初中数学竞赛专题培训(12)：平行四边形
初中数学竞赛专题培训第十二讲平行四边形
平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．
由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：
(1)平行四边形对角相等；
(2)平行四边形对边相等；
(3)平行四边形对角线互相平分．
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：
(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
例1 如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
证因为ABCD是平行四边形，所以
AD BC，AB CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，
ME=NF．①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，
所以 MF=NF．②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN 互相平分．
例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．
分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
证作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA ⊥BA，所以GA=GH，从而
△ABG≌△HBG(AAS)，
所以 AB=HB．①
在△ABE及△HBE中，
∠ABE=∠CBE，BE=BE，
所以△ABE≌△HBE(SAS)，
所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面证明四边形EHCF是平行四边形．
因为AD∥GH，所以
鼎吉教育 遵循：“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念 秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长 ◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人 第2页 ◆ 以不倦的育人精神感染人 ◆ 以优良的学风学纪严律人◆
∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH ，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以
∠AGB=∠GEH ．
从而
EH ∥AC(内错角相等，两直线平行)．
由已知EF ∥HC ，所以EHCF 是平行四边形，所以
FC=EH=AE ．
说明 本题添加辅助线GH ⊥BC 的想法是由BG 为∠ABC 的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG 与△HBG ．继而发现△ABE ≌△HBE ，完成了AE 的位置到HE 位置的过渡．这样，证明EHCF 是平行四边形就是顺理成章的了．
人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的． 例3 如图2-34所示．ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BM=MC=DC ．求
证：∠EMC=3∠BEM ．
分析 由于∠EMC 是△BEM 的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM ．从而，应该有∠B=2∠BEM ，这个论断在△BEM 内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M 为BC 中点的条件，延长EM 与DC 延长线交于F ，这样∠B=∠MCF 及∠BEM=∠F ，因此， 只要证明∠MCF=2∠F 即可．不难发现，△EDF 为直角三角形(∠EDF=90°)及M 为斜边中点，我们的证明可从这里展开．
证 延长EM 交DC 的延长线于F ，连接DM ．由于CM=BM ，∠F=∠BEM ，∠MCF=∠B ，所以
△MCF ≌△MBE(AAS)，
所以M 是EF 的中点．由于AB ∥CD 及DE ⊥AB ，所以，DE ⊥FD ，三角形DEF 是直角三角形，DM 为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知
∠F=∠MDC ，
又由已知MC=CD ，所以
∠MDC=∠CMD ，
则
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F ．
从而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM ．
例4 如图2-35所示．矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于E ，AF 平分∠
BAD 交EC 延长线于F ．求证：CA=CF ．
分析 只要证明△CAF 是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA 即可．由于∠CAF=45°-∠CAD ，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD 相等的角a ，使得∠CFA=45°-a ．为此，延长DC 交AF 于H ，并设AF 与BC 交于G ，我们不难证明∠FCH=∠CAD ．
证 延长DC 交AF 于H ，显然∠FCH=∠DCE ．又在Rt △BCD 中，由于CE ⊥BD ，故∠DCE=∠DBC ．因为矩形对角线相等，所以△DCB ≌△CDA ，从而∠DBC=∠CAD ，因此，
∠FCH=∠CAD ． ①
又AG 平分∠BAD=90°，所以△ABG 是等腰直角三角形，从而易证△HCG 也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG 是△CHF 的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
所以 ∠CFH=45°-∠FCH ． ② 由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF ，
于是在三角形CAF 中，有
CA=CF ．
例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：
分析作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．
证如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
设正方形边长为a，在Rt△ADF中，
从而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，
从而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，
例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．
分析准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．
证因为DE BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以
又
所以∠HDG=∠GHD，
从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
练习十二
1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
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2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD 中，△ABE 和△BCF 都是等边三角形．求证：△DEF 是等边三角形．
3．如图2-40所示．
ABCD 中，AF 平分∠BAD 交BC 于F ，
DE ⊥AF 交CB 于E ．求证：BE=CF ．
4．如图2-41所示．矩形ABCD 中，F 在CB 延长线上，AE=EF ，CF=CA ．求证：BE ⊥DE ．
5．如图2-42所示．在正方形ABCD 中，CE 垂直于∠CAB 的平分。
初中数学竞赛辅导：平行四边形
新课标八年级数学竞赛培训第15讲：平行四边形1.在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12, AB=5, P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE_LBD, PF±AC, E、F分别是垂足，那么PE+PF= θɔ .则S AAOD=-×OD×AG, SΔAOP+SΔPOD=-×AO×PF+-×DO×PE^L×DO× (PE+PF), 2 2 2 2*∙*SΔAOD=SΔAOP+SΔPOD »∙*∙ PE+PF=AG,・・・等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，PE+PF=AG. VAD=12, AB =5, ΛBD=λ^2^2=B, .∙. A g-12)<5=60, .∙.pg+pjr zz-θθ. ɪ 313 13点评：本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积计算.解决本题的关键是明白等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高.2. (2003・宁波)如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是BE=DF .