无穷级数求和问题地几种方法-无穷级数求和地方法
级数求和方法总结
级数求和方法总结级数求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧*。
以下是小编整理的级数求和方法总结，欢迎阅读。
一、定义法这是以无穷级数前n项求和的概念为基础，以拆项，递推等为方法，进行的求和运算。
这种方法适用于有特殊规律的无穷级数。
二、逐项微分法由于幂函数在微分时可以产生一个常系数，这便为我们处理某些幂函数求和问题提供方法.当然从实质上讲，这是求和运算与求导（微分）运算交换次序问题，因而应当心幂级数的收敛区间（对后面的逐项积分法亦如此）.有时候，所求级数的通项为另一些函数的导数，而以这些函数为通项的级数易于求和，则可将这些函数逐项求导。
三、逐项积分法同逐项微分法一样，逐项积分法也是级数求和的一种重要方法，这里当然也是运用函数积分时产生的常系数，而使逐项积分后的新级数便于求和。
【拓展延伸】数列求和的方法一、分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成，则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。
一般步骤是：拆裂通项??重新分组??求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和解由和式可知，式中第n项为an=n（3n+1）=3n2+n∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2=n（n+1）2二、奇偶分析求和法求一个数列的前n项和Sn，如果需要对n进行奇偶*讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解，这种方法称为奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）分析：观察数列的通项公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn与数列项数n的奇偶*有关，故利用奇偶分析法及分组求和法求解，也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。
无穷级数求和问题的几种方法-无穷级数求和的方法
⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法-⽆穷级数求和的⽅法⽬录摘要 (2)1⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法 (2)利⽤级数和的定义求和 (2)利⽤函数的幂级数展开式求和 (3)利⽤逐项求积和逐项求导定理求和 (4)逐项求极限 (5)利⽤Flourier级数求和 (7)构建微分⽅程 (9)拆项法 (9)'将⼀般项写成某数列相邻项之差 (10)2总结 (12)3参考⽂献 (12)$⽆穷级数求和问题的⼏种⽅法摘要：⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，同时⽆穷级数求和问题，也是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.然⽽，⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 关键词：数项级数；幂级数；级数求和⽆穷级数是数学分析中的⼀个重要内容，它是以极限理论为基础，⽤以表⽰函数，研究函数的性质以及进⾏数值计算的⼀种重要⼯具.然⽽数学分析中注重函数的敛散问题，却对⽆穷级数求和问题的⽅法介绍的⽐较少，所以求和问题是学⽣学习级数过程中较难掌握的部分.⽆穷级数求和没有⼀个固定的⽅法可循.本⽂结合具体例⼦，根据不同的⽆穷级数的不同特点，介绍⼏种常⽤的求⽆穷级数的和的⽅法和技巧. 1利⽤级数和的定义求和定义[1]若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 收敛于有限值S ，即1lim lim n n n n n S u S ∞→∞→∞===∑,则称级数1n n u ∞=∑收敛，记为1n n u S ∞==∑，此时S 称为级数的和数；若部分和数数列{}n S 发散，则称级数1n n u ∞=∑发散.例1 /例2求级数()∑∞=--1112n n q n ，1≤q 的和 .解： 2311357(21)n n S q q q n q -=+++++- (1) 2341357(23)(21)n n n qS q q q q n q n q -=+++++-+- (2)（1）-（2）得：11(1)12(21)1n n n q q S q n q q ---=+---12112(21)1(1)1n nn q q S q n q q q--=+-----212lim 1(1)n n qS q q →∞=+--即级数和2121(1)q S q q =+--. 2利⽤函数的幂级数展开式求和利⽤函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下⾯是⼏个重要的幂级数展开式：例（01,!xnn e x x n ∞==-∞<<+∞∑1,111n n x x x ∞==-<<-∑ 01ln(1),11!n x x x n ∞=-=--≤<∑3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-等等. 