离散数学(一)
离散数学(一)知识梳理
离散数学（一）知识梳理•逻辑和证明部分o命题逻辑题型▪命题符号化问题将自然语言转为符号化逻辑命题▪用命题变量来表示原子命题▪用命题联结词来表示连词▪命题公式的类型判断判断命题公式是否是永真式、矛盾式、可能式▪利用真值表判断▪利用已知的公式进行推理判断▪利用主析取和合取范式判断▪定理：A为含有n个命题变元的命题公式，若A的主析取范式含有2^n个极小项，则A为重言式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为矛盾式；若A的主合取范式含有2^n个极大项，则A为矛盾式，若极小项在0到2^n之间，则为可满足式，若含有0个极小项，则A为重言式▪翻译：一个命题公式化成主范式后，若所有项都分布在主析取范式中（主合取范式为1）则为重言式；若所有项都分布在主合取范式中（主析取范式为0）则为矛盾式；若均有分布，则为可满足式。
【思想来源：真值表法求主范式】▪一个质析取式是重言式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式；一个质合取式是矛盾式的充要条件是其同时含有某个命题变元及其否定式▪一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每项都是矛盾式；一个合取范式是重言式当且仅当它的每项都是重言式▪求（主）析取或合取范式▪等值演算法▪ 1. 利用条件恒等式消除条件（蕴含和双条件）联结词，化简得到一个范式▪ 2. 在缺项的质项中不改变真值地添加所缺项，化简得到一个主范式▪ 3. 找出包含所有命题变元排列中剩余项，凑出另一个主范式（思想上类似于真值表法）▪真值表法▪ 1. 画出命题公式真值表▪ 2. 根据真值表结果求出主范式▪主析取范式：真值为1的所有项，每一项按对应01构成极小项▪主合取范式：真值为0的所有项，每一项按对应01构成极大项▪形式证明与命题推理利用推理规则构造一个命题公式的序列，证明结论▪形式证明：命题逻辑的论证是一个命题公式的序列，其中每个公式或者是前提，或者是由它之前的公式作为前提推得的结论，序列的最后一个是待证的结论，这样的论证也称为形式证明。
自学考试：离散数学复习(一)
自学考试：离散数学复习(一)自学考试是一种能够让没有条件参加全日制学习的人继续学习的方式。
与传统的大学学习相比，它更为灵活和自由。
在自学考试中，离散数学是一门必修的科目，也是考试难点之一。
本文将从离散数学的定义、内容、复习方法以及注意事项等方面进行讲解。
一、离散数学的定义离散数学是研究数量的离散性质的数学分支学科，主要研究对象是离散的集合、函数、算法、逻辑、图论等。
它的研究对象并不是连续的，而是由一些个别的、离散的数量组成的。
二、离散数学的内容离散数学主要包括以下几个方面：1. 逻辑与集合论：又称数理逻辑，是离散数学的重要组成部分。
它主要涉及命题逻辑、谓词逻辑、逻辑推理等内容。
2. 离散数学的代数结构：主要包括半群、群、环、域等内容。
3. 布尔代数与逻辑设计：主要涉及布尔运算、代数基本定理、逻辑电路设计等方面。
4. 图论：涉及图的定义、图的类型、基本概念和定理、图的遍历等方面。
5. 计算机科学中的重要应用：涉及图论和逻辑设计等方面。
三、离散数学的复习方法1. 系统地复习课本，强调对每个概念和定理的理解和记忆。
2. 刻意练习，做大量的练习题，以此巩固知识点。
3. 找到与离散数学相关的书籍，进行阅读和学习，补充知识点。
4. 制定学习计划并严格执行，不断检查自己的学习进度。
四、注意事项1. 离散数学比较抽象，需要认真思考并理解其概念和定理。
2. 多做题，不要死记硬背，应该结合题目进行思考，理解知识点。
3. 有时间限制的考试需要注重时间管理，做题的时候应该合理分配时间。
4. 总结每次考试的弱点，找到自己的不足之处，并及时进行复习和巩固。
总之，离散数学是一门重要的学科，它具有广泛的应用领域，并且在计算机科学领域中具有重要地位。
对于自学考试的学生而言，掌握好离散数学的知识点是非常重要的。
希望本文对自学考试的离散数学复习有所帮助。
离散数学-第1章
练习1解答
提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件
答案: (1) 是简单命题
(2) 是合取式
(3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或）
设 p: 交通阻塞，q: 他迟到
(5) pq,
(6) pq或qp
(7) qp 或pq, (8) qp或pq
假命题 真命题 不是命题 不是命题
不是命题 不是命题
命题，但真值现在不知道
5
命题分类
命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令
p： 2是有理数，则 p 的真值为0，
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