(填一个即可)解答：解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，如果BE=DF, 则有：∖"AD//BC：.ZDAF= ZBCE, VAD=BC, BE=DF, Λ∆ADF^∆BCE,ΛCE=AF,同理，Z∖ABE丝Z∖CFD, .∙.CF=AE,四边形AECF是平行四边形.故答案为：BE=DF.点评：本题考查了平行四边形的判定，是开放题，答案不唯一，本题利用了平行四边形和性质，通过证△ ADF^ ΔBCE, △ ABE^ ACFD,得到CE=AF, CF=AE利用两组对边分别相等来判定平行四边形.3.如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O, AE_LBD于E,若AB=6, AD=8, 解答：解：矩形各内角为直角，；.AABD为直角三角形，在直角AABD中，AB=6, AD=8则AE= 4.8 .则BD=V AB2+AD2=10, MABD 的面积S」AB・AD」BD・AE, AE=AB的=4.8.BD点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求BD的值是解题的关键.4.如图，以AABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即^ABD∖∆BCEΛ∆ACF. (1)四边形ADEF是平行四边形；(2)当Z∖ABC满足条件AB=AC 时,四边形ADEF为菱形；(3)当ZiABC满足条件AB=AC=BC 时,四边形ADEF不存在. 解答：解(1)四边形ADEF是个平行四边形在AABC和ADBE中，VBC=BE, BA=BD, ZDBE=ZABC (与/ABE 之和都等于60。
初中数学竞赛——平行四边形
初二数学联赛班八年级第1讲平行四边形知识总结归纳一.平行四边形的定义：（1）定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．（2）平行四边形的定义包含两层意义：①它是四边形；②它的两组对边分别平行，两者缺一不可．（3）定义既是基本判定也是基本性质：如果一个四边形两组对边分别平行，那么它是平行四边形；反之如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别平行．二.平行四边形的性质：（1）角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等．（2）边的性质：平行四边形的对边平行且相等．（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．（4）中心对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．三.平行四边形的判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（2）一组对边法：一组对边平行且相等．（3）对角线法：对角线互相平分．（4）两组对角法：两组对角分别相等．（5）两组对边法：两组对边分别相等．四.三角形的中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．典型例题一.基本概念和性质【例1】具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点初二数学联赛班 八年级【例2】 如下左图所示，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，下列判断正确的是（ ）．A ．若AO =OC ，则ABCD 是平行四边形B ．若AC =BD ，则ABCD 是平行四边形C ．若AO =BO ，CO =DO ，则ABCD 是平行四边形 D ．若AO=OC ，BO =OD ，则ABCD 是平行四边形【例3】 如上右图所示，对四边形ABCD 是平行四边形的下列判断，正确的打“√”，错误的打“×”．（1）因为AD ∥BC ，AB =CD ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （2）因为AB ∥CD ，AD =BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （3）因为AD ∥BC ，AD =BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （4）因为AB ∥CD ，AD ∥BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （5）因为AB =CD ，AD =BC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ） （6）因为AD =CD ，AB =AC ，所以ABCD 是平行四边形．（ ）【例4】 如图所示，在ABCD □中，E 是AD 边上的中点，若ABE EBC ∠=∠，2AB =，求ABCD □的边长．【例5】 如图所示，在四边形ABCD 中，AB =CD ，BC =AD ，E ，F 为对角线AC 上的点，且AE =CF ，求证：BE =DF ．DCEBA初二数学联赛班八年级二.巩固提高【例6】如图，在ABCD□中，E、F是对角线AC上两点，且AF CE=，求证：四边形BEDF是平行四边形．【例7】如图，在ABC△中，AB AC=，12cmAB=，F是AB边上的一点，过点F作FE BC∥交CA 于点F，过点E作ED AB∥交BC于点D，求四边形BDEF的周长．【例8】如图，在ABCD□中，CE是DCB∠的平分线，F是AB的中点，6AB=，4BC=，::AE EF FB 是多少？【例9】在ABCD□中，以AD、BC为边分别向外作正ADE△、正BFC△，连结DB、EF交于O点，求证：DO BO=，EO FO=．ED CBAFED CBA ⋅FF ECBADFCDAEO初二数学联赛班 八年级【例10】 如图，AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥，则ADCG 是平行四边形．【例11】 如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE =AB ，BF =BD ，连接CE ，DF ，相交于点M ．求证：CD =CM ．三. 与平行四边形相关的杂题【例12】 如图所示，在ABCD □中，EF AB ∥，GH AD ∥，EF 与GH 相交于点O ，图中有多少个平行四边形？【例13】 如图所示，P 是四边形ABCD 的DC 边上的一个动点，当四边形满足什么条件时，PBA △的面积始终保持不变？EFDCBAGD A C BO G F EHP DCBA初二数学联赛班八年级【例14】如图，在ABCD□中，AE BC⊥于E，AF CD⊥于点F，若6AE=，8AF=，ABCD□的周长为98，求ABCD□的面积．【例15】如图，ABC△中，5AB=，6BC=，7AC=，若以A、B、C为顶点作平行四边形，求所作的平行四边形的周长．【例16】平行四边形的对角线分别是10和16，求它的边长的范围．四.三角形的中位线【例17】如图，E为ABCD□中DC边延长线一点，且CE DC=，连AE，分别交BC、BD于点F、G，连AC交BD于O，连OF、BE．（1）求证：AC BE=．（2）求证：2AB OF=．EFGODCBAFEDCBACBA初二数学联赛班 八年级【例18】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 且交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，BF交于点M ，连接CF ，DE 交于点N ，求证：MN AD ∥且12MN AD =．【例19】 如图，四边形ABCD 四边上的中点分别是E 、F 、G 、H ．求证：四边形EFGH 为平行四边形．【例20】 如图，四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，G 、H 分别是对角线BD 、AC 的中点．求证：EF 和GH 互相平分．【例21】 如图，E 、F 为ABC △边AB 、BC 的中点，在AC 上取G 、H 两点，使AG GH HC ==，EG与FH 的延长线相交于D 点．求证：四边形ABCD 为平行四边形．HGFED CBADBAGHEFHGDCB AFE初二数学联赛班八年级【例22】如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作平行四边形ACED，延长DC交EB于F，求证：EF FB=．思维飞跃【例23】如图，四边形ABCD中，AB CD∥，2ADC ABC∠=∠．求证：AB AD CD=+．【例24】如图，在ABC△中，AB AC=中，在AB上取点D，在AC的延长线上取点E，使C E B D=．连DE，交BC于G点．求证：DE被BC平分．GDCBAED CBA初二数学联赛班 八年级【例25】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线，交AD 于点E ，交BC 于点F ．若PE PF =，且AP AE CP CF +=+，证明：四边形ABCD 为平行四边形．【例26】 如图，E 、F 分别是四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点．求证：1()2EF AB CD +＜．【例27】 如图，在ABC △中，BD 、CE 是ABC △的角平分线，AF CE ⊥于F ，AG BD ⊥于G ，连接FG ．求证：FG BC ∥．CFD CBAEGEDCBAF初二数学联赛班八年级作业1.已知四边形ABCD，有以下四个条件：（1）AB CD∥；（2）AB CD=；（3）BC AD∥；（4）BC AD=．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形是选法共有（）A．6种B．5种C．4种D．3种2.具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．A．相邻的角互补B．两组对角分别相等C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点3.如图，在ABCD□中，E、F分别在BC、AD上，且AF CE=．求证：四边形AECF是平行四边形．4.如图，在ABCD□中，130A︒∠=，在AD上取DE DC=，求ECB∠的度数．5.在ABCD□中，AE平分DAB∠交BC于E，将BC分为5和4两部分，求平行四边形的周长．DCEBAF DCBAE初二数学联赛班 八年级6. 如图，已知ABCD □中，过对角线的交点的O 的直线交CB 、AD 的延长线于E 和F ，求证：BE DF =．7. 如图，E 、F 分别是四边形ABCD 对角线BD 、AC 的中点，MN 过E 、F 交AB 于M ，交CD 于N ，且AB CD =．求证：BMN CNM ∠=∠．8. 如图所示，在ABC △中，E 为AB 的中点，CD 平分∠ACB ，AD ⊥CD 于点D ．试说明：（1）DE ∥BC ．（2）1()2DE BC AC =-．9. 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．OEDCBAF DCBA MN FEQ PMNCB D A。
