图的匹配与覆盖问题
图的匹配与覆盖问题
图是一种用边来表示对象之间关系的数据结构。
在图论中，匹配与
覆盖问题是指在给定的图中找到一组特定的边或顶点子集，使得满足
一定的条件。
本文将探讨图的匹配与覆盖问题的概念、应用以及解决
方法。
一、图的匹配问题
图的匹配问题是指在一个无向图中，找到一组边的集合，使得任意
两条边都没有公共的顶点。
这样的边集被称为匹配。
图的匹配问题有
很多实际应用，比如稳定婚姻问题、配对问题等。
解决图的匹配问题的方法有多种，其中最常见的是匈牙利算法。
匈
牙利算法采用增广路径的方法，通过不断增加匹配的边，直到无法找
到新的匹配边为止。
该算法具有很高的时间效率，适用于大规模的图。
二、图的覆盖问题
图的覆盖问题是指在一个无向图中，找到一组顶点的集合，使得图
中的每条边都至少与集合中的一个顶点相邻。
这样的顶点集合被称为
图的覆盖集。
图的覆盖问题在实际应用中也非常常见，比如任务分配
问题、资源分配问题等。
解决图的覆盖问题的方法有多种，其中一种常见的方法是使用最小
点覆盖定理。
最小点覆盖定理指出，在一个图中，最少的顶点个数的
集合，使得该集合中的顶点覆盖整个图的边，即为最小点覆盖集。
通
过求解最小点覆盖问题，可以得到图的最小覆盖集。
三、图的匹配与覆盖问题的应用
图的匹配与覆盖问题在实际应用中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：
1. 稳定婚姻问题
稳定婚姻问题是图的匹配问题的一种具体表现形式。
在稳定婚姻问题中，有一组男性和女性，每个人对异性有着不同的偏好。
稳定婚姻问题的目标是找到一组完美匹配，使得不存在任何一个男性和女性同时都喜欢对方而不喜欢自己匹配的对象。
这个问题可以通过图的匹配问题来求解。
2. 任务分配问题
任务分配问题是图的覆盖问题的一种具体表现形式。
在任务分配问题中，有一组需要完成的任务和一组可以执行任务的人员。
每个任务需要特定的技能和资源，每个人员也有不同的技能和资源。
任务分配问题的目标是找到一种最优的分配方案，使得每个任务都被分配到合适的人员，并且每个人员分配到的任务不会使其超负荷。
这个问题可以通过图的覆盖问题来求解。
3. 路由网络设计
路由网络设计是图的覆盖问题的一种具体表现形式。
在路由网络设计中，需要设计一个网络拓扑结构，使得每个节点可以通过网络进行通信。
路由网络设计的目标是找到一种最优的网络结构，使得网络的效率最大化，冗余最小化。
这个问题可以通过图的覆盖问题来求解。
四、结论
图的匹配与覆盖问题是图论中重要且常见的问题。
通过求解图的匹
配与覆盖问题，可以优化实际应用中的资源分配、任务分配等问题，
提高效率和性能。
在解决图的匹配与覆盖问题时，可以采用不同的求
解方法，如匈牙利算法、最小点覆盖定理等。
通过灵活运用这些方法，可以有效地解决各类图的匹配与覆盖问题，实现优化与最大化。
图匹配总结二分图匹配
序言：回忆起最初学习图匹配算法的艰辛与困惑，苦中有乐，但很多时间都浪费在了资料的寻找与甄别上。
因此，在对自己做一次知识总结的同时，整理与记录下了这些文字，希望能够给大家带来一定的帮助。
目录：第一部分：二分图的最大匹配第二部分：五种方式，两类构图第三部分：二分图匹配算法总结第四部分：二分图的最优权值匹配第五部分：一般图的最大匹配第六部分：图匹配题目列表符号说明：N,V：点数E：边数u,v,i,j：节点的标号INF：正无穷大-INF：负无穷大名词说明：时间复杂度：算法的理论时间上界时间效率：实际中算法运行的平均时间效率引用说明：文中参考了一些来源于网络的资料，也有原文全段引用的部分。
在这些资料被n+1次转载后，我已无法获知所有原作者的信息。
在此，对所有前辈们表示真诚的歉意和诚挚的敬意。
特别感谢Amber大神犀利的代码。
作者：Snow_storm正文：第一部分：二分图匹配有这么两个奇怪的工厂：工厂X只生产杯具，工厂Y只生产洗具。
最近，两个工厂决定将产品实行打包策略：即一个杯具搭配上一个洗具。
但由于杯具和洗具的形状和功能各不相同，对于某个类别的杯具来说，只能搭配某些类型的洗具。
