(新课标)2020年高考数学 题型全归纳 数列求和的若干常用方法
高考数学 数列求和的8种常用方法(最全)
一
1.等差数列求和公式：
Sn(a1an)nan(n1)d
n212
特别地，当前n项的个数为奇数时，S2k1(2k1)ak1，即前n项和为中间项乘以项数。这个公
式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：
（1）q1，Snna1；
a11qn
（2）q1，Sn
1q
，特别要注意对公比的讨论；
c
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于
，其中a
an
n
n1
是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是
anfn1fn.常见裂项公式：
（1）1
11，1
1(1
1)；1
1(1
)（an的公差为d）；
n(n1)
nn1
n(nk)
knnk
anan1
dan
2n2n1
………………………②（设制错位）
①－②得，(11)S
2n
22
222
22
2324
2
2n
2n2n1
（错位相减）
21
2n
∴Sn
4n2
2n1
2n12n1
四.裂项相消法:即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解
与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通
2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin289cos289)＝89
∴S＝44.5
例4函数fxx，求
1x
f1f2
2012
2011
2
高中数学 考前归纳总结 数列求和的常用方法
一．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和 公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+，222112(1)(21)6n n n n +++=++，33332(1)123[]2n n n +++++=例1、已知{}n a 是首项为1的等比数列，若n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，求数 列1{}na 的前n 项和n S 。
解析：若1q =，则由369S S =，得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由369S S =，得9×a 11－q 31－q ＝a 11－q 61－q，解得q ＝2.故1112n n n a a q --==，则111()2n n a -=. 于是数列1{}na 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为111[1()]1222()221212n n n n S -⨯-==-⨯=--。
练习：（1）等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=_____（答：413n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。
二进制即“逢2进1”，如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是132********123=⨯+⨯+⨯+⨯，那么将二进制120052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）二、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在 一起，再运用公式法求和.例2、数列{(1)}nn -的前2 010项的和2010S 为 ( ) A ．－2 010 B ．－1 005 C ．2 010 D ．1 005解、法一： S 2 010＝－1＋2－3＋4－…－2 007＋2 008－2 009＋2 010＝－(1＋3＋5＋…＋2 009)＋(2＋4＋6＋…＋2 010)＝－1 005×2 0102＋1 005×2 0122＝1 005.法二： S 2 010＝－1＋2－3＋4－5＋6－…－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 009＋2 010) ＝1005111111005++++⋅⋅⋅+=个练习：求：1357(1)(21)nn S n =-+-+-+--（答：(1)nn -⋅） 三、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公 式的推导方法），如例3、已知1()()12F x f x =+-是R 上的奇函数， 12(0)()()n a f f f n n=+++⋅⋅⋅+ *1()(1)()n f f n N n-+∈ ，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1 D ．a n ＝n 2解析：∵1()()12F x f x =+-是奇函数， ∴()()F x F x -=-． 即11()1()122f x f x --=-++，∴11()()222f x f x -++=.即只需m ＋n ＝1，则f (m )＋f (n )＝2，而12(0)()()n a f f f n n =+++⋅⋅⋅+1()(1)n f f n-+ ① 11(1)()()(0)n n a f f f f n n-=++⋅⋅⋅++ ② ①＋②，得112[(0)(1)][()()][(1)(0)]2(1)n n a f f f f f f n nn-=++++⋅⋅⋅++=+ ∴a n ＝n ＋1.练习：①求证：01235(21)(1)2nn n n n n C C C n C n +++++=+；②已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝___ （答：72） 四、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 如例4、设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，求数列{a n b n }的前n 项和S n 。
高中数学数列求和的七种方法
高中数学数列求和的七种方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差×等比)、公式法、迭加法。
下面是小编给大家带来的数列求和的七种方法，希望能够帮助到大家!
