近世代数练习题题库

§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且;1.2 A ×B = B ×A1.3 只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f; 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕϕa=a;1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射;1.6 设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算;1.7 在整数集Z 上,定义“ ”：a b=aba,b ∈Z,则“ ”是Z 的一个二元运算;1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系;2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A ⨯A= __________________________________;2.2 设A = {1,2},B = {a,b},则A ×B =_________________;2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______;2.4 设A={1,2}, 则A ⨯A=_____________________; 2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ; 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则()[]=-a f f 1 ;2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝,则A 上不同的二元运算共有 个;2.8 设A 、B 是集合,| A |＝| B |＝3,则共可定义 个从A 到B 的映射,其中有 个单射,有 个满射,有 个双射;2.9 设A 是n 元集,B 是m 元集,那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c},则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e},则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系,如果～适合下列三个条件：_____________________________________________;2.13 设A =｛a , b, c ｝,那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________;2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系,它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类;则[][]⇔=b a ______________;2.15 设集合A 有一个分类,其中i A 与j A 是A 的两个类,如果j i A A ≠,那么=j i A A ______________;2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝,规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b,那么A 的所有不同的等价类是______________ ;2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合,～是M 上的合同关系,则由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________;2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n F 中,规定等价关系~:A~B ⇔秩A=秩B,则这个等价关系决定的等价类有________个;2.19 设M 100 F 是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 F 中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩A=秩B,则这个等价关系所决定的等价类共有_______个;2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ⇔秩A=秩B,则由”~”确定的等价类有_____________________个;3 证明题：3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射,对于A b a ∈,,规定关系“~”：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =⇔．证明：“~”是C 的一个等价关系．3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n 中规定关系“~”：||||~B A B A =⇔．证明：“~”是)(F M n 的一个等价关系．3.4 设“~”是集合A 的一个关系,且满足：1对任意A a ∈,有a a ~；2对任意A c b a ∈,,,若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.5 设G 是一个群,在G 中规定关系“~”：⇔b a ~存在于G g ∈,使得ag g b 1-=．证明：“~”是G 的一个等价关系．