论文_幂级数求和的方法

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安阳师范学院本科学生毕业论文----级数求和的若干方法

安阳师范学院本科学生毕业论文级数求和的若干方法作者 XXX系（院） XXX学院专业数学与应用数学年级 2016学号 164942087指导老师 XXX论文成绩日期2020年4月20日诚信承诺书郑重承诺：所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与作者一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.保密论文在解密后遵守此规定.作者签名：导师签名：日期：关于级数求和的若干方法XXX（安阳师范学院 XXX 学院，河南安阳 455002）摘要：在本文中，我总结了一些数学中级数求和的常用方法.在级数求和中我们经常会用到定义法、裂项法、并项法、待定常数法、错位相减法、子序列法、逐项微分法、逐项积分法、方程式法等等常用的方法.本文从级数的性质和应用上出发进而对求和进行详细的讲解和研究.关键词：级数求和；裂项法；逐项积分法；待定常数法 1 绪论 1.1 引言级数是数学分析的基本内容之一，它是表示函数，研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具.它包含常数项级数与函数项级数.常数项级数与数列之间有着一一对应的关系.而在函数项级数中，幂级数是常见的.谈到级数便不能不谈级数求和的问题，凡是收敛的级数都是可求和的，问题就在于我们应该采取什么样的方法来简化级数的求和问题，我们将在本文里系统的介绍数项级数求和的方法和技巧. 1.2 课题的背景和目的关于数项级数的求和，已有许多专家和学者对此产生了浓厚的兴趣，他们对某些具体的科目做出了具体的解法，像定义法、微分方程法、拆项法等等.虽然方法很多，但是都是对一些特殊的数项级数求和，而对一般普通的数项级数的求和方法问题很少学者提及，因此在这方面我们有研究的必要，并且有很大的研究空间.数项级数不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原因是很多函数能用数项级数表示，同时又能借助于数项级数来研究函数逼近和近视计数的问题.因此数项级数理论在数学分析或者实际应用中是研究函数的一种必要的数学工具，因而数项级数的求和问题非常重要，我们必须掌握它，因此数项级数的求和问题就成为实际应用中亟待解决的课题. 2 级数求和的方法求级数求和的方法有很多，其中我们经常会用到裂项法、并项法、待定常数法、错位相减法、子序列法、逐项微分法、逐项积分法、方程式法等等常用的方法，对不是同一类型的级数求和的方法不一样，有的可以用一种方法求解，有的不可以，因此了解各种方法求级数的和显得尤为重要. 2.1 利用定义求级数的和定义：给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ΛΛ++++n u u u 21 （1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数的（1）的通项或一般项.数项级数（1）也常写作∑∞=1n n u 或简单写作∑n u .数项级数（1）的前n 项之和，记为,211n nk k n u u u u S +++==∑=Λ称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和.利用定义求级数的和就是求级数部分和数列的极限，由于当∞→n 时，部分和,211n nk k n u u u u S +++==∑=Λ的项数无限增多，因此为了求n S 的极限，必须设法把n S 加以简化直至解出极限，但是如何加以简化n S 并没有一般的方法，下面我们通过例题加以介绍.例1 求ΛΛ+++++++)3121()3121()3121(22n n解：根据级数的前n 和公式得)313131()212121(22n n n S +++++++=ΛΛ=311)311(31211)211(21--+--n n =)311(21)211(n n -+-=)3121(23n n +-因此 ))3121(23(lim lim n n n n n S +-=+∞→+∞→=232.2 利用裂项法求级数的和裂项法：裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.裂项法求和公式：（1）111)1(1+-=+n n n n .（2）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n .（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n .利用裂项相消法求级数的和，关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式通常经过变形，有理化分子或分母，三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的，以下用具体例子来进行说明. 例2 计算()ΛΛ++⨯++⨯+⨯+⨯11431321211n n . 解由于()11431321211+⨯++⨯+⨯+⨯=n n S n Λ, 而()11111+-=+n n n n , 所以11141313121211+-++-+-+-=n n S n Λ,n+-=111.故原级数的和 1111lim =+-==∞→n S S n n . 如果一个级数的通项是一个三角函数式，则可考虑利用三角函数公式，将其化简为两式之差以便运用裂项相消.例3 若321,,b b b 为等差数列，公差为d ,且对一切自然数0,≠i b i ，如果极限Lnbn n =∞→lim 存在，且0≠L ，则级数ΛΛΛ++++++21432321111n n n b b b b b b b b b 必有和数存在，且其和2212Lb b dS =. 