高中数学数列求和的七种方法
1、倒序相加法
倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等(或等于同一常数)，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。
2、分组求和法
分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。
3、错位相减法
错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的。
4、裂项相消法
裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。
5、乘公比错项相减(等差×等比)
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。
6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
7、迭加法
主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或
等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。
数列求和的8种常用方法(最全)
求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)nk k =-=∑2135(21)n n ++++-=.例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-n n 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
专题十一数列求和的常用方法
专题十一 数列求和的常用方法一、公式法①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：)1(211+==∑=n n k S nk n ，)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n ，213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。
四．裂项相消法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. ①111(1)1n n n n =-++ ②1111(k)k k n n n n =-++（）③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④n n n n a n -+=++=111五．错位相减法：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
【课前热身】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为n n n+112122⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（)（） 2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；3、数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n4、 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为n3n 3+（） 典型例题：例1、（1）求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值（2）求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 解：（1）设S n =89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++则S n =22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1+++⋅⋅⋅++ ∴2S n =89，故S n =892（2）设T n =01n-13(21)(21)nn n n n C C n C n C ++⋅⋅⋅+-++，则T n =n-110(21)(21)3n n n n n n C n C C C ++-+⋅⋅⋅++∴2T n =01n-1n(22)n n n n n C C C C ⎡⎤+++⋅⋅⋅++⎣⎦=n(22)2n +⋅ ∴nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++注：本例是运用倒序相加法求和。
微专题11 数列求和的方法-2020高考数学(理)二轮复习微专题聚焦
微专题11 数列求和的方法——2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】数列的分组转化求和法、裂项相消法、错位相减法仍然是2020年高考考查的热点，考查题型主要以解答题为主，分值12分，综合数列的通项公式与前n 项和公式命题，历年高考考题低、中、高档试题均有出现，需引起充分的重视。
考点一 公式法求和及分组转化法求和【必备知识】 1、公式法求和:使用已知求和公式求和的方法,即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求和方法.用公式法数列求和的思路是：（1）厘清情境：看清题干中的等差数列、等比数列，尤其是由递推公式变形后转化为等差或等比数列，直接用等差数列、等比数列的前n 项和公式求解； （2）公式的灵活选取:在等差数列{}n a 中，若不涉及公差，可用2)(1n n a a n S +=求和；若涉及公差，可用公式d n n na S n 2)1(1-+=求和；在等比数列{}n a 中，若公比不明确，需分类讨论，则⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==1,11)1(1.111q q q a a q q a q na S n n n .（注：数列求和中每个基本量表示的含义，尤其项数n ）2、分组转化法求和:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组转化法求和,分别求和而后相加减.适用数列：n n n c b a ±=，且{}{}n n c b ,为等差或等比数列. 3、一些常见数列的前n 项和公式（要求熟记） (1)2)1(4321+=+⋅⋅⋅++++n n n (2)2127531n n =-+⋅⋅⋅++++ (3))1(28642+=+⋅⋅⋅++++n n n (4)6)12)(1(21222++=+⋅⋅⋅++n n n n(5)2333)21(21n n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++【典型例题】【例1】已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11=a 且存在实数λ满足*1,42N n a a n n ∈+=+λ. （1）求λ得值即通项n a ； （2）求数列{}n n a -2的前n 项和n S .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，有421+=+n n a a λ，①得 当2≥n 时，421-+=n n a a λ，② ①—②得，d d λ=2， 又0≠d ，所以2=λ，将2=λ代入①，得21=-+n n a a ，即2=d ， 又11=a ，所以122)1(1-=⨯-+=n n a n .（2）由（1）知)12(21221n 2+-=--=+-n n a n n n ）（，所以由分组转化求和法得)]12(53[)222(132++++-+++=+n S n n ΛΛ=2)123(21)21(4++---n n n =42222---+n n n . 【方法归纳 提炼素养】——数学思想是转化与化归、整体思想，核心素养是数学运算.