初中数学知识归纳平行四边形的性质
初中数学知识归纳平行四边形的性质初中数学知识归纳：平行四边形的性质在初中数学学习中，平行四边形是一个重要的几何图形。
它的定义是具有两对对边平行的四边形。
本文将对平行四边形的性质进行归纳和讨论，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
1. 平行四边形的定义及基本性质平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。
根据这个定义，我们可以得出以下基本性质：（1）对边性质：平行四边形的对边相等。
即可以得到AB = CD，AD = BC等。
（2）同位角性质：平行四边形的同位角相等。
同位角指的是在两组平行边之间的相对角。
例如∠A = ∠C，∠B = ∠D等。
（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
即可以得出AC 平分BD，BD平分AC等。
2. 平行四边形的特殊性质除了基本性质外，平行四边形还有一些特殊的性质，包括：（1）等腰性质：如果一个平行四边形的相邻边相等，则它就是一个等腰平行四边形。
对于等腰平行四边形来说，两组对边都相等，且同位角也相等。
（2）矩形性质：如果一个平行四边形的所有内角都是直角，则它就是一个矩形。
对于矩形来说，相邻边相等，且对角线相等。
（3）正方形性质：如果一个矩形的四个边都相等，则它就是一个正方形。
正方形是一种具有对边平行且相等的特殊平行四边形。
3. 平行四边形的运用平行四边形的性质可以用于解决各种与图形相关的问题。
以下是几个常见的应用情景：（1）计算周长：根据平行四边形的对边相等性质，可以通过知道一个边长来计算平行四边形的周长。
例如，如果AB = 5cm，BC = 3cm，则平行四边形ABCD的周长为2(AB + BC) = 16cm。
（2）计算面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。
例如，如果底边长为8cm，高为4cm，则平行四边形的面积为8cm ×4cm = 32cm²。
（3）证明定理：平行四边形的性质也可以用于证明一些几何定理。
例如，可以利用平行四边形的同位角性质和对角线性质来证明平行线与等腰三角形、相似三角形等的性质。
初中平行四边形的知识点总结
初中平行四边形的知识点总结若提及平行四边形行列，宛似数学天国畅游，手拉手，肩并肩，怎么玩儿都不累人。
此刻，就让我们来一场奔走在“平形四边形的深处”的曰子吧！首先，你要知道平行四边形的“身份证”——两组对边分别平行且相等，这就像是一对好朋友，一个去哪儿，另一个就去哪儿，一边一个，可他们不是什么秘密都能随便说出口，只能各自思想着去娱乐，而且他们的“胳膊”长得还一模一样，神奇吧！然后是它的“秘密”——对角相等，邻角补角。
如果它是一个小孩，那么它的四个角就好像是他眨巴着大眼睛，金煌煌地看着那些小秘密！这两对自己望着要去的目的地（对角）其中一定不会错位，而且大小也正好是一样的；那么，认不认识它的“相邻”朋友呢？那就是那`两`个不能眨眼也不能不眨眼的小眼睛（补角），但是他们的眼角好像都不那么用力，可你用度量器(180度)量一下每个人眼睛的角度，难道不都是刚好是吗,这是多么美妙的事情啊？再提一下，平行四边形的“变身术”。
只要试一试举手投足，变换观察角度，就能是否定平行四边形的“秘密”，即可呈现矩形，菱形，甚至六边形！像有钱一样又美又妙！有时是娴熟的舞台舞者，有时又显得非常庄严肃穆，又特外漂漂的样子般。
说到平形四边形的面积，还是将就。
底乘以搹角，简单又明了，如同从始关停那样道地壹点儿。
要知道，底和高是本一对和谐的夥伴关系（共角边），这么计算的结果才能称得上绝对的精准。
须知平形四边形无缺没中中心对称性。
他们互相倒映着，花落花开，你这边高兴，它那边也高兴，仿佛是镜子里的倒影，如合位加钱？。
或许人们可以品位多许蕴了教育的美丽和独特。
好啦，平行四边形的探险就到这里啦！希望这次旅行能让你更加爱上这个既俏皮又生动的数学小伙伴。
记得，数学不只是冰冷的数字和公式，它也有着属于自己的温度和情感哦！。
初中数学中的平行四边形解题技巧详解
初中数学中的平行四边形解题技巧详解平行四边形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题技巧。
本文将详细介绍初中数学中平行四边形的解题方法及技巧。
一、平行四边形的基本性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
在解题过程中，我们首先需要掌握平行四边形的基本性质。
1. 两对对边分别平行：平行四边形的两对对边分别平行，这是平行四边形的最基本的性质。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
这意味着平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。
3. 同底三角形面积相等：若两个三角形有一个共同的底，且底上的高相等，则这两个三角形的面积相等。
利用这一性质，我们可以简化解题过程。
二、平行四边形解题技巧1. 判断平行四边形的条件：在解题过程中，首先要判断给定的四边形是否为平行四边形。
我们可以通过观察边的长度和夹角的关系来判断是否为平行四边形。
2. 利用平行四边形的性质：在解题过程中，我们可以利用平行四边形的性质简化问题。
例如，判断一条线段是否平行于另一条线段，可以利用平行四边形的对角线互相平分的性质。
3. 利用同底三角形的性质：在解题过程中，若需要比较两个三角形的面积，我们可以利用平行四边形的同底三角形面积相等的性质简化问题。
比如，如果需要判断两个三角形的面积大小，我们可以找到它们的共同底，并比较高的长度。
4. 应用平行四边形的周长公式：在解题过程中，如果已知平行四边形的一些边长，我们可以利用平行四边形的周长公式求解未知边长。
5. 运用平行四边形的扩充性质：平行四边形具有很多扩充性质，例如，平行四边形的对角线相等、平行四边形的同位角相等等。
在解题过程中，我们可以利用这些扩充性质进行推理和求解。
三、实例分析为了更好地理解平行四边形的解题技巧，下面我们通过一些实例进行详细分析。
例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求平行四边形的周长和对角线长度。
初中数学奥赛专题复习知识梳理+例题精讲第八讲平行四边形
卜人入州八九几市潮王学校平行四边形【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个根本性质：〔1〕平行四边形对角相等；〔2〕平行四边形对边相等；〔3〕平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种断定方法：〔1〕两组对角分别相等的四边形是平行四边形；〔2〕两组对边分别相等的四边形是平行四边形；〔3〕对角线互相平分的四边形是平行四边形；〔4〕一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、特殊平行四边形：一、矩形〔1〕有一角是直角的平行四边形是矩形〔2〕矩形的四个角都是直角；〔3〕矩形的对角线相等。
〔4〕矩形断定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形〔5〕矩形断定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形〔1〕把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.〔2〕定理1:菱形的四条边都相等〔3〕菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 〔4〕菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2 〔5〕菱形断定定理1：四边都相等的四边形是菱形〔6〕菱形断定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形〔1〕有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 〔2〕性质：①四个角都是直角，四条边相等②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角〔3〕断定：①一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】 【例1】填空题：1 A.2 A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或者正方形3、下面结论中，正确的选项是〔〕4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．以下四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②假设90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③假设AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF是菱形；④假设AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有.〔只填写上序号〕【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点.