北京市海淀区2017届高三上学期(11月)期中考试试题(数学理)
2017年高考真题(全国Ⅲ卷)数学理科含解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅲ理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22x y y x│，则A B=(,)(,)1│，B={}x y x y+=中元素的个数为A．3 B．2 C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。
集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。
2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．12 BCD ．2【答案】C 【解析】【考点】 复数的模；复数的运算法则 【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有： (1)1212z zz z ±=± ；(2) 1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z⋅== ；(4)121212z z z z z z -≤±≤+ ；(5)1212z zz z =⨯ ；(6)1121z z z z =。
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。
【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。
二项式定理(1)
x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。
2017-2018年北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
图 2，△ADE 沿直线 DE 向上折起成△A1DE．记二面角 A﹣DE﹣A1 的平面角为 θ， 当 θ∈（0°，180°）时， ①存在某个位置，使 CE⊥DA1； ②存在某个位置，使 DE⊥A1C； ③任意两个位置，直线 DE 和直线 A1C 所成的角都不相等． 以上三个结论中正确的序号是（ ）
A．① B．①②
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程. 15． （13 分）已知函数 （Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）在△ABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 的对边，且满足 bcos2A=bcosA﹣asinB， 且 ，求 f（B）的取值范围． ．
16． （13 分）为了治理大气污染，某市 2017 年初采用了一系列措施，比如“煤改 电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等．如表是该 市 2016 年和 2017 年 12 月份的空气质量指数（AQI） （AQI 指数越小，空气质量 越好）统计表． 表 1：2016 年 12 月 AQI 指数表：单位（μg/m3） 日期 AQI 日期 AQI 日期 AQI 1 47 12 270 23 47 2 123 13 78 24 155 3 232 14 40 25 191 4 291 15 51 26 64 5 78 16 135 27 54 6 103 17 229 28 85 7 159 18 270 29 75 8 132 19 265 30 249 9 37 20 409 31 329 10 67 21 429 11 204 22 151
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）
7． （5 分）已知函数 f（x）=x•|x﹣a|的图象与直线 y=﹣1 的公共点不少于两个， 则实数 a 的取值范围是（ ）
20172018学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(理科)
2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x23．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=05．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于．10．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPa．11．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为．12．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=；②若，则x+y=．13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=，φ=．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|e x＞1}，则A∩B=（）A．R B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|e x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜2}=（0，2）．故选：C．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）=ln|x|B．f（x）=2﹣x C．f（x）=x3D．f（x）=﹣x2【解答】解：函数f（x）=ln|x|是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足题意；函数f（x）=2﹣x是非奇非偶函数，不满足题意；函数f（x）=x3是奇函数，不满足题意；函数f（x）=﹣x2是偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，不满足题意；故选：A．3．（5分）已知向量=（1，0），=（﹣1，1），则（）A．∥B．⊥C．（）∥D．（）⊥【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、向量=（1，0），=（﹣1，1），1×1≠0×（﹣1），则∥不成立，A 错误；对于B、向量=（1，0），=（﹣1，1），•=1×（﹣1）+0×1≠0，则⊥不成立，B错误；对于C、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（2，﹣1），2×1≠（﹣1）×（﹣1），则（﹣）∥不成立，C错误；对于D、向量=（1，0），=（﹣1，1），﹣=（0，1），（+）•=0×1+1×0=0，则（+）⊥成立，D正确；故选：D．4．（5分）已知数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），则（）A．a1＜0 B．a1＞0 C．a1≠a2D．a2=0【解答】解：数列{a n}满足a1+a2+…+a n=2a2（n=1，2，3，…），n=1时，a1=2a2；n=2时，a1+a2=2a2，可得a2=0．故选：D．5．（5分）将的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式为（）A．y=sin2x B．y=cos2x C．D．【解答】解：的图象向左平移个单位，得y=sin[2（x+）+]，即y=sin[2x+]=cos2x，∴所得图象的函数解析式为y=cos2x．