证明:因为21432321111+++++=n n n n b b b b b b b b b S Λ ，n b b b Λ21,是公差为d 的等差数列，所以有d b b nd b b n n n 2,211+=+=++从而]11[2121121121221++++++++-=-⋅=n n n n n n n n n n n n b b b b d b b b b b d b b b ]111111[2121143323221+++-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b b b b d S Λ =21212121212121]11[21++++++-=-n n n n n n b b b b b b b b d b b b b d =212122212121212121))(21++++++=-++n n n n b b b b d n nd b nd b d b b b b b b nd b nd b d （ =nb n b b b dn b n b n n 21212121++⋅⋅⋅++⋅. 又.,,0,02121L nb L n b n bn b n n n →→→→+∞→++时所以 2212lim L b b d S S n n ==∞→. 例4 在级数ΛΛΛ+++++⋅⋅+⋅⋅)2)(1(143213211n n n 中，11=b ，412,1lim,22212=====∞→L b b d S n b L b n n 所以级数的和. 注：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项，余下的项前后的位置是对称的，前后的正负性是相反的.2.3 利用待定常数法求级数的和命题如果20>b ，且对一切正整数n 有221-=-n n b b ，则级数ΛΛΛΛ++++-1210100111n b b b b b b b 必有和数存在，且其和24200--=b b S .为了便于证明，我先从命题的条件出发导出两个有用的结论.引理1 如果20>b ，且对一切正整数n 有221-=-n n b b ，则{n b }是严格单调递增数列. 证明：因为20>b 所以20-b ，010>+b 从而0)1)(2(00>+-b b ，即,02020>--b b 亦即,2020b b >-而,2120b b =-，这就证明了01b b >，依此类推，如果21>>-n n b b ，则同样可由01,02>+>-n n b b ，推得n n b b >+1所以，对于一切的ΛΛ2,1,0=n 都有 ΛΛ<<<<<<+1210n n b b b b b 这无异于证明了∞=∞→n n b lim .引理2 如果20>b ，且对一切正整数n 有221-=-n n b b ，则4lim20110-=-∞→b b b b b n n n Λ.证明：因为44)2(21212212+-=-=---n n n n b b b b所以对于一切正整数n 应有)4(421212-=---n n n b b b（2) 今对（1)式右边括号内的式子，重复应用（1)式，立即可以导出⋅=--2224n n b b )4(202022-⋅⋅-b b b n Λ亦即 44202212120--=⋅⋅⋅-b b bb b n n Λ 从而有 44)4(lim lim 2022*********-=--=⋅∞→-∞→b b b b b b b b nn n n n n Λ 所以 4lim20110-=-∞→b b b b b n n n Λ.下面据此证明该命题证明：由引理1可知ΛΛΛ<<<<<n b b b 102，所以对一切正整数n 应有n n b b b 211110<-Λ，而级数121121211=-=∑∞=n n 是收敛的，所以正项级数ΛΛΛΛ++++-110100111n a a a a a a 应当收敛，设其和数为S ,即ΛΛΛΛ+++++=-12102101001111n b b b b b b b b b b S 为了求得S 的数值，特引入待定常数A ，使得S Ab =-20.因为ΛΛΛ+++++=--1210210100011112n b b b b b b b b b b A bΛΛΛ++++=---1210210100011112n b b b b b b b b b b A b 等式两边同乘以0b ，并应用公式2201-=b b ，可得ΛΛΛΛ++++=--121211011112n b b b b b b Ab b 今将以上作法继续下去，并重复使用公式221-=-n n b b ，很容易得到ΛΛΛ++=-+-1110112n n n n n b b b b b Ab b亦即 ΛΛΛΛΛ++=-+--110110110112n n n n n nb b b b b b b b Ab b b b又因为原级数ΛΛΛΛ++++-110100111n b b b b b b 是收敛的，故其余项 )(011110110+∞→→++=+-n b b b b b b b b R n n n n n ΛΛ由此推得A b b b b A b b b b n nn n n n ==--∞→-∞→110110lim ,0)(lim ΛΛ即所以，有引理22422000--=-=b b A b S 得证. 例5 在级数 ΛΛ+⋅⋅+⋅+5272351235151中，因为,,2,2,52122010ΛΛ-=-==b b b b b 所以级数的和22152425524200-=--=--=b b S 例6 在级数ΛΛ+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+25717516421754252中，因为ΛΛ,2,252010-==b b b ，所以级数的和21244252524200=--=--=b b S 2.4 利用错位相减法利用一些常见数列的求和公式，如等差数列、等比数列等求和公式，结合其四则运算性质求出级数的和.