现在，两个工厂的厂长大人想知道最多能成功的搭配多少对杯具与洗具。
类似于上面例子中提到的搭配问题，在图论中的有规范的名称：匹配。
注意到，上面的例子中涉及到的物品只有两类（杯具与洗具），且问题只涉及杯具与洗具的匹配，我们把这种只涉及一种关系的匹配问题称为二分匹配问题。
现在，让我们理清一些概念。
二分图：若图G中的点可以分为X和Y两部分，且每部分内部无任何边相连，则称图G为二分图。
匹配：无公共点的边集合（可以想象一下结婚这个词汇）。
匹配数：边集中边的个数最大匹配：匹配数最大的匹配。
如图1-1，展示的就是一个二分图：粗体线表示该二分图的一种匹配方式，不难发现，此时的匹配已经是最大匹配。
图 1-1如何能得到一个二分图的最大匹配？运用简单的枚举：找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
最大匹配等于最小定点覆盖
二分图最大匹配的König定理及其证明本文将是这一系列里最短的一篇，因为我只打算把König定理证了，其它的废话一概没有。
以下五个问题我可能会在以后的文章里说，如果你现在很想知道的话，网上去找找答案：1. 什么是二分图；2. 什么是二分图的匹配；3. 什么是匈牙利算法；(/blog/article.asp?id=41)4. König定理证到了有什么用；5. 为什么o上面有两个点。
König定理是一个二分图中很重要的定理，它的意思是，一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。
如果你还不知道什么是最小点覆盖，我也在这里说一下：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖所有的边。
比如，下面这个图中的最大匹配和最小点覆盖已分别用蓝色和红色标注。
它们都等于3。
这个定理相信大多数人都知道，但是网络上给出的证明并不多见。
有一些网上常见的“证明”明显是错误的。
因此，我在这里写一下这个定理的证明，希望对大家有所帮助。
假如我们已经通过匈牙利算法求出了最大匹配（假设它等于M），下面给出的方法可以告诉我们，选哪M个点可以覆盖所有的边。
匈牙利算法需要我们从右边的某个没有匹配的点，走出一条使得“一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现”的路（交错轨，增广路）。
但是，现在我们已经找到了最大匹配，已经不存在这样的路了。
换句话说，我们能寻找到很多可能的增广路，但最后都以找不到“终点是还没有匹配过的点”而失败。
我们给所有这样的点打上记号：从右边的所有没有匹配过的点出发，按照增广路的“交替出现”的要求可以走到的所有点（最后走出的路径是很多条不完整的增广路）。
那么这些点组成了最小覆盖点集：右边所有没有打上记号的点，加上左边已经有记号的点。
看图，右图中展示了两条这样的路径，标记了一共6个点（用“√”表示）。
那么，用红色圈起来的三个点就是我们的最小覆盖点集。
图的匹配与覆盖问题
图的匹配与覆盖问题图的匹配与覆盖问题是图论中的重要研究领域，涉及到在给定的图中找到特定的图形结构或边的选择，以满足特定的条件或要求。
本文将探讨图的匹配与覆盖问题的基本概念、算法和应用。
一、图的基本概念图由节点和边组成，表示对象之间的关系。
在图的匹配与覆盖问题中，我们主要关注两种图形结构：匹配和覆盖。
1. 匹配图的匹配是指在给定的图中选择一些边，使得这些边两两不相邻。
换句话说，匹配是图中没有共享节点的边的集合。
2. 覆盖图的覆盖是指选择一些节点，使得图中的每条边至少与其中一个选定的节点相邻。
简单来说，覆盖是指包含所有边的节点集合。
二、图的匹配与覆盖问题的算法图的匹配与覆盖问题可以通过不同的算法来求解。
以下是几种常见的算法：1. 匈牙利算法匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。