故选：B．6．（5分）设α∈R，则“α是第一象限角”是“sinα+cosα＞1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵α是第一象限角，∴根据正弦和余弦线知，sinα+cosα＞1，是充分条件，由“sinα+cosα＞1“，也可推出α是第一象限角，是必要条件，故选：C．7．（5分）设f（x）=e sinx+e﹣sinx（x∈R），则下列说法不正确的是（）A．f（x）为R上偶函数 B．π为f（x）的一个周期C．π为f（x）的一个极小值点D．f（x）在区间上单调递减【解答】解：∵f（x）=e sinx+e﹣sinx，∴f（﹣x）=e sin﹣x+e﹣sin﹣x=e sinx+e﹣sinx=f（x），即f（x）为R上偶函数，故A正确；f（x+π）=e sin（x+π）+e﹣sin（x+π）e sinx+e﹣sinx=f（x），故π为f（x）的一个周期，故B正确；f′（x）=cosx（e sinx﹣e﹣sinx），当x∈（，π）时，f′（x）＜0，当x∈（π，）时，f′（x）＞0，故π为f（x）的一个极小值点，故C正确；x∈时，f′（x）＞0，故f（x）在区间上单调递增，故D错误；故选：D．8．（5分）已知非空集合A，B满足以下两个条件．（ⅰ）A∪B={1，2，3，4，5，6}，A∩B=∅；（ⅱ）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有5个元素，则1∉A，5∉B，即5∈A，1∈B，此时有C40=1，若集合A中只有2个元素，则集合B中只有4个元素，则2∉A，4∉B，即4∈A，2∈B，此时有C41=4，若集合A中只有3个元素，则集合B中只有3个元素，则3∉A，3∉B，不满足题意，若集合A中只有4个元素，则集合B中只有2个元素，则4∉A，2∉B，即2∈A，4∈B，此时有C43=4，若集合A中只有5个元素，则集合B中只有1个元素，则5∉A，1∉B，即1∈A，5∈B，此时有C44=1，故有序集合对（A，B）的个数是1+4+4+1=10，故选：A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）定积分的值等于0．【解答】解：∵==﹣=0故答案为：010．（5分）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y=100e ax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为81kPa．【解答】解：∵在海拔1000m处的大气压强为90kPa，∴90=100e1000a，即a=，当x=2000时，y=100e ax=100=81，故答案为：8111．（5分）能够说明“设x是实数，若x＞1，则”是假命题的一个实数x的值为2．【解答】解：令x=2，则，故答案为：212．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①=3；②若，则x+y=．【解答】解：∵△ABC是边长为2的正三角形，O，D分别为边AB，BC的中点，则①==•2•=3，②若，则==，即x=﹣，y=2，故x+y=故答案为：（1）3（2）13．（5分）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=2，φ=﹣．【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T==π，∴=π，解得ω=2．由图象可知f（）=1，即=1，∴+φ=+kπ，k∈Z．∴φ=﹣+kπ，又，∴φ=﹣．故答案为：2，．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R．①f（﹣1）=﹣1；②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，其中a∈R，f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1﹣a+a）=﹣1；②若f（x）的值域是R，由f（x）的图象关于原点对称，可得当x＞0时，f（x）=x2﹣ax+a，图象与x轴有交点，可得△=a2﹣4a≥0，解得a≥4或a≤0，即a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．故答案为：①﹣1 ②（﹣∞，0]∪[4，+∞）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，验算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，=，=1．（Ⅱ），=，=2sinxcosx+2cos2x﹣1，=sin2x+cos2x，=，因为，所以，所以，故当，即时，f（x）有最大值当，即时，f（x）有最小值﹣1．16．（13分）已知{a n}是等比数列，满足a2=6，a3=﹣18，数列{b n}满足b1=2，且{2b n+a n}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和．【解答】（本题13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，则…（2分）解得a1=﹣2，q=﹣3…（3分）所以，…（5分）令c n=2b n+a n，则c1=2b1+a1=2，c n=2+（n﹣1）×2=2n…（7分）…（9分）（Ⅱ）∵，∴数列{b n}的前n项和：S n=（1+2+3+…+n）+[（﹣3）0+[（﹣3）+（﹣3）2+（﹣3）3+…+（﹣3）n﹣1] =+，∴．…（13分）17．（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e是自然对数的底数）【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，，…（1分）此时，f（1）=﹣1，f'（1）=0，…（2分）故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．…（3分）（Ⅱ）的定义域为（0，+∞）…（4分）…（5分）令f'（x）=0得，x=a或x=1…（6分）①当0＜a≤1时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＞0，f（x）在[1，e]上单调递增…（7分）f（x）最小=f（1）=1﹣a…（8分）②当1＜a＜e时，x（1，a）a（a，e）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗…（10分）f（x）最小=f（a）=a﹣1﹣（a+1）•lna…（11分）②当a≥e时，对任意的1＜x＜e，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上单调递减…（12分）…（13分）由①、②、③可知，．18．（13分）如图，在四边形ACBD中，，且△ABC为正三角形．（Ⅰ）求cos∠BAD的值；（Ⅱ）若CD=4，，求AB和AD的长．【解答】解：（Ⅰ）因为，∠CAD∈（0，π）所以所以cos∠BAD====（Ⅱ）设AB=AC=BC=x，AD=y，在△ACD和△ABD中由余弦定理得代入得解得或（舍）即，19．（14分）已知函数（0＜x＜π），g（x）=（x﹣1）lnx+m（m ∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：1是g（x）的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a，b∈（0，π），满足f（a）=g（b），求m的取值范围．