当1,1na s q ==；当q q a s q n --=≠1)1(,11，其中1a 为首项，q 为公比.证明：1,1na s q ==易得当，当1≠q ，① ,1111-+++=n q a q a a s Λ ② ,1211n q a q a aq qs +++=Λ ①-②得.)1(11n q a a s q -=-可以导出一种方法“错位相减”，此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例6 计算ΛΛ+-++++n n 21225232132.解由于n n n s 21225232132-++++=Λ （3）143221225232121+-++++=n n n s Λ （4）()()43-式得143222222222222121+-++++=n n n s Λ=)212212111(212n n n --++++-Λ=]2122112111[21n n n ----+ 故原级数的和 321111lim =-+==∞→s n n S .点评：如果数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的例7 求()∑∞=+12211n n n 的和解：首先注意，因为()()()()∞→→+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++=∑∑∞==n n k kk k k S k nk n 11111111122122122，所以 ()1112122=++∑∞=n n n n ，同理可得()1111=+∑∞=n n n .又61212π=∑∞=n n，于是，根据收敛级数可以逐项加减等性质，可知()()()()∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++12121222211121211112n n n n n nn n n n n n n()2312621121222112-=⨯-⨯=+-=∑∑∞=∞=ππn n n n n所以()()()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+12222221221121111211n n n n n n n n n n n n1232--=π332-=π.2.5 利用子序列法求级数的和我们知道，若}{}{122+n n S S 与有相同极限s 则s S n n =∞→lim .因此对于级数∑∞=1n n a ，若通项0→n a (当+∞→n 时)，则部分和的子序列}{2n S 收敛于s ，意味着}{12+n S 也收敛于s ，从而s a n n =∑∞=1.我们把}{2n S 与}{12+n S 称为互补子序列.这个原理可推广到一般：若∑∞=1n n a 的通项0→n a (当+∞→n 时)，}{n S 的子序列s S n pn →∞=1}{（p 是某个正整数），则s a n n =∑∞=1.我们把这种方法称为子序列法.例8 计算 Λ+-++-++-+2716413219116181314121解此级数的通项趋近于零，所以只求n S 的极限即可⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n s 313131212121212323ΛΛ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--3113113121121121112n n 21311131211121lim 3=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==∞→s n n s 例9 计算 Λ+⎪⎭⎫⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++3191817121615141131211 解此级数的通项趋近于零，所以只求n S 的极限，注意公式 n n C nε++=++++ln 131211Λ，其中C 为Euler 常数，0→n ε（当∞→n 时）.因此，对原级数，3ln ln 3ln 1211313121133→-+-=----++++=n n n n n n n S εεΛΛ故原级数和 3ln =s .注：调和级数ΛΛ+++++n131211 调和级数是发散的.下面我们证明一下调和级数的发散性证明设调和级数∑∞=11n n的n 项部分和是n S ，即=n S n 131211++++Λ.由于）（Λ,3,2,11)11ln(=<+n nn于是调和级数的前n 项部分和满足=n S n 131211++++Λ)11ln()311ln()211ln()11ln(n++++++++>Λ)134232ln()1ln(34ln 23ln 2ln nn n n +⋅⋅=+++++=ΛΛ）（)1ln(+=n由于时，即当∞→+∞=+≥∞→∞→n n S n n n ,)1ln(lim lim 调和级数的部分和=n S n 131211++++Λ与n ln 是等价无穷大，即调和级数∑∞=11n n发散.所以n S 的极限不存在，调和级数发散.2.6 利用逐项积分法求和幂级数nn n x a ∑∞=0和函数性质：设幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径为)0(>R R ,则和函数)(x s 在区间),(R R -内是可积的，且有逐项积分公式：1101][)(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx x a dx x s 其中R x <，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例10 求数项级数∑∞=121n nn 的和. 