第二章 群论1 判断题：§ 群的定义.1.1 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：A G 对于这个乘法运算都是封闭的；B ∀a,b,cG,都有abc=abc 成立；C 存在G,使得∀aG,都有ea=a 成立；D ∀aG,都存在aG,使得aa=e 成立;则G 关于这个乘法运算构成一个群;1.2 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：AG 对于这个乘法运算是封闭的；B ∀a,b,c ∈G,都有abc=abc 成立；C 存在e r ∈G,使得∀a ∈G,都有ae r =a 成立；D ∀a ∈G,都存在a 1-∈G,使得a 1-a=e r 成立;则G 关于这个乘法运算构成一个群;1.3 设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果1G 对乘法运算是封闭的2G 对乘法适合结合律3G 对乘法适合消去律,则G 构成群;1.4 设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果1. G 对乘法运算是封闭的;2. 乘法适合结合律与消去律,则G 对所给的乘法构成一个群;1.5 实数集R 关于数的乘法成群;1.6 若G 是一个n 阶群,aG,|a|表示a 的阶,则|a|;1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14;1.8 设Q 为有理数集,在Q 上定义二元运算“ ”,a b=a+b+ab ),(,, Q Q b a 则∈∀构成一个群;§ 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群;1.10 一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.1.11 集合A 的所有的一一变换作成一个变换群;1.12 素数阶群都是交换群;1.13 pp 为质数阶群G 是循环群．1.14 素数阶的群G 一定是循环群.1.15 3次对称群3S 是循环群;1.16 任意群都同构于一个变换群．1.17 有限群都同构于一个置换群;1.18 任何一个有限群都与一个循环群同构;1.19 在5次对称群5S 中,15234的阶是6.1.20 在4次对称群S 4中,12324的阶为6;1.21 在5S 中,12345的阶是3;1.22 任意有限群都与一个交换群同构;1.23 因为22阶群是交换群,所以62阶群也为交换群;1.24 6阶群是交换群; ;1.25 4阶群一定是交换群;1.26 4阶群一定是循环群;1.27 循环群一定是交换群;1.28 设G 是群,a, b ∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6;1.29 14阶交换群一定是循环群;1.30 如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构;1.31 有理数加群Q 是循环群;1.32 若一个循环群G 的生成元的个数为2,则G 为无限循环群;§ 子群、不变子群;1.33 若H 是群G 的一个非空子集,且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立,则H 是G 的一个子群;1.34 若H 是群G 的一个非空有限子集,且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立,则H 是G 的一个子群;1.35 循环群的子群也是循环群;1.36 如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群;1.37 一个阶是11的群只有两个子群;1.38 有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶;1.39 设G 是一个n 阶群,m|n,则G 中一定有m 阶子群存在;1.40 若G 是60阶群,则G 有14阶子群;1.41 设G 是60 阶群,则G 有40阶子群;1.42 阶为100的群一定含25阶元;1.43 阶为100的群一定含25阶子群;1.44 阶为81的群G 中,一定含有3阶元;1.45 设H 是群G 的一个非空子集,则H H H G H =⋅⇔≤-1;1.46 设H 是群G 的一个非空子集,则H H H G H ⊇⋅⇔≤-1; 1.47 群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,; 1.48 群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等.1.49 指数为2的子群不是不变子群;1.50 若N ∆H,H ∆G,则N ∆G;1.51 若N 是群G 的不变子群,N 是群N 的不变子群,则N 是G 的不变子群;1.52 设H ≤G,K ≤G,则HK ≤G;1.53 若N N,H G 那么NH G;§ 商群、群的同态定理;1.54 群之间的同态关系是等价关系;1.55 循环群的商群是循环群;1.56 设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射,a ∈G ,则a 与f a 的阶相同;1.57 设G 是有限群,H ≤G, 则||||||H G H G =; 1.58 若ϕ是群G 到G 的同态满射,N 是G 的一个不变子群,则ϕN 是G 的不变子群,且N G ≅)(N G ϕ ;1.59 设f 是群G 到群-G 的同态映射,H ∆G,则 fH ∆-G ;1.60 设f 是群G 到群-G 的同态映射, H ≤G 则 fH ≤-G ;1.61 若是群G 到的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,则N 是的不变子群,且~;1.62 若是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,表示N 的原象,则是G 不变子群,且≅;1.63 设G 和G 都是群,G ϕ≅G , G N ∆, N=1-ϕN ,则N ∆G,且--≅N G N G //; 2 填空题：2.1 在群G 中,a,b ∈G,a 2 = e,a －1ba = b 2,则|b| =_________________;2.2 在交换群G 中,a,b∈G,|a| = 8,|b| = 3,则|a －2 b | =_________________;2.3 设a 是群G 的元,a 的阶为6,则a 4的阶为___________________;2.4 设a 是群G 中的一个8阶元,则a 的阶为________;2.5 设G 是交换群,a 、b ∈G, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_____________;2.6 群AG 中有_____个1阶元;2.7 在S 5中,4阶元的个数为_____________;2.8 在S 4中,3阶元的个数为_____________;2.9 设G 为群,a G ∈,若12a =,则8a =_______________;2.10 设群G=｛e,a 1,a 2,…,a n-1｝,运算为乘法,e 为G 的单位元,则a 1n =___.2.11 若a,b 是交换群G 中的5阶元和72阶元, 则ab 的阶为____________;2.12 在整数加群Z 中,<4>∩<6> =_________________;2.13 10阶交换群G 的所有子群的个数是_________________;2.14 阶数最小的非交换群的阶数是_________;一个有限非可换群至少含有____________个元素.2.15 任意群G 一定同构于G 的一个_____________;2.16 n 次对称群Sn 的阶是_______;2.17 9-置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是_______; 2.18 n 阶有限群G 一定_____________置换群;2.19 每一个有限群都与一个__________群同构;2.20 已知1234531254σ⎛⎫= ⎪⎝⎭为5S 上的元素,则1σ-＝__________; 2.21 给出一个5-循环置换)31425(=π,那么=-1π_________________; 2.22 在4次对称群S 4中,1342312-1=______.2.23 在4次对称群S 4中,24231＝_____________ ,4321－1＝_____________,132的阶为_____________;2.24 在6次对称群S 中,123536=____________;2.25 24311-=__________;2.26 设群G 的元a 的阶是n,则a k 的阶是________.2.27 设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为______;2.28 已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于_____________;2.29 设()G a =为循环群,那么1若a 的阶为无限,则G 同构于___________,2若a 的阶为n,则G 同构于____________;2.30 若群G 是一个6阶循环群,则G 与模6剩余类同构____________________同构;2.31 设G =()a 是循环群,则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条件是_____________;2.32 整数加群Z,+的两个生成元是___+1和-1________;2.33 整数加群Z 有__________个生成元.2.34 整数加群Z, +的生成元是____________;2.35 无限循环群G=a 的生成元为_a 的逆___________;2.36 无限循环群G 中能作为G 的生成元的元素共有 _____________ 个;2.37 若G=a 是一个无限循环的乘法群,则G 的另一个生成元是______a 的逆元____;2.38 剩余类加群Z 共有__4_____个元可作为它的生成元;2.39 16阶循环群G 中能作为G 的生成元的元素的个数为___8______;2.40 模10<1379>剩余类加群Z,+中能作为Z 的生成元的元素有__________;2.41 设G =()a 是12阶循环群,则G 的生成元是_____________;2.42 设G 是一个m p 阶群,其中p 是一个素数,m 是一个正整数,则G 的真子群的一切可能的阶数是_____________;2.43 设G 是p 阶群,p 是素数,则G 的生成元有____________个.2.44 剩余类加群Z 12有_________个生成元.2.45 设H 是群G 的非空子集,则H 是G 的子群的充要条件是________________;2.46 设G ＝a 是6阶循环群,则G 的子群有________________;2.47 设群G 是24阶群,G 中元素a 的阶是6,则元素a 2的阶为________________,子群H=< a 3>的在G 中的指数是________________ ;2.48 设12,A A 为群G 的子群,则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________;2.49 设H 是群G 的子群,G b a ∈,,则⇔=Hb Ha ________________;2.50 在3次对称群S 3中,H ＝{1,12}是S 3的一个子群,则H 23＝______．2.51 在3次对称群S 3中,H = {1,23},则S 3对H 的右陪集分解式是____________;2.52 3S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集_________________;2.53 G=a 是21阶群,H ＝)(3a ．则G:H=________________;2.54 凯莱定理说：任一个子群都同一个________________ 同构;2.55 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构;2.56 设G 是群,N 是G 的非空子集,则N △G 的充要条件是_________________;2.57 6阶循环群有_________个子群.2.58 设G 是由a 生成的30阶循环群,H = <a －5>,则G/H =_________________;2.59 设G ＝a 是10阶群,H ＝a 3,则H G ＝________;2.60 设ϕ：A →A ,A S ⊆,则))((1S -ϕϕ⊆________; 2.61 16阶循环群G 中能作为G 的生成元的元素的个数为____________;2.62 设ϕ：A ↔A ,A a ∈,则))((1a ϕϕ-＝________; 2.63 模10的剩余类加群10Z 