数列的求和问题(规律总结)

数列的求和问题
知识点一：数列的前项和的相关公式
1.任意数列的第项与前项和之间的关系式：
2.等差数列的前项和公式：
（为常数）
当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；
当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式.
3.等比数列的前项和公式：
当时，，，
当时，或
知识点二：求数列的前项和的几种常用方法
1.公式法：
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前项和可直接利用等差数列或等比数列的前项和公式求和；
2.分组转化法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和。

例如对通项公式为a n=2n+3n的数列求和。

3.倒序相加法：
如果一个数列，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可以采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和.例如等差数列前项和公式的推导。

对
通项公式为的数列求和。

4.错位相减法：
如果一个数列的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应
项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为
（其中是公差d≠0的等差数列，是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）
的数列求前项和.例如对通项公式为的数列求和。

一般步骤：
，则
所以有
注意：
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法。

一般都是把前项和的两边都乘以等比数列的公
比q后，再错位相减求出其前项和；
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q是否有可能等于1，若q=1，错位相减法
会不成立.
5.裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.
例如对通项公式为的数列求和。

常见的拆项公式：
①；
②若为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则；
③若的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，
则.
④；.
知识点三：掌握一些常见数列的前n项和公式
1. ；
2.
3. ；
规律方法指导
数列求和基本策略和方法：
1．基本策略：
一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，从通项变形拆分，邻项运算关系，整体隔项的规律……等角度去考查概括，转化化归为等差、等比数列或常数列等，然后用熟知的公式求解。

2．基本方法：
①公式法：等差、等比，自然数平方和公式；
②分解化归为可用公式；
③错项相减法；
④裂项相消法。