解构造幂级数nn n x n ∑∞=121，求得收敛半径2=r ，收敛区间是()2,2-.设它的和函数是()x s ，即()()2,2,211-∈=∑∞=x x n x s n n n .由幂级数可逐项可导，有 ()()2,2,212221221212211-∈-=-⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=='∑∞=-x x x x x x x s n n n Λ. )2,2(-∈x 任意，有()()()xs x s t dt dt t s xx -=--='⎰⎰22ln 0,20即.因为()00=s ，所以()xx s -=22ln .即()2,2,2122ln1-∈=-∑∞=x x n x n n n . 令1=x ，有Λ+⨯=⨯+==∑∞=32123122121212ln n n n 例11 计算()ΛΛ+-++-+-nn 114131211 解由于()()()1111ln 11<<--=+∑∞=-x x nx n n n而()nn n xn∑∞=--111的收敛半径为1，且在1=x 收敛，令01-→x ，在等式两端取极限，有 ()()()n n x n nn n x x x nxnx ∑∑∞=-→-∞=--→-→-=-=+111110101lim 11lim1ln lim ()nn n 1111⋅-=∑∞=- 即()()2ln 1ln lim 10111=+=--→∞=-∑x nx n n .所以()2ln 114131211=+-++-+-ΛΛnn . 2.7 利用傅里叶级数求级数的和傅里叶级数求和就是将函数展开成正弦级数或余弦级数，然后再求和.例4 求级数()的和121111---∞=∑n n n 解设)(x f 是周期为4的周期函数，它在[-2,2]上的表达式为：⎩⎨⎧≤≤≤≤-=)201)020)(x x x f （（（5）将)(x f 展开成傅里叶级数，由傅里叶级数展开式知： 2=T ，按公式有 0022sin 12cos 2120===⎰x n n dx x n a n πππ )0(≠n 112102120200=+=⎰⎰dx dx a⎪⎩⎪⎨⎧===-=-==⎰6,4,2,05,3,1,2)cos 1(1022cos 12sin 2120n n n n n x n n dx x n b n ππππππ 将求的系数代入n n b a a ,,0：∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n T x n b T x n a a x f ππ得：⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=Λ25sin 5123sin 312sin 221)(x x x x f ππππ 2)12(sin 1212211xn n n ππ--+=∑∞= )6(其中Λ,4,2,0;±±≠+∞<<∞-x x又由)5(式知：式，则代入将且处连续在)6(1,1)1(,1)(===x f x x f+==211)1(f 2)12(sin 12121ππ--∑∞=n n n所以42)12(sin 1211ππ=--∑∞=n n n总结以上方法是在高等数学和初等数学里求级数的和的重要方法.在做求解级数的和的题目时，仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不行的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.[2]徐利治.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1986.[3]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001.[4]陈守义.数学分析选讲[M].北京：科学出版社，2009.[5]李永乐，王式安.数学复习全书：数学三[M].西安：西安交通大学出版社，2012.[6]尤正书，马军，赵国石.高等数学：下[M].武汉：华中师范大学出版社，2009.Several methods about the summationDi Xiaowei(School of Humanities and Economic Management, Anyang Normal University,Anyang,455000)Abstract：In this paper, I summarizes usual methods of some mathematical intermediate numbersummation. We often use crack items in the series summation method, and study method, the method of undetermined constants, dislocation phase subtraction, subsequence, differentiation, item by item, commonly used methods for integral method, the formula method and so on.This article embarks from the series on the properties and applications of and the detailed explanation and study on the sum.Key words：summation of series;splitting method;integral method;method of undetermined coefficients。