（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为=，令f'（x）=0，得因为0＜x＜π，所以…（3分）当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）+0﹣f（x）↗极大值↘…（5分）故f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：∵g（x）=（x﹣1）lnx+m∴（x＞0），…（7分）设，则故g'（x）在（0，+∞）是单调递增函数，…（8分）又∵g'（1）=0，故方程g'（x）=0只有唯一实根x=1…（10分）当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下：x（0，1）1（1，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗…（12分）故g（x）在x=1时取得极小值g（1）=m，即1是g（x）的唯一极小值点．（Ⅲ）…（14分）20．（14分）若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（Ⅰ）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x，y；（Ⅱ）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（Ⅲ）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n0，记M=max{a1，a2，…，a n0}，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【解答】（本题14分）解：（Ⅰ）∵数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中a i∈N*（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1a k+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．+1数列1，x，y，7为“U﹣数列”，∴所有可能的x，y为，或．…（3分）（Ⅱ）n的最大值为65，理由如下…（4分）+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1一方面，注意到：a k+1对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k ≥b k+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（★）﹣1当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得b i=（b i﹣b i﹣1）+（b i﹣1﹣b i）+…+（b2﹣b1）+b1≥i﹣1（2≤i≤n﹣1）﹣2此时即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65…（7分）另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时a65=1+0+1+2+…+63=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．…（9分）（Ⅲ）M的最小值为，证明如下：…（10分）当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）一方面：由（★）式，b k+1+…+（b k﹣b k）≥m．+1此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m﹣1﹣b m﹣1）≥m（m﹣1）•故…（13分）另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，…，b2m﹣1=m ﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且此时．综上，M的最小值为．…（14分）。
2017高考全国卷1数学试题及答案解析(理科)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（） A ．{}0=<A B x x B ．AB =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题，则正确的是（）1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ， 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x的取值范围是（） A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16 8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，AB DE +的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．1011. 设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<<D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
[精品]2016-2017年北京市昌平区高三上学期期末数学试卷及解析答案word版(理科)
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2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x33．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5=．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=；若E为线段AC上的动点，则的取值范围是．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．2016-2017学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2＞1}，那么∁U A=（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），∁U A=[﹣1，1]，故选：A2．（5分）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是（）A．y=e x B．y=sinx C．D．y=x3【解答】解：A．y=e x是非奇非偶函数，不满足条件．B．y=sinx是奇函数，在定义域上不是单调函数，不满足条件．C.是非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，定义域上单调递增，满足条件．故选：D3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x值为1，则输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：若输入x=1．则第一次，x=1+5=6，不满足条件，x＞23，k=1，第二次，x=6+5=11，不满足条件，x＞23，k=2，第三次，x=11+5=16，不满足条件，x＞23，k=3，第四次，x=16+5=21，不满足条件，x＞23，k=4，第五次，x=21+5=26，满足条件，x＞23，程序终止，输出k=4，故选：B4．