闭环控制器的实用设计方法

单元21闭环控制器的实用设计方法实际闭环控制器设计可以事先研究某些典型系统的传函模式，设计控制器时只需根据控制性能要求套用所建典型系统模式的开环传函，然后针对具体被控对象的传函结构和参数配置控制器的结构和参数，使包含被控对象和控制器的整个系统开环传函符合所期待的典型工作模式。

不过，这种套用需要清醒地理解线性系统内部结构关系，且应了解结构和参数变化对系统特性的影响，这样方能抓住主要矛盾，以较简单的控制器结构和较小的参数变化应对较为广泛的实际应用场合与被控对象。

HI典型i型系统模式典型i型系统由一个积分环节和一个惯性环节组成，其开环传函如下:G(s户 E荷二F而①1二"T⑵一1)1考虑单位反馈，闭环控制传递函数为典型的二阶振荡环节Y K K/T K -3 2= = = nU s(T s + 1) + K s2 + s/T + K/T s2 + 2(；3 s + 3 2nn如图21-1所示，根据单元16的详细讨论，将系统开环频率特性的波德图重新展示。

考虑设计工作的实际需要，这里只讨论以阻尼比Z =0.5 和C =0.7为设计模式的典型数据，以便控制系统设计者直接使用。

注意波德图中各关键频点的标图21-1典型I型系统波德图识，且闭环阻尼比Z可以直接看出。

■阶跃响应的超调量和过渡过程时间分别为：K=1/2T => 3n=1.4K=0.7/T <=> PM=63° <=> <=0.7 => PO=4.3%K=1/T=> 3n=1.0K=1/T <=> PM=45° <=> Z =0.5 => PO=16%(21-3) 4t =——=8T = 2/(q23 ) q > 0.5n图21-2给出有关参数之间的相互关系，其中横坐标为k与1/T的比值，以对数坐标给出。

例21-1已知单位反馈系统被控对象的传函G (s) = ---------- 1---------- ，T = 0.2, T = 0.02p (T s + 1)(T s +1) 1 21 21试设计控制器传函。

要求阶跃响应无差，超调PO<10%,动态过渡过程T<0.2s。

s图21-2典型1型系统的参数关系解：可选PI控制器，则有整个系统的开环传函：Ts +1 1 I IG (s)G (s)= K ----------------------------------c p s « s +1)(1 s +1)若取T=%用控制器零点将被控对象的大惯性环节对消，再使系统增益等于小惯性环节转折频率的一半，即k = 1/2T 2 = 1/(2 • 0.02) = 25。

则开环传函呈典型I型模式，故有闭环传函阻尼比Z=0.7,满足阶跃响应超调量PO<10%,且T s = 8T2= 0.16s < 0.2s 的要求。

注意，如果控制器的零点与被控对象的极点对消不准，波德图可能出现虚线所画情况，此时可用公式计算相位稳定图21-3系统波德图裕量的改变量KM = tg-1 (K/T) - tg-1 (K卜1)，并不会产生多少变化。

若用根轨迹分析，还会发现开环零点引出的闭环零点会被随之出现的闭环极点补偿，故系统阶跃响应仍可按典型i型模式计算.例21-2被控对象同上例，设计控制器仅要求闭环带宽3b>2,谐振幅值Mr<1.2。

解：选用简单积分控制器，便有整个系统的开环传函表达式：K G (s)G (s)=一______ 1 (0.2s + 1)(0.02s若取增益K=2.5,则开环剪切频率3c=K=2.5, PM=60°。

系统可以不顾小惯性环节的存在，也被看作典型I型模式。

且可估计:闭环特性3b>2.5, Mr<1.2。

典型II型系统模式典型II型系统由2个积分环节和1个微分环节组成，其开环传函如下：K - (1+T-s) K -(1 + s/3)G (s) = = r~ 3 = 1/工s 2 s 2 1Y K (1 +T s) K-32一= = nU s2+ K T s + K s2+ 2(；3 s + 图21-4典型11型系统波德图从而算出此二阶系统的典型参数。

3c = 1/T = 1.03n <=> PM=45°<=> Z=0.5Y=2.0 => PO=30%3c= 2/T = 1.43n <=> PM=63°<=> Z=0.7Y=1.0 => PO=23%3c = 4/T = 2.03n <=> PM=76°<=> Z=1.0Y=0.5 => PO=15%注意典型II 型系统的开环传函本身存在零点1/T ,因此这个零点也是单位反馈形成的闭环传函零点。