求证：四边形BFDE 是平行四边形.【稳固】，如图9，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ．四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由． 【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．【例4】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． 〔1〕求∠CAE 的度数；〔2〕取AB边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形． 【稳固】如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． 〔1〕试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； 〔2〕假设AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．【例5】如下列图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 〔1〕求证：四边形DAEF 是平行四边形；〔2〕探究以下问题：〔只填满足的条件，不需证明〕①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形；②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；AEDCF BF EDCBAＡ ＦＣＤＢＥ CB③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.。
初中数学竞赛专题培训(12)：平行四边形
初中数学竞赛专题培训第十二讲平行四边形平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分．除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．例1 如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．证因为ABCD是平行四边形，所以AD BC，AB CD，∠B=∠D．又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而AE=CF．所以Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF．①又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以△MAF≌△NCE(SAS)，所以 MF=NF．②由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN 互相平分．例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．证作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA ⊥BA，所以GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)，所以 AB=HB．①在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，所以△ABE≌△HBE(SAS)，所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，所以∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以∠AGB=∠GEH．从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE．说明本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．人们在学习中，经过刻苦钻研，形成有用的经验，这对我们探索新的问题是十分有益的．例3 如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．分析由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，这个论断在△BEM内很难发现，因此，应设法通过添加辅助线的办法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，这样∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发现，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从这里展开．证延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以△MCF≌△MBE(AAS)，所以M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，所以∠MDC=∠CMD，则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．分析只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．证延长DC交AF于H，显然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，所以△DCB ≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD．①又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，所以∠CFH=45°-∠FCH．②由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF．例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：分析作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．证如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，所以FA=FH．设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．分析准确地画图可启示我们证明∠GDH=∠GHD．证因为DE BC，所以四边形BCED为平行四边形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以所以 BC=GC=CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，所以又所以∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．练习十二1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF 都是等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．3．如图2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分。
平行四边形初中知识点
平行四边形初中知识点
一、平行四边形的定义。
1. 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
- 用符号“▱”表示平行四边形，例如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。
二、平行四边形的性质。
1. 边的性质。
- 平行四边形的对边平行且相等。
- 即若▱ABCD，则AB = CD，AD = BC；AB∥CD，AD∥BC。
2. 角的性质。
- 平行四边形的对角相等，邻角互补。
- 在▱ABCD中，∠A = ∠C，∠B = ∠D；∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。
3. 对角线的性质。
- 平行四边形的对角线互相平分。
- 若▱ABCD，对角线AC、BD相交于点O，则AO = CO，BO = DO。
三、平行四边形的判定。
1. 边的判定。
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2. 角的判定。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
3. 对角线的判定。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
四、平行四边形的面积。
1. 平行四边形的面积等于底乘以高。
- 若平行四边形的底为a，这条底边上的高为h，则面积S = ah。
- 同底（等底）等高的平行四边形面积相等。
初中数学平行四边形(讲义及答案)含答案