（5分）设，则（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c【解答】解：∵e﹣2∈（0，），＞1，ln2∈（，1），∴＞ln2＞e﹣2．∴a＜c＜b．故选：C．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，而且有一侧棱垂直与底面，结合俯视图，可知B满足，故选B．6．（5分）已知函数的图象如图所示，则函数f（x）的解析式的值为（）A．B．C．D．【解答】解：（1）由题设图象知，周期T=2×（）=π，即．∵点（0，）在函数图象上，可得：2sin（2×0+φ）=，得：sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=．故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．故选B．7．（5分）在焦距为2c的椭圆中，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆与半径R=c的圆满足条件．R≥b，即b≤c，则b＜c”是“椭圆M上至少存在一点P，使得PF1⊥PF2”的充分不必要条件，故选：A8．（5分）若函数f（x）满足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三个不同的数构成等差数列，则称函数f（x）是等差源函数．判断下列函数：①y=log2x；②y=2x；③y=中，所有的等差源函数的序号是（）A．①B．①②C．②③D．①③【解答】解：①∵log21，log22，log24构成等差数列，∴y=log2x是等差源函数；②y=2x不是等差源函数，因为若是，则2×2p=2m+2n，则2p+1=2m+2n，∴2p+1﹣n=2m﹣n+1，左边是偶数，右边是奇数，故y=2x+1不是等差源函数；③取成等差数列，因此y=是等差源函数．综上可得：只有①③正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．（5分）设a∈R，若i（1+ai）=2+i，则a=﹣2．【解答】解：∵i（1+ai）=2+i，∴i﹣a=i+2，∴﹣a=2，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．10．（5分）已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=2，a2+a3=12，则S5= 32．【解答】解：设等比数列的公比为q，则q＞0，由a1=2，a2+a3=12得2q+2q2=12，即q2+q﹣6=0得q=2或q=﹣3，（舍），则S5===62，故答案为：62．11．（5分）若x，y满足则2x+y的最大值为6．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，而A（3，0），代入目标函数z=2x+y得z=3×2+0=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．12．（5分）已知角α的终边过点P（3，4），则cos2α=．【解答】解：由题意，∵角α的终边过点P（3，4），∴cosα=，sinα=∴cos2α=cos2α﹣sin2α==故答案为：13．（5分）在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，那么=4；若E为线段AC 上的动点，则的取值范围是[﹣4，1] ．【解答】解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，则cos∠CAB=，那么=AC•AB•cos∠CAB=•2•=4；若E为线段AC上的动点，则=•（﹣）=•﹣=﹣4；当点E和点A重合时，取得最小值为0，当点E和点C重合时，取得最大值为=5，故的取值范围是[﹣4，1]，故答案为：4；[﹣4，1]．14．（5分）设函数①若a=1，则f（x）的零点个数为2；②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．【解答】解：把函数y=﹣（x+3）（x﹣1），y=2x﹣2的图象画在同一直角坐标系中．如图所示：直线x=a在平移过程中，可得到函数f（x）与x轴的不同交点个数，①若a=1，则f（x）的零点个数为：2②若f（x）恰有1个零点，则实数a的取值范围是：a＜﹣3．故答案为：2，（﹣∞，﹣3）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．（13分）已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设AB=x．因为△ABC是等边三角形，所以．因为，所以．即x2+2x﹣24=0．所以x=4，x=﹣6（舍）．所以AB=4．…（6分）（Ⅱ）因为AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC，所以．所以．在△ACD中，因为，所以．…（13分）16．（13分）A、B两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：（I）试估计B班的学生人数；（II）从A班和B班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量ξ．规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记ξ=﹣1，当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记ξ=0，当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记ξ=1．求随机变量ξ的分布列及期望．（III）再从A、B两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小（结论不要求证明）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意可知，抽出的13名学生中，来自B班的学生有7名．根据分层抽样方法，B班的学生人数估计为（人）．…（3分）（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为﹣1，0，1，，，，则ξ的概率分布列为：．…（11分）（Ⅲ）μ1＞μ0．…（13分）17．（14分）如图1，四边形ABCD为正方形，延长DC至E，使得CE=2DC，将四边形ABCD沿BC折起到A1BCD1的位置，使平面A1BCD1⊥平面BCE，如图2．（I）求证：CE⊥平面A1BCD1；（II）求异面直线BD1与A1E所成角的大小；（III）求平面BCE与平面A1ED1所成锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面A1BCD1⊥平面BCE，且平面A1BCD1∩平面BCE=BC，四边形ABCD为正方形，E在DC的延长线上，所以CE⊥BC．因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥平面A1BCD1．…（4分）解：（Ⅱ）法一：连接A1C．因为A1BCD1是正方形，所以A1C⊥BD1．因为CE⊥平面A1BCD1，所以CE⊥BD1．因为A1C∩CE=C，所以BD1⊥平面A1CE．所以BD1⊥A1E．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）法二：以C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示．