它基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来增加匹配数，直到无法找到增广路径为止。
2. KM算法KM算法是解决带权二分图最佳匹配问题的经典算法。
它通过建立一个交错树和一个势函数来寻找最佳匹配，不断进行增广和修改势函数的操作，直到找到最佳匹配。
3. Hopcroft-Karp算法Hopcroft-Karp算法是解决二分图最大匹配问题的改进算法，相比于匈牙利算法具有更好的时间复杂度。
它通过构建一个图的层次结构，不断使用BFS搜索增广路径来增加匹配数。
三、图的匹配与覆盖问题的应用图的匹配与覆盖问题在实际应用中有广泛的应用，其中一些重要的应用领域包括：1. 组合优化图的匹配与覆盖问题可以用于解决组合优化问题，例如任务分配、资源调度等。
通过合理选择节点和边的匹配关系或覆盖关系，可以优化系统的整体性能。
2. 电子设计自动化在电子设计中，图的匹配与覆盖问题可以应用于布线、逻辑合成等方面。
通过匹配或覆盖边或节点，可以满足电路连接的要求，提高电路设计的效率和性能。
3. 社交网络分析图的匹配与覆盖问题在社交网络分析中也起到重要的作用。
二分图相关问题
X X S X X
X X X X
X代表攻击范围，S代表骑 士
分析
对棋盘染色，设方格的坐标为(x,y)，x和y同奇 偶的方格对应X集合，不同奇偶的对应Y集合。 由于骑士沿着“日”字形路线攻击，所以每个 攻击肯定是处于X集合和Y集合之间，而不可 能在两个集合内部。 显然，转化后变为求二分图的最大独立集
匈牙利算法
简要说明：find函数用于判断从k点开始是否能 够找到一条交错路。对于每个可以与k匹配的 顶点j，假如它未被匹配，交错路就已经找到； 假如j已与某顶点x匹配，那么只需调用find(x) 来求证x是否可以与其它顶点匹配，如果返回 true的话，仍可以使j与k匹配；这就是一次 DFS。每次DFS时，要标记访问到的顶点 （cover[j]=true），以防死循环和重复计算。
例题分析
Hanoi Tower Troubles Again! (OIBH Contest)
ZOJ 1239 题目大意：给定柱子数N，按编号从小到大放球， 要求：如果该球不在最底数，则该球和它下面一个 球的编号之和必须为完全平方数。 问对于给定的N，最多能放多少球上去。 N<=50
例题分析
分析
铺放方法
1.2. .333 444. ..2.
Sample Output 4
分析
最小覆盖是覆盖所有的边，因此泥地对应边 建图方式类似于皇家卫士，也是利用行连通块 和列连通块做点，单位泥地对应二分图中的边 要求放最少的板覆盖全部的泥地，转化为求最 小覆盖
二分图最大独立集
图的独立集：寻找一个点集，其中任意两点在 图中无对应边 一般图的最大独立集是NP完全问题 二分图的最大独立集=图的点数-最大匹配数
二分图最小覆盖
图的覆盖：寻找一个点集，使得图中每一条边 至少有一点在该点集中
匹配与覆盖
求赋权完备二元图G = (X, Y, E, F )的最佳匹配 ——KM算法
算法迭代步骤：
设G =(X, Y, E, W)为赋权完备二元图,L是其一个初始可行 点标记,通常取
L(x) = max {w (x ，y) | y∈Y}, x∈X,
L(y) = 0, y∈Y. M是相等子图GL的一个匹配.
S , 定义 G 中 S 的 邻集 为与 S 的
集合 ; 记为 N G ( S ).
定理（Hall定理）：设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|≤|V2|. G 中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|) 个顶点至少与V2中的k个顶点相邻. 即：G存在从V1到V2的完备匹配的充要条件是对任意V1 的子集 S,有 | N (S ) | ≥ | S | . 由Hall定理立刻可知，上图中(2)为什么没有完备匹配.
二元图G的完美匹配：设M是二部图G的一个匹配,如果G的 每一个点都是M中边的顶点,则称M是二部图G的完美匹配.
