圆锥曲线.05圆锥曲线中点弦,垂直平分线.知识讲解教师版

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6圆锥曲线中点弦、垂直平分线-中等难度-讲义

高三数学圆锥曲线——双曲线知识精讲苏教版

高三数学圆锥曲线——双曲线知识精讲苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线——双曲线二. 教学目标：掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质三. 知识要点： 1. 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|＝的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））。

这两个定点叫双曲线的焦点。

②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。

2. 双曲线图像中线段的几何特征：（1）实轴长122A A a =，虚轴长2b ，焦距12。

（2）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+（3）顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c==+（4）焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c==-==+或（5）两准线间的距离：2122a K K c=（6）离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======1，+∞）（7）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b 。

（8）通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）。

其中222b a c += a PF PF 221=-3. 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4. 双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）M 2M 1PK 2K 1A 1A 2F 2F 1（1）范围：|x |≥a ，y ∈R（2）对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称（3）顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）（4）渐近线：①若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a by ±=②若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－ab x （5）准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c =⋅（6）焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）（7）与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ【典型例题】例1. 根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）。

浅谈圆锥曲线的中点弦问题

浅谈圆锥曲线的中点弦问题在普通高中课程标准试验教科书数学选修2-1课本上，P62页有一道题，考察圆锥曲线与直线的综合问题。

题目是：已知双曲线x2-=1，过点P（1,1）能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？这道题方法很多，主要的解法有设而不求法、参数法、待定系数法等等。

对于圆锥曲线中的中点问题，学生更多的是尝试用点差法。

下面我们也尝试下：设点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，则A、B都满足曲线方程，即：x12-=1（1）；x22-=1（2）。

这两个表达式相减得到＝，由这个式子很容易得到等式的右边是直线，斜率k==2。

另一种解法：设点A（x1，y1）B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为M（x，y），设经过点P的直线L的方程为y-1=k（x=1），即y=kx+1-k，把y=kx+1-k带入双曲线的方程x2-=1，得到（2-k2）x2-2k（1-k）x-（1-k）2=0（2-k2≠0）。

所以，x==。

由题意得=1，解得k=2。

而当k=2时，方程变为2x2-4x+3=0，与双曲线交于A、B二点，且点P是线段AB的中点。

根的判断式△=16-24=-8＜0，所以方程没有实数解，所以不能作一条直线。

这两种解法是相反的，显然第二种解法是正确的。

那么我们现在思考：什么时候可以用点差法？这个点P在什么位置或区域时就不能用点差法得到直线的方程？即如图所示，如果点落在在双曲线和渐近线之间的阴影部分，则不能用点差法得到直线方程。

我们先用点差法看能得到什么结论：不妨我们先假设过点P可以做一条直线与双曲线相交，并且此时点P是中点。

点A（x1，y1）、B（x2，y2）在双曲线上，且线段AB的中点为P（x，y），用点差法可以得到什么呢？把点A、点B坐标带入曲线方程，得到－=1，－=1（2），把这两个表达式相减得到=，化简后得到=，整理得到关系式KABKOB=（1）。

为了方便研究，我们先研究点在落在阴影部分的第一象限时。

圆锥曲线中点弦典型例题及解析

01
总结词
这类问题主要考察了圆锥曲线与切线相关的性质和定理，需要利用切线
性质和圆锥曲线的定义来解决。
02
详细描述
在解决与切线相关的问题时，我们需要利用圆锥曲线的切线性质和定义，
结合题目给出的条件，推导出与中点弦相关的方程或不等式，进而求解。
03
示例
已知抛物线C的方程为y^2 = 2px (p > 0)，过其焦点F作直线与C交于A、
数形结合
将代数问题与几何图形相结合，利用几何意义求解。
THANKS
感谢观看
特殊情况
当点$P$为圆锥曲线的焦点时，中点弦称为焦点弦。
中点弦的性质
垂直性质
角度性质
中点弦所在的直线与过点$P$的切线垂直。
中点弦与切线之间的夹角等于该弦所对的圆周角。
长度性质
中点弦的长度与过点$P$的切线长度成反比。
中点弦的几何意义
中点弦是连接圆锥曲线上的两个对称点的线段。
中点弦的长度等于圆锥曲线上的两个对称点到点$P$的距离之和的一半。
详细描述
在解决椭圆的中点弦问题时，需要注意中点弦的特殊性质。例如，当直线过椭圆中心时，中点弦即为椭圆本身；当直线的斜率为0或无穷大时，中点弦的长度为椭圆的长轴或短轴的长度。这些特殊性质可以帮助我们快速判断中点弦的性质和范围。
双曲线的中点弦问题
总结词
双曲线的性质和方程
详细描述
双曲线的中点弦问题主要考察了双曲线的性质和方程。解决这类问题需要利用双曲线的性质，如对称性、开口方向等，以及双曲线的方程，如标准方程、参数方程等。通过联立直线和双曲线的方程，消元化简，可以得到关于中点弦的方程，进一步求解得到中点

