05离散数学课件资料

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二、二元运算的性质（续）
4、分配律：设o 和 ∗ 是S上的两个二元运算，若对 分配律： 上的两个二元运算， ∀ x, y, z ∈S都有x ∗ (y o z) = (x ∗ y) o (x ∗ z) 都有x (x 和(y o z) ∗ x = (y ∗ x) o (z ∗ x)，则称运算∗ (y 则称运算∗ 对o 适合分配律。 适合分配律。 如： R上的乘法对加法满足分配律，加法对乘法不 上的乘法对加法满足分配律， 满足分配律。幂集P 上的∪ 满足分配律。幂集P(S)上的∪和∩是相互可分 配的。 配的。
n个
简称为n元运算。 简称为n元运算。
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一、二元运算的概念（续）
n元运算通常用符号o , ∗ , • , ∆ …来表示。 元运算通常用符号o 来表示。 如： f : N × N → N，对∀ x, y∈N ， f (<x, y>) = x + y 可简记为 o (x, y) = x + y 或x o y = x + y。 g : N → N，g (x) = y 可简记为 o (x) = y。
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三、集合S的特殊元（续）
设el ,er 分别是S上关于二元运算o的左幺元 分别是S上关于二元运算o 定理1 和右幺元，则有el = er = e，且e是S上关于 和右幺元，则有e 二元运算o 的唯一幺元。 二元运算o 的唯一幺元。 证明： 由el 是左幺元有：el o er = er ， 是左幺元有： 证明： 由er 是右幺元有：el o er = el ， 是右幺元有： 于是有： er = el ，记er = el = e 于是有： 又设S上有幺元e 则有： 又设S上有幺元e'，则有： e' = e' o e = e， 于是e 于是e是S上关于二元运算o 的唯一幺元。 上关于二元运算o 的唯一幺元。
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a2 … an a1 o a2 … a1 o an a2 o a2 … a2 o an … … an o a2 … … … an o an
an an o a1
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一、二元运算的概念（续）
例1：设S ={1, 2, 3, 4}，定义S上的二元运算如下： 4}，定义S上的二元运算如下： (xy) x o y = (xy) mod 5， ∀ x, y∈S。 求o 的运算表。 的运算表。
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一、二元运算的概念（续）
有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出。 有限集上的一元、二元运算也可用运算表给出。
o a1 a2 an … …
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o (ai ) o (a1) o (a2) o (an) … …
o a1 a2 … …
a1 a1 o a1 a2 o a1 … …
θ l o θ r= θ r， 故 θ l = θ r， 令 θ l = θ r= θ ， 则有： 设S上有零元θ ′，则有：θ ′=θ ′o θ= θ， 上关于二元运算o 的唯一零元。 故θ 是S上关于二元运算o 的唯一零元。
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三、集合S的特殊元（续）
3、左逆元（右逆元）：设o 是S上的二元运算， 左逆元（右逆元） 上的二元运算， e∈S是运算o 的幺元，对于x∈S，若存在 是运算o 的幺元，对于x 元素y 元素yl (或yr)∈S，使得yl o x = e (或x o yr = e)， 使得y 则称y 则称yl (或yr)是x 的左逆元（或右逆元）。 的左逆元（或右逆元）。 若y∈S 既是x 的左逆元又是x 的右逆元， 既是x 的左逆元又是x 的右逆元， 则称y 则称y是x 的逆元，并记为x –1。 的逆元，并记为x 整数集中元素x 只有1 如：整数集中元素x 的加法逆元是－x，只有1和－1分别 有乘法逆元1 有乘法逆元1和－1，其他元素无乘法逆元。 其他元素无乘法逆（续）
3、幂等律：设o 是S上的二元运算，若对∀ x∈S都 幂等律： 上的二元运算，若对∀ 则称运算o 适合幂等律。 有x o x = x，则称运算o 适合幂等律。 也即是 S中的所有元素都是幂等元。 中的所有元素都是幂等元 幂等元。 如：幂集P(S)上的∪,∩运算适合幂等律，但⊕ 运算 幂集P 上的∪ 运算适合幂等律， 不适合幂等律。 不适合幂等律。
o 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1
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二、二元运算的性质
1、交换律：设o 是S上的二元运算，若对∀ x, y∈S都 交换律： 上的二元运算，若对∀ 则称运算o 上是可交换的。 有x o y = y o x，则称运算o 在S上是可交换的。 如：Z上的加法满足交换律，但减法不满足交换律。 上的加法满足交换律，但减法不满足交换律。 2、结合律：设o 是S上的二元运算，若对∀ x, y, z ∈S 结合律： 上的二元运算，若对∀ 都有( 都有(x o y) o z = x o (y o z)，则称运算o 在S上 则称运算o 是可结合的。 是可结合的。 如：Z上的减法不满足结合律。幂集P(S)上的∪,∩ 上的减法不满足结合律。幂集P 上的∪ 满足结合律。 满足结合律。