二元图G的完备匹配：设G=<V1,V2,E>为二部图，|V1||V2|， M是G中最大匹配，若V1中顶点全是M饱和点，则称M为G中 完备匹配. |V1|=|V2| 时完备匹配变成完美匹配. 二元图G的最大匹配：如果G中没有另外的匹配M0 ,使|M0| ＞|M|,则称M是二部图G的最大匹配. 二元图G的最佳匹配：在二部赋权图G =(X, Y, E, W )中,权 数最大的最大匹配M称为二部赋权图G的最佳匹配.
二元图的匹配
二元图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型.
二元图：如果一个图的顶点可以分为两个集合X和Y，图的
所有边一定是有一个顶点属于集合X，另一个顶点属于集合Y， 则称该图为“二元图”
konig 定理
konig 定理
Konig定理是图论中的一个重要定理，它是由匈牙利数学家Dénes Konig在1936年首次证明的。
这个定理主要应用于二分图（bipartite graph）的研究中，二分图是一种特殊的图，其中所有的顶点都可以被分成两个互不相交的子集，并且每一条边都连接这两个子集中的一个顶点。
Konig定理的表述如下：在一个二分图中，最大匹配数等于最小点覆盖数。
换句话说，一个图中的最大匹配数等于覆盖该图中所有顶点所需的最小边数。
为了更好地理解这个定理，我们可以先了解一下什么是匹配和点覆盖。
在图论中，一个匹配是一个边的集合，其中任意两条边都不共享一个顶点。
最大匹配是指一个匹配中包含的边数最多。
点覆盖是指一个顶点的集合，该集合中的任意顶点都是边的一个端点。
最小点覆盖是指覆盖所有顶点所需的最小顶点数。
根据Konig定理，在二分图中，最大匹配数等于最小点覆盖数。
这个定理的证明过程需要使用到一些图论中的技巧和结论，例如Kőnig-Egerváry定理和Hall定理等。
这个定理的应用非常广泛，它可以用于解决一些组合优化问题，例如最大匹配问题和最小点覆盖问题等。
此外，Konig定理还可以用于证明一些其他图论中的结论，例如Kőnig-Egerváry定理和Hall定理等。
nash williams定理 -回复
nash williams定理-回复Nash Williams定理是图论中的一项重要定理，对于图中的匹配问题有着重要的应用。
该定理的主题是图中最大匹配和最小覆盖的关系。
接下来，我们将一步一步地解释这个定理，并深入探讨它的证明过程。
首先，我们需要了解一些基本概念。
在图论中，一个匹配是指一个图中的边的子集，其中任意两条边没有公共顶点。
而覆盖是指一个图中的顶点集合，其中任意一条边的两个顶点至少有一个在这个集合中。
最大匹配是指图中边数最多的匹配，而最小覆盖是指图中包含顶点数最少的覆盖。
Nash Williams定理给出了最大匹配和最小覆盖之间的重要关系。
具体而言，该定理表明，对于任意一个图，最大匹配的大小等于最小覆盖的大小。
这个定理在图论研究和实际应用中有着广泛的应用价值。
为了证明Nash Williams定理，我们需要首先了解Hall定理。
Hall 定理是G. A. J. Hall于1935年提出的一个定理，描述了带有一定条件的二分图中存在完美匹配的充分必要条件。
Hall定理是Nash Williams定理的基础。
Hall定理的一个重要性质是：对于任意一个二分图G，如果对于任意一个点集X，它的邻居集合N(X)的大小大于等于X的大小，那么这个图一定存在一个完美匹配。
基于Hall定理，我们可以开始证明Nash Williams定理。
首先，我们假设图G中的一个最大匹配是M，而对应的最小覆盖是C。
我们首先证明最大匹配的大小不会小于最小覆盖的大小。
假设有一个最小覆盖C'，而对应的最大匹配的大小却小于C'的大小。
那么我们可以构造一个新的匹配M'，使得M'的大小大于M的大小。
具体而言，我们从最小覆盖C-C'中的每个顶点分别添加一条边到M中的一个未匹配边上，形成新的匹配M'。
由于C'是最小覆盖，M'必定是一个匹配。
而由于C-C'中的顶点都不在C中，因此这个新的匹配M'的大小大于M的大小。
图论第5章
饱和V1的每个顶点的匹配
V2 s1 s2 s3 s 4 s5
9
2、Hall定理（相异性条件）