中学数学圆锥曲线中点弦、垂直平分线-拔高难度-讲义

圆锥曲线中点弦垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，1）则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，2）若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m•=-3）掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 中点为()00,M x y ，将点A B 、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法具体有：1）22221(0)x y a b a b +=>>与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)，则有00220x y k a b +=．2）22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x0,y0)则有00220x y k a b -= 3）y2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.||||PQ ABPB PA k =设1122(,),(,)A x y B x y ,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的,其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+,不要设为y kx b =+,因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx mx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222()1x kx m a b ++=,即222222212()10k km m x x a b b b +++-=设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.21222221Q kmx x b x ka b +==-+22222222222222222111Q Q k m k m m k m mb b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++ (由Q x 求Q y 分子是可消去的)故中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b -++ 定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km ks b b a b sk a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b-+=++，22222111()()()k km kt s a b a b-=++2.以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y y x y ++== 易知P 点坐标212222221P Q kmb x x x x k a b ==+=-+2212121222222()221P Q k m b y y y y kx m kx m k x x m mk a b ==+=+++=++=-++222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b-++==++ 注意:①不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ,因为点P 不在直线上. ②由P x 求P y 分子是可消去的. 故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b-++在椭圆上. 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b -+++= 两边同时乘以22221()k a b+得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+3.弦AB中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++ 令0x =,得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b-+ 令0y =,得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+经典例题一．解答题（共11小题）1．（2016秋•沙坪坝区校级期中）过点P （2，1）作抛物线y 2=4x 的弦AB ，若弦恰被P 点平分（1）求直线AB 所在直线方程；（用一般式表示）（2）求弦长|AB |．【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{y 12=4x 1y 22=4x 2⇒（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）=4（x 1﹣x 2）由于直线的斜率存在，故y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=42=2，从而直线AB 的方程为：y ﹣1=2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣3=0．（2）{y 2=4x y =2x −3⇒（2x ﹣3）2=4x 即4x 2﹣16x +9=0，因△＞0，故{x 1+x 2=4x 1x 2=94于是|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5√16−9=√35．2．（2017秋•建华区校级期中）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +√2=0相切．A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH ⊥x 轴于点H ，延长HG 到点Q 使得|HG |=|GQ |，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由题意：O 到直线x +y +√2=0的距离为b ，b=√2|√22则b=1，∵e =√32∴a 2=4，∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1…（4分）（2）设G （x 0，y 0），则Q （x 0，2y 0） ∵A （﹣2，0）∴直线AQ 的方程为y =2y 0x 0+2(x +2)…（6分）与x=2联立得：M(2，8y 0x 0+2)∴N(2，4y 0x 0+2)则直线QN 的方程为y −2y 0=4y 0x 0+2−2y 02−x 0(x −x 0)…（8分）即2x 0y 0x −(x 02−4)y −8y 0=0∵x 024+y 02=1， ∴方程可化为x 0x +2y 0y ﹣4=0…（10分） ∴（0，0）到直线QN 的距离为√x 02+4y 02=2故直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切．…（12分）3．（2018•吴忠模拟）已知椭圆C ：x 2a +y 2b=1（a ＞b ＞0），其左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为√63，点R 坐标为（2√2，√6），又点F 2在线段RF 1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设椭圆C 的左右顶点分别为A 1，A 2，点P 在直线x=﹣2√3上（点P 不在x 轴上），直线PA 1与椭圆C 交于点N ，直线PA 2与椭圆C 交M ，线段MN 的中点为Q ，证明：2|A 1Q |=|MN |．【解答】（Ⅰ）解：∵e =√63，∴ca =√63，∵F 2（c ，0）在PF 1的中垂线上，∴|F 1F 2|=|RF 2|，(2c)2=(√6)2+(2√2−c)2，解得c=2，a 2=3，b 2=1． ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．…（4分）（Ⅰ）证明：由（Ⅰ）知A 1(−√3，0)，A 2(√3，0)，M(x M ，y M )，设PA 1的方程为y =k(x +√3)（k ≠0），则P 坐标（−2√3，−√3k ），∴K PA 2=k3，∴PA 2方程为y =k 3(x −√3)由方程组{y =k3(x −√3)x 23+y 2=1.，消去y ，整理得(3+k 2)x 2−2√3k 2x +3k 2−9=0…（8分）解得√3x M =3(k 2−3)k 2+3，∴x M=√3(k2−3)k2+3，yM=k3(x M−√3)=−2√3kk2+3∵K MA1=Mx M+√3，化简后K MA1=−1k，∴MA1⊥NA1，则三角形MNA1为直角三角形，Q为斜边中点，∴2|A1Q|=|MN|…（12分）4．（2017秋•杜集区校级期末）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线y2=2px，（p＞0）上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程．【解答】解：（1）∵点A（2，8）在抛物线y2=2px，（p＞0）上，∴64=4p，解得p=16，∴抛物线方程为y2=32x，焦点F的坐标为F（8，0）．（2）如图，∵F（8，0）是△ABC的重心，M是BC中点，∴F是线段AM的定比分点，且AFFM=2，设点M的坐标为（x3，y3），则2+2x 31+2=8，8+2y 31+2=0，解得x 3=11，y 3=﹣4，∴点M 的坐标为M （11，﹣4）．（3）∵线段BC 的中点M 不在x 轴上，∴BC 所在的直线不垂直于x 轴，设BC 的直线为：y +4=k （x ﹣11），（k ≠0），由{y +4=k(x −11)y 2=32x，得ky 2﹣32y ﹣32（11k +4）=0， ∴y 1+y 2=32k，由（2）的结论得y 1+y 22=−4，解得k=﹣4．∴BC 所在的直线方程为4x +y ﹣40=0．5．（2015•南澳县校级二模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为√3，过椭圆C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若线段AB 中点的横坐标为12，求直线l 的方程；（3）若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．设弦AB 的中点为P ，试求|DP|→|AB|→的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为√3，∴{c a =1212×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，解得a 2=4，b 2=3，c=1． ∴椭圆方程为x 24+y 23=1．（2）设过椭圆C 的右焦点的动直线l 的方程为y=k （x ﹣1），联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1化为（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．则x 1+x 2=8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k2．∵AB 中点的横坐标为12，∴4k 23+4k 2=12，解得k=±√32．∴直线l 的方程y =±√32(x −1)．（3）由（2）知AB 的中点为P (4k 23+4k 2，−3k3+4k2)，直线PD 的方程为y +3k 3+4k 2=−1k (x −4k 23+4k 2)，由y=0，得x =k23+4k 2，则D (k24k 2+3，0)，∴|DP →|=3√k 2(1+k 2)3+4k ．又|AB →|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 2(3+4k 2)2−4(4k 2−12)3+4k 2]=12(k 2+1)3+4k ．∴|DP →||AB →|=3√k 2(1+k 2)3+4k 212(1+k 2)3+4k2=14⋅√k 2k 2+1=14⋅√1−11+k 2又∵k 2+1＞1，∴0＜11+k 2＜1．∴0＜14⋅√1−11+k2＜14． ∴|DP →||AB →|的取值范围是(0，14)．6．（2015•芜湖校级模拟）如图，已知圆E ：(x +√3)2+y 2=16，点F(√3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹Г相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2（其中k ＞0），若恰好成等比数列，求△OAB 的面积S 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）连接QF ，由垂直平分线的性质可得|QP |=|QF |，则|QE |+|QF |=|QE |+|QP |=|EP |=4，∴动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．