求幂级数的和函数步骤

通常求幂级数的收敛半径和收敛区间如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。

当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。

同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。

只有在将来，我们将对级数的和进行积分。

简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。

因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。

幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。

结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。

关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。

中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。

幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原幂级数）和函数。

下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。

首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。

很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。

注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。

终点需要讨论。

注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。

目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。

导言：这个问题可以得到一个想法。

这是串联连接。

利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。

当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。

如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。

设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n-。

求幂级数的和函数

幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。

求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。

以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。

二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。

积分总是从收敛中心到x积分。

解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。

三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。

解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。

四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。

一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。

因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。

幂级数求和函数的方法探究

2021年3月第3期总第171期海峡科学Straits ScienceMarch2021No.3,Total171st 幂级数求和函数的方法探究李瑞瑞㊀孙铭娟(信息工程大学基础部,河南㊀郑州㊀450001)[摘要]该文探究幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导和逐项求积的分析性质,深入挖掘性质中蕴含的结论,利用和函数分析性质中收敛半径不变的特点, 由因导果求幂级数的和函数,较之于常规解法由果索因 ,简化了求解收敛域的步骤,也使求和函数的过程得以简化㊂同时指出两种方法的本质是分析法和综合法,通过两种方法的对比,以期使初学者的学习思路更加清晰㊂[关键词]幂级数㊀和函数㊀逐项求导㊀逐项积分[中图分类号]O173;G642.0[文献标识码]A[文章编号]1673-8683(2021)03-0080-03㊀㊀幂级数是高等数学的重要概念之一,它形式简单,但应用广泛㊂对幂级数,我们研究的问题之一就是求其和函数问题㊂高等数学教学中要处理的是一些简单幂级数求和函数问题,常见求法有两种,一是根据定义,二是利用和函数的分析性质(逐项求导㊁逐项积分)㊂用定义求和函数,即在收敛域内,求出其部分和函数列{s n(x)},则lim nң덟s n(x)=s(x)即为和函数㊂这种方法因为需要求出前n项和s n(x),使得该方法处理的幂级数ð덟n=0a n(x-x0)n结构相对比较单一,一般要求对应的函数列{a n(x-x0)n}具有等比㊁等差或者可以裂项为两项差的形式㊂大多数幂级数求和是用第二种方法借助和函数的分析性质㊂通过逐项求导,逐项求积,与等比级数或者几个常见函数的级数展开建立联系或者建立和函数相关的微分方程㊂陆宜清[1]和罗东[2]等分别总结了求幂级数和函数的几种常用解法㊂幂级数是在收敛域内才有和函数,所以求和函数问题,一定是和收敛域相对应㊂本文通过挖掘和函数的分析性质,分析其性质中蕴含的结论,发现对某些问题, 由因导果 ,由已知到未知 ,可以简化求和函数过程㊂1㊀和函数的分析性质性质1[3]:幂级数ð덟n=0a n x n的和函数s(x)在其收敛域I上可积᷼并且有逐项积分公式:ʏx0s(x)d x=ʏx0(ð덟n=0a n x n)d x=ð덟n=0ʏx0a n x n d x=ð덟n=0a n n+1x n+1㊀㊀(xɪI)逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径㊂性质2[3]:幂级数ð덟n=0a n x n的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导᷼并且有逐项求导公式:sᶄ(x)=(ð덟n=0a