初中数学平行四边形(讲义及答案)含答案一、选择题1．如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB 的中点，下列结论①BE⊥AC②四边形BEFG是平行四边形③EG=GF④EA平分∠GEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DF分别交AB、AC于点E、G，连解FG，下列结论：（1）∠AGD＝112.5°；（2）E为AB中点；（3）S△AGD＝S△OCD；（4）正边形AEFG是菱形；（5）BE＝2OG，其中正确结论的个是（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，在正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G,连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG=DG;③∠CHG=∠DAG．其中，正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个BC E三点在同一直线上,点D在CG 4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中,..上.1,3BC CE ==，连接,AF H 是AF 的中点，连接CH ,那么CH 的长是( )A ．5B ．25C ．322D ．42 5．如图，点E 在正方形ABCD 外，连接AE BE DE ，，，过点A 作AE 的垂线交DE 于F ，若210AE AF BF ===，，则下列结论不正确的是( )A ．AFD AEB ∆≅∆B ．点B 到直线AE 的距离为2C ．EB ED ⊥ D ．16AFD AFB S S ∆∆+=+6．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )A ．142310θθθθ+--=︒B ．241330θθθθ+--=︒C ．142330θθθθ+--=︒D ．241340θθθθ+--=︒7．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点P 是AD 边上的一个动点，过点P 分别作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F.若AB ＝3，BC ＝4，则PE ＋PF 的值为( )A ．10B ．9.6C ．4.8D ．2.48．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将ADE 沿AE 对折至AFE ，延长交BC 于点G ，连接AG.则BG 的长（ ）A ．1B ．2C ．3D ．39．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC ，则平行四边形ABCD的周长等于______________ ．12．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．13．如图，在菱形ABCD 中，AB 的垂直平分线EF 交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，若27CDF ∠=︒，则DAB ∠的度数为____________．14．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =23，点E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．15．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．16．如图,在平面直角坐标系中,直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，以AB 为边在第二象限内作正方形ABCD ，则D 点坐标是_______；在y 轴上有一个动点M ，当MDC △的周长值最小时，则这个最小值是_______．17．已知：如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6AD =．延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，ABP ∆和DCE ∆全等．18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________19．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．20．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．23．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，25HG =，求DE 的长．24．已知正方形ABCD ．（1）点P 为正方形ABCD 外一点，且点P 在AB 的左侧，45APB ∠=︒．①如图（1），若点P 在DA 的延长线上时，求证：四边形APBC 为平行四边形．②如图（2），若点P 在直线AD 和BC 之间，以AP ，AD 为邻边作APQD □，连结AQ ．求∠PAQ 的度数．（2）如图（3），点F 在正方形ABCD 内且满足BC=CF ，连接BF 并延长交AD 边于点E ，过点E 作EH ⊥AD 交CF 于点H ，若EH=3，FH=1，当13AE CF =时．请直接写出HC 的长________．25．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM；（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.26．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．（1）如图①．求证：OE＝OF；（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF＝（直接填结果）．27．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．（1）求证：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN= °；（给出求解过程）（3）应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN= °；（直接写出答案）（4）图③中∠CPN= °；（直接写出答案）（5）拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN= °（用含n 的代数式表示，直接写出答案）．28．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．29．（问题情境）在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：PD+PE=CF．图① 图② 图③证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）（变式探究）当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由.请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：（结论运用）如图4，将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C′处，点P为折痕EF 上的任一点，过点P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分别为G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；（迁移拓展）在直角坐标系中.直线l1：y=443x-+与直线l2：y=2x+4相交于点A，直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C．点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为1.求点P的坐标.30．如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=1BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，2又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1CD，2∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=1AB=AG=BG，2∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】利用翻折不变性可知：AG=GF ，AE=EF ，∠ADG=∠GDF=22.5°，再通过角度计算证明AE=AG ，即可得到答案，具体见详解．【详解】因为∠GAD ＝∠ADO ＝45°，由折叠可知：∠ADG ＝∠ODG ＝22.5°．（1）∠AGD ＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，故（1）正确；（2）设OG ＝1，则AG ＝GF ，又∠BAG ＝45°，∠AGE ＝67.5°，∴∠AEG ＝67.5°，∴AE ＝AG ，则AC ＝2AO ＝2+1），∴AB）＝， ∴AE≠EB ，故（2）错误；（3）由折叠可知：AG ＝FG ，在直角三角形GOF 中，斜边GF ＞直角边OG ，故AG ＞OG ，两三角形的高相同，则S △AGD ＞S △OGD ，故（3）错误；（4）中，AE ＝EF ＝FG ＝AG ，故（4）正确；（5）∵GF ＝EF ，∴BE EF GF OG ＝2OG ，∴BE ＝2OG ，故（5）正确．故选B ．【点睛】本题考查翻折变换，正方形的性质，菱形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．C解析：C【分析】连接AH ，由四边形ABCD 是正方形与点E 、F 、H 分别是AB 、BC 、CD 的中点，容易证得△BCE ≌△CDF 与△ADH ≌△DCF ，根据全等三角形的性质，容易证得CE ⊥DF 与AH ⊥DF ，故①正确；根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD ，继而AG=DC ，而DG≠DC ，所以AG ≠DG ，故②错误；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=12DC ，∠CHG=2∠GDC ，根据等腰三角形的性质，即可得∠DAG=2∠DAH=2∠GDC ．所以∠DAG=∠CHG ，④正确，则问题得解．