可转化为用公式法求和的数列（分组转化求和法）（1）形如数列{}n a 满足n n n c b a ±=，且{}{}n n c b ,为等差或等比数列，可用等差数列或等比数列的前n 项和公式求解，先分组求出数列{}n b 、{}n c 的前n 项和，在得到数列{}n a 的前n 项和. （2）形如分段函数型数列，如奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以按项数分组为奇数项和偶数项求和，再用差数列或等比数列的前n 项和公式求和，再将奇数项的求和结果与偶数项的求和结果相加即是最终结果. 注意：求和时的项数n 的值.【类比训练1】数列, (8)15,413,211的前n 项和n S 等于（ ）A ．n n 2112-+ B. n n n 21122-+- C ．12211--+n n D. nn n 2112-+- 【解析】因为数列, (81)5,413,211的可转化为,,815,413,211Λ+++所以数列的通项公式为n n 21)12(+-， 故由分组转化求和法得nn n n n n S 211211])21(1[212)121(2-+=--+-+=.故选A. 【类比训练2】在数列{}n a 中，已知()*+∈=+==N n a b a a a n n n n 4111log 32,41,41． （1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足n n n b a c +=，求{}n c 的前n 项和n S . 【解析】（1）,∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴. 因为，所以.（2）由（1）知，, 所以所以.考点二 裂项相消法求和【必备知识】1、定义：如果一个数列的通项为“分式或根式”的形式，且能拆成结构相同的两式之差，通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩收尾有限项的求和方法叫做裂项相消法.2、适用数列：)11(11nn n n n b a d b a c -==，（*N n d a b n n ∈=-，，d 为常数） 3、常见的裂项技巧：)11(1)(1k n n k k n n +-=+、)121121(21)12)(12(11412+--=+-=-n n n n n 、)(11n k n kn k n -+=++ 、11111+-=+-+n n n n n n 、])2(11[41)2(12222+-=++n n n n n 、Θ411=+n n a a }{n a 4141*)()41(N n a nn ∈=2log 341-=n n a b 232)41(log 341-=-=n b nn 23,)41(-==n b a n nn ,)41()23(nn n c +-=,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S +-+(+-+++++++=-Λ])41()41)41()41(41[)]23()53(741[132n n n n +(++++++-+-++++=-ΛΛn n n n n n )41(313123411])41(1[412)231(2⋅-+-=--+-+=)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 、）（1,0log )1(log )11(log ≠>-+=+a a n n na a a 、])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 、)()11(11q p q p p q pq <--=（简记为“）大小（小大大小1-1-11=⨯”）. 【例2】已知等差数列{}n a 满足636a a =+，且31a -是241,a a -的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，数列{}n b 的前项和为n T ，求n T 。
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中常见的问题，解决数列求和问题有很多方法。
下面将介绍数列求和的8种常用方法。
1.直接相加法：这是最基本的方法，实际上就是将数列中的所有项相加。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以直接相加得到1+3+5+7+9=252.偶数项和与奇数项和之和法：对于一些数列，可以将其分解为偶数项和与奇数项和，然后再求和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，可以分解为偶数项和4+8和奇数项和1+3+5+7+9，再相加得到(4+8)+(1+3+5+7+9)=373.首项与末项和的乘法法：对于等差数列，可以利用首项与末项之和的公式来求和。
首项与末项之和等于和的平均数乘以项数。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，首项与末项之和等于(1+9)*(项数/2)=10*5/2=254.首项与公差与项数的乘法法：对于等差数列，可以利用首项、公差和项数的乘积来求和。
等差数列的和等于首项乘以项数，再加上项数与公差之积的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，和等于1*5+(5*4)/2=10+10=20。
5.平均数法：对于一些特殊的数列，可以利用平均数的性质来求和。
平均数等于数列中的第一项与最后一项的平均值。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，平均数等于(1+9)/2=5，然后将平均数乘以项数，得到5*5=256.高斯求和法：高斯求和法是一种数学推导方法，用于求等差数列的和。
首先将数列化为由首项和末项构成的和，然后将数列顺序颠倒，再将之前的和与颠倒后的和相加，得到的结果就是等差数列的和。
例如，对于等差数列1,3,5,7,9，将其化为(1+9)+(3+7)+5，然后将数列颠倒得到5+(7+3)+9，再相加得到257. telescopage法（消去法）：telescopage法是一种利用抵消的思想来求和的方法。
可以将数列中相邻的两项之差相消为0，最终得到一个简单的表达式，然后再求值。
例如，对于数列1, 2, 3, 4, 5，可以将(2-1) + (3-2) + (4-3) + (5-4)相加，得到1 + 1 + 1 + 1 = 48.更一般的求和方法：对于一些复杂的数列，可能需要应用更一般的数学方法来求解。
高考数列求和的15种考法
高考数列求和的15种考法
【题型一】求和思维基础：由sn求an的关系
【题型二】错位相消法三种思维求法
【题型三】分组求和法
【题型四】求和难点1：裂项相消基础思维
【题型五】求和难点2：形如函数型裂项相消
【题型六】求和难点3：指数型裂项相消
【题型七】求和难点4：指数等差型裂项相消
【题型八】求和难点5：奇偶正负型裂项相消
【题型九】求和难点6：裂项为“和”型以相消
【题型十】求和难点7：指数型裂项为“和”以相消
【题型十一】求和难点8：无理根式型裂项
【题型十二】求和难点9：三项积式裂项相消
【题型十三】求和难点10：先放缩后裂项
【题型十四】求和难点11：利用组合数公式裂项求和（理科）【题型十五】求和难点12：分段数列求和。
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数列求和的若干常用方法数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。
本文就此总结如下，供参考。
一、分组求和法所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
例1．数列{an}的前n 项和12-=n n a S ，数列{bn}满)(,311*+∈+==N n b a b b n n n . （Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n 项和Tn 。