的生成元为________________;2.64 设a 是群G 中的一个6阶元,则15a 的阶为________________;2.65 一个6 阶的非交换群G 中的非单位元的阶一定是________________ ;2.66 剩余类加群),(12+Z 中能作为它的生成元的元素有________________;2.67 设G 是群,a, b ∈G, |a|=12, 则|ba 10b -1| =_________________;2.68 设G 是一个20阶的交换群,a ∈G, |a|=2, 则 G/<a> ≌_________________;2.69 在整数加群Z 中,Z H ≤,1≠H ,则≅H _________________;2.70 在整数加群Z 中,>-=<4H 则G ：H =_________________;2.71 在12阶循环群G 中,G=<a>,H=<a 2>,则H G=_________________;2.72 在4次对称群S 4中,S=｛123｝,则<S>=_________________; 2.73 在S 5中,σ=2351324,则σ=_________________;2.74 21阶群G 中,7阶子群的个数为_________________;2.75 设N G ∆,商群N G 中的单位元是_________________;2.76 在Z 24中,Z H ≤24,H=<a>,H Z 24≅Z 8,则a= _________________; 2.77 在整数加群Z 中,H=<a>Z ≤,3Z H Z ≅则a =______________;2.78 设G 1,G 2分别为m,n 阶循环群,则G 1～G 2的充要条件是_______________;2.79 Z 4到Z 2的所有同态映射是_________________;2.80 在整数加群Z 中, <12> + <18> + <10> =_________________;2.81 在同构的意义下,6阶群有_________________种;2.82 设G 是模4的剩余类加群,那么AutG= _________________;2.83 设G 是正有理数作成的乘法群,a G ∈,a=qp n 2p, q 为奇数, n 为整数,令ϕ：a ,n ϕ是G 到Z,+的同态映射,则Ker ϕ=_________________;2.84 设G, H 是两个阶互素的有限群,则G 到H 的同态映射f 为_________________;2.85 在环R=4Z=｛4k|k ∈Z ｝中,8=________________;2.86 在整数加群Z 中,S=｛22,32｝则<S>=________________;2.87 设群G 中元素a 的阶为m ,如果e a n =,那么m 与n 存在整除关系为_________;2.88 设G 是一个n 阶交换群,a 是G 的一个m n m ≤阶元,则商群()a G 的阶等于________________ ;2.897、一个非正方形的长方形S 的对称群是{ };13、平面上的正方形的对称群是________ ;72. 设a, b 是群G 的两个元素,满足aba=ba 2b,a 3=1,b 7=1,则b=________ ;3 证明题：3.1 令}{阶正交矩阵为n A A G =．证明,G 对于矩阵的普通乘法作在一个群．3.2 设G 是整数集,规定运算：G b a b a b a ∈∀++=⊕,,4．证明：G 对运算⊕作成一个群．3.3 方程 在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群. 3.4 设证明： 关于矩阵的乘法构成群.3.5 全体可逆的 阶方阵的集合 关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵,每个元素即可逆矩阵 的逆元是 的逆矩阵 .3.6 设R 为实数集,,,0a b R a ∀∈≠,令(,):,,a b f R R x ax b x R →+∀∈,将R 的所有这样的变换构成一个集合{}(,),,0a b G f a b R a =∀∈≠,试证明：对于变换普通的乘法,G 作成一个群; 3.7 证明：若群G 的每个元素都满足方程e x =2,则G 是一个Abel 群交换群．3.8 设G 是一个群,证明：G 是交换群的充分必要条件是,对任意G b a ∈,,都有222)(b a ab =．3.9 证明：在群G 中,1-a 与a 有相同的阶．3.10 证明：在群G 中,a 与1-bab 有相同的阶．3.11 证明：在n 阶群G 中每个元都满足x n =e.3.12 设 为群. . 证明: 与b 有相同的阶. 3.13 证明：在群G 中,ab 与ba 有相同的阶．3.14 设 为群.. 证明: , , 有相同的阶. 3.15 设 为 到 的同构映射,. 证明: 与 有相同的阶. 3.16 设 为群, , 的阶为 , , . 证明: . 3.17 设,的阶为,证明的阶是,其中;3.18 证明: 循环群是交换群.3.19 证明: 有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.3.20 证明: 任意偶数阶群必含有阶为2的元素.3.21 设 为素数. 证明: 中每一个非零元都是生成元.3.22 设G 是一个群,G a ∈．若a 的阶是正整数n ．证明：对m n e a Z m m |,⇔=∈．3.23 设G 是一个交换群,m 是固定的正整数．令}|{e a G a H m =∈=．证明：H 是G 的一个子群．3.24 假定和是一个群G 的两个元,并且,又假定的阶是,的阶是,,证明：的阶是; 3.25 设21,H H 是群G 的子群．证明：21H H 也是G 的一个子群．3.26 设G 是一个群,令},|{G x xa ax G a C ∈∀=∈=．证明：C 是G 的一个子群． 3.27 设G 是一个群,S 是G 的一个非空子集．令},|{)(S x xa ax G a S C ∈∀=∈=．证明：CS 是G 的一个子群．3.28 若群G 的阶是素数p,则G 是一个循环群,试证之．3.29 证明：循环群的子群也是循环群．3.30 若群G 与群G 同态,且G 是循环群,证明：G 也是循环群．3.31 证明：阶为m p 的群p 是素数一定包含有一个阶为p 的子群．3.32 设H,K 是群G 的不变子群,证明：HK 也是G 的不变子群;3.33 设H,K 是群G 的不变子群,且}{e K H = ．