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=90°，∵点E. F. H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=FC∴△BCE≌△CDF，∴∠ECB=∠CDF，∵∠BCE+∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确；连接AH，同理可得：AH⊥DF，∵CE⊥DF，∴△CGD为直角三角形，∴HG=HD=12 CD，∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD=DC，在Rt△CGD中，DG≠DC，∴AG≠DG，故②错误；∵AG=AD, AH垂直平分DG∴∠DAG=2∠DAH,根据①，同理可证△ADH≌△DCF∴∠DAH=∠CDF，∴∠DAG=2∠CDF,∵GH=DH，∴∠HDG=∠HGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，∴∠GHC=∠DAG，故③正确，所以①和③正确选择C.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用边角边，容易证明△BCE≌△CDF，从而根据全等三角形的性质和等量代换即可证∠ECD+∠CDF=90°，从而①可证；证②时，可先证AG=DC，而DG≠DC，所以②错误；证明③时，可利用等腰三角形的性质，证明它们都等于2∠CDF即可.4．A解析：A【分析】如下图，根据点H是AF的中点和HM∥FE，可得HP是△ANF的中位线，四边形MPNE是矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt△HCM中求CH 即可【详解】如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M，延长AD交FE于点N，交HM于点P∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴AD⊥EF，∠E=90°∵HM⊥BE∴四边形PMEN是矩形∵BC=1，CE=3∴NE=1，∴FN=2，PM=1∵HM⊥BE，FE⊥BE，点H是AF的中点∴HM是△ANF的中位线∴HP=12EF=1，AP=PN=2∴CM=1∴在Rt△CHM中，5故选：A【点睛】本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.5．B解析：B【分析】A 、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD ≌△AEB ；B 、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；C 、由（1）可得∠BEF ＝90°，故BE 不垂直于AE 过点B 作BP ⊥AE 延长线于P ，由①得∠AEB ＝135°所以∠PEB ＝45°，所以△EPB 是等腰Rt △，于是得到结论；D 、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∵AF ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠BAF ＝90°，又∵∠DAF ＋∠BAF ＝∠BAD ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAF ，在△AFD 和△AEB 中，AE AF BAE DAF AB AD =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝∴△AFD ≌△AEB （SAS ），故A 正确；∵AE ＝AF ，AF ⊥AE ，∴△AEF 是等腰直角三角形，∴∠AEF ＝∠AFE ＝45°，∴∠AEB ＝∠AFD ＝180°−45°＝135°，∴∠BEF ＝135°−45°＝90°，∴EB ⊥ED ，故C 正确；∵AE ＝AF 2，∴FE 2AE ＝2，在Rt △FBE 中，BE 221046FB FE -=-=∴S △APD ＋S △APB ＝S △APE ＋S △BPE ， ＝11222622⨯ 16=D 正确；过点B 作BP ⊥AE 交AE 的延长线于P ，∵∠BEP ＝180°−135°＝45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴BP=，即点B到直线AE，故B错误，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角的关系是解题的关键．6．D解析：D【分析】依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，∴△ABM中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，△DCM中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，2413 40θθθθ∴+--=︒；故选：D.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．7．D解析：D【分析】连接OP,由矩形ABCD的可求OA=OD=52，最后由S△AOD=S△AOP+S△DOP即可解答.【详解】解：如图：连接OP∵矩形ABCD，AB＝3，BC＝4∴S矩形ABCD=AB×BC=12, OA=OC,OB=OD,AC=BD,5AC=∴S△AOD=14S矩形ABCD=3，OA=OD=52∴S △AOD =S △AOP +S △DOP =()111532222OA PE OD PF PE PF +=⨯+= ∴PE+PF=2.4故答案为D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正确的做出辅助线和运用数形结合思想是解答本题的关键．.8．B解析：B【分析】首先证明AB=AF=AD ，然后再证明∠AFG=90°，接下来，依据HL 可证明△ABG ≌△AFG ，得到BG=FG ，再利用勾股定理得出GE 2=CG 2+CE 2，进而求出BG 即可．【详解】解：在正方形ABCD 中，AD=AB=BC=CD ，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF ，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG AG AB AF ⎧⎨⎩＝＝ ∴△ABG ≌△AFG （HL ）；∴BG=FG （全等三角形对应边相等），设BG=FG=x ，则GC=6-x ，∵E 为CD 的中点，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x ，∴在Rt △CEG 中，32+（6-x ）2=（3+x ）2（勾股定理），解得x=2，∴BG=2，故选B ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．9．C解析：C【分析】由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ，1143622AEFD SDF AM DF AD ===⨯⨯=，则④不正确；即可得出结果．【详解】解：∵22234=5+，∴222AB AC BC +=，∴∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，故①正确； ∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，又∴∠BAC=90°，∴∠DAE=150°，∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC ，在△ABC 与△DBF 中，BD BA DBF ABC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DBF （SAS ），∴AC=DF=AE=4，同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），∴AB=EF=AD=3，∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1143622AEFD S DF AM DF AD ===⨯⨯=， 故④不正确；∴正确的个数是3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；∵∠B=∠CAE=60°，则在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠BAG=30°，BG=12，∴22AB BG3∴菱形ABCD 的面积为：BC AG ⨯=312⨯=32，故④错误； 故正确的结论有2个，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC 边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ， 在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD 的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC 边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD 中，BC 边上的高为AE=4，AB=5，AC=25 在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE ，设CE=x ，则BE=8-x ，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x ，根据勾股定理可得2224(8)x x +=-，解得x =3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E 的坐标为（-10，3）. 故答案为：（-10，3）13．102︒【分析】根据菱形的性质求出∠DAB=2∠DAC ，AD=CD ；再根据垂直平分线的性质得出AF=DF ，利用三角形内角和定理可以求得3∠CAD+∠CDF=180°，从而得到∠DAB 的度数．【详解】连接BD ，BF ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=CD ，∴∠DAC=∠DCA ．∵EF 垂直平分AB ，AC 垂直平分BD ，∴AF=BF ，BF=DF ，∴AF=DF ，∴∠FAD=∠FDA ，∴∠DAC+∠FDA+∠DCA+∠CDF=180°，即3∠DAC+∠CDF=180°，∵∠CDF=27°，∴3∠DAC+27°=180°，则∠DAC=51°，∴∠DAB=2∠DAC=102°．