离散数学中的图的哈密顿路径问题
离散数学教案-哈密顿
服务员在G中找一条哈密顿回路C，按C中相邻关系安排座位即可.
由本题想到的：哈密顿图的实质是能将图中所有的顶点排在同一个圈中.
注：定理2给出的条件对于图中汉密尔顿路的存在性只是充分的，并不是必要条件。例如，设 是 边形，如图所示，其中 ，虽然任何两个节点度数之和是4<6-1，但在 中有一条汉密尔顿路。
3．哈密顿图的应用
例某次国际会议8人参加，他们来自不同的国家,已知他们中任何两个无共同语言的人中每个人与其余有共同语言的人数之和大于或等于8，问能否将他们安排在同一张圆桌就座，使得每个人都能与两边的人交谈？
介绍哈密顿及哈密顿图在国内研究现状—强调范定理。
1.哈密顿图
哈密顿回路(H-回路):
一条经过图G中的每一个结点恰好一次的回路(环)
哈密顿图(Hamilton Graph, H-图):具有哈密顿回路的图
哈密顿路(H-路):
一条经过图G中的每一个结点恰好一次的路(通路)
半哈密顿图
示例请判断下列各图中，哪些是哈密顿图？
教学难点处理安排
难点：哈密顿定理证明
处理安排：采用多媒体直观展示，使其形象化、趣味化。
教学方式、
方法
以引导、启发式教学
本章主要采用多媒体和板书授课。教学过程中，要注意引导学生的学习兴趣和热情。另外，举例应尽量采用较新的实例和典型例题。
教学
内容
及时
间分
配
导入5分钟
哈密顿图5分钟
判定定理10分钟
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
《离散数学》课件-第15章欧拉图与哈密顿图
例如
彼得松图 彼得松图满足定理15.6，但不是哈密顿图。
例15.3 下图中三个图都是二部图，判断它们 哪些是哈密顿图，哪些是半哈密顿图？
G1
G2
G3
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>，
|V2||V1|。若|V2||V1|+2，则
G即不是哈密顿图，又不是半哈
G1
密顿图
（1）G1=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为V1={a,f},V2={b,c,d,e}。 则p(G1-V1)=|V2|=4，|V1|=2， p(G1-V1)>|V1|且p(G1-V1)>|V1|+1。 所以G1即不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
亚瑟王和他的骑士们
◼ 亚瑟王一次召见他的p个骑士，已知每一个 骑士在骑士中的仇人不超过p/2-1个。证明：能让 这些骑士围坐在圆桌旁，使每个人都不与他的仇 人相邻。
其它重要的定理
◼ 定理1 如果G是一个n（n3）阶简单图， 且n/2，则G是哈密顿图。
◼ 定理2 如果G是一个n（n3）阶完全图， 且n为奇数，则G是哈密顿图且图中有(n-1)/2个 边不相交的哈密顿回路。
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
点的回路称为欧拉回路 定义（欧拉图和半欧拉图）
具有欧拉回路的图称为欧拉图 具有欧拉通路无欧拉回路的图称为半欧拉图 规定平凡图是欧拉图
图的哈密顿路径与TSP问题
图的哈密顿路径与TSP问题图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和特征。
在图论中存在着一些重要的问题，其中包括哈密顿路径和旅行商问题（TSP）。
本文将介绍图的哈密顿路径和TSP问题，并探讨它们的联系和应用。
一、图的哈密顿路径1.1 图的定义与基本概念在图论中，图是由顶点和边组成的一种数学模型。
顶点用于表示不同的元素，边则表示这些元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图，有向图中的边具有方向性，而无向图中的边没有方向性。
1.2 哈密顿路径的定义对于一个图G，如果存在一条路径，使得该路径经过图中的每个顶点恰好一次，并且最后返回起点，则称这条路径为哈密顿路径。
1.3 哈密顿环的定义如果在哈密顿路径的定义中，该路径的起点和终点相同，则称这条路径为哈密顿环。
二、TSP问题2.1 TSP问题的定义旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）是一种著名的组合优化问题。
在TSP问题中，假设有n个城市，一个旅行商要从起点出发，经过每个城市一次，并最终回到起点。
求解TSP问题的目标是找到一条最短路径，使得旅行商的总旅行距离最短。
2.2 TSP问题的难解性TSP问题是一个NP难问题，即目前没有找到有效的解决方法，只能通过穷举法或近似算法来求解。
当城市数量较少时，可以通过穷举法找到最优解，但当城市数量增多时，穷举法的计算复杂度将呈指数级增长，因此需要采用启发式算法等近似求解方法。
三、TSP问题与哈密顿路径的联系3.1 TSP问题的哈密顿路径特性TSP问题可以看作是在一个完全图中寻找一个哈密顿路径，使得路径的总权重最小。
完全图是指图中的每两个顶点之间都有一条边。
因此，TSP问题是哈密顿路径的特殊情况。
3.2 TSP问题的解与哈密顿路径的关系在实际求解TSP问题时，常常通过构造图的哈密顿路径来逼近TSP 问题的最优解。
其中最著名的算法是Christofides算法，该算法通过构造最小生成树和欧拉回路的方式来逼近TSP问题的解。
离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
求图中1所示带权图k29主要内容欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图及其判别法哈密顿通路哈密顿回路哈密顿图半哈密顿图带权图货郎担问题基本要求深刻理解欧拉图半欧拉图的定义及判别定理深刻理解哈密顿图半哈密顿图的定义
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
大时，计算量惊人地大
27
例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.