正是这个闭环零点使系统闭环阶跃响应的超调明显变大，但正如本书 第6单元的图7-6所述，超调量大小与参数Y =(1/T )/3n 有关。

闭环传函中的零点相对二 阶共轭极点实部的比值越小，其影响就越大。

由于这 里因子3n 与1/T 的比等于2Z ，因此Y =1/20成为完全 依附于Z 1的取值。

即Z 越大，则Y 越小，零点增加超 调的坏作用也越大，从而削弱了通常系统通过增加Z 来减小超调的作用。

图21-5给出典型II 型模式的开 环结构参数与闭环特性之间的曲线关系。

例21-3已知控制系统如图21-6所示试设计控制器传函，要求闭环结构Z=0.6, 3n >10,。

解：可选PD 控制器，整个系统的开环传函：G (s )G (s ) ― K - (T s +1) •— c p p d s 2 开环传函呈典型II 型系统模式。

且取控制器参数 K —3 2 — 10 , T ― 1/./23 — 0.21,则可估计闭 pn d n环所形成的二阶振荡环节的主要参数为。

然而，阶跃响应的超调。

典型II 型系统因零点影响使其阶跃响应的超调较大，这是一个值得讨论的问题。

因 为从频率特性上看只有加入这个零点才能产生超前相移使相位裕度变正，从根轨迹上看 只有加入零点方能使根轨迹向左移动进入稳定区域。

这里，如图21-7(b)所示的一个解决方法是将PD 校正器放到反馈通道中，由于开环传函未变，根轨迹和频率特性的波德图都与前面的讨论一样，但闭环传函的零点将不存在。

因为闭环传函 的零点等于是由开环前向通道的零点和反向通道 的极点组成。

进而如图所示，比例微分环节中的 微分项往往可以通过从速度反馈取得，从而避免 直接微分项引入噪声，已经成为较好解决此类问 题的一种模式。

与此等价的另一种方法是加入一 个给定滤波器，并如图21-7(c)所示。

由方框图变 换可知，显然图21-7(c)与图21-7(c)等价，而与 图21-6不同。

然而展示方框图变换的图21-7(d)4 t ― ------------s g« n _8 _ 8_ 3 K Tc q > 0.5 (21-4)图21-5典型II 型系统的参数关系表明采用反馈回路的微分校正或加给定滤波器的校正均已不是II型系统，而是典型I型系统。

认定图21-7所示系统已不是II型系统，是因其系统斜波响应的稳态误差已不再为零，系统图21-7 II型系统反馈控制的变换已不具备II型系统的基本特点。

这对例21-3 一类问题并非坏事，系统将有很好的动态响应，且设计也很方便。

不过针对那些要求确实需要斜波输入响应稳态无差的情况则不能满足要求。

上述分析可以看出套用模式并不简单，仍需深入理解模式表面形式下的内部本质。

inmi典型3阶系统模式的讨论典型3阶系统也很常见，其传递函数如下所示。

1+T - 5 1 + S/3G ( S) = K----------------- 1 ------------ = K --------------------------- 1 3 = 1 / T , 3 = 1 / TS 2 -(1 +T - s) S 2 -(1 + S / 3 ) 1 12 22 2如此系统本质上是II型系统，但设计过程可在设计典型II型系统基础上再加一惯性环节；也可在设计典型I型系统基础上加一比例积分环节。

前者能明显减少系统噪声的不利影响；后者则可明显改善系统的静态精度。

下面就这两种情况分别讨论。

(1)I型典型系统附加比例积分作用系统开环传函可记作K T s +1 K-W s + 33 = 1/T , 32 = 1/T 2 (20-4)G (s) = v - 2 = 1 - 2S - (1 +T - S) T S S - (S + 3 ) S首先根据跟踪斜波输入信号的静态精度要求确定系统速度稳态误差系数Kv,由此期望的带宽就已确定；然后便可先按典型I型系统设计控制器产生足够的相位稳定裕量以满足系统动态要求和相对稳定性指标；最后再选择比例积分环节的转折频率1/2使其左端低频段能够产生足够大的幅值，以满足针对指定频段参考输入信号的跟踪精度。

由于比例积分环节产生相移滞后将会在剪切频率处产生一定的影响，因此系统的稳定裕度会随丁/丁2的比值减少，图21-6 以】/(1/2)为横坐标变量参数，在不同的、八2情况下观察z ,po,ts变化，并展示仿真结果如下。

图21-6 I型典型系统附加比例积分作用图21-8 II 型典型系统附加惯性环节作用例 21-4 环带宽3b >10 已知被控对象传函G (s ) = - j的单位反馈系统，要求闭P s • (2s + 1)(0.2s +1) 稳定裕度PM>50°。

试设计控制器传函。

解：可选PI 控制器，可有整个系统的开环传函表达式:G (s )G (s ) = K Ts +1—i ----------- p Ts (2s + 1)(0.2s + 1)(0.2s +1) i若取Ti=2, Kp=0.5Ti/2=K ，则开环传函呈式(21-16)的典型I 型形式。

GH = G G = K • —1+T 1 >s — = K .1 + s / 3 ------------- 1— s2 • (1 + s /3 ) 3 = 1/T , 3 = 1/T3 = 0.25,3 (a) K=0.25 => ① 0 = 0.5=> PM= 76°-4° =72°(2) II 型典型系统附加惯性环节作用系统开环传递函数可以看作典型II 型系统与惯性环节的串联1 s +① ① 一，、 ---- K 2- 1- ① =1/T , ① =1/T(20-4)T • S + 1 S 2 s + ① 1122 设计过程可先从控制系统静态精度的目的出发，选择增益K 确定加速度稳态误差系数 K ，以确保斜波稳态响应无差、加速度稳态响应小于1/K 的基本要求；然后按典型II 型典型系统模式设计控制器结构和参数，以满足系统动态要求和相对稳定性指标；最后 从降低高频噪声的角度设计附加的惯性环节，选择转折频率1/T 1,使其右端高频段幅值能 够较快地衰减。