可知a=2，c=√3，故b=√a 2−c 2=1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1．（Ⅰ）设直线l 的方程为y=kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 并整理可得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4=0，∴△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣8km1+4k，x1x2=4(m2−1)1+4k，∵k1，k，k2构成等比数列，∴k2=k1k2=(kx1+m)(kx2+m)x1x2，化简变形可得km（x1+x2）+m2=0，∴﹣km8km1+4k2+m2=0，解得k2=14．∵k＞0，∴k=12．此时△=16（2﹣m2）＞0，解得﹣√2＜m＜√2．又由A、O、B三点不共线得m≠0，∴﹣√2＜m＜√2且m≠0，∴S=12|AB|d=12√1+k2|x1﹣x2|•√2=12√(x1+x2)2−4x1x2|m|=√2−m2|m|=√(2−m2)m2≤2−m2+m22=1当且仅当2﹣m2=m2即m=±1时取等号，∴△OAB的面积S的最大值为17．（2016•桂林模拟）已知圆C：（x+1）2+y2=20，点B（l，0）．点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分线与线段AC交于点P．（I）求动点P的轨迹C1的方程；（Ⅰ）设M(0，15)，N为抛物线C2：y=x2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交曲线C l于P，Q两点，求△MPQ面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，点P满足|PB|+|PC|=|AC|=2√5＞2=|BC|∴动点P的轨迹C1是一个椭圆，其中2a=2√5，2c=2…（2分）∴动点P的轨迹C1的方程为x25+y24=1．…（4分）（Ⅰ）设N（t，t2），则PQ的方程为：y﹣t2=2t（x﹣t），整理，得y=2tx ﹣t 2，联立方程组{y =2tx −t 2x 25+y 24=1，消去y 整理得：（4+20t 2）x 2﹣20t 3x +5t 4﹣20=0，…（6分）有{△=80(4+20t 2−t 4)＞0x 1+x 2=20t 34+20t 2x 1x 2=5t 4−204+20t 2，而|PQ|=√1+4t 2×|x 1−x 2|=√1+4t 2×√80(4+20t 2−t 4)4+20t2，点M 到PQ 的高为ℎ=15+t 2√1+4t，…（10分）由S △MPQ =12|PQ|ℎ代入化简得：即S △MPQ =√510√−(t 2−10)2+104≤√510⋅√104=√1305；当且仅当t 2=10时，S △MPQ 可取最大值√1305．当直线的斜率不存在时，x=t ，S △MPQ =√55．∴S △MPQ 最大值√1305．…（12分）8．（2017•全国二模）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为2√2，P 为椭圆C 上异于顶点的一个动点，O 为坐标原点，A 2为椭圆C 的右顶点，点M 为线段PA 2的中点，且直线PA 2与直线OM 的斜率之积为﹣12．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的左焦点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，N 点的横坐标的取值范围是(−14，0)，求线段AB 的长的取值范围．【解答】解：（I ）由2a=2√2，解得a=√2，设P （x 0，y 0），A 1（−√2，0），A 2（√2，0）．则x 022+y 02b =1，可得y 02x 02−2=﹣b 22． ∵OM ∥PA 1，∴k OM =k PA 1，∴k PA 2⋅k OM =k PA 2⋅k PA 1=0x 0+√2⋅0x 0−√2=y 02x 02−2=﹣b 22=﹣12，解得b 2=1． ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（II ）设直线l 的方程为：y=k （x +1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{y =k(x +1)x 22+y 2=1，化为：（2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2=0，则x 1+x 2=−4k 22k 2+1，x 1•x 2=2k 2−22k 2+1，∴y 1+y 2=k （x 1+x 2+2）=2k2k +1，可得线段AB 的中点Q (−2k22k 2+1，k2k 2+1)， QN 的方程为：y ﹣k2k 2+1=﹣1k (x +2k 22k 2+1)，∴N (−k22k 2+1，0)．∵−14＜−k22k 2+1＜0，解得：0＜2k 2＜1．∴|AB |=√1+k 2•√(−4k 22k 2+1)2−4×2k 2−22k 2+1=√2(1+12k 2+1)，∵12＜12k +1＜1， ∴|AB |∈(3√22，2√2)．9．（2017•河西区一模）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）经过点（1，√32），一个焦点为（√3，0）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）若直线y=k （x ﹣1）（k ≠0）与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求|AB||PQ|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得{a 2−b 2=312+34b 2=1，解得a=2，b=1． ∴椭圆C 的方程是x 24+y 2=1；（Ⅰ）联立{y =k(x −1)x 24+y 2=1，得（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣4=0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=8k 21+4k 2，x 1x 2=4k 2−41+4k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=−2k1+4k 2． ∴线段AB 的中点坐标为(4k21+4k2，−k 1+4k 2)，∴线段AB 的垂直平分线方程为y −−k1+4k 2=−1k (x −4k21+4k 2)．取y=0，得x =3k 21+4k2，于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q (3k21+4k2，0)，又点P （1，0）， ∴|PQ|=|1−3k21+4k2|=1+k21+4k2．又|AB|=√(1+k 2)[(8k21+4k 2)2−4⋅4k 2−41+4k2]=4√(1+k 2)(1+3k 2)1+4k 2．于是，|AB||PQ|=4√(1+k 2)(1+3k 2)1+4k 21+k 21+4k 2=4√1+3k 21+k 2=4√3−21+k 2．∵k ≠0，∴1＜3−21+k2＜3．∴|AB||PQ|的取值范围为(4，4√3)．10．（2015•浙江模拟）如图，设椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F （1，0），A 为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为√2﹣1．过F 作椭圆的弦PQ ，直线AP ，AQ 分别交直线x ﹣y ﹣2=0于点M ，N ．（1）求椭圆的方程；（2）求当|MN |最小时，直线PQ 的方程．【解答】解：（1）∵椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F （1，0），A 为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为√2﹣1． ∴由题意知，c=1，a ﹣c=√2﹣1，解得a=√2，b=1， ∴椭圆方程为x 22+y 2=1．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），直线PQ ：x ﹣my ﹣1=0，由{x −my −1=0x 22+y 2=1．消去x ，得（m 2+2）y 2+2my ﹣1=0，∴y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，设点M ，N 的坐标分别为（x M ，y M ），（x N ，y N ）．因为直线AP 的方程为y ﹣1=y 1−1x 1x ，由{y −1=y 1−1x 1x x −y −2=0，得x M =3my 1+3(m−1)y 1+2，同理，x N =3my 2+3(m−1)y 2+2，∴|MN |=√2|x M −x N |=12•√m 2+1|m−7|，设m ﹣7=t ，则|MN |=12•√50(1t +750)2+150，当1t =−750，即m=﹣17时，|MN |取最小值． ∴当|MN |取最小值时PQ 的方程为y=﹣7x +7．11．（2016春•宜春校级月考）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）抛物线C 2：y 2=2px ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x 0 4 √2 1 y24√32（1）求C 1，C 2的标准方程；（2）四边形ABCD 的顶点在椭圆C 1上，且对角线AC 、BD 过原点O ，若k AC •k BD =﹣2p a，（i ）求OA →•OB →的最值．（ii ）求四边形ABCD 的面积．【解答】解：（1）由表格可知：点（0，2）在椭圆上，∴b=2，可得椭圆的方程为x 2a 2+y 24=1，把其余的点代入可得：只有点（√2，√3）可能在椭圆上，代入2a2+3b 2=1，解得a 2=8，椭圆的方程为x 28+y 24=1．把点（4，4）代入抛物线上，∴42=2p ×4，解得p=2，可得抛物线方程为y 2=4x ．经过验证（1，2）满足上述方程．综上可得：椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，抛物线C 2方程为y 2=4x ．（2）（i ）设直线AB 的方程为y=kx +m ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立{y =kx +mx 2+2y 2=8，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣8=0， △=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣8）=8（8k 2﹣m 2+4）＞0，①∴x 1+x 2=﹣4km1+2k ，x 1x 2=2m 2−81+2k ．∵k OA •k OB =k AC •k BD =﹣2p a =﹣12．∴y 1y 2x 1x 2=−12．∴y 1y 2=﹣12x 1x 2=﹣12⋅2m 2−81+2k 2=−m 2−41+2k2． y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）=k 2x 1x 2+km （x 1+x 2）+m 2=k 2×2m 2−81+2k2+km ⋅−4km 1+2k2+m 2=m 2−8k21+2k 2， ∴−m 2−41+2k2=m 2−8k 21+2k 2，∴﹣（m 2﹣4）=m 2﹣8k 2，∴4k 2+2=m 2． OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=2m 2−81+2k ﹣m 2−41+2k =m 2−41+2k =4k 2+2−41+2k =2﹣41+2k ．∴−2≤OA →⋅OB →＜2．当k=0（此时m 2=2满足①式），即直线AB 平行于x 轴时，OA →⋅OB →的最小值为﹣2．又直线AB 的斜率不存在时OA →⋅OB →=2，∴OA →⋅OB →的最大值为2．（ii）设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB=12|AB|⋅d=12⋅√1+k|x2−x1|⋅√2=|m|2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=|m|2⋅√(−4km1+2k2)2−4×2m2−81+2k2=|m|2•√64k2m2−16(m2−4)m2=2√4k2−m2+4=2√2．∴S四边形ABCD=4S△AOB=8√2．。