n x n)ᶄ=ð덟n=0(a n x n)ᶄ=ð덟n=1na n x n-1㊀(x<R)逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径㊂Abel定理[4]:设幂级数ð덟n=0a n x n的收敛半径为R,并在x=R处,级数收敛,则其和函数s(x)在x=R处左连续,即:limxңR-s(x)=ð덟n=0a n R n同样,如果ð덟n=0a n x n在x=-R处收敛,则其和函数在x=-R处右连续,即:limxң-R+s(x)=ð덟n=0a n(-R)n以上性质告诉我们,幂级数的和函数在收敛区间内,可以逐项积分和逐项求导,并且逐项积分与逐项求㊃08㊃2021年第3期海峡科学HAI XIA KEXUE导不改变幂级数的收敛半径㊂在利用该性质求和函数时,我们往往关注性质的前半部分㊂借助分析性质求和函数常见步骤如下图所示:也就是说,要求ð덟n=0a n x n的和函数S(x),第一步,求出其收敛域;第二步,若直接定义法求ð덟n=0a n x n不易处理,则考虑对其逐项求导或逐项积分,得到新级数ð덟n=0 a∗n x n,该级数一般来说易求出和函数S∗(x);第三步,则是第二步的逆过程,对和式S∗(x)积分或求导㊂注意这一过程中,第二步逐项积分或者逐项求导,有时需要进行多次,或者需要结合级数的代数运算进行㊂该过程通过分析法,化未知为已知,条理清晰㊂但是,没有充分挖掘性质中蕴含的结论逐项积分与逐项求导不改变幂级数的收敛半径(注意:收敛域可能变化)㊂事实上,对于等比级数及简单初等函数的幂级数,收敛域是已知的,本文从已知到未知,简化上述过程㊂2　典型例题例1㊀求幂级数ð덟n=1nx n-1的和函数㊂常规解法:先求收敛域㊂记a n=n,则R=lim nң덟a n a n+1=lim nң덟n n+1=1,故收敛区间为(-1,1)㊂当x=1时,级数ð덟n=1n发散;当x=-1时,级数ð덟n=1n(-1)n-1发散㊂故ð덟n=1nx n-1的收敛域为(-1,1)㊂再求和函数:记S(x)=ð덟n=1nx n-1,xɪ(-1,1),则ʏx0S(t)d t=ʏx0(ð덟n=1nt n-1)d t,xɪ(-1,1),由和函数在收敛区间内逐项可积的性质,得:ʏx0S(t)d t=ð덟n=1ʏx0nt n-1d t=ð덟n=1x n=x1-x两边求导,则S(x)=(x1-x)ᶄ=1(1-x)2,xɪ(-1,1)㊂简化解法:(分析)求解难点在于通项中幂函数前有系数n,而幂函数求导可以产生系数,因此ð덟n=1nx n-1 =ð덟n=1(x n)ᶄ,故考查ð덟n=1x n㊂解:因为ð덟n=1x n=x1-x,x<1,则(ð덟n=1x n)ᶄ= (x1-x)ᶄ=1(1-x)2,x<1㊂由和函数在收敛区间内逐项可导的性质,得ð덟n=1(x n)ᶄ=(ð덟n=1x n)ᶄ,x<1即ð덟n=1nx n-1=(ð덟n=1x n)ᶄ=1(1-x)2,x<1例2㊀求幂级数ð덟n=12n-12n x2(n-1)的和函数㊂常规解法:先求收敛域㊂记u n(x)=2n-12n x2(n-1),则lim nң덟u n+1(x)u n(x)=lim nң덟2(n+1)-12n+1x2n㊃2n(2n-1)x2(n-1)=x22,㊀xʂ0当x22<1,即0<x<2时收敛;当x22>1,即x>2时发散㊂当x22=1,即x=ʃ2,级数ð덟n=12n-12n(ʃ2)2(n-1)=ð덟n=12n-12发散㊂当x=0时,级数显然收敛㊂综上,ð덟n=12n-12n x2(n-1)的收敛域为x<2㊂再求和函数:记S(x)=ð덟n=12n-12n x2(n-1),x<2两边积分,ʏx0S(t)d t=ʏx0ð덟n=12n-12n t2(n-1)d t,㊃18㊃HAI XIA KE XUE 海峡科学2021年第3期x <2㊂再利用和函数的逐项可积性质ʏxS (t )d t =ð덟n =1ʏx02n -12nt 2(n-1)d t =ð덟n =1x 2n-12n=1x ð덟n =1(x 22)n=1xx 221-x 22,x ʂ0因此S (x )=(1xx 221-x 22)ᶄ=2+x 2(2-x 2)2,0<x <2x =0时也成立,因此S (x )=2+x 2(2-x 2)2,x <2㊂简化解法:解:㊀ð덟n =12n -12nx 2(n -1)=ð덟n =112n(x 2n -1)ᶄ=(1x ð덟n =1(x 22)n)ᶄ=(1x x 221-x 22)ᶄ,0<x 22<1即ð덟n =12n -12nx 2(n -1)=2+x 2(2-x 2)2,0<x <2上式x =0时也成立,且x =ʃ2时级数发散,故ð덟n =12n -12n x 2(n -1)=2+x2(2-x 2)2,x <2㊂例3㊀求幂级数ð덟n =0(-1)nx2n +12n +1的和函数㊂简化解法:(分析)求解难点在于通项系数中的分母2n +1, 由果索因 ((-1)nx 2n+12n +1)ᶄ=(-1)n x 2n ,反过来, 由因导果 ,则(-1)nx 2n+12n +1=ʏx(-1)n x 2nd x ,故考查ð덟n =0(-1)n x2n =ð덟n =0(-x 2)n㊂解:因为ð덟n =0(-x 2)n =11+x 2,x <1,则ʏx0ð덟n =0(-x 2)nd x =ʏx011+x2d x =arctan x ,x <1㊂由和函数在收敛域内逐项可积的性质,得:ð덟n =0ʏx0(-x 2)nd x =ʏx0ð덟n =0(-x 2)nd x =arctan x ,x<1即ð덟n =0(-1)nx 2n +12n +1=arctan x ,x <1又因为x =1时,ð덟n =0(-1)n12n +1为莱布尼茨级数收敛,x =-1时,ð덟n =0(-1)n +12n +1也收敛,故由Abel 定理知:ð덟n =0(-1)n 2n +1=arctan1,ð덟n =0(-1)n +12n +1=arctan(-1)故ð덟n =0(-1)nx 2n +12n +1=arctan x ,x ɤ1㊂3　结论通过逐项求导或逐项积分求幂级数的和函数,是求幂级数和函数的一种常用方法,本文利用和函数分析性质中收敛半径不变的特点,由已知到未知,简化求解过程㊂另一方面,常规解法是由果索因的过程,是用分析法处理问题,而上述方法则是由因导果 ,是综合法,两者是可以相互转化的㊂但是教辅中经常是两种解法灵活运用,对初次接触这类问题的学生来说容易产生困惑,本文通过由果索因和由因导果区分两种方法,以期使学生的解题思路更加清晰㊂参考文献:[1]陆宜清,杨松华.浅谈幂级数的和函数的求法及其应用[J ].南阳师范学院学报,2013,12(12):68-71.[2]罗东.不同函数项级数和函数的求法[J ].宁夏师范学院学报,2019,40(7):9-16.[3]同济大学数学系.高等数学(第七版)(下册)[M ].北京:高等教育出版社,2007.[4]龚昇.简明微积分[M ].4版.北京:高等教育出版社,2005.㊃28㊃。