故答案为：102°．【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用以及菱形的性质，有一定的难度，解答本题时注意先先连接BD，BF，这是解答本题的突破口．14．42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a 最小，可计算a的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=23，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a=，∴△ADG 34233=，故答案为：42a-23．【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．15．5【分析】过点B作BD⊥l2，交直线l2于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则22OE BE+OABC是平行四边形，所以OA=BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B作BD⊥l2，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线l1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线l2与AB交于点N．∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，∵直线l1与直线l2均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 16．(3,2)-517【分析】如图（见解析），先根据一次函数的解析式可得点A 、B 的坐标，从而可得OA 、OB 、AB 的长，再根据正方形的性质可得90BAD ∠=︒，DA AB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,AE OB DE OA ==，由此即可得出点D 的坐标；同样的方法可求出点C 的坐标，再根据轴对称的性质可得点C '的坐标，然后根据轴对称的性质和两点之间线段最短得出MDC △的周长值最小时，点M 的位置，最后利用两点之间的距离公式、三角形的周长公式即可得．【详解】如图，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，作点C 关于y 轴的对称点C '，交y 轴于点F ，连接C D '，交y 轴于点M '，连接C M '，则CF y ⊥轴对于112y x =+当0y =时，1102x +=，解得2x=-，则点A 的坐标为(2,0)A - 当0x =时，1y =，则点B 的坐标为(0,1)B 222,1,5OA OB AB OA OB ∴===+=四边形ABCD 是正方形90BAD ∴∠=︒，5CD DA AB ===90DAE OAB ABO OAB ∴∠+∠=∠+∠=︒DAE ABO ∴∠=∠在ADE 和BAO 中，90AED BOA DAE ABO DA AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE BAO AAS ∴≅1,2AE OB DE OA ∴====213OE OA AE ∴=+=+=则点D 的坐标为(3,2)D -同理可证：CBF BAO ≅1,2CF OB BF OA ∴====123OF OB BF ∴=+=+=则点C 的坐标为(1,3)C -由轴对称的性质得：点C '的坐标为(1,3)C '，且CM C M '=MDC ∴△的周长为5CD DM CM DM C M '++=++由两点之间线段最短得：当点M 与点M '重合时，DM C M '+取得最小值DC ' (3,2),(1,3)D C '-22(31)(23)17DC '∴=--+-=则MDC △的周长的最小值为5517DC '+=+故答案为：(3,2)-，517+．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、轴对称的性质等知识点，正确找出MDC △的周长最小时，点M 的位置是解题关键． 17．1或7．【分析】存在2种情况满足条件，一种是点P 在BC 上，只需要BP=CE 即可得全等；另一种是点P 在AD 上，只需要AP=CE 即可得全等【详解】设点P 的运动时间为t 秒，当点P 在线段BC 上时，则2BP t =，∵四边形ABCD 为长方形，∴AB CD =，90B DCE ∠=∠=︒，此时有ABP DCE ∆∆≌，∴BP CE =，即22t =，解得1t =；当点P 在线段AD 上时，则2BC CD DP t ++=，∵4AB =，6AD =，∴6BC =，4CD =，∴()()6462162AP BC CD DA BC CD DP t t =++-++=++-=-，∴162AP t =-，此时有ABP CDE ∆∆≌，∴AP CE =，即1622t -=，解得7t =；综上可知当t 为1秒或7秒时，ABP ∆和CDE ∆全等.故答案为：1或7．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据矩形的性质可得，要证三角形的全等，只需要还得到一条直角边相等即可18．【分析】由正方形ABCD 的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=P 与D 重合时，PC=ED=PA ，即G 与A 重合，则EG 的中点为D ，即F 与D 重合，当点P 从D 点运动到A 点时，则点F 运动的路径为DF ，由D 是AE 的中点，F 是EG 的中点，得出DF 是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，此时CF 最小，此时CF=12AG= 【详解】解：连接FD∵正方形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∠B=90°，∴AC=2，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，∴EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，∴DF是△EAG的中位线，∴DF∥AG，∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，∴∠BAG=45°，∴∠EAG=135°，∴∠EDF=135°，∴∠FDA=45°，∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=12AG=22故答案为：2【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．19．5【分析】先判断四边形BCEF的形状，再连接FM FC、，利用正方形的性质得出AFG是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12MN FC=即可．【详解】∵四边形ABCP是边长为4的正方形，//EF BC，∴四边形BCEF是矩形，∵1PE=，∴3CE=，连接FM FC 、，如图所示：∵四边形ABCP 是正方形，∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，又∵N 是FC 中点，12MN FC =， ∵225FC BF BC =+=∴ 2.5MN =，故答案为：2.5 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．20．23【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2 ∴12332EDM S =⨯⨯= 故答案是：2；3【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，n=1，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF ⊥DE ，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF ，∴△ADE ≌△BAF （ASA ），∴AE=BF ；②结论：AG=BF+AE ．理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，由（1）可知AE=BK ，∵AH=AD ，AK ⊥HD ，∴∠HAK=∠DAK ，∵AD ∥BC ，∴∠DAK=∠AKG ，∴∠HAK=∠AKG ，∴AG=GK ，∵GK=GB+BK=BF+AE ，∴AG=BF+AE ；（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2， ∴2142n x k n+=⋅， ∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-， 故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）见解析；（23；（3）2【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF 的长； （3）过点D 作BC 的垂线，垂足为H ，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH的长度，再利用底乘高得出结果．【详解】解：证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，BF=DF，∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，∴BE∥DF，DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=2，∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，∴DH=12DF=1，FH=3DH=3，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠CDH=45°，∴DH=CH=1，∴FC=FH+CH=3+1；（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，∴∠DFH=∠ABC=30°，∵DE=DF=2，∴DH=1，∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．23．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE =． 【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得，利用三角形三边关系即可得结论； （2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．。