(完整版)最全圆锥曲线知识点总结

看 x 2， y 2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程 Ax2 By 2 C ( A, B, C均不为零）是表示椭圆的条件
方程 Ax 2 By 2 C 可化为 Ax 2 By 2 1 ，即 x 2 By 2 1，所以只有 A、 B、 C同号，
CC
CC
AB
且 A B 时，方程表示椭圆。当 C
C
时，椭圆的焦点在
x 轴上；当 C
C
时，椭圆的焦点在
y
AB
AB
轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再
由条件确定方程中的参数 a,b, c 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
F1 (0, c) F2 (0, c)
3
焦点在实轴上， c 顶点坐标（ a ,0 ） ( a ,0)
2
2
a b ；焦距： F1F2 2c
(0, a ,) (0 ， a )
离心率
渐近线方程
ec a
b2 1 a2 ,( e 1)
y bx a
共渐近线的双曲线
x2 a2
y2 b2
k （ k 0）
系方程
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：
(a b 0) ， (a c 0) ，且 ( a2 b2 c2 ) 。
可借助右图理解记忆：
a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边， b、c 为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：

圆锥曲线.05圆锥曲线中点弦-垂直平分线.知识讲解教师版

2014年一轮复习圆锥曲线中点弦,垂直平分线内容明细内容要求层次了解理解掌握圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）1．垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，(1)则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，(2)若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.(1)设椭圆或双曲线方程：221x y m n += 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则0022AB y nk x m∙=-自检自查必考点2014年高考怎么考中点弦，垂直平分线(2)掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点()()1122,,,A x y B x y ,弦AB 中点为()00,M x y ，将点A B 、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：(1)22221(0)x y a b a b +=>>与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有00220x y k a b +=。

圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线

圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。

立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

旋转轴叫做圆锥的轴。

垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。

不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。

曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。

直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。

微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。

为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。

这就要我们考虑可微曲线。

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圆锥曲线的切线与中点弦PPT学习教案

y2
1在 M (1,2) 处，以 M 为中点
32
的弦 AB 的方程。
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例：已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2 3y2 1 44
上，对角线 BD 所在的直线的斜率为 1，当直线 BD 过点（0，1）时，求直线 AC 的方程
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圆锥曲线的切线与中点弦
会计学
1
例.过椭圆 x 2 y 2 1内一点 M（2，1）引一条弦， 16 4
使弦被点 M 平分，求这条弦所在的直线方程 x 2y 4 0
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x2 y2 1 例. 求椭圆 25 16 斜率为 3 的弦的中点轨迹方程
16x+75y=0
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有关圆锥曲线切线小题处理技巧
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例.过点 P（-2，-3）向圆 x2 y2 8x 4y 11 0 引两条切线，切点为 T1 , T2 ，则 T1 T2 的方程为
6x 5y 25 0
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例. 抛物线 y2ห้องสมุดไป่ตู้ 4x 在 M (1 , 1) 处，以 M 为中点的
22
弦 AB 的方程。
例.
双曲线 x2