解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b aΛ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得：,222121322211211+=--+=++++=---n n n n b b Λn T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--ΛΛ=.12222121-+=+--n n n n已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：.242n a a a +++Λ解析：首先由3145291010110=⇒=⨯⨯+=d da S 则：6223221)21(232)222(322323)1(1224221--⋅=---=-+++=+++∴-⋅=⇒-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n ΛΛ二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n （2）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n 等。
例3. 在数列{an}中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ， 求数列{bn}的前n 项的和.解析： ∵211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n∴ 数列{bn}的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n ＝)111(8+-n ＝ 18+n n例4．设｛an ｝是正数组成的数列，其前n 项和为Sn ，并且对所有自然数n ，an 与2的等差中项等于Sn 与2的等比中项.(1)写出数列｛an ｝的前三项；(2)求数列｛an ｝的通项公式(写出推证过程)； (3)令bn=21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++1n n n 1n a a a a (n ∈N)，求：b 1+b2+…+bn -n.解析：(1)略；(2) an=4n-2.； (3)令cn=bn-1, 则cn=21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++2a a a a 1n nn 1n =21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+11n 21n 211n 21n 2 =1n 211n 21+-- b1+b2+…+bn -n=c1+c2+…+cn=1n 2111n 211n 215131311+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-评析：一般地，若数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：∑=+ni i iaa 111首先考虑=∑=+ni i i a a 111∑=+-ni i ia a d 11)11(1则∑=+ni i i a a 111=1111)11(1++=-n n a a n a a d 。
下列求和：∑=++ni i i a a 111 也可用裂项求和法。
错位相减法 设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前项和n S 求解，均可用错位相减法。
例 5.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令)(lg N n a a b n n n ∈⋅=， 求数列{}n b 的前项和n S 。
解析：a na a a a aS a na a a a S aa nb a a n n n n n n n n lg )32(lg )32(lg ,143232+++++=++++=∴⋅==ΛΛΘ①-②得：a na a a a S a n n n lg )()1(12+-+++=-Λ []nn ana n a a a S )1(1)1(lg 2-+--=∴。
例6．已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a（Ⅰ）略；（Ⅱ）令).(3R x a b nn n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式. 解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）解：由,323nn n n n a b ==得 ,323)22(343212nn nn n S ⋅+-+⋅+⋅=-Λ① .323)22(34323132+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n S Λ②将①式减去②式，得.32)13(332)333(22112++⋅--=⋅-++-=-n n n n n n n S Λ 所以.32)31(31+⋅+-=n n n n S四、组合化归法 例7.求和：)12)(1(532321++++⋅⋅+⋅⋅=n n n S n Λ。
解析：)1(3)2)(1(2)342)(1(+-++=-++=n n n n n n n n a n Θ而连续自然数可表示为组合数的形式，于是，数列的求和便转化为组合数的求和问题了。
213221326122)1(,6)2)(1(++++-=∴=+=++n n n n n C C a C n n C n n n Θ)(6)(12212322323433+++++-+++=∴n n n C C C C C C S ΛΛ3243212333323444612)(6)(12++++-=+++-+++=n n n n C C C C C C C C ΛΛ)2()1(21)1)(2(2)1)(2)(3(!3)1)(2(6!4)1)(2)(3(122++=++-+++=++-+++=∴n n n nn n n n n n nn n n n n n S n评析：可转化为连续自然数乘积的数列求和问题，均可考虑组合化归法。
逆序相加法 例8.设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，求和：nn n n n n C a C a C a S +++=+Λ11001 解析：因为nn n n n n C a C a C a S +++=+Λ1100100111n n n n n n n n C a C a C a S +++=--+Λnnn n n n C a C a C a 0110+++=-Λ101010001110012)(2)())(()()()(2-+-+⋅+=∴+=++++=++++++=∴n n n n n n n n n n nn n n n n n n a a S a a C C C a a C a a C a a C a a S ΛΛ评析：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前项和n S 12)1(+-=nn ，是否存在等差数列{}n b 使得 nnn n n n C b C b C b a +++=Λ2211对一切自然数n 都成立。
递推法例6. 已知数列{}n a 的前项和n S 与n a 满足：21,,-n n n S S a )2(≥n 成等比数列，且11=a ，求数列{}n a 的前项和n S 。
解析：由题意：12),21(--=-=n n n n n n S S a S a S Θ.121122)1(11211)(21)21)((111112-=∴-=-+=⇒=-∴=-⇒--=----n S n n S S S S S S S S S S S S n n n n n n n n n n n n评析：本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直接求出数列{}n a 的前项和n S 的递推公式，是一种最佳解法。