八年级数学竞赛讲座平行四边形附答案
第十五讲平行四边形平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质．对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题，利用平行四边形丰富的性质为解题服务．熟悉以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．(全国初中数学联赛试题)思路点拨分别求出PE、PF困难，△AOD为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解．注特殊与一般是对立统一的，在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言，特殊的事物往往更简单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．一般与特殊，是知识之间联系的一种重要形式，知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展．【例2】已知四边形ABCD，从下列条件中：(1)AB∠CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A．4种 B．9种 C．13种 D． 15种(山东省竞赛题)思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定．【例3】】如图，在△ADC中，∠DAC=90°，AD⊥BC，DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．(湖北省荆州市中考题)思路点拨从角的角度证明困难，连结CF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG ⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．(全国初中数学联赛试题)思路点拨尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DPB，应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务．【例5】如图，在等腰三角形ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE．求∠BAC的度数．(北京市竞赛题)思路点拨 题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置．注 课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的，一般情况是，从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题．其中有真命题与假命题，对于假命题，要善于并熟悉构造反例．构造反例是学习数学的一种重要技能，可以帮助我们理解概念．培养推理能力，数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例．若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递．学力训练1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E 、F 在BD 上，要使四边形AECF 是平行 四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考 虑所有可能情形) (宁波市中考题)2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝ ； (河南省中考题)(2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积 为 cm 2． (武汉市中考题)3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、△BCE 、△ACF ． (1)四边形ADEF 是 ；(2)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 为矩形；(3)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 不存在． (2000年贵州省中考题)4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为 ． (2001年天津市选拔赛试题)5．四边形的四条边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足cd ab d c b a 222222+=+++，则这个四边形一定是( )A．平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形6．如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为( )A．98 B．196 C．280 D． 284(湖北省荆州市中考题)7．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长(粗线部分)为( )A．123 m B．20m C． 22m D．24m(吉林省中考题)8．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则( )A．AD>BC B．AD<BCC．AD=BC D．AD与BC的大小关系不能确定(“希望杯”邀请赛试题)9．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论． (南通市中考题)10．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于C，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．(黑龙江省中考题)11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?12．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有对四边形面积相等，它们是．(常州市中考题)13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为．14．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE= ．15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为． (山东省竞赛题)16．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是( )A．60° B．65° C．70° D．75° (“希望杯”邀请赛试题)17．如图，正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等，点E 、F 分别在BC 、CD 上，则∠B 的度数是( ) A ．70° B ．75° C ．80° D ．95° (重庆市竞赛题)18．如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并在平行线AB 与CD 之间，若PA=17，PB=2，PC=5，则PD=( )A ．25B ．19C ．32D ．17 (“五羊杯”竞赛题)19．如图，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，CZ ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=54°，则∠B=( )A ．54°B ．60°C ．66°D ．72° (武汉市选拔赛试题)20．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C=60°，BC ＝2，D 是AC 的中点，以D 作DE ⊥AC 与CB 的延长线交于E ，以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连结DF ，求DF 的长．21．如图，菱形的对角线AC 与BD 交于点O ，延长BA 到E ，使AE=21AB ，连结OE ，延长DE 交CA 的延长线于F ．求证：OE=21DF ． 22．阅读下面短文：如图1，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?(陕西省中考题)23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．(杭州市“求是杯”竞赛题)24．如图，在锐角△ABC中，AD、CZ分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连结PQ、DE．(1)求证；直线PQ是线段DE的垂直平分线；(2)如果△ABC是钝角三角形，∠BAC>90°，那么上述结论是否成立?请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．(“希望杯”邀请赛试题)。