新教材北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线知识点考点重点难点解题规律归纳总结

第二章圆锥曲线1 椭圆 ........................................................................................................................... - 1 -1.1 椭圆及其标准方程 ......................................................................................... - 1 - 1.2 椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 6 - 2 双曲线 ..................................................................................................................... - 11 -2.1 双曲线及其标准方程 ................................................................................... - 11 - 2.2 双曲线的简单几何性质 ............................................................................... - 15 - 3 抛物线 ..................................................................................................................... - 19 -3.1 抛物线及其标准方程 ................................................................................... - 19 - 3.2 抛物线的简单几何性质 ............................................................................... - 23 - 4 直线与圆锥曲线的位置关系 .................................................................................. - 28 -4.1 直线与圆锥曲线的交点 ............................................................................... - 28 - 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 ....................................................................... - 28 -1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合(或轨迹)叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．1．椭圆定义中，将“大于|F 1F 2|”改为“等于|F 1F 2|”或“小于|F 1F 2|”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示] 当距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹就是线段F 1F 2；当距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0) 焦点 (－c ，0)，(c ，0)(0，－c )，(0，c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 22．椭圆x 29＋y 216＝1的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上？[提示] 椭圆x 29＋y 216＝1的焦点在y 轴上．疑难问题类型1 椭圆定义及应用【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点A 到焦点F 的距离为2，B 为AF 的中点，O 为坐标原点，则|OB |的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．32(2)已知B (－5，0)、C (5，0)，且△ABC 的周长等于24，则顶点A 的轨迹方程为________．(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，过F 1的直线AB 与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．(1)B (2)x 249＋y 224＝1(y ≠0) (3)4a [(1)设F ′为椭圆的另一焦点，则|AF |＋|AF ′|＝2a ＝10，∴|AF ′|＝8，∵O ，B 分别为FF ′，AF 的中点．∴|OB |＝12|AF ′|＝4．(2)由已知得，|AB |＋|AC |＝14，由椭圆的定义可知，顶点A 的轨迹是椭圆，又2c ＝10，2a ＝14，即c ＝5，a ＝7，所以b 2＝a 2－c 2＝24．当点A 在直线BC 上，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是x 249＋y 224＝1(y ≠0)．(3)∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a．]由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：(1)实现两个焦半径之间的相互转化；,(2)将两个焦半径之和看成一个整体，求解定值问题.类型2求椭圆的标准方程[探究问题]1．同一椭圆在不同坐标系下的方程相同吗？[提示]不同．2．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b＞0?[提示]令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐，在今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义．3．椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)有何异同点？[提示]因为椭圆标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状、大小，所以椭圆x2a2＋y2b2＝1和y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的形状、大小相同，但这两个椭圆的位置不同，焦点坐标也不同．【例2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，并且过点(－5，3)；(2)经过点P1(6，1)，P2(－3，－2)．[思路点拨](1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2＝a2－c2及点(－5，3)在椭圆上求待定系数；(2)由于焦点位置不明确，可将其设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)的形式，再进一步确定A ，B ．[解] (1)依题意知椭圆的焦点在x 轴上，可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知得c ＝4，所以a 2－b 2＝16．①因为点(－5，3)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1．② 由①②得a 2＝20，b 2＝4．因此，所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1．(2)设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)，由已知得 ⎩⎨⎧6A ＋B ＝13A ＋2B ＝1，解得A ＝19，B ＝13．∴所求的椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1．1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程． (2)待定系数法：设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a 2、b 2的值，其一般步骤是：①定位：确定椭圆的焦点在x 轴还是y 轴上，从而设出相应的标准方程的形式． ②定量：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组，求出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆的标准方程在形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的正常数．类型3 椭圆标准方程的简单应用【例3】 (1)已知方程x 25－2m ＋y 2|m |－1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．(2)已知椭圆方程为kx 2＋3y 2－6k ＝0，焦距为4，则k 的值为________． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52 (2)1或5 [(1)∵椭圆焦点在y 轴上，∴其标准方程应为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∴|m |－1＞5－2m ＞0，解得2＜m ＜52，∴m 的取值范围为2＜m ＜52．(2)将方程kx 2＋3y 2－6k ＝0化为x 26＋y 22k ＝1．∵焦距为4，∴2c ＝4，即c ＝2．当焦点在x 轴上时，6－2k ＝4，解得k ＝1；当焦点在y 轴上时，2k －6＝4，解得k ＝5．综上，k ＝1或5．]1．判断焦点所在坐标轴的依据是看x 2项，y 2项的分母哪个大，焦点在分母大的对应的坐标轴上．2．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，当m >n >0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．归纳总结1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求解，回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免分类讨论．1.2椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)、A2(a，0)，B1(0，－b)、B2(0，b)A1(0，－a)、A2(0，a)，B1(－b，0)、B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c，0)、F2(c，0)F1(0，－c)、F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca(0＜e＜1)(1)椭圆方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义是什么？(2)椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？[提示](1)在方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．(2)最大距离：a＋c；最小距离：a－c．疑难问题类型1 椭圆的几何性质 [探究问题]1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上，到中心O 和焦点F 1(－c ，0)的距离最近和最远的点分别在什么位置？[提示] 椭圆上，到中心O 的距离最近的点是短轴端点B 1和B 2；到中心O 的距离最远的点是长轴端点A 1和A 2．点(a ，0)，(－a ，0)与焦点F 1(－c ，0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最远距离和最近距离．2．利用椭圆方程如何判断点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系？ [提示] 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2＞1．3．椭圆的离心率是如何刻画椭圆的扁平程度的？ [提示] e 的大小决定了椭圆的扁圆程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以ba ＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，ba 越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，ba越接近于1，椭圆越接近于圆．【例1】 (1)椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0＜k ＜9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等(2)已知椭圆的标准方程为x 2100＋y 264＝1，O 为坐标原点，则椭圆上的点P 到椭圆中心|OP |的范围为( )A ．[6，10]B ．[6，8]C ．[8，10]D ．