【推荐精选】2018届高考数学二轮复习 第一部分 论方法 专题训练 作业1 理

专题训练·作业(一)一、选择题1．(2017·衡水调研卷)曲线f(x)＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( )A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)或(－1，3)D ．(1，－3)答案 C解析 由题意得，f ′(x)＝3x 2－1，设P(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 02－1＝2，解得x 0＝±1，从而P(－1，3)或P(1，3)．2．若方程x 2－32x －m ＝0在x∈[－1，1]上有实根，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－916B ．－916<m<52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52答案 D解析 m ＝x 2－32x ＝(x －34)2－916，x ∈[－1，1]．当x ＝－1时，m 最大为52，当x ＝34时，m 最小为－916，∴－916≤m ≤52.3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝lna n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( ) A ．126 B ．130 C ．132 D ．134答案 C解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴b n ＝lna n 是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2. ∴S n ＝22n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋23n.∴(S n )max ＝S 11＝S 12＝－112＋23×11＝132. 4．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( ) A ．x ＋y≥0 B ．x ＋y≤0 C ．x －y≤0 D ．x －y≥0答案 B解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数f(x)＝2x－5－x，其为R 上的增函数，所以有x≤－y ，即x ＋y≤0.5．设函数f(x)＝e x＋x －2，g(x)＝lnx ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( ) A ．g(a)<0<f(b) B ．f(b)<0<g(a) C ．0<g(b)<f(a) D ．f(b)<g(a)<0答案 A解析 首先确定a ，b 的范围，再根据函数的单调性求解． ∵f ′(x)＝e x＋1>0，∴f(x)是增函数．∵g(x)的定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x)＝1x ＋2x>0.∴g(x)是(0，＋∞)上的增函数． ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e －1>0，∴0<a<1.∵g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，∴1<b<2，∴f(b)>0，g(a)<0.6．(2017·惠州一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324D.32答案 D解析 当y ＝a 时，2(x ＋1)＝a ，所以x ＝a2－1.设方程x ＋lnx ＝a 的根为t ，则t ＋lnt ＝a ， 则|AB|＝|t －a2＋1|＝|t －t ＋lnt 2＋1|＝|t 2－lnt 2＋1|.设g(t)＝t 2－lnt2＋1(t>0)，则g ′(t)＝12－12t ＝t －12t ，令g ′(t)＝0，得t ＝1，当t∈(0，1)时，g ′(t)<0； 当t∈(1，＋∞)时，g ′(t)>0， 所以g(t)min ＝g(1)＝32，所以|AB|≥32，所以|AB|的最小值为32.7．(2017·河南六校)一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数y ＝2x1＋x2(x>0)的图像上，如图，则此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值是( )A ．π B.π3 C.π4 D.π2答案 A解析 ∵y＝2x 1＋x 2(x>0)，∴yx 2－2x ＋y ＝0，将其视为关于x 的一元二次方程，设x 1，x 2是其两根，∴绕x 轴旋转而成的几何体的体积V ＝πy 2|x 1－x 2|＝πy 2·4－4y2y＝2π14－（y 2－12）2≤π，当且仅当y 2＝12，即y ＝22时等号成立，故选A. 8．(2017·安徽毛坦厂中学段考)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为( ) A ．2 3 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 A解析 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h.则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝（2a 2）2＋h 2＝16h＋h 2. 令f(h)＝16h＋h 2，则f ′(h)＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2，令f ′(h)＝0，解得h ＝2.显然当h∈(0，2)时，f ′(h)<0，f(h)单调递减； 当h∈(2，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)单调递增． 所以当h ＝2时，f(h)取得最小值f(2)＝162＋22＝12，故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3.9．(2017·河南四校联考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1答案 C解析 由题意可得F(p 2，0)．设P(y 022p ，y 0)，当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.∵要求k OM 的最大值，∴y 0>0.∵OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝(y 026p ＋p 3，y 03)，∴k OM ＝y 03y 026p ＋p3＝2y 0p ＋2p y 0≤22y 0p ·2p y 0＝22，当且仅当y 02＝2p 2，即y 0＝2p 时取得等号．故选C. 10．(2017·云南昆明摸底)过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则四边形ABCD 面积的最小值为( ) A ．