润y ＝1.5x ×－8－16x －m ＝－＋29(m ≥0)．8＋16xx[16m ＋1＋ m ＋1 ](2)∵当m ≥0时，m ＋1＞0，∴＋(m ＋1)≥2＝8，当且仅当m ＝3时等号成立．16m ＋116∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当＝m ＋1，即m ＝3万元时，y max ＝21(万元)．16m ＋1故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．B 组　能力提升1．若x ＜，则f (x )＝＋4x ( )1212x －1A ．有最小值2＋2 B ．有最大值2＋222C ．有最小值2－2 D ．有最大值2－222D [由题可知，f (x )＝＋2(2x －1)＋2，因为x ＜，所以2x －1＜0.12x －112所以＋2(2x －1)＝－[2(1－2x )＋]≤－2＝－2，12x －111－2x 2 1－2x ×11－2x2当且仅当＝2(2x －1)，即x ＝时等号成立．12x －12－24所以f (x )≤2－2，即f (x )有最大值2－2.]222．(2019·西安模拟)若△ABC 的内角满足sin A ＋sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是2( )A. B.6－246＋24C.D.6－226＋22A [由正弦定理，得a ＋b ＝2c .2所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝＝a 2＋b 2－(a ＋2b 2)22ab3a 2＋2b 2－22ab8ab ≥＝.26ab －22ab 8ab 6－24当且仅当3a 2＝2b 2，即a ＝b 时，等号成立．32所以cos C 的最小值为.]6－243．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋的最小值为________．18b　[∵a －3b ＝－6，∴2a ＋＝2a ＋2－3b 1418b ≥2＝2＝2＝2×2－3＝，2a ·2－3b 2a －3b 2－614当且仅当Error!即a ＝－3，b ＝1时等号成立．]4．(2019·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元？[解]　设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝(k 2≠0)，k 2x∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，(5x ＋20x)∵5x ＋≥2＝20，当且仅当5x ＝，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为2020x5x ×20x 20x万元．。