数列求和常用的五种方法

数列求和常用的五种方法
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、
等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n 3、
)1(21
1
+==∑=n n k S n
k n
4、)12)(1(6
11
2++==∑=n n n k S n
k n
5、
21
3)]1(21
[+==∑=n n k S n
k n
例1． 已知3
log 1
log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x ， 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32=x x x n --1)1(＝2
11)21
1(2
1--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
例2． 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ……………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
当时1=x ，()()[]22
121127531n n n n S n =-+=-+++++=
当时1≠x
设
n
n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………②
（设制错位）
①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅+=--
∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令
)(lg N n a a b n n n ∈⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

解析：
a
na a a a aS a na a a a S a
a n
b a a n n n n n n n n lg )32(lg )32(lg ,143232+++++=++++=∴⋅== ①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-
[]
n n a na n a a
a S )1(1)
1(lg 2
-+--=
∴。

点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列
{}n n b a
的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
例4．函数)(x f 对任意R x ∈，都有2
1
)1()(=-+x f x f 。

（1）求)2
1(f 和
)1()1(n
n f n f -+ 的值；（2）数列{}n a 满足：)1()1
()2()1()0(f n
n f n f n f f a n +-++++= ，数列{}n a 是
等差数列吗请给与证明。

（3）1
44-=
n n a b ，n
S n 16
32-
=，2
2221n n b b b T +++= 试比较n T 与n S 的大小。

解：（1）令2
1
=x ,可得41)21(=f ，21
)11()1()1(
)1(=-+=-+n f n f n n f n f
（2） )1()1
()2()1()0(f n n f n f n f f a n +-++++=
∴)0()1
()2()2()1()1(f n
f n f n n f n n f f a n ++++-+-+=
∴)1(2
1
)0()1()1()1()1()0(2+=+++-+++=n f f n n f n f f f a n
∴4
1
+=n a n
（3）n b n 4=，))1(13212111(16)131211(162
22n n n T n ⨯-++⨯+⨯+≤++++
=
n S n
=-
=16
32
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例5．求数列的前n 项和：231
,,71,
41,111
2-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…
解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n （分组）
当a ＝1时，2)13(n n n S n -+
=＝2
)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(111
1n
n a
a S n n -+--
=＝2)13(11n n a a a n -+---
例6． 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n
k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(231
k k k n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝k k k n
k n
k n
k ∑∑∑===++1
2
1
3
1
32 （分组）
＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n ＝2
)
2()1(2++n n n
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1
1
1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n （5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n
(6)n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 例7． 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
211n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=111
（裂项）
则 1
13
212
11+++
⋅⋅⋅+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n 例8． 在数列{a n }中，1
1211++
⋅⋅⋅++++=n n
n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解：
∵ 2
11211n
n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴
)11
1(82
122+-=+⋅=
n n n n b n ∴ 数列{b n }的前n 项和)]1
1
1()4131()3121()211[(8+-
+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 1
8+n n。