24
公式的类型
定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
30
练习3解答
(1) pr(qp)
pqr
qp (qp) pr(qp)
000
1
0
0
001
1
0
0
010
0
1
0
011
0
1
0
100
1
0
0
101
离散数学第一章
离散数学第一章1.1命题及其表示法1.1.1 命题的概念数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。
1.1.2 命题的表示命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。
A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。
R：我是一名大学生。
1.2命题联结词1.2.1 否定联结词﹁PP P0 11 01.2.2 合取联结词∧P∧P Q Q0 0 00 1 01 0 01 1 11.2.3 析取联结词∨P∨P Q Q0 0 00 1 11 0 11 1 11.2.4 条件联结词→P Q Q0 0 10 1 11 0 01 1 11.2.5 双条件联结词?P?P Q Q0 0 10 1 01 0 01 1 11.2.6 与非联结词↑P↑P Q Q0 0 10 1 11 0 11 1 0性质：（1）P↑P?﹁（P∧P）?﹁P；（2）（P↑Q）↑（P↑Q）?﹁（P↑Q）? P∧Q；（3）（P↑P）↑（Q↑Q）?﹁P↑﹁Q? P∨Q。
1.2.7 或非联结词↓P↓P Q Q0 0 10 1 01 0 0性质：（1）P↓P?﹁（P∨Q）?﹁P；（2）（P↓Q）↓（P↓Q）?﹁（P↓Q）?P∨Q；（3）（P↓P）↓（Q↓Q）?﹁P↓﹁Q?﹁（﹁P∨﹁Q）?P∧Q。
1.3 命题公式、翻译与解释1.3.1 命题公式定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、P?Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。
例如，下面的符号串都是公式：（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）（（P→﹁Q）?（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R以下符号串都不是公式：（（P∨Q）?（∧Q））（∧Q）1.3.2 命题的翻译可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
离散数学 代数系统(1)
例10.1.7 设R为实数集， 为集合R上的二元运算，对任意
的a，b∈R，a b=a+2b，问这个运算满足交换律、结合律 吗？
解 因为2 3=2+2×3=8，而3 2=3+2×2=7，23≠3 2，故
该运算不满足交换律。
又=2因+2为×（（23 +32）× 44）=（=223+，2×（32） 3+）2 ×44≠=216 （，3而 42） （，3 故4）该运
运算在A上满足结合律。
例10.1.6 设A为非空集合， 为集合A上的二元运算，对任意 的a，b∈A，ab=a，证明 是可结合的。
证明 因为对于任意的a，b，c∈A，
（a b） c=a c=a，而a （b c）= a b=a， 所以有（a b）c= a （b c），因此运算是可结合的。
10.1 二元运算及其性质
b∈Z，a b =2a+b，问运算是否可交换？
解：因为
a b=2a+b=2 b +a=b a，
所以是可交换的。
10.1 二元运算及其性质
10.1.2 二元运算的性质
定 都有义（10x.1 .4y）设 z=为x集 （合y Az）上，的则二称元该运二算元，运若算对是任可意结x，合y的，，z∈也A称，
有零元；对于乘法运算来说，1是单位元，0是零元。
例 设有一个由有限个字母组成的集合X，叫字母表，在X 上构造任意长的字母串，叫做X上的句子或字，串中字母 的个数叫做这个串的长度，且当一个串的长度n=0时用符 号∧表示，称作空串。这样构造出了一个在X上的所有串 的集合X*。
10.1 二元运算及其性质
10.2 代数系统
例 设代数系统（A，*），其中A={x，y，z}，*是A上的 一个二元运算。对于表10.2-1中所确定的几个运算，试分 别讨论它们的交换性、等幂性，并且讨论在A中关于*是 否有零元及单位元，如果有单位元，那么A中的元素是否 有逆元。
离散数学之1—命题逻辑
28
蕴涵联结词的实例
我将去旅游，仅当我有时间。 p: 我去旅游 q: 我有时间 p→q p: 不下雨 q: 我骑自行车上班 只要不下雨，我就骑自行车上班 p→q 只有不下雨，我才骑自行车上班。 q→p
说谎者悖论 亚里士多德,古希腊人，是世界
古典形式逻辑
