数列求和方法小结

数列求和方法小结
等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.
下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）
将数列转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 常用公式：等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
， 等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)
1(1)1()
1(11q q
q a q na S n
n （切记：公比含字母时一定要讨论），
另
外
222221
(1)(21)
1236
n
k n n n k n =++=+++
+=
∑ ，
2
3
333
3
1
(1)1232n
k n n k
n =+⎡⎤
=+++
+=⎢⎥⎣⎦
∑
例1 ．
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2已知函数()x
f x =
（1）证明：()()11f x f x +-=；
（2）求128910101010f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+
+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
的值. 解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
1928551101010101010f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
128910101010S f f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=+
+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令 982110101010S f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+
+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
则
两式相加得：
192991010S f f ⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以92S =.
小结：对某些具有对称性的数列，可使用此法.
三、裂项相消法
如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.一些
常见的裂项方法： （1）
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++
（21
k
=
，特别地当1k ==例3 数列{}n a 的通项公式为1
(1)
n a n n =
+，求它的前n 项和n S
解：1231n n n S a a a a a -=+++++
()()
11111
122334
11n n n n =
++++
+⨯⨯⨯-+
=111111
11112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-+-+-+
+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
n
n n =-
=
++
小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项能够分解成两项的差，且这两项是同一数列
的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.
四、错位相减法
源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为
等比数列，均可用此法.
例4 ．已知数列)0()12(,,5,3,11
2
≠--a a
n a a n ，求前n 项和。

思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列1
2
,,,,-n a a a a 对应项
积，可用错位相减法求和。

解：()1)12(53112--++++=n n a n a a S ()2)12(5332n
n a
n a a a aS -++++=
()()n n n
a n a a a a S a )12(22221)1(:21132--+++++=---
当n
n n n a a a S a a )12()1()1(21)1(,12
1----+=-≠-时 2
1
)1()12()12(1a a n a n a S n n n --++-+=
+ 当2,1n S a n ==时
小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. 五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例5 求数列11
111
246
248162
n n ++，，，，，的前n 项和n S ．
分析：此数列的通项公式是1122n n a n +=+，而数列{2}n 是一个等差数列，数列112n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是一个等比数列，故采用分组求和法求解． 解：23411
111
111
(2462)(1)222
222
n n n S n n n ++⎛⎫=+++
+++++
+
=++- ⎪⎝⎭． 小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成
等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和. （四）巩固练习：
1．求下列数列的前n 项和n S ： （1）5，55，555，5555，…，
5(101)9
n
-，…； （2）
1111
,,,,
,
132435
(2)
n n ⨯⨯⨯+；
（3）
n a =
（4）2
3
,2,3,
,,
n a a a na ；
（5）13,24,35,,(2),
n n ⨯⨯⨯+；
（6）222
2sin 1sin 2sin 3sin 89++++．
解：（1）55555555
5n n S =+++
+个
5
(999999999)9
n =+++
+个
235
[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++- 235505
[10101010](101)9819
n n n n =++++-=--． （2）∵
1111()(2)22n n n n =-++，
∴11111111[(1)()()()]232435
2n S n n =
-+-+-++-+1
111
(1)2212
n n =+--++． （3
）∵n a
=
=
=
∴
1n S n =
+
+
+
1)(1n =++
++1=．
（4）23
23n n S a a a na =+++
+，
当1a =时，123n S =+++ (1)
2
n n n ++=
， 当1a ≠时，23
23n S a a a =+++…n na + ，
23423n aS a a a =+++…1n na ++，
两式相减得 2
3
(1)n a S a a a -=+++ (1)
1(1)1n n n n a a a na
na a
++-+-=--，
∴212
(1)(1)n n n na n a a
S a ++-++=-．
（5）∵2
(2)2n n n n +=+，
∴ 原式222(123=+++ (2)
)2(123n ++⨯+++…)n +(1)(27)
6
n n n ++=
．
（6）设222
2sin 1sin 2sin 3sin 89S =+++
+， 又∵222
2sin 89sin 88sin 87sin 1S =+++
+，
∴ 289S =，892
S =
．
2．已知数列{}n a 的通项65()2
()
n n
n n a n -⎧=⎨
⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．
解：奇数项组成以11a =为首项，公差为12的等差数列， 偶数项组成以24a =为首项，公比为4的等比数列； 当n 为奇数时，奇数项有
12n +项，偶数项有1
2
n -项， ∴1
121(165)
4(14)(1)(32)4(21)221423
n n n n n n n S --++--+--=+=+
-， 当n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有2
n
项，
∴2
(165)4(14)(32)4(21)
221423n n n n n n n S +----=+=+
-， 所以，1(1)(32)4(21)
()
23
(32)4(21)()
23n n n
n n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩
为奇数为偶数．
四、小结：
1．掌握各种求和基本方法；
2．利用等比数列求和公式时注意分11≠=q q 或讨论。