几种常见数列求和方法的归纳

几种常见数列求和方法的归纳
1．公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。

主要适用于等差，比数列求和。

（1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
（等差数列推导用到特殊方法：倒序相加）
（2）等比数列的求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)
1(1)1()1(11q q
q a q na S n
n （切记：公比含字母时一定要讨论）
（3）222221(1)(21)
1236n
k n n n k n =++=++++=∑（不作要求，但要了解）
例：（1）求=2+4+6+ (2)
'
（2）求=x+++…+(x )
2．倒序相加：适用于：数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同。

例：（1）求证：等差数列{}的前n 项和d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
$
（2）2222
sin 1sin 2sin 3sin 89+++
+ < .
3.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

例：（1）求和：(1)
个
n n S 111111111++++=
81
10
9101--+n n
（
（2）22222)1()1()1(n n n x x x x x x S ++++++
=
当1±≠x 时，n x x x x S n n n n 2)
1()
1)(1(22222+-+-=+
当n S x n 4,1=±=时
{
4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

（分式求和常用裂项相消）
常见的拆项公式：
111)1(1+-=+n n n n ，)
121
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ，
1111
()(2)22
n n n n =-++，
)
12)(12(1
1)12)(12()2(2+-+=+-n n n n n ，
2=
例：（1）求和：1111
,,,,
,
132435
(2)
n n ⨯⨯⨯+
`
.
（2）求和)12)(12()2(5343122
22+-++⋅+⋅=
n n n S n
1
2)
1(2++=
n n n S n
￥
5．错位相减法：比如{}{}.
,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ (适用于：等差数列乘
以等比数列的通项求和)
例：求和：23,2,3,,,n
a a a na
￥
当1a =时，123n S =+++ (1)
2
n n n ++=
，
当1a ≠时，212
(1)(1)n n n na n a a
S a ++-++=-
^
6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+- 的和。

5050
{
练：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式； a n ＝n .
'
(2)设2(1)n a
n n n b a =+-，求数列{b n }的前2n 项和． T 2n ＝22n ＋
1＋n －2
(
7．分类讨论求和
（1）分奇偶项：奇数项是一个数列，偶数项又是一数列。

（分组求和法的变通）。

例：已知数列{}n a 的通项65()2
()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．
21324(21)
()23
(35)4(21)()23n n n
n n n S n n n -⎧+--+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数
（2）分正负：数列中一些项为正，一些项为负。

例：已知公差为d 的等差数列{}n a ，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列，（1）求d ，n a ，（2）若0d <，求123n a a a a +++
+。

4,46n d a n ==+或1,11n d a n =-=-+
(21)11
2
(10)(11)11
2
n n n
n S n n n -⎧≤⎪⎪=⎨
--⎪>⎪⎩。