设CD=1，则CE=2．则C（0，0，0），B（1，0，0），E（0，2，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1）．所以．因为，所以．所以异面直线BD1与A1E所成的角是90°．…（9分）（Ⅲ）因为CD 1⊥平面BCE，所以平面BCE的法向量．设平面A 1D1E的法向量．因为，所以，即．设y=1，则z=2．所以．因为所以平面BCE与平面A1ED1所成的锐二面角的余弦值为．…（14分）18．（13分）设函数f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）﹣bx2．（Ⅰ）若a=1，b=﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=g（x）在点（1，ln3）处的切线与直线11x﹣3y=0平行．（i）求a，b的值；（ii）求实数k（k≤3）的取值范围，使得g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=﹣1时，f（x）=ln（1+x）﹣x，（x＞﹣1），则．当f'（x）＞0时，﹣1＜x＜0；当f'（x）＜0时，x＞0；所以f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）．…（4分）（Ⅱ）（i）因为g（x）=f（x）﹣bx2=ln（1+ax）+b（x﹣x2），所以．依题设有即解得．…（8分）（ii））所以．g（x）＞k（x2﹣x）对x∈（0，+∞）恒成立，即g（x）﹣k（x2﹣x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）﹣k（x2﹣x）．则有．①当1≤k≤3时，当x∈（0，+∞）时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增．所以F（x）＞F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）；②当k＜1时，当时，F'（x）＜0，所以F（x）在上单调递减，故当时，F（x）＜F（0）=0，即当x∈（0，+∞）时，g（x）＞k（x2﹣x）不恒成立．综上，k∈[1，3]．…（13分）19．（14分）椭圆C的焦点为F 1（﹣，0），，且点在椭圆C上．过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D（不同于点A）．（I）求椭圆C的标准方程；（II）证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．【解答】解：（I）法一设椭圆C的标准方程为．由已知得，解得．所以椭圆C的方程为+=1．法二设椭圆c的标准方程为．由已知得，．所以a=2，b2=a2﹣c2=2．所以椭圆c的方程为为+=1．（II）法一当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由得（2k2+1）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则特殊地，当A为（2，0）时，k=﹣，所以2x2=﹣，x2=﹣，y2=，即B（﹣，）所以点B关于y轴的对称点D（，），则直线AD的方程为y=﹣x+2．又因为当直线l斜率不存时，直线AD的方程为x=0，如果存在定点Q满足条件，则Q（0，2）．所以K QA===k﹣，K QB==﹣k+，又因为，所以K QA=K QB，即A，D，Q三点共线．即直线AD恒过定点，定点坐标为Q（0，2）．法二（II）①当直线l的斜率存在时（由题意k≠0），设直线l的方程为y=kx+1．由，可得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（﹣x2，y2）．所以因为，所以直线AD的方程为：．所以，=，=，=，=，=，=．因为当x=0，y=2，所以直线MD恒过（0，2）点．②当k不存在时，直线AD的方程为x=0，过定点（0，2）．综上所述，直线AD恒过定点，定点坐标为（0，2）．20．（13分）已知Ω是集合{（x，y）|0≤x≤6，0≤y≤4}所表示图形边界上的整点（横、纵坐标都是整数的点）的集合，集合D={（6，0），（﹣6，0），（0，4），（0，﹣4），（4，﹣4），（﹣4，4），（2，﹣2），（﹣2，2）}．规定：（1）对于任意的a=（x1，y1）∈Ω，b=（x2，y2）∈D，a+b=（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+x2，y1+y2）（2）对于任意的k∈N*，序列a k，b k满足：①a k∈Ω，b k∈D②a1=（0，0），a k=a k﹣1+b k﹣1，k≥2，k∈N*（Ⅰ）求a2（Ⅱ）证明：∀k∈N*，a k≠（5，0）（Ⅲ）若a k=（6，2），写出满足条件的k的最小值及相应的a1，a2，…，a k．【解答】解：（Ⅰ）对于任意的b=（x2，y2）∈D，a1+b=（0，0）+（x2，y2）=（x2，y2）若（x2，y2）∈Ω，则（x2，y2）=（6，0），或（x2，y2）=（0，4），故a2=（6，0）或（0，4），（Ⅱ）证明：假设命题不成立，即∃k∈N*，使a k=（5，0）即∃b i∈D，i=1，2，…，k﹣1（k≥2），使a1+=a k，化简得=（5，0），所以存在m，n，p∈Z，且m+n+p=k﹣1，使6m+4n+2p=5．又因为6m+4n+2p=2（3m+2n+p）是偶数，而5是奇数，与6m+4n+2p=5矛盾，故假设不成立，即：∀k∈N*，a k≠（5，0），（Ⅲ）k min=5，a1=（0，0），a2=（0，4），a3=（4，0），a4=（4，4），a5=（6，2）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2017-2018学年北京市朝阳区高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x＞0}2．（5分）已知实数x，y满足条件则x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．63．（5分）要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度4．（5分）已知非零平面向量，，则“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S5＞S6＞S4，以下有四个命题：①数列{a n}中的最大项为S10②数列{a n}的公差d＜0③S10＞0④S11＜0其中正确的序号是（）A．②③B．②③④C．②④D．①③④6．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，E是CD的中点DC=1，AB=2，则=（）A．B．C．1 D．﹣17．（5分）袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球8．（5分）已知函数f（x）=sin（cosx）﹣x与函数g（x）=cos（sinx）﹣x在区间内都为减函数，设，且cosx1=x1，sin（cosx2）=x2，cos（sinx3）=x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出i的值为．10．（5分）已知x＞1，且x﹣y=1，则的最小值是．11．（5分）已知函数若f（x）的图象与直线y=kx有两个不同的交点，则实数k的取值范围为．12．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，1]；③f（x）﹣f（﹣x）=0．试写出一个函数解析式f（x）=．13．