如果这个人说的是假话，既 在中世纪，形式逻辑作为一门独 “我没有说谎”，既他说的是 立的科学得到了发展。 真话，矛盾。
第一篇 数理逻辑
6
数理逻辑创始人
德国哲学家和数学家莱布 尼茨是德国最重要的自然 科学家、数学家、物理学 家和哲学家，一个举世罕 见的科学天才，和牛顿同 为微积分的创建人。 莱布尼茨是现在公认的数 理逻辑创始人，他的目的 是建立一种“表意的符号 语言”，其中把一切思维 推理都化归为计算。实际 上这正是数理逻辑的总纲 领。
29
蕴涵联结词的实例
除非你努力，否则你不能成功。 表示p q的常用词： 除非你努力，你才能成功。 p是q的充分条件 p: 你努力 q: 你成功 q是p的必要条件 p → q 或 q → p 如果（若）p，则q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p 1 1 0 0
只要p，就q q qp pq 只有q 才p 1因为p所以 1 q 1 0p仅当q0 0 才p 1除非q, 1 1 p 0除非q，否则非 1 1
数理逻辑
“事实上，它们（程 序设计）或者就是 数理逻辑，或者是 用计算机语言书写 的数理逻辑，或者 是数理逻辑在计算 机上的应用。”
离散数学第1章命题公式与翻译 真值表与等价公式
这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其 中(1)称为基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。
按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P∧Q），┐(P→Q)，(P→(P∨┐Q)， (((P→Q）∧(Q→R)) （S T)) 而 (P→Q）→(∧Q)，(P→Q，(P∧Q）→Q） 等都不是合式公式。
在这里，请注意和的区别与联系： 区别：
是逻辑联结词，它出现在命题公式中；
不是逻辑联结词，它表示两个命题公式的一种
关系，不属于这两个公式的任何一个公式中的符 号。
2、等价公式的证明方法： ⑴真值表法
例题5 证明 P Q (P→Q) ∧(Q→P) 证明 列出其值表 表 1-4.7
注意
由表1-4.4 (表1-4.2)可以看出，有一类公式不论命 题变元作何种指派，其真值永为真(假)，我们把这 类公式记为T(F)。 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于 分量（命题变元）的个数。例如，由2个命题变元 组成的命题公式共有四种可能的真值，由3个命题 变元组成的命题公式共有八种真值。一般说来，n 个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。
同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P 同，如表1-4.6所示。 表1-4.6 P Q P T T T F F T F F T F F T Q
Q对应的真值相
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
二、等价公式
1.定义
定义1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，……，Pn为所有出现于A和B中的原子变 元，若给P1，P2，……，Pn任一组真值指派， A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻 辑相等。记作A B。
P T T F F
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➢第一部分 数理逻辑 ➢第二部分 集合论 ➢第三部分 代数系统 ➢第四部分 图论
离散数学与计算机的关系
➢ 第一部分 数理逻辑 计算机是数理逻辑和电子学相结合的产物
例1：
➢ 说谎者与说真话者问题：N夫妇晚上出门，邀请了W小姐 照看他们的4个孩子。在N夫妇离家以前，向W小姐交待 了许多注意事项，其中包括4个孩子的情况。N夫妇说他们 的4个孩子中只有一个孩子总是说真话，另外3个则总是说 谎。N夫妇告诉了W小姐说真话的孩子的名字，但由于注 意事项太多，W小姐把名字忘记了。当她在为孩子们准备 晚饭时，一个孩子在邻室打碎了一个花瓶。
绪论
➢离散数学课程地位： 计算机专业（核心课程） 信息类专业（必修课程） 其它类专业（重要选修课程）
➢离散数学的后继课程： 数据结构、操作系统、 算法分析与设计、 数据库、C++语言……
绪论
➢ 离散数学课程的学习方法: 强调：逻辑性、抽象性； 注重：概念、方法与应用
➢ 离散数学的学习要领： 概念（正确） 必须掌握好离散数学中大量的 概念 判断（准确） 根据概念对事物的属性进行判断 推理（可靠） 根据多个判断推出一个新的判断
➢ 这是孩子们的话： B说：是S干的。 S说：是J干的。 L说：不是我打碎的。 J说：S说是我干的，他在说慌。