幂级数和函数的求法

幂级数和函数的求法
幂级数和函数是数学中常见的一类函数，其求法涉及到数学分析、微积分等多个领域。

一般来说，幂级数和函数的求法可以分为以下几个步骤：
1. 确定幂级数的收敛域：幂级数的收敛域是指该函数在哪些点
上收敛，在哪些点上发散。

一般可以使用收敛定理、比值测试、根值测试等方法来确定幂级数的收敛域。

2. 求幂级数的和函数：如果幂级数在某个点上收敛，那么可以
使用求和公式来求出该点处的和函数。

对于一些特殊的幂级数，可以使用换元、分部求和等方法来求解。

3. 讨论和函数的性质：求出幂级数的和函数之后，需要进一步
讨论其在收敛域内的性质，比如连续性、可导性、可积性等等。

总之，幂级数和函数的求法是一个比较复杂的过程，需要灵活运用数学知识和方法，才能得到准确的结果。

- 1 -。

求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧

求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。

在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。

一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。

对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。

利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。

二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。

常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。

根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。

三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。

通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。

利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。

四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。

通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。

利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。

求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。

在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。

希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。

第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。

通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。

下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。

1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。

例谈一类幂级数和函数的求法

例谈一类幂级数和函数的求法
本文将对幂级数和函数的求法进行详细介绍。

首先介绍幂级数，它是一种数学和科学里很重要的元素，具有迭代形式的数列，但可以通过多项式方程求得。

它具有一定的总结性规律，根据不同种类的存在要求求出不同结果。

例如，无穷幂级数的求法为：将有限次项与有限次幂的乘积拿掉，剩下的无穷次项相加得答案。

其次，函数的求法也是很重要的一项知识点，它能够根据理论换成数据，从而
更好地描述问题，可以利用不同的函数求法来求解问题，比如可以利用自然对数函数，双曲函数，牛顿法，梯度下降法等等来求出相关结果。

可以利用这些很多求函数法来解决一些复杂的函数形式，从而得出精确的结果。

总而言之，幂级数和函数的求法都包含着丰富的技术和工具，可以用来解决复
杂的问题，得出精确的结果，而且这些知识点在数学，物理，甚至工程信息科学等多个领域都同样有用，能够为各领域同样有贡献。

幂级数求和函数

幂级数求和函数
幂级数求和函数问题的四种常见类型：
一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x)计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。

二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法
1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。

积分总是从收敛中心到x积分。

三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法
1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉
S(0)的值。

解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。

四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。

一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数。

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长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练
幂级数求和的方法
系（部）：信息与计算科学系
专业：数学与应用数学
学号： 2009031110
学生姓名：范庆勇
成绩：
2012年 6月
幂级数求和的方法
范庆勇
长沙学院信息与计算科学系湖南长沙 410022
摘要：幂级数是无穷级数中的一种．本文主要总结了幂级数的多种求和方法．主要有逐项微分与逐项积分法，代数方程法，公式法等．同时通过举例说明了不同方法在解题中的应用．
关键词：幂级数，和函数，微分，积分
１引言
幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关公式求解．
本文通过具体例子介绍了幂级数求和的几种方法．文献［１］主要介绍了利用逐项积分与逐项微分的思想，计算部分和的极限以及转化为微分方程求幂级数的和．文献［２］主要是讲述了裂项组合法，逐项积分与逐项微分法，有限递推法，代数方程法，微分方程法求幂级数的和，同时还介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．文献［３］主要是介绍通过逐项微分推导出几种公式，利用公式求和函数．
本文主要介绍逐项积分与逐项微分法，代数方程法，公式法求幂级数的和．
２幂级数求和的几种方法
２．１逐项微分［１］幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的，且有逐项求导公式
)x ('s ＝（n
n n x
a ∑∞
=）＇＝
x a n
n n
）（∑
∞
=＝1
-n 1
n n x
na ∑∞
=，
通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，再积分即可．
例１
［１］
在区间（－１，１）内求幂级数n
1
n x
n
1n ∑
∞
=+的和函数，并由此计算级数
∑
+n
n n 2
*1的和．
解：设和函数为）（x s ，则
）（x s ＝n
1n x
n
1n ∑
∞
=+＝n 1
n 1
n n
x n
1
x ∑∑∞
=∞=+，
又
∑
∞
=1
n n
x
＝
x
-1x ，
设）（ｓ１
x ＝n 1
n x n
1
∑∞
=，
逐项求导得
）（ｓ１
x '=∑∞
=1
n 1
-n x ，
两边积分
⎰
x
1x 's ）（dx ＝⎰
x
x
11－dx
＝－x)ln(1－＝)x (s 1，
所以
）（x s ＝
x
1x
－－）－（x 1ln ．
令ｘ＝2
1
，得
∑+n
2
*n 1
n ＝）（2
1
s ＝2
112
1
-
－）－（2
1
1ln ＝１＋ln2．
２．２逐项积分［１］幂级数在其收敛区间内和函数是可积的，且有逐项积分公式．
dx x s x
⎰
）（＝dx x a x
0n n n ⎰
∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∞=＝dx
x a n
n x
n ∑
⎰
∞
=＝1
n 0
n n x
1
n a +∞
=∑
+，
通过对幂级数的逐项积分将其转化成能求出和函数的幂级数，再求导即可．
例２
［１］
求幂级数∑∞
=+0
n n
2x 1n ）（（｜x ｜＜１）的和函数．
解：设
）（x s ＝∑∞
=+0n n
2x
1n ）（，
两边积分
dx x s x
⎰
）（＝()dx x 1n x
0n n 2⎰
∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+∞=＝()
dx
x 1n n
2
n x
∑
⎰∞
=+＝()1
n 0
n x
1n +∞
=∑+＝x
()∑∞
+ｎ＝０
1
n x
＇＝
x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∞=+0n 1n x ＇＝ｘ⎪⎭⎫
⎝⎛-x 1x ＇＝
()2x 1x -，
即
dx x s x
⎰
）（＝
()
2
x 1x
-．
２．３代数方程法［２］
建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从
而使幂级数和函数问题转化为代数方程问题，并最终实现幂级数和函数问题的求解．这
里将给予重点介绍．
例３
［２］
计算0
(21)n n n x ∞
=+∑的收敛域与和函数．
解：收敛域为(1,1)-．令
1
()(21)1(21)n
n
n n s x n x
n x ∞
∞
===+=+
+∑∑，
则
1
1
()(21)(21)n n
n n xs x n x
n x ∞∞
+===+=
-∑∑，
于是
1
1()()121n n x s x xs x x x
∞
=+-=+=
-∑，
即
1()()1x s x xs x x
+-=
- （1），
因此
2
1()(1)
x s x x +=
-，(1,1)x ∈-．
２．４一些比较基本的公式［３］对于比较难的但又能较容易推到出求和公式的求和，掌握一些基本的公式可以降低题目的的难度。