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一、二元运算的概念（续）
常见二元运算： 常见二元运算： (1) 设f : N × N → N，f (<x, y>) = x + y，则f 是集合 N上的二元运算。即自然数集合N上的加法运算 上的二元运算。即自然数集合N 是N上的二元运算，但减法不是。 上的二元运算，但减法不是。 (2) 整数集合Z上的加、减、乘法运算是Z上的二元 整数集合Z上的加、 乘法运算是Z 运算，但除法不是。 运算，但除法不是。 (3) 设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合，则矩阵的 表示所有n阶实矩阵的集合， 上的二元运算。 加法和乘法都是M 加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。
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二、二元运算的性质（续）
5、吸收律：设o 和∗ 是S上的两个可交换的二元运算， 吸收律： 上的两个可交换的二元运算， 可交换的二元运算 都有x 若对∀ 若对∀ x, y∈S，都有x ∗ (x o y) = x 和 x o (x ∗ y) = x ，则称运算∗ 和 o 满足吸收律。 则称运算∗ 满足吸收律。 如：幂集P(S)上的∪和∩运算满足吸收律。 幂集P 上的∪ 运算满足吸收律。 6、消去律：设o 是S上的二元运算，若对∀ x, y, z ∈S， 消去律： 上的二元运算，若对∀ 不是零元， 满足： 满足：(1) 若x o y = x o z且x不是零元，则y = z。 (2) 若y o x = z o x且x不是零元，则y = z。 不是零元， 则称运算o 满足消去律。 则称运算o 满足消去律。
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三、集合S的特殊元（续）
2、左零元（右零元）：设o 是S上的二元运算， 左零元（右零元） 上的二元运算， 使得对∀ 若存在元素θl (或θr)∈S，使得对∀ x∈S都有
θl o x = θl (或x o θr = θr)，则称θl (或θr)是S
中关于运算o 的一个左零元（或右零元）。 中关于运算o 的一个左零元（或右零元）。 若θ ∈S关于运算o 既是左零元又是右零元， 关于运算o 既是左零元又是右零元， 则称θ 为S上关于运算o 的零元。 上关于运算o 的零元。 自然数集上的加法运算无零元， 如：自然数集上的加法运算无零元，乘法运算的零元 是0，幂集P(S)上的∪运算的零元是S，∩运算的 幂集P 上的∪运算的零元是S 零元是∅ 零元是∅。
第五章
代数系统的一般性质
§5.1 二元运算及其性质 §5.2 代数系统及其子代数 §5.3 代数系统的同态与同构
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§5.1 二元运算及其性质
一、二元运算的概念
二元运算： 为集合，函数f 称为S 二元运算：设S为集合，函数f : S × S → S称为S上 的一个二元运算，简称为二元运算。 的一个二元运算，简称为二元运算。 集合对运算的封闭性：给定集合S ，如果对集合上 集合对运算的封闭性：给定集合S 的所有元素进行某种运算后，运算结果仍 的所有元素进行某种运算后， 在S中，则称集合S对该运算封闭。 则称集合S对该运算封闭。 集合Z对加、 乘法封闭，但对除法不封闭。 如：集合Z对加、减、乘法封闭，但对除法不封闭。 验证运算是否为集合S上的二元运算， 验证运算是否为集合S上的二元运算，首先需要 验证集合S对该运算的封闭性。 验证集合S对该运算的封闭性。
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三、集合S的特殊元（续）
设θl ,θr 分别是S上关于二元运算o的左零 分别是S上关于二元运算o 定理2 元和右零元，则有θl = θr = θ ，且θ 是S上 元和右零元， 关于二元运算o 的唯一零元。 关于二元运算o 的唯一零元。 证明： θl o θr= θl ， 证明：
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三、集合S的特殊元（续）
例2：设S ={1, 2, 3}，S上定义的二元运算o 和∗ 如表 3}， 上定义的二元运算o 所示，试指出S中关于o 存在的特殊元。 所示，试指出S中关于o 和∗ 存在的特殊元。
o 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2 ∗ 1 2 3 1 1 1 1 2 1 2 3 3 1 3 2
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一、二元运算的概念（续）
(4) S为任意集合，P(S)为其幂集，则∪,∩, − , ⊕ 都 为任意集合， 为其幂集， 是P(S)上的二元运算。 上的二元运算。 (5) S为集合， SS是S上的所有函数的集合，则合成 为集合， 上的所有函数的集合， 运算o 运算o 是SS上的二元运算。 上的二元运算。 n元运算：设S为集合，n为正整数，则函数 元运算： 为集合， 为正整数， 称为S上的一个n元运算， f : S × S ×… × S → S称为S上的一个n元运算，