例2 求0(1)(21)!nn nn ∞=-+∑的和.解 : 0(1)(21)!nn n n ∞=-+∑0(21)11(1)(21)!2n n n n ∞=+-=-?+∑ 0111(1)2(2)!(21)!n n n n ∞=??=--??+??∑=001111(1)(1)2(2)!2(21)!n n n n n n ∞∞==---+∑∑ 注意到3521sin (1),()3!5!(21)!n nx x x x x x n -=-+-+-+-∞<+∞-242cos 1(1),()2!4!(2)!nx x x x x n =-+-+-+-∞<+∞>得1(1)(cos1sin1)(21)!2nn n n ∞=-=-+∑.3利⽤逐项求积和逐项求导定理求和定理[2]设幂级数()nnn a x x ∞=-∑的收敛半径为R ,其和函数为()x S ，则在00(,)x R x R -+内幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对00(,)x R x R -+内任意⼀点x ，有：10000()()()1xx nn nn x x N n a a x x x x S x dx n ∞∞+==-=-=+∑∑10000()()()n n n n n n d d a x x na x x S x dx dx ∞-==??-=-=??∑∑并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为R . 例3[]3 计算⽆穷级数()() +-++?-+--14534231215432n n x xxxxnn之和(1)x <.解：对于级数()xxnn n+=∑-∞=111(1)x <. ^两边从0积分到x 得()()x nx n n n+=++∞=∑-1ln 11,(1)x <，两边从0积分到x 得()()()()()()x x x x dt t n n xn n nx++-+=+=++?∑-+∞=1ln 1ln 1ln 21021,(1)x <上式右边是原级数. 故级数和()()x x x x S ++-+=1ln 1ln ,(1)x <.例4 求幂级数()()x nn n n n 2112111??-+∑-∞=的和函数()x S .解：令2t x =，幂函数()11111(21)n n n t n n ∞-=??-+??-??∑的收敛半径 '11(21)lim 11(1)(21)n n n R n n →∞+-=+++故原函数的收敛半径1R ==，从⽽收敛区间为(1,1)-，⽽知级数2122211(1)(),(1,1)1n nnn n x xx x x ∞∞-==-=--=∈-+∑∑，记1211()(1),(0)0(21)n n n x x n n ??∞-==-=-∑，'121'12()(1),(0)021n n n x x n ??∞--==-=-∑且''12212212()(1)22(1),(1,1)1n n n n n n x xx x x∞∞---===-?=-?=∈-+∑∑ 于是(1,1)x ∈-，对上式，从0到x 作积分得'''0 ()()()2arctan x x x d x x ??==?,'()()()2arctan xxx x d x xdx ??==??=122012(arctan 2arctan ln(1)1x x dx x x x x -=-++?因此222()2tan ln(1),(1,1)1x f x x x x x x=+-+∈-+. 4逐项求极限如果函数在端点处⽆定义，那么可⽤求极限的⽅法讨论在端点处的和函数. 例5 []4 求幂级数121(1)1n nn x n +∞=--∑的和函数.,解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为[]1,1-.（2）再求幂级数在其收敛区间(1,1)-上的和函数，下⾯⽤逐项求导的⽅法求解.设1122()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑，(1,1)x ∈- 则有1'12()(1)1n n n x f x n +∞-==--∑ 1n x x n ∞==-∑再设1()(1)nnn x g x n ∞==-∑，(1,1)x ∈-⼜有1'11()(1)1n nn x g x n x -∞==-=-+∑-于是对上式两边进⾏积分，得1()()(0)1xg x dt g t=-++?ln(1)x =-+ 并有'()()ln(1)f x xg x x x ==-+.再进⾏积分，⼜得0()ln(1)(0)xf x t t dt f =-++?221ln(1)224x x x x -=+-+（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数221()ln(1)224x x x f x x -=+-+在1x =处左连续，⽽幂级数在1x =处收敛，所以等式》21(1)ln(1),1224n n n x x x x x n +∞-=--=+-+-∑ 在1x =处也成⽴.但因()f x 在1x =-处⽆定义，故要改⽤逐项求极限来确定该幂级数在1x =-处的值，即由22111lim ()lim ln(1)224x x x x x f x x ++→-→-??