本方法是巧用2.1中幂级数逐项微分定理，给出几类求和公式
公式１
［３］
()()()ｎ－x 1m n 2n 1n n 1
n +++∑∞
= ＝
()
1
m x 1x
m +－！， ()1x <｜｜
公式２
［３］
()∑∞
=+0n n
x nd a ＝x
1a －+
)
2
x 1x d －∙ ， ()1|x |<
证明1 由x
11x 1
n 1-n －＝
∑∞
= ()1|x |<及幂级数逐项微分定理，有
m
x 11⎪⎭
⎫
⎝⎛－＝
()()()1
-m -x
m n 2n 1n ｎｎ＝ｍ＋１－－－ ∑∞
＝()()1-n x 1m n 1n n ∑++－，
()()n
1
n x 1m n 1n n ∑∞
=++－＝x m
x 11⎪
⎭⎫
⎝⎛－ ()1|x |<，
而
m
x 11⎪⎭
⎫
⎝⎛－＝
()
1
m x 1m +－！
，
所以
()()()ｎ
－x
1m n 2n 1n n 1
n +++∑
∞
= ＝
()1
m x 1x
m +－！()1|x |<．
证毕．
证明 2 ()∑∞
=+0
n n
x nd a =a ∑∞
=0
n n
x +d ∑∞
=1
n n
nx =
x
1a －+d ∑∞
=1
n n nx ()1|x |<，
由公式1
∑
∞
=1
n n
nx
=
()2
x 1x
－，
所以
()∑∞
=+0n n
x nd a =x
1a －+
()
2
x 1x
d －∙()1|x |<．
证毕．
例４
［３］
求()()n 1
n x 2n 1n n ++∑∞
=的和函数．
解：由公式1，m=3时，
()()n
1
n x
2n 1n n ++∑
∞
==
()
4
x 1x
3－！， |x|<1
例５
［３］
求∑
∞
=+0
n n
2
1n 2的和．
解：由公式2，a=1，d=2，x=2
1时，
∑
∞
=+0
n n
2
1n 2=
2
111－
+2
2112
12⎪
⎭⎫ ⎝
⎛∙
－=2+4=6
参考文献
［１］李道渊．幂级数的求和方法［Ａ］．价值工程，2010（26-0202-01）．［２］陈晓龙，施庆生．高等数学学习指导［Ｍ］．北京：化学工业出版社，2006，238-243．［３］彭培让．几类幂级数的求和公式［Ｎ］．周口师专学报，1996,13（2）．。