[16，20](3)(一题两空)椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长为________，短轴长为________． (1)D (2)C (3)6 4 [(1)椭圆x 225＋y 29＝1中c 21＝25－9＝16，椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1中c 22＝25－k －(9－k )＝16，∴两椭圆焦距相等．(2)设P (x 0，y 0)，则|OP |＝x 20＋y 20．由椭圆的范围，知|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，又∵P 在椭圆上，∴x 20100＋y 2064＝1， ∴y 20＝64－1625x 20，∴|OP |＝925x 20＋64.∵0≤x 20≤100，∴64≤925x 20＋64≤100，∴8≤|OP |≤10．(3)把已知方程化为椭圆的标准方程为：x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴长轴长为2a ＝6，短轴长为2b ＝4．]用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a ，b ，c . (4)写出椭圆的几何性质.类型2 由椭圆的简单性质求方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，a ＝2，离心率e ＝12；(2)一焦点坐标为(－3，0)，一顶点坐标为(0，5)； (3)过点(3，0)，离心率e ＝63．[思路点拨](1)由a＝2，e＝ca＝12，易得c，代入b2＝a2－c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论．[解](1)由a＝2，e＝12，可得a2＝4，且c2＝12，即c＝1，所以b2＝a2－c2＝4－1＝3．已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为y24＋x23＝1．(2)由椭圆的一个焦点坐标为(－3，0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3．又由一顶点坐标为(0，5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34．因此所求的标准方程为x234＋y225＝1．(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝3，e＝63，所以c＝6，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝3，e＝63，所以a2－b2a＝63，所以a2＝27，所以椭圆的标准方程为y227＋x29＝1．综上，所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1．已知椭圆的简单性质求标准方程：(1)先看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴，当不能确定焦点所在的坐标轴时，需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论.(2)然后依据关系式e＝ca，b2＝a2－c2确定a，b的值，从而求出椭圆的标准方程.类型3求椭圆的离心率【例3】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路点拨]根据已知条件得出a、c的关系即可．[解]不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，所以|F1F2|＝|AF2|2－|AF1|2＝3x＝2c，由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，∴e＝2c2a＝3x3x＝33．求椭圆的离心率通常有两种方法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2、b2，再求出a、c的值，利用公式e＝ca直接求解；(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c之间的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.归纳总结1．已知椭圆的方程讨论椭圆的性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定位，再定量”，常用的方法是待定系数法．3．椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，常用来求解与椭圆有关的最值与范围问题．4．椭圆的对称性是椭圆的重要几何性质，在解题时，恰当使用对称性能简化求解过程．2双曲线2.1双曲线及其标准方程1．双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．双曲线定义中，将“差的绝对值”改为“差”，其他条件不变，点的轨迹是什么？[提示]动点的轨迹是双曲线的一支．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca、b、c的关系c2＝a2＋b23．确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？[提示]a，b的值及焦点所在的位置．疑难问题类型1双曲线的定义及应用双曲线中，焦点三角形的面积问题【例1】已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163．利用双曲线定义求点的轨迹方程【例2】已知定点A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．[思路点拨] 考查点F 的几何性质，利用双曲线的定义求解． [解] 设F (x ，y )为轨迹上的任意一点，因为A ，B 两点在以C ，F 为焦点的椭圆上，所以|F A |＋|CA |＝2a ，|FB |＋|CB |＝2a (其中a 表示椭圆的长半轴长)．所以|F A |＋|CA |＝|FB |＋|CB |．所以|F A |－|FB |＝|CB |－|CA |＝122＋92－122＋(－5)2＝2，即|F A |－|FB |＝2．由双曲线的定义知，F 点在以A ，B 为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F 的轨迹方程是y 2－x248＝1(y ≤－1)．1．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意||PF 1|－|PF 2||＝2a 的变形使用，特别是与|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|·|PF 2|间的关系．2．利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程，其基本步骤为 ①寻求动点M 与定点F 1，F 2 之间的关系；②根据题目的条件计算是否满足||MF 1|－|MF 2||＝2a (常数，a >0)；③判断：若2a <2c ＝|F 1F 2|，满足定义，则动点M 的轨迹就是双曲线，且2c ＝|F 1F 2|，b 2＝c 2－a 2，进而求出相应a ，b ，c ；④根据F 1，F 2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．类型2 求双曲线的标准方程【例3】 (1)已知双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程． [思路点拨] 用待定系数法求解．[解] (1)设所求双曲线方程为Ax 2－By 2＝1()AB >0，则⎩⎪⎨⎪⎧9A －32B ＝1，8116A －25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－19，B ＝－116，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．(2)法一：设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意易求得c ＝25．又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b 2＝1．又∵a 2＋b 2＝(25)2， ∴a 2＝12，b 2＝8．故所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k ＝1(－4<k <16)，将点(32，2)代入得k ＝4， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1．待定系数法求双曲线方程的步骤类型3曲线类型的判定【例4】已知曲线C：x2t2＋y2t2－1＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．[思路点拨]方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹是由参数A，B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对A，B进行讨论．[解](1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，且t2≠t2－1，曲线C为椭圆；当|t|<1时，t2>0，t2－1<0，曲线C为双曲线．(2)证明：当|t|>1时，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，因此c2＝a2－b2＝t2－(t2－1)＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．当|t|<1时，双曲线C的方程为x2t2－y21－t2＝1，∵c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，∴焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．方程Ax2＋By2＝1(A，B≠0)表示双曲线的充要条件为AB<0，若A<0，B>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线；若B<0，A>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线.即双曲线的焦点位置是由x2，y2的系数的正负决定的.归纳总结1．对双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F1，F2表示双曲线的左，右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a，则点M在右支上；若|MF2|－|MF1|＝2a，则点M在左支上．(2)双曲线定义的应用：①若||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，则动点M的轨迹为双曲线．②若动点M在双曲线上，则||MF1|－|MF2||＝2a．2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：确定a2，b2的数值．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，其中mn<0．2.2双曲线的简单几何性质双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 顶点(－a，0)，(a，0)(0，－a)，(0，a)对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b渐近线xa±yb＝0或y＝±ba xxb±ya＝0或y＝±ab x离心率e＝ca(e＞1)(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．疑难问题类型1双曲线的简单性质【例1】求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．[思路点拨]先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性质．[解]双曲线的方程化为标准形式是x29－y24＝1，∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝13．又曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝ca＝133，渐近线方程为y＝±23x．1．由双曲线方程探究其简单几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．类型2利用双曲线的性质求双曲线方程【例2】求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)实轴长为16，离心率为5 4；(2)双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．[思路点拨]由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c 的值．[解](1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．由题意知2a＝16，ca＝54，c2＝a2＋b2，解得c＝10，a＝8，b＝6，所以双曲线的标准方程为x264－y236＝1或y264－x236＝1．(2)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)．由已知得a＝3，c＝2，∴b2＝c2－a2＝1．∴双曲线的标准方程为x23－y2＝1．1．求双曲线方程，关键是求a，b的值，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ．类型3双曲线的离心率【例3】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，求双曲线C的离心率．