-=+-+ 11ln(1)3lim 1241x x x x +→-??-+=?++?12131lim 14(1)x x x +→-+=+-+34= 得到112123lim ((1))41n n x n x n ++∞-→-==--∑11212lim ((1))1n n x n x n ++∞-→-==--∑ 1122(1)(1)1n n n n +∞-=-=--∑2211n n ∞==-∑ %所以原幂级数的和函数为221ln(1),(1,1]224()3,14x x x x x S x x ?-+-+∈-??=??=-??.5利⽤Flourier 级数求和求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在[]0,2π或[],ππ-上展成傅⾥叶级数，然后再去适当的x 值或逐项积分即可.例6[5]求21(1)nn n ∞=-∑的和.解：21(1)n n n ∞=-∑可以看作是余弦函数21(1)cos nn nx n∞=-∑在0x =时的值，因此可以考虑适当选取⼀个偶函数()f x ，满⾜21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?对于上式左端利⽤分部积分，得到'''22111()cos ()cos ()cos f x nxdx f x nx f x nxdx n n πππππππππ---??=-='''(3)233111()cos ()sin ()f x nx f x nx f x n n nπππππππππ---??-+ 注意到$cos cos()(1)nn n ππ=-=-有1(1)1()cos ()()()sin n f x nxdx f f f x nxdx n n πππππππππ---??=--+?取21()4f x x =，则21(1)()cos nf x nxdx nπππ--=?同时211()6f x dx n πππ-=?，这样21()4f x x =在[],ππ-上的Flourier 级数为 222111(1)cos 412n n x nx nπ∞=-==+∑ `令0x =，得2=-=∑ 例7[4]证明: 441190k k π∞==∑.证明:将函数2()()2xf x π-=展成傅⾥叶级数222001()26xa dx ππππ-==22211()cos 2k xa kxdx k πππ-=， 0k b =是2221cos ()(),02212k xkxf x x k πππ∞=-==+≤≤∑由柏塞⽡尔等式（函数2()( )2xf x π-=连续）2224040111()()22k k k a xa b dx k πππ∞=-++=∑?,有2422444011111ππππππππ∞-=-+===∑?即441190k k π∞==∑. 6构建微分⽅程如果某些级数的⼀般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利⽤经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分⽅程，然后解微分⽅程来求其和.例8 求级数11112242462468-+-+之和.解：设幂级数246821()(1)2242462468(2)!!nn x x x x x S x n -=-+-++-+则3572'1()(1)224246(2(1))!!nn x x x x S x x n -=-+-++-+24681()2242462468x x x x x ??=--+-+(1())x S x =-于是所得⼀阶微分⽅程：'()(1())S x x S x =-,其通解为22()1,x S x Ce-=+由(0)0S =得1C =- 因此得22121()(1)1(2)!!x nn N xS x Ce n ∞--==-=-∑从⽽121111(1)12242462468S e --+-+==-.7拆项法⽆穷级数求和时，有时根据⼀般项的特点，将⼀般项进⾏拆分来简化运算过程.例9 求幂级数121(1)n n n n x ∞-=-∑的和函数.解:先求幂级数的收敛域.因为1n =，且级数121(1)n n n ∞-=-∑与21所以幂级数的收敛域为(1,1)-. 由于2(1)(2)3(1)1n n n n =++-++因此12111111(1)(1)(1)(2)3(1)(1)(1)n nn nnnn n n n n n n x n n x n x x ∞∞∞∞---====-=-++--++-∑∑∑∑12''11'11(1)()3(1)()1n n n n n n x xx x ∞∞-+-+===---++∑∑ 12''11'1())3((1)())1n n n n n n x xx x∞∞-+-+===---++∑∑ 32'''()3()111x x x x x x=-++++ 【23(1)x x x -=+,(1,1)x ∈-因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为23()(1)x x S x x -=+,(1,1)x ∈-.8将⼀般项写成某数列相邻项之差⽤这⼀⽅法求⽆穷级数的和，⾸先需要解决：已知1n n u ∞=∑，如何求n v当111n n n n m u b b b ++-=，其中(1,2,)i b i =形成公差为d 的等差数列时，1111n n n n m v md b b b ++-=-（m 为待定因⼦）.于常数项级数1n n u ∞=∑，如果能将⼀般项写某数列{}n v 的相邻两项之差:1n n n u v v +=-且极限lim n n u v ∞→∞=存在，则21321111()()()n k n n n n S u v v v v v v v v ∞++===-+-+。