➢ 由于W小姐知道只有一个孩子说真话，她很快就找出了打 碎花瓶的孩子。你知道是谁吗？
例2：
➢设整数集合为Z ➢设自然数集合为N
➢比较Z与N元素的多少
例3：
➢对于给定自然数1~n的任意排列，能否通过 反复交换1，2，3，…，n中的元素而得到 此排列？
➢ 一个土耳其商人想找一个十分聪明的助手协助他经商， 有两人前来应聘，这个商人为了试试哪个更聪明些，就把 两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开灯后说：“这张桌 子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的，现在， 我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人 每人摸一顶帽子戴在自己头上，在我开灯后，请你们尽快 说出自己头上戴的帽子是什么颜色的。”说完后，商人将 电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人 将余下的两顶帽子藏了起来，接着把灯打开。这时，那两 个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，其中一个人便 喊道：“我戴的是黑帽子。”
耿素云、屈婉玲、张立昂 清华大学出版社
耿素云、屈婉玲、张立昂 清华大学出版社
徐洁磐 高等教育出版社
洪帆等编 电子工业出版社
李盘林等编 人民邮电出版社
学习要求
出勤 思考 笔记 作业
绪论
➢ 本课程是高校计算机专业学生的必修课之一，是计算机科 学与技术专业的核心、骨干课程，也是数学、信息与计算 科学、信息管理与信息系统等专业的专业基础课程，是计 算机科学与技术的理论基础
➢ 请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
主要内容
➢ 1 命题逻辑基本概念 ➢ 2 命题逻辑等值演算 ➢ 3 命题逻辑的推理理论 ➢ 4 一阶逻辑基本概念 ➢ 5 一阶逻辑等值演算与推理
1 命题逻辑基本概念
➢本章的主要内容： 命题、联结词、复合命题 命题公式、赋值、命题公式的分类
➢1.1 命题与联结词
➢ 该课程主要学习数理逻辑、集合论、代数结构、图论等四 大方面的内容，包括：命题逻辑、谓词逻辑、集合与关系、 函数、代数结构、格与布尔代数、图论等
➢ 离散数学与计算机科学中的数据结构、操作系统、编译原 理、算法分析、逻辑设计、系统结构等课程联系紧密
➢ 本课程重点在于培养和提高大学生的抽象思维、逻辑推理 和概括能力，从而为以后专业课程的学习及工作需要打下 基础
例1.1 下列句子中那些是命题？ (1) 2 是无理数. (2) 2 + 5 ＝8. (3) x + 5 ＞ 3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句 祈使句 悖论
(3)~(7)都不是命题
1.1.1 命题及其分类
离散数学
Discrete Mathematics
主讲教师：王耀辉
wyh_c@
教师简介
➢ 1985年毕业于北京大学数学系计算数学专业 ➢ 专业技术职务：教授、硕士导师 ➢ 主讲课程：
计算机类——BASIC、FORTRAN、人工智能原 理、C、C++、 PASCAL、Visual BASIC、程序 设计方法学、 SQL server 2000、数据库系统概 论、软件工程、 Visual FoxPro
1 5
2 3
3 6
4 4
5 2
6 1
7 8
8 7
σ=(1 5 2 3 6)(7 8)=(1 5)(1 2)(1 3)(1 6)(7 8)
例4：
➢任意6人聚会中，必有3 人彼此相识，或有3人彼 此不相识
➢用两种颜色填涂完全图 K6的各边，必包含有同 色的“三角形”K3
第一部分 数理逻辑
➢ 先看著名物理学家爱因斯坦出过的一道题：
➢ 命题的分类 （1）简单命题（原子命题） （2）复合命题
➢ 简单命题符号化
（1）用小写英文字母 p, q, r, , pk , qk , rk ,
➢1.2 命题公式及其赋值
1.1 命题与联结词
➢命题及其分类 ➢联结词与复合命题 ➢复合命题的真假值
1.1.1 命题及其分类
➢命题：具有真假意义（判断结果唯一）的 陈述句
➢命题的真值：判断结果 ➢真值的取值：真（1）、假（0） ➢真命题与假命题
➢注意：感叹句、祈使句、疑问句、悖论都 不是命题
1.1.1 命题及其分类
➢ 第二部分 集合论 集合：一种重要的数据结构 关系：关系数据库的理论基础 函数：所有计算机语言中不可缺少的一部分
➢ 第三部分 代数系统 计算机编码和纠错码理论数字逻辑设计基础，计算机使用 的各种运算
➢ 第四部分 图论 数据结构、操作系统、编译原理、计算机网络原理的基础
参考教材
1、《离散数学》 2、《离散数学题解》 3、《离散数学导论》 4、《离散数学》 5、《 离散数学》