证明：K k H h ∈∀∈∀,,都有kh hk =．3.34 设H,K 是群G 的不变子群,证明：K H 也是G 的不变子群;3.35 设H 是群G 的子群,N 是G 的不变子群;证明：HN 是G 的子群．3.36 设G 是一个n 阶有限群．证明：G 的每一个元素都满足方程e x n =．3.37 设G 是一个群,},|{G x xa ax G a C ∈∀=∈=是G 的中心,证明：C 是G 的一个不变子群．3.38 设C 是群G 的中心,即},|{G x xa ax G a C ∈∀=∈=．且商群C G 是循环群．证明：G 交换群．3.39 若G 是循环群,H 是G 的一个子群．证明：H G 也是循环群．3.40 设G 是一个群,令G x x x ∈→-,:1ϕ．证明：ϕ是G 到G 的同构映射的充分必要条件是：G 是一个交换群．3.41 设H 是群G 的子群,令N G H={x|x ∈G, xH=Hx},证明N G H 是G 的子群．3.42 设G 是群,令 C={x|x ∈G, ∀y ∈G, xy=yx},证明C 是G 的正规子群;3.43 设G=a 是一无限循环群,证明G 的生成元只有两个;3.44 设G 是交换群,证明G 中一切有限阶元素组成的集合T 是G 的一个子群,且T G除单位元之外不含有限阶元素;3.45 取定群G 的元u,在G 中定义新的“o ” ：aob=1-∀∈证明Ｇ,o 是群．3.46 证明循环群的子群也是循环群;3.47 设p 是一个素数,证明2p 阶群G 中一定有一个p 阶子群N;3.48 若G 是一个群,e 是G 的单位元,G 中任何元都是方程e x =2的解,证明G 是一个交换群;3.49 若G 是一个循环群,N 是G 的一个子群,证明也是一个循环群.3.50 证明阶是素数的群一定是循环群;3.51 设G 是一个43阶的有限群,证明G 的子群只有单位元群及G 本身;3.52 证明：群G 为交换群)(:1G x x x f ∈⇔- 为G 到G 的一个同构映射; 3.53 设G 是一个1000阶的交换群,a 是G 的一个100阶元,证明10Z a G≅><; 3.54 设G 是群,f ：G →G,a a 2,G a ∈证明f 是群G 的自同态⇔G 是交换群;3.55 设G=｛a, b|a, b ∈|R,0≠a ｝,在G 上定义“ ”：a, b ),(),(b ad ac d c += 证明G, 构成一个群;3.56 设G 是有限交换群,f ：G →G,fg=g k ∀g ∈G 证明f ∈AutG ⇔k,|G|=1;3.57 设G 是100阶的有限交换群,f: G →G, fg=g 49∀g ∈G,证明f ∈AutG;3.58 设A ≤G,B ≤G 如果存在a, b ∈G,使得Aa=Bb,则A=B;3.59 设G 是交换群,m 是固定的整数,令H=｛a|a ∈G, a m=e ｝,证明H ≤G; 3.60 设H ≤G,令C G H=｛g|g ∈G,∀h ∈H,gh=hg ｝,证明C G H ≤G;3.61 设G 是非空有限集合,“ ”是G 的一个二元运算,“ ”适合结合律及左、右消去律,证明：G, 构成一个群,当G 是无限集时呢3.623.63 设G 是2000阶的交换群,H ≤G,|H|=200,证明：H G是一个循环群;3.64 证明：无限循环群的生成元的个数只有两个;反之,一个循环群G 的生成元只有两个,则G 是否一定同构于Z3.653.66 设G 是一个循环群,|G|≠3,4,G 的生成元的个数为2,证明G ≅Z;3.67 设G 是有限群,H ≤G, a ∈G,证明存在最小正整数m,使a m∈H,且m|a;3.68 设G 是奇阶群,则对任意g ∈G, 存在唯一元x ∈G, 使g=x 2; 3.69 证明：整数加群Z 与偶数加群2Z 同构;3.70 设H ≤G, g 是G 的一个固定元素,gHg -1=｛ghg -1|h ∈H ｝1证明: gHg -1≤G;2证明:H 1-≅gHg ;3.71 设G={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∈+Q b a a b b a H Q b a b a ,|2,,|2,G 对复数的加法构成群,H 对矩阵的加法也构成群,证明：G ≅H;3.72 设H 是群G 的非空子集, 且H 中元的阶都有限,证明：H ≤G H H ⊆⇔2; 3.73 设N G, |G/N|=10, g ∈G, |g|=12, 证明: g 2∈N;3.74 设G 是群,a, b∈G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, <a>∩<b>=｛e ｝.证明：|ab|=m, n m,n 是m, n 的最小公倍数;3.75 设σ是一个n 次置换,集合X=｛1, 2, 3, …, n｝,在X 中,规定关系“~”为k~l Z r ∈∃⇔, 使σrk=l.证明：“~”是X 上的一个等价关系;3.76 设K=｛1, 1234, 1324, 1423｝证明：K ≤S 4;3.77 设G 是群,H ≤G, 规定关系“~”a ~ bG b a H ab ∈∀∈⇔-,,1证明：~是G 的一个等价关系,且a 所在的等价类a=Ha;3.78 证明：15阶群至多含有一个5阶子群;3.79 设H ≤G, 若H 的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集,证明H G;3.80 设N G, G:N=2004, 证明：对G x ∈∀, 恒有N x ∈2004;3.81 设N G, G:N=4,证明：存在M ≤G,且G:M=2;3.82 设H,N G, {}3||,2||,,,==∈∈=⋂b a N b H a e N H 证明：|ab|=6; 3.83 设H ≤G, 证明：H G ,,G b a ∈∀⇔如果由H ba H ab ∈⇒∈; 3.84 设k|m, 证明:[]k mZ k Z ≅;3.85 群G 的非平凡子群N 称为G 的极小子群,如果不存在子群B 使得{}N B e <<, 证明：整数加群Z 没有极小子群;3.86 如果)(G C G是循环群,证明：G 是交换群其中CG 是群G 的中心;3.87 证明：6阶交换群是循环群;举例说明6阶群不一定是循环群;3.88 证明：在一个有单位元的环R 中,全体可逆元组成的集合对R 的乘法构成一个群; 3.89 设H,K ,G ≤则对任意a, b ∈G,则Ha ⋂Kb=Φ或Ha ⋂Kb 是H ⋂K 的一个右陪集,该结果能否推广3.903.91 设 是群. 