取图 G 的一个顶点子集S，令 N (S) = { v | 存在 u∈S，且v与u 相邻} 称 N (S) 为 S 的邻集。
v1
例如图
v8
v7
v6
中
v2
v3
v4
v5
取 S = {v1, v2}， 则 N (S) = {v8, v3,v1, v2}
5
2、贝尔热定理
定理1（Berge, 1957） G 的匹配 M是最大匹配当且仅当 G 不含 M 可扩路 . （等价于： M不是最大匹配当且仅当 G 含 M 可扩路 ） 证明 ：证明其等价结论。 充分性：假设M是G的匹配，并设G 包 含的M可扩充路 为
v0v1…v2m+1 , 定义M′ E 为
M′= (M\{ v1v2, v3v4,…,v2m-1 v2m})∪{ v0v1, v2v3,…,v2m v2m+1} 则M′是G的匹配，且 | M′| = |M| +1，因而M就不是最大匹 配。
类似于定理2的证明，可知T中的每个顶点都是M*饱和的 ~ ，并且N(S)＝T。定义 K = (X\S)∪T（见图）。
S U X \S
T=N (S)
20
则G的每条边必然至少有一个端点在 K 中，因为否则就 存在一条边，其一个端点在S中，而另一个端点在Y\T中， ~ K 这与N(S)＝T相矛盾。于是 是G的覆盖。并且显然有
v1 x3
12
由（2.2）式和（2.3）式推出
|N(S )| = | T |= |S |-1< |S | 这与假定（2.1）式矛盾。 所以M*饱和X的所有顶点. 推论 若G是k正则偶图（k>0），则G有完美匹配。 证明 设G是具有二分类（X, Y）的k正则偶图 (k>0)。首先有 |X| = |Y| (习题1的9). 任取X的一个子集S ，令 E1={e | e∈E,并且 e 与 S 中的顶点关联}
算法学习：图论之二分图最小覆盖(顶点以及边的最小覆盖)
二分图最小覆盖的Konig定理及其证明点的最小覆盖二分图：顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。
最小覆盖：最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。
可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数Konig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于最大匹配数。
证明：为主便叙述，假设G分为左边X和右边Y两个互不相交的点集。
假设G经过匈牙利算法后找到一个最大匹配M，则可知G中再也找不到一条增广路径。
标记右边未匹配边的顶点，并从右边未匹配边的顶点出发，按照边：未匹配->匹配->未匹配...，的原则标记途中经过的顶点，则最后一条经过的边必定为匹配边。
重复上述过程，直到右边不再含有未匹配边的点。
记得到的左边已标记的点和右边未标记的点为S，以下证明S即为所求的最小顶点集。
1。
| S | == M因为每个点都是某个匹配边的其中一个端点。
如果右边的哪个点是没有匹配过的，那么它早就当成起点被标记了；如果左边的哪个点是没有匹配过的，那就走不到它那里去（否则就找到了一条完整的增广路）。
而一个匹配边又不可能左端点是标记了的，同时右端点是没标记的（不然的话右边的点就可以经过这条边到达了）。
因此，最后我们圈起来的点与匹配边一一对应。
2。
S能覆盖G中所有的边。
反证：如果最大匹配边的两个端点不能覆盖所有边，证明存在至少一条边的两个端点都不是最大匹配边的两个端点（根据覆盖的定义，每条边都至少和其中一个点关联），而这就得到了更大的覆盖，所以S能覆盖所有边！3。
S是最小的覆盖。
