数列求和的几种方法(1)
数列求和的九种方法
数列求和的九种方法数列求和是数学中的一项基本技巧，在解题过程中经常会遇到。
为了求和一个数列，我们需要确定数列的通项公式，即根据数列中的规律找到一个表示该数列的函数。
在数列求和的过程中，有许多不同的方法可以使用。
下面将介绍九种常见的数列求和方法：逐项相加法、换元法、望眼法、边缘和法、归纳法、递推法、辅助行法、减法求和法和计算机辅助法。
1.逐项相加法逐项相加法是最基本的数列求和方法，即将数列中的每一项相加得到总和。
这种方法适用于数列的项数较少且没有明显的规律的情况。
2.换元法换元法是将数列中的每一项用一个新的变量表示，从而简化数列求和。
通过代入和逆代（将通项公式反解为原始项）两种方法，将数列求和转化为变量求和，从而计算出数列的总和。
3.望眼法望眼法是通过观察数列中的规律，寻找数列中的重复子列来简化求和。
通过找到重复子列后可以将数列分解为几个相同的子列求和，从而简化计算。
4.边缘和法边缘和法是将数列中的每一项的和用前面项的和表示，从而将数列求和转化为前缀和的计算。
该方法适用于数列中的每一项与前面的项之间有明显的关系的情况。
5.归纳法归纳法是通过数学归纳法的思想，利用数列的递推关系来计算数列的总和。
通过假设前n-1项的和为Sn-1，并推导得到前n项的和Sn的表达式，从而计算数列的总和。
6.递推法递推法是通过数列的递推关系来计算数列的总和。
通过将数列中的每一项与前面的项之间的关系列出，从而将数列的求和转化为递推关系的计算。
7.辅助行法辅助行法是将数列构造成一个表格的形式，通过辅助行的计算来求解数列的总和。
通过辅助行的计算，可以将原本复杂的数列求和转化为简单的表格求和。
8.减法求和法减法求和法是通过将数列求和转化为数列的差的求和来计算数列的总和。
通过将数列中相邻项之间的差进行求和，从而求解数列的总和。
9.计算机辅助法计算机辅助法是利用计算机的计算能力来求解复杂的数列求和问题。
通过编写计算机程序来实现数列求和，从而计算出数列的总和。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。
数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。
方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。
方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。
调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。
方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。
等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。
等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。
数列求和1
1 2n
1
1 2n
1
nn
1
1n
2
1 2
1
nn
1
n
1
1n
2
已知：an 3n 1,求
1 1 1
a1a2 a2a3
an an 1
五、公式法求和：
所给数列的通项是关于n的多
项式，此时求和可采用公式
法求和，常用的公式有：
数列求和
一、倒序相加法
如果一个数列{an}，与首末
两项等距的两项之和等于首 末两项之和，可采用把正着 写和与倒着写和的两个和式 相加，就得到一个常数列的 和，这一求和的方法称为倒 序相加法.
二、错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
四、分裂通项法：
把数列的通项拆成两项之差， 即数列的每一项都可按此法 拆成两项之差，在求和时一 些正负项相互抵消，于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称 为分裂通项法.
已知an
1
nn
2
,
求sn
1
nn 1
1 n
1 n -1
2n
1
12n
1
1 2
例 ： 求前n项的和.
三、分组求和法：
把数列的每一项分成两项， 或把数列的项“集”在一块 重新组合，或把整个数列分 成两部分，使其转化为等差 或等比数列，这一求和方法 称为分组求和法.