证明: 如果对任意的 , 有, 则是交换群.3.92 证明: 在群 中, 如果 , 则 . 3.93 设为加群. 证明: 任给,, 有. 3.94 证明: 一个子群的左陪集的所有元素的逆元素组成这个子群的一个右陪集; 3.95 设群 的子群 在 中的指数为2. 证明:,.3.96 设 为群, 是 的子群. 证明: 中每个元素属于且属于 的一个左陪集.3.97 设 是群,是的子群,. 则是的子群.3.98 设是群, 是的非空子集. 证明:中与 中每个元素都可交换的元素全体是的子群.3.99 设 . 证明:是的子群.3.100设是交换群. 是一个固定的正整数. 令,.证明:与都是的子群.3.101 证明:3.102设是群, 证明:的中心是的正规子群.3.103 设 是群, , , 证明: .3.104 设 是群, 和 分别是 的子群和正规子群. 证明: 1 是的正规子群; 2 是 的子群.3.105 设 为的中心. 证明: 如果是循环群, 则是交换群. 3.106设为群, 对任意的, 称为的换位子, 的所有换位子生成的子群叫做 的换位子群, 记作. 证明: 1 是 的正规子群; 2 商群 是交换群; 3 若, 且为交换群, 则是的子群.注:是由所有换位子的可能乘积所组成的集合. 3.107设与为群,为到的同态映射. . 证明:当且仅当对任意的, 有 . 3.108 设与为群,为到的同态映射. ,. 证明:3.109设为 到的同态映射,.为的子群. 证明: .3.110 设 与分别为 阶与 阶循环群. 证明: 当且仅当.3.111设都是群的正规子群. 证明:3.112 设群 在集合 上的作用是传递的. 证明： 如果 是 的正规子群,则在 的作用下的每个轨道有同样多的元素.3.113 设群 作用在集合上,. 证明： 如果存在 , 使得 ,则.3.114设 为大于1的正整数. 令证明: 关于剩余类的乘法构成一个交换群.3.115设群G 与群G 同态,N 是G 的一个不变子群,N 是N 的逆象,证明N G N G ≅;3.116证明：设G 是群,如果对任意的G x ∈,有e x =2,则G 是交换群;3.117 证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和; 3.118 设a 、b 是群G 的元素,a 的阶为2,b 的阶为3,且ab=ba,证明ab 的阶是6.3.119 3G S =,{(1),(12)}H =;那么H 是3S的一个子群;3.120一个群G 的一个不空有限子集H 作成G 的一个子群的充分而且必要条件是：,;a b H ab H ∈⇒∈3.121设是所有 阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群.是所有行列式等于1的 阶矩阵所组成的集合. 则是的子群.3.122群 的任何两个子群的交集也是 的子群.3.123 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同. 3.124 有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子. 3.125 设与为群, 是与的同构映射, 则 1 如果 为 的单位元, 则为 的单位元; 2 任给 ,为 的逆元, 即3.126 如果 是交换群, 则的每个子群都是的正规子群. 3.127 设 , , 则. 3.128 群 的任何两个正规子群的交还是的正规子群.3.129 设与是群,是到的同态映射. 1 如果 是 的单位元, 则 是的单位元; 2 对于任意的,是在中的逆元. 即3.130 设 与 是群, 是 到 的满同态.如果 是 的正规子群, 则是的正规子群. 3.131 设是循环群,G 与同态,证明是循环群;3.132 设G 是群,a ∈G ,令C G a= {x|x ∈G ,xa = ax},证明：C G a ≤G3.133设G ~ G ,H ≤G ,H = {x | x ∈G ,fx ∈ H };证明：H/Kerf ≌H .3.134 设G 是群,u 是G 的一个固定元,定义“o ”：aob = a u 2b a,b ∈G,证明 G,o 构成一个群.3.135设G 是群,H ≤G;令N G H = {x | x ∈G,xH = Hx }.C G H= { x | x ∈G,∀h ∈H,hx= xh }.证明：1N G H ≤G 2C G H △N G H3.136设G 与G 是两个群,f ：G ~ G ,K = Kerf,H ≤G ,令H = {x |x ∈G ,fx∈H },证明：H ≤G 且H/K ≌H .3.137设a 和b 是一个群G 的两个元且ba ab =,又设a 的阶m a =,b 的阶n b =,并且1),(=n m ,证明：ab 的阶mn ab =;3.138设R 为实数集,0,,≠∈∀a R b a ,令Rx b ax x R R f b a ∈∀+→,,:),( ,将R 的所有这样的变换构成一个集合{}0,,),(≠∈∀=a R b a f G b a ,试证明：对于变换普通的乘法,G 作成一个群;3.139设G=)(Q M n ={有理数域上所有n 阶可逆矩阵},H = {A|A ∈G,|A|=1}证明：H是G 的不变子群．3.140 整环Z 中的单位有____________; 3.141 环Z 6的全部零因子是____________;3.142若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想,那么RI 是一个域当且仅当I 是————————;3.143 整数环Z 的理想有_________个. 3.144 整数环Z 的商域是________. 3.145 除环的理想共有____________个;3.146 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.3.147 在整数环Z 中,由｛2,3｝生成的理想是_________. 3.148 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.3.149 设Z 11是整数模11的剩余类环,则Z 11的特征是_________. 