[思路点拨]确定四边形中为60°的内角，通过解三角形得a，b，c的关系，进而求出离心率．[解]设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2＝30°，所以bc＝tan 30°，c＝3b，所以a＝2b，离心率e＝ca＝32＝62．求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ca求解.(2)方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝ca，转化为关于e的n次方程求解.归纳总结1．由已知双曲线的方程求双曲线的几何性质时，注意首先应将方程化为标准形式，并要特别注意焦点所在的位置，防止将焦点坐标和渐近线方程写错．2．注意双曲线性质间的联系，尤其是双曲线的渐近线斜率与离心率之间的联系，并注意数形结合，从直观入手．3．椭圆、双曲线的标准方程都可写成Ax2＋By2＝1的形式，当A>0，B>0且A≠B 时表示椭圆，当AB<0时表示双曲线．3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线，定点F 叫作抛物线的焦点，定直线l 叫作抛物线的准线．1．抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么动点的轨迹是什么？ [提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 2．抛物线的标准方程图形标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px(p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 焦点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 22．抛物线的标准方程y 2＝2px (p >0)中p 的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．3．已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为x (或y )，则焦点在x 轴(或y 轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．疑难问题类型1 抛物线的定义【例1】已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A ．34B ．1C ．54D ．74[思路点拨] 如图，过A 、B 分别作准线l 的垂线AD ，BC ，垂足分别为D ，C ，M 是线段AB 的中点，MN 垂直准线l 于N ，由于MN 是梯形ABCD 的中位线，所以|MN |＝|AD |＋|BC |2．C [由抛物线的定义知|AD |＋|BC |＝|AF |＋|BF |＝3，所以|MN |＝32，又由于准线l 的方程为x ＝－14，所以线段AB 中点到y 轴的距离为32－14＝54，故选C ．]1．解答本题的关键是利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离．2．与抛物线有关的问题中，涉及到焦点的距离或到准线的距离时，一般是利用定义对两个距离进行相互转化．类型2 求抛物线的标准方程求抛物线的焦点坐标或准线方程【例2】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． (1)y 2＝40x ；(2)4x 2＝y ；(3)6y 2＋11x ＝0．[解] (1)焦点坐标为(10，0)，准线方程为x ＝－10． (2)由4x 2＝y 得x 2＝14y ． ∵2p ＝14，∴p ＝18．∴焦点坐标为(0，116)，准线方程为y ＝－116．(3)由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ，故焦点坐标为(－1124，0)，准线方程为x ＝1124．求抛物线的标准方程【例3】求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3，2)； (2)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3．[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[解] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1＞0)或x 2＝2p 2y (p 2＞0)，∵过点(－3，2)，∴4＝－2p 1×(－3)或9＝2p 2×2．∴p 1＝23或p 2＝94．故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p ＞0)或x 2＝－2py (p ＞0)且p ＝3， ∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y ．1．根据抛物线方程求准线方程或焦点坐标时，应先把抛物线的方程化为标准方程，这样才能准确写出抛物线的准线方程．2．求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．类型3 抛物线的实际应用【例4】一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m ，求使卡车通过的a 的最小整数值．[思路点拨] 解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用抛物线的方程解决问题．[解] 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y 轴建立直角坐标系，则点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a 4，如图所示．设隧道所在抛物线方程为x 2＝my ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，∴m ＝－a ．即抛物线方程为x 2＝－ay ．将(0.8，y )代入抛物线方程，得0.82＝－ay ，即y ＝－0.82a ．欲使卡车通过隧道，应有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＞3，即a 4－0.82a ＞3． ∵a ＞0，∴a ＞12.21．∴a 应取13．1．解答本题的关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．归纳总结1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m 4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4． 2．设M (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，焦点为F ，则根据抛物线的定义，抛物线的焦半径|MF |＝x 0＋p 2．3．对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离与到准线的距离相互转化．4．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能利用图形分析性质，学习时应能根据一种类型归纳出另外三种的相关性质，注意数形结合思想的应用．3.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的几何性质标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) 图形性质范围x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 对称轴 x 轴 y 轴顶点(0，0) 离心率e ＝1 2．过焦点的弦若直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则(1)抛物线的焦半径|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2；(2)过焦点的弦|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(3)当直线AB 垂直于抛物线的对称轴时，弦AB 叫作抛物线的通径，它的长为2p ，通径是过焦点最短的弦．直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？[提示] 可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点．疑难问题类型1抛物线几何性质的应用【例1】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上．求这个正三角形的边长．[思路点拨]正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出等边三角形的边长．[解]设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y21＝2px1，y22＝2px2．由|OA|＝|OB|，得x21＋y21＝x22＋y22，即(x1＋x2)(x1－x2)＝2px2－2px1．∴(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．∵x1>0，x2>0，2p>0，∴x1－x2＝0，即x1＝x2．由此可知|y1|＝|y2|，即点A、B关于x轴对称，∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°，∴y1x1＝tan 30°＝33．∵x1＝y212p，∴y1＝23p，|AB|＝2y1＝43p．∴这个正三角形的边长为43p．抛物线各元素间的关系,抛物线的焦点在其对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离与顶点到准线的距离均为p 2.类型2与中点弦、焦点弦有关的问题【例2】 (1)过点Q (4，1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被点Q 所平分，则AB 所在直线的方程为________．(2)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点，且|AB |＝9．则该抛物线的方程为________．[思路点拨] (1)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，用点差法求k AB ；法二：设直线AB 的方程，建立方程求解．(2)设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求解．(1)4x －y －15＝0 (2)y 2＝8x [(1)法一：设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∴y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2， ∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0．法二：设弦AB 所在直线的方程为y ＝k (x －4)＋1．联立⎩⎨⎧ y 2＝8x ，y ＝k (x －4)＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k ．又y 1＋y 2＝2，∴k ＝4．∴所求弦AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0．(2)设直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，化简得4x 2－5px ＋p 2＝0，∴x 1＋x 2＝5p 4，∵|AB |＝9＝x 1＋x 2＋p ，∴5p 4＋p ＝9，∴p ＝4，∴抛物线的方程为y 2＝8x ．]直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k．(1)一般的弦长公式：|AB|＝1＋k2|x1－x2|．(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p．(3)“中点弦”问题解题策略两种方法类型3抛物线中的最值问题【例3】已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标．[思路点拨]利用抛物线的定义可将|PF|转化为P到准线的距离来考虑．[解]由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，则|P A|＋|PF|＝|P A|＋d．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6．∵6＞2，∴点A在抛物线内部．由图可知，当P A⊥l时，|P A|＋d最小，最小值为7 2，即|P A|＋|PF|的最小值为7 2，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2．∴此时点P坐标为(2，2)．1．本题若设P(x，y)，利用两点间的距离公式建模求解，难以得到答案，而由抛物线的定义将|PF|转化为点P到准线的距离，则当P，A，Q三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，从而使问题迎刃而解．2．解决这类题，就是用抛物线的定义与平面几何的知识把折线段变为直线段，即知最小值．归纳总结1．抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，设抛物线y2＝2px(p>0)上任一点A(x0，y0)，则|AF|＝x0＋p 2．3．抛物线的顶点也在抛物线上，作为抛物线上的一个特殊点，它到焦点的距离也等于到准线的距离，解题时注意应用．4．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。