(1)
(2)
解 C1= a b c d a,
W(C1)=10
C2= a b d c a,
W(C2)=11
C3= a c b d a,
W(C3)=9
可见C3
(见图中(2))
是最短的，其权为9. 28
第十五章 习题课
主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
图论05-哈密尔顿图
A F
B
A
C
F
B C
E
D
E
D
竞赛图
底图为K4的竞赛图： A
B
C
以上每个图可以看作4个选手参加的循环赛的一种结果
竞赛图与有向哈密尔顿通路
底图是完全图的有向图称为竞赛图。 利用归纳法可以证明竞赛图含有向哈密尔顿通路。
循环赛该如何排名次
A F
E
B
按照在一条有向Hamilton通路 (一定存在)上的顺序排名：
Ore定理的证明
Ore定理（1960） 设G是无向简单图，|G|=n3，若
对G中任意不相邻的顶点u和v, d(u)+d(v)n （*）
则G有哈密尔顿回图。
证明.反证法, 若存在满足（*）的图G，但是G没有Hamilton回 路. 不妨假设G是边极大的非Hamilton图，且满足（*）。若G不是 边极大的非Hamilton图，则可以不断地向G增加若干条边,把G 变成边极大的非Hamilton图G’，G’依然满足（*），因为对 vV(G), dG(v)dG’(v)。
设G是无向简单图, |G|=n2, 若G中任意不相邻的顶点对
u,v均满足：d(u)+d(v)n-1，则G是连通图。
假设G不连通，则至少含2个连通分支，设为G1, G2。取xVG1, yVG2, 则：d(x)+d(y)(n1-1)+(n2-1)n-2 (其中ni是Gi的顶பைடு நூலகம்个数)， 矛盾。
有限图G是Hamilton图充分必要其闭合图C(G)是 Hamilton图.
闭合图(举例)
a
b
f
c e
d
判定定理的盲区
从“常识”出发个案处理
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
04
欧拉图与哈密顿图的应用 场景
欧拉图的应用场景
路径规划
欧拉图可以用于表示从一 个点到另一个点的路径， 常用于物流、交通和旅行 等领域。
网络流问题
欧拉图可以用于解决最大 流和最小割等问题，在网 络优化、资源分配和计划 制定等方面有广泛应用。
组合优化
欧拉图可以用于表示组合 优化问题，如旅行商问题、 排班问题等，是求解这些 问题的常用工具。
一个图存在哈密顿回路当且仅当其所有顶点的度都大于等于2 。
哈密顿图的性质
哈密顿图中的所有顶点的度都 大于等于2。
一个图存在哈密顿回路当且仅 当其所有顶点的度都大于等于2。回 路。
哈密顿图的构造方法
添加边法
在所有顶点的度都大于等于2的图 中，不断添加边，直到所有顶点的 度都大于等于2，最后得到的图就 是哈密顿图。
哈密顿图的应用场景
社交网络分析
哈密顿图可以用于表示社交网络 中的路径，分析人际关系和信息
传播路径。
生物信息学
哈密顿图可以用于表示基因组、蛋 白质组等生物信息数据，进行基因 序列比对、蛋白质相互作用分析等。
推荐系统
哈密顿图可以用于表示用户和物品 之间的关系，进行个性化推荐和智 能推荐。
欧拉图与哈密顿图在计算机科学中的应用
欧拉图的构造方法
欧拉图的构造方法1
总结词
通过添加一条边将所有顶点连接起来， 从而形成一个欧拉图。
详细描述了两种构造欧拉图的方法， 为实际应用中构造欧拉图提供了思路。
欧拉图的构造方法2
通过将两个欧拉图合并，并连接它们 的所有顶点，从而形成一个新的欧拉 图。
02
哈密顿图
哈密顿图的定义
哈密顿图（Hamiltonian Graph）是指一个图存在一个遍历其 所有边且每条边只遍历一次的路径，这个路径称为哈密顿路径， 如果该路径的起点和终点是同一点，则称这个路径为哈密顿回 路。
离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