（5分）某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S．若罐头盒的底面半径为r，则罐头盒的体积V与r的函数关系式为；当r=时，罐头盒的体积最大．14．（5分）将集合M={1，2，3，…15}表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的（只元素之和为；请写出满足上述条件的集合M的5个三元子集．写出一组）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），满足S n=2a n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．（13分）在△ABC中，，．（Ⅰ）试求tanC的值；（Ⅱ）若a=5，试求△ABC的面积．18．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣ax+a）•e﹣x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f'（x），其中f'（x）为函数f（x）的导函数．判断g（x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方，并说明理由．20．（13分）数列a1，a2，…，a n是正整数1，2，…，n的任一排列，且同时满足以下两个条件：①a1=1；②当n≥2时，|a i﹣a i+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）．记这样的数列个数为f（n）．（I）写出f（2），f（3），f（4）的值；（II）证明f（2018）不能被4整除．2017-2018学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}，则A∩B=（）A．{x|x＞1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|x＞2}D．{x|x＞0}【解答】解：集合A={x|x＞1}，B={x|log2x＞1}={x|log2x＞log22}={x|x＞2}，则A∩B={x|x＞1}∩{x|x＞2}={x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知实数x，y满足条件则x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．6【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+2y，将最大值转化为y轴上的截距，由得B（2，4）．当直线z=x+2y经过点B（2，4）时，z最大，数形结合，将点B的坐标代入z=x+2y得：z最大值为：10，故选：B．3．（5分）要想得到函数的图象，只需将函数y=sinx的图象上所有的点（）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【解答】解：将函数y=sinx的图象上所有的点横坐标缩短为原来的倍，可得y=sin2x，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，可得y=sin2（x﹣）=sin（2x ﹣）．故选：C．4．（5分）已知非零平面向量，，则“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（1）若||=||+||，则方向相同，∴共线，∴存在非零实数λ，使=λ．∴“||=||+||”是“存在非零实数λ，使=λ”的充分条件；（2）若存在非零实数λ，使=λ，则共线，∴当方向相同时，||=||+||，当方向相反时，||＜||+||，∴∴“||=||+||”不是“存在非零实数λ，使=λ”的必要条件．故选：A．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和，且S5＞S6＞S4，以下有四个命题：①数列{a n}中的最大项为S10②数列{a n}的公差d＜0③S10＞0④S11＜0其中正确的序号是（）A．②③B．②③④C．②④D．①③④【解答】解：∵S5＞S6＞S4，∴a5＞0，a6＜0，a5+a6＞0，∴d＜0，数列{a n}中的最大项为S5．S10==5（a5+a6）＞0，S11==11a6＜0．因此只有②③④正确．故选：B．6．（5分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，E是CD的中点DC=1，AB=2，则=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：过E作EF⊥AB，垂足为F，则AF=DE=CD=，∴=﹣=﹣AE•AB•cos∠EAF=﹣AB•AF=﹣2×=﹣1．故选：D．7．（5分）袋子里有编号为2，3，4，5，6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球．教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，再让甲、乙分别推断这两个球的编号．甲说：“我无法确定．”乙说：“我也无法确定．”甲听完乙的回答以后，甲说：“我现在可以确定两个球的编号了．”根据以上信息，你可以推断出抽取的两球中（）A．一定有3号球B．一定没有3号球C．可能有5号球D．可能有6号球【解答】解：由于编号和不能确定，故而两球编号和为7或8或9，两数为2，5或3，4或4，5或3，6，或2，6或3，5；由于编号积不能确定，故而两球编号积为12，两数为3，4或2，6．故两球编号为3，4或2，6．故选：D．8．（5分）已知函数f（x）=sin（cosx）﹣x与函数g（x）=cos（sinx）﹣x在区间内都为减函数，设，且cosx1=x1，sin（cosx2）=x2，cos（sinx3）=x3，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x3＜x1＜x2C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x1【解答】解：设h（x）=sin（cosx）﹣cosx（0＜x＜），则h′（x）=cos（cosx）•（﹣sinx）+sinx=sinx（1﹣cos（cosx））≥0，∴h（x）在（0，）上单调递增，∴h（x）＜h（）=0，∴sin（cosx）＜cosx，同理可得：cosx＜cos（sinx）（0＜x＜），作出y=sin（cosx），y=cos（sinx），y=cosx与y=x在（0，）上的函数图象如图所示：由图象可知x2＜x1＜x3．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出i的值为5．【解答】解：第1次执行循环体后，S=4，i=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，S=8，i=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，S=14，i=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，S=22，i=5，满足退出循环的条件；故输出的i值为5，故答案为：510．（5分）已知x＞1，且x﹣y=1，则的最小值是3．【解答】解：根据题意，若x﹣y=1，则y=x﹣1，则=x+=（x﹣1）++1≥2+1=3，即的最小值是3；故答案为：3．11．（5分）已知函数若f（x）的图象与直线y=kx有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．．