例：若数列{an}中， an= -2[ n - (-1)n ]，求 S10和S99．
数列求和的8种常用方法
数列求和的8种常用方法数列求和是数学中非常常见的问题，它的解法有很多种。
下面我将介绍8种常用的方法来求解数列的和，让我们一起来看看吧。
一、等差数列求和公式对于等差数列$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
二、等比数列求和公式对于等比数列$a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n个数，$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用等比数列求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1或者当q=1时，$S=a_1n$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
三、几何级数求和公式对于几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_1$表示第一个数，q表示公比，我们可以利用几何级数求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$，其中q≠1四、等差数列-等比数列混合求和公式对于等差数列-等比数列混合数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用等差数列-等比数列混合求和公式求解：$S = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} + \frac{n(n-1)d}{2}q^{(n-2)}$，其中q≠1五、反比例数列求和公式对于反比例数列$s_n = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n}$，其中$a_1$表示第一个数，我们可以利用反比例数列求和公式求解：$S = \frac{n}{a_1}$六、算术-几何级数求和公式对于算术-几何级数$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1 + (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差$S = \frac{a_1}{1-q} + \frac{d}{(1-q)^2}$，其中q≠1七、差分数列求和公式对于差分数列$s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$，其中$a_n = a_1+ (n-1)d$，$a_1$表示第一个数，d表示公差，我们可以利用差分数列求和公式求解：$S = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$其中S表示数列的和，n表示数列的项数。
数列求和的常用方法
数列求和的常用方法
1．公式法
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
5．分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并
项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
方法突破
1．等差、等比数列的求和
数列求和，如果是等差、等比数列的求和，可直接用求
和公式求解，要注意灵活选取公式．
2．非等差、等比数列的一般数列求和的两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．要记牢常用的数列求和的方法．。
数列求和公式的几种方法
数列求和公式的几种方法数列求和是数学中的一个重要问题，其解法有多种，下面将介绍几种常用的求和方法。
1.等差数列求和公式：当数列为等差数列时，可以使用等差数列求和公式来求和。
设首项为a，公差为d，共有n项，则等差数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)这个公式的推导比较复杂，不再详述。
2.等差数列求和的几何解释：我们可以通过对等差数列进行几何解释来得到求和公式。
首先，我们将等差数列排列成一个逆序的数列，然后把它与原数列叠加。
下面以等差数列1,2,3,4,5为例，进行解释。
1,2,3,4,55,4,3,2,1相加得到：6,6,6,6,6其和是n(a+an)/2，等差数列求和公式的等效形式。
3.等差数列和的差分法：我们可以利用数列的差分来求等差数列的和，方法如下：令Sn为等差数列的和，An为等差数列的第n项。
则Sn=A1+A2+A3+...+An=(A1+An)+(A2+An-1)+(A3+An-2)+...+(An)将上两行相加得到：2Sn=(A1+An)+(A1+An)+...+(A1+An)=(n/2)*(A1+An)这样就得到了等差数列求和公式。
4.等比数列求和公式：当数列为等比数列时，可以使用等比数列求和公式来求和。
设首项为a，公比为r，共有n项，则等比数列的和Sn可以通过公式给出：Sn=(a*(1-r^n))/(1-r)这个公式的证明需要使用数学归纳法。
5.级数求和：在数学中，级数是指无限等差数列的和。
常见的级数求和有等差级数、等比级数和调和级数等。
对于等差级数，其和可以通过等差数列求和公式得出。
对于等比级数，其和可以通过等比数列求和公式得出。
调和级数的和是一个无穷大，它表示为：S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n+...调和级数有很多有趣的性质和应用，但关于调和级数的求和公式目前还没有找到。
6.微积分方法：在微积分中，我们可以使用积分来求和。
对于连续函数f(x)，我们可以通过积分得到其在区间[a,b]上的和：S = ∫[a, b] f(x) dx这种方法可以求解一些特殊的数列求和问题，比如调和级数的和。
数列求和7种方法(方法全-例子多)精选全文
可编辑修改精选全文完整版数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解： 原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。
13.数列求和7种常用方法
例.已知函数 f (x) ，4x求
4x 2
f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) f ( 2012) f ( 2013)。
2014 2014 2014
2014 2014
解：
f (1 x)
41 x 41x 2
4 4 24x
2 4x 2
f (x) f (1 x) 1
(3)an 2n, Sn n 2 n
(6)an
n3, Sn
[ n(n 1)]2 2
2、公式法 (1)等差数列:
(2)等比数列:
Sn
a1
a2 2
n
na1
n(n 1) 2
d
Sn
na1 a1 (1
q
n
)
1 q
a1 anq) 1 q
q 1 q 1
3、倒序相加法
适用于与首末两项等距离的两项之和相等的数 列求和,比如等差数列求和的推导.