哈密顿
1805年8月4日生于爱尔兰都柏林；1865年9月2日卒于都柏 林．力学、数学、光学．哈密顿的父亲阿其巴德(Archibald Rowan Hamilton)为都柏林市的一个初级律师．哈密顿自幼 聪明，被称为神童．他三岁能读英语，会算术；五岁能译拉 丁语、希腊语和希伯来语，并能背诵荷马史诗；九岁便熟悉 了波斯语，阿拉伯语和印地语．14岁时，因在都柏林欢迎波 斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．
2020/5/20
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
2020/5/20
有向欧拉图的判定定理
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶点的 入度都等于出度。
定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且D中 恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个的出 度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度。(举例)
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离散数学中的图的哈密顿路径问题图论是离散数学中的一个重要研究方向，研究的是图的性质和
图之间的关系。
图是由点和边组成的，哈密顿路径问题是图论中
比较有名的问题之一，它的研究已经有了一定的发展。
什么是哈密顿路径
哈密顿路径是一种在图中遍历每个顶点一次并恰好一次的路径。
换句话说，如果给定的路径经过了所有节点，则称该路径为哈密
顿路径。
哈密顿路径问题
哈密顿路径问题是指在给定的图中寻找哈密顿路径的问题。
哈
密顿路径问题最早由爱尔兰数学家哈密顿提出，他曾经在利用拓
扑方法解决多面体问题时，遇到了这个问题。
哈密顿路径问题的正确性还未得到证明，因此在应用中使用时
需要适当的限制条件和剪枝技巧。
哈密顿路径的存在性
对于一个无向图，若从一个结点开始，遍历每个节点一次，然
后回到原来的结点，此时称这样的路径为哈密顿路径。
对于一个有向图，若从一个结点开始，经过每个结点恰好一次，最后回到开始的结点，则称这条路径为哈密顿回路。
哈密顿路径存在性问题是图论中的一个经典问题，它试图回答
一个非常基本的问题：“对于任何一个图，该图是否存在哈密顿路
径或哈密顿回路？”
哈密顿回路的判断
对于哈密顿回路的判断，通常使用的方法是基于邻接矩阵和搜
索算法。
在搜索算法中，广度优先搜索和深度优先搜索分别应用
于无向和有向图。
广度优先搜索：对于一个无向图G和其中的一个顶点v，如果
存在一个哈密顿回路，则在G中从v出发的BFS树至少应该包含
所有的顶点。
深度优先搜索：对于一个有向图G和其中的一个顶点v，如果
存在一个哈密顿回路，则在G中从v出发的DFS树至少应该包含
所有的顶点。
如果该树可以拓扑排序，则该图包含哈密顿回路。
哈密顿回路的求解
在实际问题中，哈密顿路径/回路问题是非常重要的，其应用很广泛。
哈密顿回路的求解通常使用回溯法，可以按顺序搜索每个
顶点，每次选择一个顶点进行搜索时，对于该点已经访问过的顶
点进行标记，从未被访问过的顶点中选择一个进行搜索，如果可
以找到一个哈密顿回路，则更新答案。
当遇到死路或者已经访问过的路径时，需要回溯到上一个节点，进行另一种选择，以期望找到最优解。
结论
哈密顿路径问题是图论中的一个经典问题，其解决方法主要是基于搜索算法和剪枝技巧。
哈密顿路径的正确性还未得到证明，因此在应用中使用时需要适当的限制条件和剪枝技巧。
建立适当的数据结构和算法，可以在一定程度上提高效率，对于比较复杂的问题，可以借鉴一些自然界中的现象，寻找潜在的解决方法。