【解答】解：作出f（x）的函数图象，如图所示：由图象可知当≤k＜2时，直线y=kx与f（x）的图象在第一象限有2个交点；设直线y=k1x与y=log x相切，切点为（a，b），则，解得a=e，k1=﹣．∴当﹣＜k＜0时，直线y=kx与f（x）的图象在第四象限有2个交点；设直线y=k2x与y=（）x相切，切点为（m，n），则，解得m=﹣log2e，k2=﹣eln2，∴k＜﹣eln2时，直线y=kx与f（x）的图象在第二象限有2个交点．综上，k的取值范围是（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．故答案为：（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．12．（5分）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，1]；③f（x）﹣f（﹣x）=0．试写出一个函数解析式f（x）=|sinx| ．【解答】解：结合题意得f（x）的定义域是R，值域是[0，1]，函数是偶函数，故f（x）=|sinx|或或（答案不唯一），故答案为：|sinx|．13．（5分）某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S．若罐头盒的底面半径为r，则罐头盒的体积V与r的函数关系式为v=sr ﹣πr3，（0＜r＜）；当r=时，罐头盒的体积最大．【解答】解：由题意得：圆柱的高是h=，故v=πr2•=sr﹣πr3，（0＜r＜）；v′（r）=s﹣3πr2，令v′（r）＞0，解得：0＜r＜，令v′（r）＜0，解得：r＞，故v（r）在（0，）递增，在（，）递减，故当r=时V最大，故答案为：v=sr﹣πr3，（0＜r＜）；．14．（5分）将集合M={1，2，3，…15}表示为它的5个三元子集（三元集：含三个元素的集合）的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为24；请写出满足上述条件的集合M的5个三元子集{1，8，15}，{3，7，14}，{5，6，13}，{2，10，12}，{4，9，11} ．（只写出一组）【解答】解：每个三元集的元素之和为24；满足已知条件的集合M的5个三元子集：{1，8，15}，{3，7，14}，{5，6，13}，{2，10，12}，{4，9，11}．故答案为：24；{1，8，15}，{3，7，14}，{5，6，13}，{2，10，12}，{4，9，11}．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），满足S n=2a n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{a n}满足S n=2a n﹣1，当n=1时，a1=S1=1．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1所以数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列．故，n∈N*．（Ⅱ）由已知得．因为b n﹣b n﹣1=（1﹣n）﹣（2﹣n）=﹣1，所以{b n}是首项为0，公差为﹣1的等差数列．故{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【解答】解：因为，所以===．（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以．所以．所以．即函数f（x）的取值范围为[0，]．17．（13分）在△ABC中，，．（Ⅰ）试求tanC的值；（Ⅱ）若a=5，试求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为，，由正弦定理可得：．∴．即．整理得：7sinC=3cosC+3sinC．所以4sinC=3cosC．故．（Ⅱ）因为a=5，，，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得．所以：b=7，．所以△ABC的面积．18．（14分）已知函数f（x）=（x2﹣ax+a）•e﹣x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f'（x），其中f'（x）为函数f（x）的导函数．判断g（x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，其导数f′（x）=﹣（x﹣2）（x﹣a）e﹣x．①当a＜2时，令f'（x）＜0，解得：x＜a或x＞2，f（x）为减函数；令f'（x）＞0，解得：a＜x＜2，f（x）为增函数．②当a=2时，f'（x）=﹣（x﹣2）2e﹣x≤0恒成立，函数f（x）为减函数；③当a＞2时，令f'（x）＜0，解得：x＜2或x＞a，函数f（x）为减函数；令f'（x）＞0，解得：2＜x＜a，函数f（x）为增函数．综上，当a＜2时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，a），（2，+∞）；单调递增区间为（a，2）；当a=2时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当a＞2时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，2），（a，+∞）；单调递增区间为（2，a）．（Ⅱ）g（x）在定义域内不为单调函数，以下说明：g'（x）=f''（x）=[x2﹣（a+4）x+3a+2]•e﹣x．记h（x）=x2﹣（a+4）x+3a+2，则函数h（x）为开口向上的二次函数．方程h（x）=0的判别式△=a2﹣4a+8=（a﹣2）2+4＞0恒成立．所以，h（x）有正有负．从而g'（x）有正有负．故g（x）在定义域内不为单调函数19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）判断曲线y=f（x）是否位于x轴下方，并说明理由．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），（Ⅰ），又，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为．即．…（4分）（Ⅱ）“要证明”等价于“”．设函数g（x）=xlnx．令g'（x）=1+lnx=0，解得．xg'（x）﹣0+g（x）↘↗因此，函数g（x）的最小值为．故．即．…（9分）（Ⅲ）曲线y=f（x）位于x轴下方．理由如下：由（Ⅱ）可知，所以．设，则．令k'（x）＞0得0＜x＜1；令k'（x）＜0得x＞1．所以k（x）在（0，1）上为增函数，（1，+∞）上为减函数．所以当x＞0时，k（x）≤k（1）=0恒成立，当且仅当x=1时，k（1）=0．又因为，所以f（x）＜0恒成立．故曲线y=f（x）位于x轴下方．…（14分）20．（13分）数列a1，a2，…，a n是正整数1，2，…，n的任一排列，且同时满足以下两个条件：①a1=1；②当n≥2时，|a i﹣a i+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）．记这样的数列个数为f（n）．（I）写出f（2），f（3），f（4）的值；（II）证明f（2018）不能被4整除．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，①a1=1；②当n≥2时，|a i﹣a i+1|≤2（i=1，2，…，n﹣1）；则f（2）=1，f（3）=2，f（4）=4．（Ⅱ）证明：把满足条件①②的数列称为n项的首项最小数列．对于n个数的首项最小数列，由于a1=1，故a2=2或3．（1）若a2=2，则a2﹣1，a3﹣1，…，a n﹣1构成n﹣1项的首项最小数列，其个数为f（n﹣1）；（2）若a2=3，a3=2，则必有a4=4，故a4﹣3，a5﹣3，…，a n﹣3构成n﹣3项的首项最小数列，其个数为f（n﹣3）；（3）若a2=3，则a3=4或a3=5．设a k+1是这数列中第一个出现的偶数，则前k项应该是1，3，…，2k﹣1，a k是2k或2k﹣2，即a k与a k+1是相邻整数．+1后的各项要么都小于它，要么都大于它，因为2在a k+1由条件②，这数列在a k+1后的各项都小于它．之后，故a k+1这种情况的数列只有一个，即先排递增的奇数，后排递减的偶数．综上，有递推关系：f（n）=f（n﹣1）+f（n﹣3）+1，n≥5．由此递推关系和（I）可得，f（2），f（3），…，f（2018）各数被4除的余数依次为：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，…它们构成14为周期的数列，又2018=14×144+2，所以f（2018）被4除的余数与f（2）被4除的余数相同，都是1，故f（2018）不能被4整除．。