数列与级数的8种求和方法专题讲解
数列与级数的8种求和方法专题讲解简介本文将介绍数列和级数的8种常见求和方法，包括递推公式、几何级数、等差数列求和、等比数列求和、伪等差数列求和、伪等比数列求和、特殊级数求和和无穷级数求和。
1. 递推公式递推公式是通过前一项和该项之间的关系来逐项求和的方法，通常用于求解迭代式数列的和。
递推公式可以通过给定的初始项以及递推关系进行求和。
2. 几何级数几何级数指的是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解几何级数的和可以通过使用几何级数公式来进行计算。
3. 等差数列求和等差数列是一个数列中的各项与其前一项之差保持恒定的数列。
求解等差数列的和可以通过等差数列求和公式进行计算。
4. 等比数列求和等比数列是一个数列中的各项与其前一项之比保持恒定的数列。
求解等比数列的和可以通过等比数列求和公式进行计算。
5. 伪等差数列求和伪等差数列是一个数列中的各项与其下标之差保持恒定的数列。
求解伪等差数列的和可以通过伪等差数列求和公式进行计算。
6. 伪等比数列求和伪等比数列是一个数列中的各项与其下标之比保持恒定的数列。
求解伪等比数列的和可以通过伪等比数列求和公式进行计算。
7. 特殊级数求和特殊级数指的是具有特殊性质的级数，如调和级数、斐波那契级数等。
求解特殊级数的和需要根据其特定的性质和规律进行计算。
8. 无穷级数求和无穷级数是指一个无穷多项的级数。
求解无穷级数的和需要使用极限的概念，并根据级数的收敛性和发散性进行判断和计算。
以上是数列与级数的8种常见求和方法的专题讲解。
每种求和方法都有其适用的情况和特点，在实际问题中需要选择合适的方法进行求解。
希望本文能为读者提供一些有用的参考和指导。
无穷级数求和公式推导
无穷级数求和公式推导无穷级数求和是数学中重要的概念之一，它将无限个数相加并求得其总和。
在数学中，我们可以使用一些公式来推导无穷级数的和，其中最著名的是等比级数求和公式和调和级数求和公式。
一、等比级数求和公式的推导等比级数是指一个数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。
假设等比级数的首项为a，公比为r，则等比级数可以表示为：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...为了推导等比级数求和公式，我们可以使用以下方法。
我们假设等比级数的和为S，即S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...接下来，我们将等比级数的每一项乘以公比r，并将两个等式相减，可以得到：rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...接着，我们将上述两个等式相减，得到：S - rS = a化简得到：S(1 - r) = a因此，我们可以得到等比级数求和公式：S = a / (1 - r)这就是等比级数求和公式的推导过程。
二、调和级数求和公式的推导调和级数是指一个数列中的每一项的倒数之和。
调和级数可以表示为：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...为了推导调和级数求和公式，我们可以使用以下方法。
我们可以将调和级数的部分项相加，并将其表示为一个数列的和：S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...接下来，我们将调和级数的每一项倒数与1相加，并将其表示为一个数列的和：1/S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...然后，我们将上述两个等式相加，可以得到：S + 1/S = 2(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)化简得到：S^2 + S = 2S(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)进一步化简得到：S^2 + S = 2S^2再次化简得到：S^2 = S因此，我们可以得到调和级数求和公式：S = ∞这就是调和级数求和公式的推导过程。
大学数学无穷级数的收敛性与求和
大学数学无穷级数的收敛性与求和大学数学：无穷级数的收敛性与求和无穷级数是数学中一个重要的概念，它由一系列无穷多项的代数和组成。
在数学中，我们对于一个无穷级数的收敛性和求和有着浓厚的兴趣和研究。
本文将讨论无穷级数的基本概念、收敛性判定方法以及求和公式。
一、无穷级数的概念无穷级数的概念可表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...其中，a₁，a₂，a₃，...，aₙ代表级数的每一项。
根据级数的无穷性质，我们可以看到级数的项数n无限大。
因此，无穷级数可以看作是无限多项求和的结果。
二、无穷级数的收敛性对于无穷级数的研究，我们最关注的问题之一就是它的收敛性。