2 B.3425 C.3325 D.3225答案 D解析 当两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在时，|AC|＝1，|BD|＝4，S ＝12|AC||BD|＝2.当两条直线斜率都存在时，设直线AC 的方程为y ＝kx －3k ，与椭圆x 24＋y 2＝1联立后得(14＋k 2)x2－23k 2x ＋3k 2－1＝0.设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则Δ＝12k 4－4(14＋k 2)(3k 2－1)＝k 2＋1>0，x 1＋x 2＝23k 214＋k 2，x 1x 2＝3k 2－114＋k 2，|AC|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋k214＋k 2.同理|BD|＝1＋（1k ）214＋（1k）2＝4＋4k2k 2＋4，所以S ＝12|AC||BD|＝12·1＋k 214＋k 2·4＋4k 2k 2＋4＝8（1＋k 2）2（4k 2＋1）（k 2＋4）. 因此(4k 2＋1)(k 2＋4)≤(4k 2＋1＋k 2＋42)2＝25（1＋k 2）24，所以S≥8（1＋k 2）2·425（k 2＋1）2＝3225. 11．(2017·课标全国Ⅰ，文)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0，1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0，1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan ∠AMB 2，0<m<3，或⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan ∠AMB 2，m>3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan60°，0<m<3，或 ⎩⎪⎨⎪⎧m3≥tan60°，m>3，解得0<m≤1或m≥9.故选A. 12．(2017·天星大联考)已知函数f(x)＝alnx －bx 2，a ，b ∈R .若不等式f(x)≥x 对所有的b∈(－∞，0]，x ∈(e ，e 2]都成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[e ，＋∞) B ．[e22，＋∞)C ．[e 22，e 2)D ．[e 2，＋∞)答案 B解析 由题设可得bx 2≤alnx －x ，所以b≤alnx －x x 2.由b∈(－∞，0]，故对任意的x∈(e ，e 2]，都有alnx －x x 2≥0，即alnx ≥x 对一切x∈(e ，e 2]，恒成立，即a≥x lnx 对一切x∈(e ，e 2]恒成立．令h(x)＝x lnx ，则h ′(x)＝lnx －1（lnx ）2>0在x∈(e ，e 2]上恒成立，故h(x)max ＝e 22，所以a≥e 22.故选B.13．(2017·唐山二模)已知f(x)是定义在R 上的可导函数，且满足(x ＋2)f(x)＋xf ′(x)>0，则( ) A ．f(x)>0 B ．f(x)<0 C ．f(x)为减函数 D ．f(x)为增函数答案 A解析 令g(x)＝x 2f(x)e x，则g ′(x)＝2xf(x)e x＋x 2f ′(x)e x＋x 2f(x)e x＝xe x [(x ＋2)f(x)＋xf ′(x)]．∵(x＋2)f(x)＋xf ′(x)>0，∴当x>0时，g ′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x<0时，g ′(x)<0，g(x)单调递减．故g(x)＝x 2f(x)e x ≥g(0)＝0，当且仅当x ＝0时，等号成立．又x ＝0时，f(0)>0，∴f(x)>0.故选A.14．当x∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]答案 C解析 令t ＝1x ，x ∈(0，1]时，得a≥－3(1x )3－4(1x )2＋1x ＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)．令g(t)＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t)＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t－1)，显然在t∈[1，＋∞)时，g ′(t)<0，所以g(t)的最大值为g(1)＝－6，因此a≥－6.同理x∈[－2，0)时，得a≤－3(1x )3－4(1x )2＋1x ＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈(－∞，－12]，g ′(t)＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)(9t －1)，t<－1时，g ′(t)<0，g(t)单调递减；－1<t<－12时，g ′(t)>0，g(t)单调递增，则当t ＝－1时，g(t)的最小值为g(－1)＝－2，因此a≤－2.x ＝0时，显然不等式恒成立．综上，得－6≤a≤－2，故选C. 二、填空题15．(2016·黄冈调研)已知关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是(－∞，－1)∪(－12，＋∞)，则a＝________． 答案 －2解析 由不等式可得a≠0，且不等式等价于a(x ＋1)(x －1a )<0，由解集特点可得a<0，且1a ＝－12，所以a ＝－2.16．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知2S 3＝a 4－1，2S 2＝a 3－1，则公比q ＝________． 答案 3思路 本题主要考查了等比数列的通项公式、前n 项和公式以及性质等基础知识，考查了方程思想与计算能力．解析 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，因为2S 3＝a 4－1，2S 2＝a 3－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1（1＋q ＋q 2）＝a 1q 3－1，2a 1（1＋q ）＝a 1q 2－1，解得q ＝0(舍)或q ＝3. 17．诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，可以形象地说明同一事物从不同角度看可能会有不同的认识，在数学的解题中，若能恰当的改变分析问题的角度，往往会有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的豁然开朗之感．关于数学问题“对任意a∈[－1，1]，求使不等式x 2＋ax －2≤0成立的实数x 的取值范围”，有一种参考解答如下： 令f(a)＝xa ＋(x 2－2)，因为对任意a∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －2≤0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝x 2－x －2≤0，f （1）＝x 2＋x －2≤0，解得－1≤x≤1. 受上述参考解答的启发，可解得关于x 的方程x 3－ax 2－x －(a 2＋a)＝0(a<0)的实根为________． 