数列求和常见解题方法
数列求和的常用方法
不同的数列求和，适用不同的方法，决定选取哪 种方法关键是看数列的通项的形式。
1、记忆法:适用于常见数列求和
1 (1)an n, Sn 2 n(n 1)
(4)an
n2,
Sn
n(n
1)(2n 6
1)
(2)an 2n 1, Sn n2
(5)an 2n1, Sn 2n 1
相邻两项组合，所 以要分n的奇、偶
例.化简 1 5 9 13 17 21 (1)n1 (4n 3);
解： 当n为偶数时：
原式 （1 5) (9 13) [(4n 7) (4n 3)];
4444
n 个4 2
2n
注意 个数
当n为奇数时：
数列求和的几种方法
数列求和数列求和的常见方法有：1、 公式法：（1）等差等比数列的求和公式，（2）22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ 2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含n (-1)因式，周期数列等等）3、倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
特征：a n +a 1=a n-1+a 2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）4、错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。
特征：所给数列｛a n ｝，其中a n =c n ·b n ｛c n ｝是一个等差数列，｛b n ｝是一个等比数列。
（“等比数列”的求和）5、裂项相消法： 把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。
常见的拆项公式：(1)1a n a n+m =1md (1a n -1a n+m)(其中｛a n ｝是一个公差为d 的等差数列； ba +1 = 1a-b ( a - b )； n ·n!=(n+1)! - n!； ⑵ 1111()()n n k k n n k =-++； ⑶ 2211111()1211k k k k <=---+ ⑷ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ⑸ ()()111!!1!n nn n =-++⑹<< ⑺ 1--=n n n S S a (2)n ≥。
数列求和的方法
数列求和的方法1. 公式法（1）等差数列、等比数列公式（2）重要公式：1+2+…+n=21n(n+1)； 12+22+…+n 2=61n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=41n 2(n+1)2； 若数列{}n a 是公差为12的等差数列，其前100项和为145，则13599a a a a ++++ 的值为2. 倒序相加法S n 表示从第一项依次到第n 项的和，然后又将S n 表示成第n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法。
=+++++nn n n n C n C C C )12(53210 3. 错位相减法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错位相减法。
求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S4. 裂相求和法将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。
用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)11(1))((1C An BAn B C C An B An a n +-+-=++=；)1(1+n n =n 1－11+n ；n ·n ！=(n+1)!－n!；C n －1r －1=C n r －C n －1r ；)!1(+n n =!1n －)!1(1+n 等 1111122399100++++⨯⨯⨯ 等于 求和：11111121231234123n +++++++++++++++5. 分组求和法把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n求和：323n n a n n n =+++已知数列{}n a 中⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数 为奇数 n n n a nn ,2,152，求{}n a 前n 项的和n s。
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（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
２、设法消去中间项:
S sin 89 sin 88 sin 87 sin 1
2 2 2 2
2S 89
89 S 2
例题1. 求和 2 n1 (1) 2 ( x 2) ( x 3) ( x n)(x 0)
0 1 2 n ( x x x x ) 分析:原式=(1+2+3+…+n)+
[解]原式=
1 x 1 xຫໍສະໝຸດ n1n( n1) (x≠1) 2
n(n+3)/2
(x=1)
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。 而求此类数列的和，一般是把数列的每一 项分成两项，再分别利用等差和等比数列 的求和公式求解。此方法称为分组求和 法。
A+G 分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别 求和而后相加减． 【分组求和法】数列{(－1)n· n}的前n项和Sn=？
数列求和的方法
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过 对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
1、转化成等差、等比数列求和 (1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
a5 a6 9, 求 log3 a1 log3 a2 log3 a10 的值.
并项法求和 例 求和：
(1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1· n2.