在数学中，无穷级数可能出现以下三种情况：1. 收敛：如果一个无穷级数的部分和数列存在有限的极限值，即Sₙ的极限存在，则称该级数是收敛的。
我们可以用符号表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...= lim Sₙ (n→∞)2. 发散：如果一个无穷级数的部分和数列没有有限的极限值，即Sₙ的极限不存在，则称该级数是发散的。
3. 不确定：在某些情况下，我们无法判断一个无穷级数的收敛性，这种情况被称为不确定。
三、无穷级数的收敛性判定为了确定一个无穷级数的收敛性，数学家们发展了许多判定方法。
下面介绍其中几种主要的方法：1. 正项级数判别法：如果一个无穷级数的每一项都是非负数，并且部分和数列有界，则该级数是收敛的。
2. 比较判别法：如果一个无穷级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是收敛的，则该级数也是收敛的。
类似地，如果一个无穷级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，而另一个级数是发散的，则该级数也是发散的。
3. 比值判别法：对于一个无穷级数，如果存在一个正常数r，使得级数的项的绝对值与n的幂次之比的极限为r，则有以下结论： - 当r<1时，级数收敛；- 当r>1时，级数发散；- 当r=1时，判定不确定。
无穷级数求和方法解析
116
i n
1
4
'h )=
• * ) = ------- h l n ( 1 — n ) ， 其中 n 1一n
n= i
n
(一 1 ， 1)， 所以
/ n )， /(n ) 的通解为/ n ) 2 2 n! . = 1 ( n — 1) ! 2 n c e n 。又 当 n = 〇时 ， c / n ) = 1， 所以级数的和为/ n ) 2 6. 7. 8. 参考文献： [1] [2] 华东师范大学数学系.数学分析（ 第四版， 下 册 ） M ]. 程 海 来 .一 些 无 穷 级 数 的 求 和 [ ] . 大 学 数 学 ， 2013, 北京： 高等教育出版社， 2 0 10. = cn . 定义法求和（ 略） 错位相减法求和（ 略） 裂项法求和（ 略）
— — n s i n (c n )— = n7 cJ — n n 2n = (— 1) n — 2,3,… ） . n 2 (其中 n = 1 ，
0
—
— fn
n 2J
—^ x cs o( s n n )— co
0
由 狄 利 克 雷 收 敛 条 件 可 知 / —) = —
n
3
¥ (_ |)n --- 2 — c o s ( n n .)， 其中 0 < —< n 。现在令 n = n 得 ： n2
S n
^^
n x n=
3 —n
-+ l n (1— n )
(1
— n )2
3 . 利 用傅 里 叶 级 数 求 和 【 例 3】 求 级 数 ][；
n2
解： 构造傅里叶函数/ — ) = — ， 其 中 n 6 [0， n] ， 作偶 延拓得： 呈―. ）= — ， 一n ^ n ^ n . 由此可知傅里叶系数为： 6 n = 0,其 中 n = 1 ， 2,3,… 2—
高等数学中的无穷级数求和
高等数学中的无穷级数求和引言：无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
无穷级数求和的问题一直以来都是数学家们关注的焦点之一。
本教案将以高等数学中的无穷级数求和为主题，通过分析和讨论不同类型的无穷级数求和方法，帮助学生深入理解无穷级数的性质和求和技巧。
一、级数的定义与性质1.1 级数的定义无穷级数是由一列数的和组成的，形如：S = a1 + a2 + a3 + ...其中，a1、a2、a3...为级数的项。
1.2 级数的收敛与发散级数的和S存在时，称该级数收敛，否则称级数发散。
1.3 级数的部分和级数的部分和Sn表示级数前n项的和，即：Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an二、常见的无穷级数求和方法2.1 等差数列求和当级数的项满足等差数列的形式时，可以利用等差数列求和公式进行求和。
例如：S = 1 + 3 + 5 + ...可以将其转化为等差数列的求和问题。
2.2 几何级数求和几何级数是指级数的项之间的比值为常数的级数，形如：S = a + ar + ar^2 + ...其中，a为首项，r为公比。
2.3 幂级数求和幂级数是指级数的项是幂函数的系数，形如：S = a0 + a1x + a2x^2 + ...其中，a0、a1、a2...为系数。
三、常见的无穷级数求和技巧3.1 逐项求和法逐项求和法是指将级数的每一项分别求和，然后将这些部分和相加得到级数的和。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.2 积分法积分法是指将级数的每一项进行积分，然后求出积分结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
3.3 求导法求导法是指将级数的每一项进行求导，然后求出导数结果的极限值。
这种方法适用于某些特殊的级数，如幂级数。