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2014年一轮复习圆锥曲线中点弦,垂直平分线内容明细内容要求层次了解理解掌握圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）1．垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设()11,A x y 、()22,B x y 是直线与曲线的两个交点，O 为坐标原点，(1)则OA OB ⊥⇔12120x x y y +=，(2)若()00,P x y ,则AP BP ⊥⇔()()()()010201020x x x x y y y y -⋅-+-⋅-=2.弦中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.(1)设椭圆或双曲线方程：221x y m n+= 上两点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,P x y ，则自检自查必考点2014年高考怎么考中点弦，垂直平分线0022AB y nk x m∙=-(2)掌握抛物线2(0)x my m =≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 连线的斜率公式12AB x x k m+=3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

(2)22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有00220x y k a b -= (3)y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.中点弦常考题型1.1||||PQ ABPB PA PQ AB k k =⇔⊥⇔=-设1122(,),(,)A x y B x y ,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的,其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+,不要设为y kx b =+,因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,得2222()1x kx m a b ++=,即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则P QBAOyx22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a bm b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.21222221Q kmx x b x k a b +==-+22222222222222222111Q Q k m k m m k m m b b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++(由Q x 求Q y 分子是可消去的)故中点Q 的坐标为22222222(,)11kmm b a k k a b a b -++定点P 设为(,)s t ，则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km x s km ks b b a b sk a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b k km k s b a b-+=---+，2222222211()()km k km k kt s a a b b a b -+=++，22222111()()()k km kt s a b a b -=++2.以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上 1212,22Q Q x x y y x y ++== 易知P 点坐标212222221P Q kmb x x x x k a b ==+=-+ 2212121222222()221P Q k m b y y y y kx m kx m k x x m mk a b ==+=+++=++=-++222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b-++==++注意:1．不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ,因为点P 不在直线上. 2．由P x 求P y 分子是可消去的. 故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上.则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b -+++= 两边同时乘以22221()k a b+得yx QOPBA22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+3.弦AB 的垂直平分线交,x y 轴分别为点,N M中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b -++，垂直平分线方程为222222221()11m kma b y x k k k a b a b -=-+++ 令0x =,得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+,令0y =,得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+lOyxNM QBA例题精讲【例1】过点21A （，）的直线与双曲线2212y x -=相交于两点12P P 、，求线段12P P 中点的轨迹方程。

【解析】设111()P x y ，，222()P x y ，，则代入双曲线方程两式相减得：21122112()()()()2y y y y x x x x -+-+=，即211221122()y y x x x x y y -+=-+ 设12P P 的中点为00()M x y ，，则120212102P P x y y k x x y -==- 又0012AM y k x -=-，而12P A M P 、、、共线 12PP AM k k ∴=，即0000122y x x y -=- 12P P ∴中点M 的轨迹方程是22240x y x y --+=【例2】已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A B 、两点，且线段AB 的中点在直线:20l x y -=上.（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆224x y +=上，求此椭圆的方程. 【解析】（Ⅰ）设A B 、两点的坐标分别为1122(,),(,).A x y B x y 则由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222222()20a b x a x a a b +-+-=,根据韦达定理，得 22121212222222,()2,a b x x y y x x a b a b +=+=-++=++ ∴线段AB 的中点坐标为（222222,a b a b a b ++）. 代入:20l x y -=得，222a c =故椭圆的离心率为22e =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知,b c =从而椭圆的右焦点坐标为(,0),F b 设(,0)F b 关于直线:20l x y -=的对称点为00(,),x y 则000112y x b -⋅=--且0020,22x b y +-⨯=解得 035x b =且045y b = 由已知得22222344,()()4,455x y b b b +=∴+=∴=，故所求的椭圆方程为22184x y += .【例3】已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>）的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点A 的坐标为(,0)a -，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB =，求0y 的值【来源】2010天津【解析】（Ⅰ）由3e 2c a ==，得2234a c =，再由222c a b =-，得2a b = 由题意可知，1224,2a b ⨯⨯=即2ab =解方程组22a b ab =⎧⎨=⎩得2,1a b ==。

所以椭圆的方程为2214x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）可知2,0A -（），设B 点的坐标为1,1,x y （）,直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为()2y k x =+,于是A,B 两点的坐标满足方程组22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 由方程组消去y 并整理，得2222(14)16(164)0k x k x k +++-=由2121642,14k x k --=+得21228,14k x k -=+从而124,14k y k=+ 设线段AB 是中点为M ，则M 的坐标为22282(,)1414k kk k-++ 以下分两种情况：（1）当0k =时，点B 的坐标为2,0（）。

线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是00(2,y ),(2,QA QB y →→=--=-）由4QA QB →→=，得02y ±=2（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为222218y ()1414k k x k k k -=+++ 令0x =，解得02614ky k =+。

由0110(2,y ),(,QA QB x y y →→=--=-）2101022222(28)6462(()14141414k k k kQA QB x y y y k k k k →→--=---++++++）=整理得272,k =故147k =±所以0214=5y ±。