(1)因为an=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+（3n-2）
n(2n 1 3n 2) 5 2 3 = = n - 2 n, 2 2 5 2 2 2 3 2 所以Sn= 2 (1 +2 +3 +…+n )2 1 = n(n+1)(5n-2)(n∈N*). 6
(1+2+…+n)
(2)当n是偶数时，
＝2n+1－2－n· 2n+1
∴Sn＝(n－1)· 2n+1＋2
1 “ 型” 的数列如何来求和呢？ A B
1 “ 型” 的数列多为分母是两项乘积，分 A B
子相同的数列求和。求解时，一般把通项 分裂成两项差的形式，再通过求和达到 前后抵消的目的。此种求和的方法称为 裂项法求和。
1 A B
裂项相消法
一．复习提问： 1、等差数列求和公式： n( n 1) n( a1 an ) d Sn= na1 Sn= 2 2
Sn an bn
2
(a, b R)
2、等比数列求和公式: na1 (当q=1时) Sn= a1 (1 q n ) a1 anq n Sn ( 当 q≠1 时 ) 1 q 1 q
2.求 1 1+ 2 , 1 2 3 , 1 3 4 + + 1 n n1 的前n项和Sn
用裂项求和法.a n n 1 n
3.求1 2,2 3, ,n (n+1)的和
用分项求和法.a n n n
2
4.已知数列{a n }的通项公式为a n =(3n-1) p n， 求它的前n项之和Sn。 用错位相减法.
Sn 2 p 5 p 2 8 p 3 3( n 1) 1 p n 1 (3n 1) p n pS n 2 p 2 5 p 3 3( n 1) 1 p n (3n 1) p n 1
合并项求和
•
特殊的数列，在求数列 的和时，可将一些项放在一 起先求和，然后再求Sn.
Sn=(12-22)+(32-42)+…+［(n-1)2-n2］ =-3-7-…-(2n-1)= 当n是奇数时， Sn=1+(32-22)+(52-42)+…+［n2-(n-1)2］ =1+5+9+…+(2n-1)=
2 n(n 1) . 2
zxxkw
n(n 1) 2
.
故Sn=(-1)n-1 n(n 1) (n∈N*).
我们把这种类型的数列称为“A G”型。 此类方法类似于等比数列求和的公式的 推导方法，叫做错位相减法。
A*G 错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应 项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求. 【错位相减法】设 {an}的前n项和为Sn，an＝n· 2n，则Sn＝
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可 以相互抵消，从而求得其和．
【裂项求和法】{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝
1 ，则 Sn= nn＋1
练习：
指出下列求和的方法：
1 1 1 1.求 , , , 的和 1 4 4 7 (3n-2)(3n+1)
1 1 1 用裂项求和法.a n ( ) 3 3n 2 3n 1
解析：∵Sn＝1· 21＋2· 22＋3· 23＋„
＋ n· 2n
①
∴ 2Sn＝
1· 22＋2· 23＋3· 24＋„＋(n－1)· 2n＋n· 2n+1②
n 2 1 － 2 2 3 n n +1 ① －②得－ S ＝ 2＋ 2 ＋ 2 ＋ „＋ 2 － n· 2 ＝ － n· 2n+1 n 1－ 2
Sn a(bn 1) (a 0, b 0且b 1)
基本方法---公式法 常用的公式有：
(1)等差数列{an}的前n项和 n(n 1) n(a1 an ) d . Sn=① =② na1+ (2)等比数列{an}的前n项和
2 2
a1 an q a1 (1 q n ) Sn=③ =④ 1 q (q≠1). 1 q 1 2 2 2 2 (3)1 +2 +3 +…+n =⑤ n(n+1)(2n+1) 6 1 2 2 3 3 3 3 n ( n +1) (4)1 +2 +3 +…+n =⑥ 4 .
.
倒序相加
例1：求值 sin 1 sin 2 sin 3 sin 89
2 2 2 2
cos1 sin89 sin 1 sin 89 1
2 2
令 S sin 1 sin 2 sin 3 sin 89
2 2 2 2