四、经典的无穷级数求和问题4.1 调和级数求和调和级数是指级数的每一项为倒数的级数，形如：S = 1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个经典的发散级数，但可以通过取部分和的方式得到一个无穷大的极限。
无穷级数求和的方法与技巧
n =1
（x ） Σ 2
x 0
∞
（ n- 1 ）
= 1 ， 2- x
∴S （x ） =
1 dt=ln2- ln （2- x ） 。 乙S'（t）dt= 乙 2t
0
责任编辑
李叶亚
（上接第 95 页 ） 9π ， 得解。 16
ΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣΣ
所以 P ≤ =F1(1) · F2(1)= 3 π · 3 π= 9 π2。 X≤1,Y≤1 ≤ 4 4 16 从上面例子的解法二可以看出， 针对这类问题， 也可以 利用联合分布函数的特点直接判断独立性，较为简便地解 决问题。 参考文献
[1] 复旦大学编.概率论.北京:人民教育出版社,1979:129:142. [2] 浙江大学编 . 概率论与数理统计 .4 版 . 北京 : 高等教育出版社 , 2009:60~67. [3] 王明慈,沈恒范主编.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社, 2007:44~52. [4] 刘国旗.关于二元随机变量独立性的判定条件.安徽建筑工业学 院学报:自然科学版 2001,9(2):76~78.
n =1 ∞ n =1 n =1 ∞ ∞
（un±vn ） 收敛， 且Σ （un±vn ） =Σun±Σvn。 当把级数分成两
n =1 n =1 n =1 ∞
个或多个 （有限个） 收敛级数的和时， 注意一定要保证 Σun
n =1 ∞
推广：对于实数 a≠0,- 1， b 为任意实数，无穷级数Σ
n =1
与Σvn 均收敛。
∞
1.2 拆项法 主要适用于无穷级数的通项为分式，分式的分母是因 式之积的形式的级数。 1 和。 （n+1 ） n =1 n 解： 由于 un= 1 =1 - 1 ， n （n+1 ） n n+1 所以： sn=1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 - 1 =1- 1 ， 2 2 3 n n+1 n+1 1 所以 s=lim sn=lim（1） =1. n→∞ n→∞ n+1 例 1： 求无穷级数的Σ
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无穷级数是数学分析中的一个重要容，它是以极限理论为基础，用以表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种重要工具.然而数学分析中注重函数的敛散问题，却对无穷级数求和问题的方法介绍的比较少，所以求和问题是学生学习级数过程中较难掌握的部分.无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据不同的无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧.
, ，
两边从0积分到 得
,
上式右边是原级数.
故级数和
, .
例4 求幂级数 的和函数 .
解：令 ，幂函数 的收敛半径
故原函数的收敛半径 ，从而收敛区间为 ，而知级数
，
记 ，
且
于是 ，对上式，从0到 作积分得 ,
=
因此
.
4逐项求极限
如果函数在端点处无定义，那么可用求极限的方法讨论在端点处的和函数.
例5 求幂级数 的和函数.
摘要 ………………………………………………………………………………2
1无穷级数求和问题的几种方法 …………………………………………………2
1.1利用级数和的定义求和 …………………………………………………2
1.2利用函数的幂级数展开式求和 ………………………………………3
1.3利用逐项求积和逐项求导定理求和 ……………………………………4
解：（1）容易验证该幂级数的收敛域为 .
（2）再求幂级数在其收敛区间 上的和函数，下面用逐项求导的方法求解.设
，
则有
再设
，
又有
于行积分，又得
（3）最后讨论幂级数在其收敛域上的和函数.因为函数
在 处左连续，而幂级数在 处收敛，所以等式
在 处也成立.但因 在 处无定义，故要改用逐项求极限来确定该幂级数在 处的值，即由
Keywords: Item series; Power series; Summation of Series
Abstract:The infinite series is an important part of mathematical analysis, and infinite series summation problem is a difficult part to master for students. However, infinite series summation has not a fixed method to follow. Combined with a concrete example, according to the different characteristics of the infinite series, we introduce several common methods and skills for infinite series in this paper .