北京市海淀区2017届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2016.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. 22D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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北京市海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理科） 2016.11
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =
A. {1}x x >
B. {23}x x <<
C. {13}x x <<
D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直
B. 不垂直也不平行
C. 平行且同向
D. 平行且反向
3. 函数2
22x x
y =+的最小值为 A. 1
B. 2
C. 22
D. 4
4. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解
5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则 A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >> D. c b a >>
6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数
B. 函数()f x 最小值为
3
4
y
x
O
log c y x
=b y x =x
y a =
C. π2是函数()f x 的一个周期
D. 函数()f x 在π0,2
（）内是减函数
8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平
行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上
存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点.
函数()2x f x =上的好位置点的个数为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 大于2
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则23a a +=_____. 10. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则sin(π)θ-=____.
11. 已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则AE BD ⋅=
____.
12. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数ππ
sin()66
y a b x =++（,a b 为
常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.
13. 设函数2,1,
()(0log ,1,x
a
a x f x a x x ⎧-⎪=>⎨>⎪⎩≤，且1)a ≠.
①若3
2
a =，则函数()f x 的值域为______； ②若()f x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____.
14. 已知函数()f x 的定义域为R . ,a b ∀∈R ，若此函数同时满足：
①当0a b +=时，有()()0f a f b +=； ②当0a b +>时，有()()0f a f b +>， 则称函数()f x 为Ω函数.
在下列函数中：
①sin y x x =+；②13()3x
x y =-；③0,0,
1,0x y x x
=⎧⎪
=⎨-≠⎪⎩.
是Ω函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）
A
B
O
x
y
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15.（本小题满分13分）
已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=，且2318,24b b =-=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n b 取得最小值时n 的值.
16.（本小题满分13分）
已知函数π()cos(2)cos23
f x x x =--. （Ⅰ）求π()3
f 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.
17.（本小题满分13分）
已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+.
（Ⅰ）已知直线l 是曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线，且l 与曲线()y g x =相切，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()f x g x =有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.
18. （本小题满分13分）
如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2BC CD =,7AD =. （Ⅰ）求CD 的长； （Ⅱ）求sin BAD ∠的值.
A
B
D
C
19. （本小题满分14分）
已知函数2()e ()x f x x ax a =++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值.
20.（本小题满分14分）
已知数列{}n a 是无穷数列，满足11lg |lg lg |n n n a a a +-=-（2,3,4,n = ）. （Ⅰ）若122,3a a ==，求345,,a a a 的值；
（Ⅱ）求证：“数列{}n a 中存在*()k a k ∈N 使得lg 0k a =”是“数列{}n a 中有无数多项是1”的充
要条件；
（Ⅲ）求证：在数列{}n a 中*()k a k ∃∈N ,使得12k a <≤.。