3.150 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.3.151 设Z 7 ={0,1,2,3,4,5,6}是整数模7的剩余类环,在Z 7 x 中, 5x-43x+2=________.3.152 在整数环中,23+=__________________；3.153 剩余类环Z 6的子环S={0,2,4},则S 的单位元是____________.3.154 24中的所有可逆元是：__________________________.3.155 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 3.156 除环的理想共有____________个.3.157 剩余类环Z6的子环S={0,2,4},则S 的单位元是____________. 3.158 在2, i+3, π2, e-3中,____________是有理数域Q 上的代数元.3.159 2+ 3在Q 上的极小多项式是____________.3.160 一个有单位元的无零因子__________ 称为整环; 3.161 设有限域F 的阶为81,则的特征=p __________; 3.162 一个无零因子环的特征指的是__________;3.163含2p p 为素数个元的域F 的特征是__________;3.164 设Z8是模8的剩余类环,则Z8中的零因子是______． 3.165 剩余类环Z15的可逆元有______个.3.166 设Zx 是整系数多项式环,则Zx 的主理想x2＝______． 3.167 设Q 是有理数域,则Q⎪⎭⎫ ⎝⎛+-112i i =______. 3.168 32+在有理数域Q 上的极小多项式是______．3.169 若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想,那么I 中的元素可以表达为____;3.170若R 是一个有单位元的交换环,I 是R 的一个理想,那么I R是一个域当且仅当I 是____________;3.171若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域,如果______; 3.172 模12的剩余类环Z 12的可逆元是______;3.173 实数域R 上的n 阶矩阵环M n R 的理想是____________; 3.174 设R=3Z={3k|k ∈Z},I=3, 那么R/I =______;3.175 若在多项式环Zx 中,a ∈Z, 如果 a, x 是Zx 的一个主理想,那么a=____; 3.176 设{}=∈+=])2[(,,|2]2[Q Aut Q b a b a Q 则____________.3.177 商环)1(][i i Z +的特征是__________;3.178 商环),5(][x x Z -的特征是________________________; 3.179 在整数环Z 中,包含12的极大理想是____________; 3.180 在整数环Z 中,包含30的素理想是____________.3.181 在模30的剩余类环Z 30中,包含15的极大理想是____________. 3.182 在整数环Z 中,I=3, J=5,则I J 的生成元是___________; 3.183 Z 6的所有商环是____________.3.184 模12的剩余类环Z 12的零因子是____________;3.185在模m 的剩余类环Z中,Z *m= {x|x ∈Z m ,x ≠o}若Z *m对Z m 乘法构成一个群,则m __________________.3.186 在整数环Z 中,a ∈Z ,a|2004 ,a 是Z 的素理想,则a_______;3.187 模8的剩余类环),,(8•+Z 中关于乘法的所有可逆元的个数为__________; 3.188 设p 与q 是环Z,+⋅,的主理想,其中p, q 是不同的质数,则p ⋂q=___________; 3.189 模12的剩余类环Z,+,中关于乘法运算的所有的可逆元是__________; 3.190 设N 是环R 的非空子集,则N 是R 的右理想的充要条件是________; 3.191 环),,(10⋅+Z 关于乘法的所有可逆元为_____________________; 3.192若R 是交换环, a ∈R 则主理想a=_____________________;3.193 设Z 6是模6的剩余类环,在Z 6x 中, 2x 2-43x-1= _____ ________; 3.194 若模n 的剩余类Z n 是一个无零因子环,则n___________________;3.195 若R=2Z 是所有偶数对普通数的加法和乘法构成的环,则R 的商域为_____________________;3.196 设Z 4是模4的剩余类环,则Z 4x 中的多项式x 2在Z 4上有___________个根; 3.197 设R 为整环,a,b,∈R ,b|a,则b__________a.3.198 环Z n ,+⋅,是域,当且仅当n 为____________________数; 3.199 设R 是交换环,则主理想a= _______________________; 3.200 在整数环中,所有包含30的极大理想为_______________; 3.2013.202 证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想;3.203设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z c b a c o b a R ，， ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z x o x R 00 1验证R 是矩阵环Z2×2的一个子环;2证明I 是R 的一个理想;3.204 证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想. 3.205 3.206证明数域F = {a ＋b 7|a,b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.3.207 在多项式环Zx 中,证明：13,x= {3a 0＋a 1x ＋…＋a n x n|a i ∈Z}.2Zx/3,x 含3个元素.3.208 在整数环Z 中, a, b ∈Z,证明a, b 是Z 的极大理想的充要条件是a, b 的最大公因数是一个素数;3.209设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z c b a c o b a R ，， ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Z x o x R 020．