1利用级数和的定义求和
定义 若级数 的部分和数列 收敛于有限值S，即 ,则称级数 收敛，记为 ，此时S称为级数的和数；若部分和数数列 发散，则称级数 发散.
例1求级数 ， 的和 .
解： (1)
(2)
（1）-（2）得：
即级数和
.
2利用函数的幂级数展开式求和
利用函数的幂级数展开式可以解决某些级数的求和问题.下面是几个重要的幂级数展开式：例
Several Methods of Problem of Infinite Series Summation
LiuYanhong
Mathematical sciences college,mathematics and applied mathematics
Advisor Liu Guanting
当 ，其中 形成公差为 的等差数列时， （ 为待定因子）.
于常数项级数 ，如果能将一般项写某数列 的相邻两项之差:
且极限 存在，
则
，
所以
.
例10 求级数 之和.
解：一般项
=
令
则
，
.
例11 求 的和.
解:
则
.
总之，穷级数求和没有一个固定的方法可循，其实无穷级数求和方法很多，我们要善于发现和总结.这里只介绍了一些常用的方法和技巧，希望对大家计算求和问题有一定的帮助.
1.4逐项求极限 ……………………………………………………………5
1.5利用 级数求和 …………………………………………………7
1.6构建微分方程 ……………………………………………………………9
1.7拆项法 …………………………………………………………………9
1.8将一般项写成某数列相邻项之差 ………………………………………10
等等.
例2 求 的和.
解 :
=
注意到
得
.
3利用逐项求积和逐项求导定理求和
定理 设幂级数 的收敛半径为 ,其和函数为 ，则在 幂级数可以逐项积分和逐项微分.即：对 任意一点 ，有：
并且逐项积分和逐项求导后的级数（显然是幂级数），其收敛半径仍为 .
例3 计算无穷级数 之和 .
解：对于级数 .
两边从0积分到 得
参考文献：
传璋.数学分析 .：高等教育.1983.
裘兆泰.王承国.数学分析学习指导 .：科学.2004.
素峰.关于无穷级数求和问题的探讨.学院学报,2008,23(4):100-101.
吴良森.毛羽辉.数学分析学习指导书 .：高等教育出版.2004.
玉琏.奎元.数学分析讲义学习辅导书 .：高等教育.1987.
2总结 ………………………………………………………………………………12
3参考文献 …………………………………………………………………………12
无穷级数求和问题的几种方法
摘要：无穷级数是数学分析中的一个重要容，同时无穷级数求和问题，也是学生学习级数过程中较难掌握的部分.然而，无穷级数求和没有一个固定的方法可循.本文结合具体例子，根据无穷级数的不同特点，介绍几种常用的求无穷级数的和的方法和技巧.
,
其通解为
由 得
因此得
从而
.
7拆项法
无穷级数求和时，有时根据一般项的特点，将一般项进行拆分来简化运算过程.
例9 求幂级数 的和函数.
解:先求幂级数的收敛域.因为 ，且级数 与 都发散，所以幂级数的收敛域为 .
由于
因此
,
因为幂级数的收敛域为，所以所求和函数为
, .
8将一般项写成某数列相邻项之差
用这一方法求无穷级数的和，首先需要解决：已知 ，如何求 ？
得到
所以原幂级数的和函数为
.
5利用 级数求和
求某些数值级数的和可选择某个特殊的函数在 或 上展成傅里叶级数，然后再去适当的 值或逐项积分即可.
例6 求 的和.
解： 可以看作是余弦函数 在 时的值，因此可以考虑适当选取一个偶函数 ，满足
对于上式左端利用分部积分，得到
=
注意到
有
取
，
则
同时
，
这样 在 上的 级数为
令 ，得
例7 证明: .
证明:将函数 展成傅里叶级数
，
是
由柏塞瓦尔等式（函数 连续）
,
有
即
.
6构建微分方程
如果某些级数的一般项的分母类似于阶乘的级数时，可以利用经过逐项积分或逐项积分后得到的级数之和函数与原级数的和函数构成微分方程，然后解微分方程来求其和.
例8 求级数 之和.
解：设幂级数
则
于是所得一阶微分方程：