答案 a ＋1；－1±1－4a 2解析 由x 3－ax 2－x －(a 2＋a)＝0(a<0)得a 2＋(x 2＋1)a －x 3＋x ＝0，分解因式得[a ＋(1－x)][a ＋(x 2＋x)]＝0，故x 1＝a ＋1，x 2，3＝－1±1－4a 2.18．(2017·上海师大附中期中)已知sin2θ＋sin θ＝0，θ∈(π2，π)，则tan2θ＝________．答案3解析 方法1：∵sin2θ＋sin θ＝0，∴2sin θcos θ＋sin θ＝0，sin θ(2cos θ＋1)＝0.∵θ∈(π2，π)，∴sin θ≠0，2cos θ＋1＝0，解得cos θ＝－12，∴tan θ＝－1cos 2θ－1＝－3，∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝ 3. 方法2：∵sin2θ＋sin θ＝0，∴2sin θcos θ＋sin θ＝0，sin θ(2cos θ＋1)＝0.∵θ∈(π2，π)，∴sin θ≠0，2cos θ＋1＝0，解得cos θ＝－12，∴θ＝23π，∴tan2θ＝tan 43π＝ 3.19．(2017·山东理)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 ∵e 1，e 2是互相垂直的单位向量，设e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，∴3e 1－e 2＝(3，－1)，e 1＋λe 2＝(1，λ)，∴cos60°＝3×1＋（－1）×λ21＋λ2＝12，∴λ＝33. 20．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 利用向量的数量积结合一元二次方程根与系数的关系求解． 设C(x ，x 2)，由题意可得A(－a ，a)，B(a ，a)， 则CA →＝(－a －x ，a －x 2)，CB →＝(a －x ，a －x 2)．由于∠ACB＝π2，所以CA →·CB →＝(－a －x)(a －x)＋(a －x 2)2＝0，整理得x 4＋(1－2a)x 2＋a 2－a ＝0， 即y 2＋(1－2a)y ＋a 2－a ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧－（1－2a ）≥0，a 2－a≥0，（1－2a ）2－4（a 2－a ）>0，解得a≥1.1．(2016·四川)设直线l 1，l 2分别是函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－lnx ，0<x<1，lnx ，x>1图像上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(0，＋∞) D ．(1，＋∞)答案 A解析 不妨设P 1(x 1，lnx 1)，P 2(x 2，－lnx 2)，由于l 1⊥l 2，所以1x 1×(－1x 2)＝－1，则x 2＝1x 1.又切线l 1：y －lnx 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋lnx 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A(0，lnx 1－1)，B(0，1＋lnx 1)，所以|AB|＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －lnx 1＝1x 1（x －x 1）y ＋lnx 2＝－1x 2（x －x 2），解得x P＝2x 1＋1x 1.所以S△PAB＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △PAB 的取值范围是(0，1)，故选A.2．(2017·湖北襄阳联考)定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足f （x ）f ′（x ）>x ，则下列不等式成立的是( )A ．3f(2)<2f(3)B ．3f(4)<4f(3)C ．2f(3)<3f(4)D ．f(2)<2f(1)答案 A解析 ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f ′(x)<0，又∵f （x ）f ′（x ）>x ，∴f(x)<xf ′(x)，令g(x)＝f （x ）x ，∴g ′(x)＝xf ′（x ）－f （x ）x 2>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(3)>g(2)，即f （3）3>f （2）2，即3f(2)<2f(3)，A 正确． 3．数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线的方程为x －y ＋2＝0，则顶点C 的坐标为________． 答案 (－4，0)解析 设C(m ，n)，由重心公式，可得△ABC 的重心为(2＋m 3，4＋n 3)，代入欧拉直线得，2＋m 3－4＋n3＋2＝0，整理得m －n ＋4＝0 ①.AB 的中点为(1，2)，k AB ＝4－00－2＝－2，AB 的中垂线方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以△ABC 的外心为(－1，1)，则(m ＋1)2＋(n －1)2＝10，整理得m 2＋n 2＋2m －2n ＝8 ②，联立①②，可得m ＝－4，n ＝0或m ＝0，n ＝4.当m ＝0，n ＝4时，B ，C 两点重合，舍去，所以点C 的坐标为(－4，0)．4．(2017·定州月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝3，S n ＋1＝4S n －3S n －1(n≥2)，若对于任意n∈N *，当t∈[－1，1]时，不等式2(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )<x 2＋tx ＋1恒成立，则实数x的取值范围为________． 答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 由S n ＋1＝4S n －3S n －1(n≥2)得S n ＋1－S n ＝3(S n －S n －1)(n≥2)，即a n ＋1＝3a n (n≥2)，所以a n ＋1a n ＝3(n≥2)，又因为a 2a 1＝3，所以数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以数列{1a n}是首项为1，公比为13的等比数列，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1－（13）n1－13＝32[1－(13)n ]<32，若不等式2(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )<x 2＋tx ＋1对任意n∈N *恒成立，则只需x 2＋tx ＋1>[2(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)]max ，即x 2＋tx ＋1≥3在t∈[－1，1]上恒成立．则⎩⎪⎨⎪⎧x·（－1）＋（x 2－2）≥0，x ·1＋（x 2－2）≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1或x≥2，x ≤－2或x≥1， 所以x≤－2或x≥2.。