1 验证R 对矩阵的加法和乘法构成环;2 证明I 是R 的一个理想;3.210 在整数环Z 中, p, q 是不同的素数,证明 p ⋂q=pq, p,q=Z; 3.211 若Q 是有理数域,证明x 是Qx 的极大理想;3.212 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∈=是质数p p n Z n m n m R .1),(,,证明R,+,⋅是整环+,⋅是数的加法与乘法．3.213设A 是实数域R 上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环;证明⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R c b a o o c o o b o o a N 111111,,是A 的一个左理想;3.214 证明一个主理想环I 的每一非零极大理想都是一个素元所生成的;3.215 证明3,x 是Zx 的一个极大理想;3.216 证明环R 的两个理想的交集仍是R 的一个理想;3.217 设I 是一个主理想环,a, b ∈I, d 是a 是与b 的一个最大公因子,证明a, b=d; 3.218在整数环Z 中,证明Z ∕p 是域⇔p 为质数素数;3.219 在多项式环ZX 中,证明5,X 不是主理想;3.220 设R 是一有单位元的交换环,且R 只有平凡理想,证明R 是域; 3.221 设Z 是整数环, x 是Z 上的未定元, 证明Zx 的生成理想; 3.2223,x={Z n Z a x a x a a i n ∈≤∈+++0,|310 },并且剩余类环),3(][x x Z ={0,1,2};3.223 证明5,x 不是Zx 的主理想;3.224 证明整数环Z 到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态;3.225设22F 是有理数域上的二阶方阵环,证明22F 只有零理想和单位理想,但22F 不是一个除环;3.226 设R 为环,如果每个元素R a ∈都满足a 2=a,证明R 为交换环;3.227 环R 中元素a 称作幂零的,是指存在正整数m,使得a m=0,证明：当R 为交换环时,两个幂零元素之和,两个幂零元素之积都为幂零元素;3.228设R 和_R 都是含单位元的环,RR 01≠, f 是R 到_R 的满同态,证明：1f1R =R1；2如果a 是R 的单位,则fa 是_R 的单位;3.229 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R y x y x A ,|00证明：A 是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的环;3.230 证明：一个具有素数个元素的环是交换环;3.231设R 是一个有单位元1R 的无零因子环,证明：如果ab=1R 则ba=1R3.232设R 是交换环,X 是R 的非空子集,令{}X x rx R r r X Ann ∈∀=∈=,0,|)( 证明：AnnX 是R 的理想;3.233 设R 是环,I, J 是R 的两个理想,令[]{}I Jx xJ R x J I ⊆∈=,|:,证明：I:J是R 的理想;3.234设Z[]{})2(,,|22=∈+=I Z b a ba 证明：IZ ]2[是域;3.235 设R 是有单位元的交换环,I 是R 的真理想,证明：如果R 的每个不在I 中的元素都可逆,则I 是R 的唯一的极大理想;3.236 在Zx 中,证明7, x 不是Zx 的一个主理想;3.237 设I 和J 是环R 的理想, 且满足I+J=R,I ∩J=｛0｝证明：J IR≅;3.238设f:-→R R 为环的同态;如果R 是除环,求证f 是零同态或f 是单同态零同态是指g: -→R R , R x x ∈-,0 ;3.239设S R f →:是环的满同态;K=Kerf,P 是R 的素理想,且S P f K P 是则)(,⊇的素理想;3.240设f:S R →是环的满同态,Q是S 的素理想,证明：{}Q a f R a a Q f∈∈=-)(,|)(1是R 的素理想;3.241 设D 为整环,m 和n 为互素的正整数,a, b ∈D 如果a m=b m, a n=b n求证a=b; 3.242 证明：Zx 不是主理想整环;3.243 设R 为交换环,R 2=R, 则R 的每个极大理想都是素理想;3.244设Rx 是实数域R 上的一元多项式环,取x 2+1∈Rx 证明：C x x R ≅+)1(][2,C为复数域;3.245设S 是环R 的子环,I 是R 的理想,且I ⊆S,证明：1IRI S 是的子环;2若S是R 的理想,则IRI S 是的理想;3.246设f 是环R 到环R '的满同态,A 为R 的理想,证明：R Kerf A R A f =+⇔'=)(;3.247设f 是群G 到群-G 的满同态,N 是G 的正规子群,证明：G Kerf N G N f =⋅⇔=-)(;3.248 设R 是欧氏环,I 是R 的一个素理想,证明：I 是R 的一个极大理想; 3.249 设f 是环R 的满自同态,R 只有有限个理想,证明f 是R 的一个自同构; 3.250证明集合关于通常数的加法与乘法构成域.3.251 证明: 由所有形如的矩阵组成的集合 关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环, 试确定这个环的所有零因子.3.252 证明: 一个具有素数个元素的环是交换环.3.253 设 是环.是的单位元. 证明: 对任意的,. 3.254设是环. 证明: 对任意的 , 有 1; 2.3.255设 是有单位元 的环, 且 是无零因子环. . 证明: 如果, 则 .3.256设 为加群, 定义 的乘法为证明 为环,。