覆盖M条匹配边至少需要|S|来覆盖转自:/post.2801156.html#边的最小覆盖在一个ＰＸＰ的有向图中，路径覆盖就是在图中找一些路经，使之覆盖了图中的所有顶点，且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；如果不考虑图中存在回路，那么每每条路径就是一个弱连通子集．由上面可以得出：１.一个单独的顶点是一条路径；２．如果存在一路径p1,p2,......pk，其中p1 为起点，pk为终点，那么在覆盖图中，顶点p1,p2,......pk不再与其它的顶点之间存在有向边．最小路径覆盖就是找出最小的路径条数，使之成为Ｐ的一个路径覆盖．路径覆盖与二分图匹配的关系：最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数；其中最大匹配数的求法是把Ｐ中的每个顶点pi分成两个顶点pi'与pi''，如果在p中存在一条pi到pj的边，那么在二分图Ｐ＇中就有一条连接pi'与pj''的无向边；这里pi' 就是p中pi 的出边，pj''就是p中pj 的一条入边；对于公式：最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数；可以这么来理解；如果匹配数为零，那么Ｐ中不存在有向边，于是显然有：最小路径覆盖＝｜Ｐ｜－最大匹配数＝｜Ｐ｜－０＝｜Ｐ｜；即Ｐ的最小路径覆盖数为｜Ｐ｜；Ｐ＇中不在于匹配边时，路径覆盖数为｜Ｐ｜；如果在Ｐ＇中增加一条匹配边pi'－－＞pj''，那么在图P的路径覆盖中就存在一条由pi连接pj的边，也就是说pi与pj 在一条路径上，于是路径覆盖数就可以减少一个；如此继续增加匹配边，每增加一条，路径覆盖数就减少一条；直到匹配边不能继续增加时，路径覆盖数也不能再减少了，此时就有了前面的公式；但是这里只是说话了每条匹配边对应于路径覆盖中的一条路径上的一条连接两个点之间的有向边；下面来说明一个路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的有向边对应于一条匹配边；与前面类似，对于路径覆盖中的每条连接两个顶点之间的每条有向边pi--->pj，我们可以在匹配图中对应做一条连接pi'与pj''的边，显然这样做出来图的是一个匹配图（这一点用反证法很容易证明，如果得到的图不是一个匹配图，那么这个图中必定存在这样两条边 pi'---pj'' 及pi' ----pk''，（j!=k），那么在路径覆盖图中就存在了两条边pi-->pj, pi--->pk ，那边从pi出发的路径就不止一条了，这与路径覆盖图是矛盾的；还有另外一种情况就是存在pi'---pj'',pk'---pj''，这种情况也类似可证）；至此，就说明了匹配边与路径覆盖图中连接两顶点之间边的一一对应关系，那么也就说明了前面的公式成立！。
匹配覆盖和填装
在某些实际应用问题中，匹配不是以图的全局性为考量来选取的，而是通过在局部做 独立的决定而由相关的顶点逐步形成的。 一个典型的情形就是顶点对于选取哪条边来匹配 顶点是有优先考量的，而不是对所有的关联边一视同仁。这样，若M 是一个匹配，e = ab是 一条不属于M 的边，且a和b都倾向于e胜过它们当前的匹配边（若它们是被匹配的话） ，那 么a和b可能倾向包含e而抛弃先前的匹配边，从而在局部上改变了M。因此，匹配M 尽管可 能是最大的，但却是不稳定的。 更正式地，由E (v )上的线性序
P
M′
M A B A B
图 2.1.1: 通过交错路P 对匹配M 进行扩充 交错路在寻找更大的匹配中发挥了重要的作用。 事实上，从任何一个匹配开始，通过 不断地运用增广路对匹配进行改进，直到匹配不能进行任何改进为止，这样所得到的匹配 是最优的，即它具有最大可能的边数（练习1） 。 寻找最大匹配的算法问题最终归结为寻找 增广路的问题，这是一个非常有趣并且更容易理解的算法问题。 第一个定理通过某种对偶条件刻画了G中具有最大基数的匹配。 对于集合U ⊆ V ， 如果G中的每条边都与U 中的一个顶点相关联，则称U 是E 的一个 （顶点）覆盖 （(vertex) cover）。 定理 2.1.1 (K¨ onig 1931) G中匹配的最大基数等于其边的顶点覆盖的最小基数。 证明： 设M 是G中具有最大基数的匹配。从M 的每一条边中选择一个端点组成集合U 如下： 如果存在一条交错路终止于这条边在B 中的端点，则选择此端点；否则，选择这条边在A中 的端点（图2.1.2） 。下面证明这|M |个顶点构成的集合U 覆盖E。由于E 的任何一个顶点覆盖 必须覆盖M ，因此不存在少于|M |个顶点的覆盖，所以定理成立。
在最后的证明中，设H 是G的一个满足婚姻条件且包含A的边极小子图。注意到，对每 个a ∈ A，把S = {a}代入婚姻条件可知dH (a) 1。