正交函数分解(EOF)源代码(Visual Basic 6.0)
EOF应用 从数据预处理到详细分析
EOF分析By lqouc 1.什么是EOF，它的作用是什么。
1.1什么是EOF关于EOF 要先从主成分分析说起，主成分分析是多元统计分析中重要的一部分，是一种从多个变量化为少数变量的统计方法，利用多个变量之间相互关系构造一些新的变量，这些新的变量不仅能综合反映原来多个变量的信息，而且彼此之间是相互独立的，同时是按方差贡献大小排列的，这种统计处理方法称为主成分分析。
主成分分析在气象应用中称为经验正交函数（EOF）分解。
1.2E OF的用途对于一个气象要素，我们通常有m个空间点或者台站，有n次观测，这样组成的矩阵中的任意元素就表示了某一空间某一时刻的函数，我们希望能将这样的时空函数分解成空间函数与时间函数两部分的线性组合。
根据主成分的性质，主成分是按其方差贡献大小排列的，而且是相互独立的，那么可以用前几个时间函数与对应的空间函数的线性组合，对原始场做出估计和解释，这就是经验正交函数分解的主要目的。
2.EOF的数据预处理EOF只是个统计学的方法，本身不带有任何物理意义，更不会揣摩作者的意图，所以在数据导入之前需要对数据进行分析和预处理。
以免得到错误的或者不理想的结果。
在此处所说的预处理不是指一般EOF程序中自带的距平或者标准化的处理，虽然这确实有一定的区别。
总之，在做EOF之前，对数据需要有基本的了解，也要对自己的研究目的十分明确。
2.1 数据预处理的必要性例如：想利用EOF 研究极地海平面气压场的年际变化，数据是六十年的月平均的海平面气压格点资料。
首先对手中的资料有基本的判断，月分辨率的资料包含的时间信号的尺度可能有季节内变化、季节变化、年变化、年际变化、年代际变化以及线性趋势。
而我们需要的只是其中的年际变化的信号，所以为了排除干扰必须对数据进行滤波。
这一步是非常有必要的，因为一般来讲，气温、气压、SST这种受太阳辐射影响巨大的要素都具有很强的季节变化，这样的信号远远强于年际变化。
2.2 滤波的方法对于滤波的方法，我们熟悉的有很多，最简单的是做年平均，还有滑动平均、带通滤波、谐波滤波、线性去趋势。
EOF分解程序
fid=fopen('HadISST1_SST_1961-1990.txt','r');Num=360;data=zeros(360,180,Num);for i=1:Numaaa=fscanf(fid,'%s',7);data(:,:,i)=fscanf(fid,'%f',[360,180]);endsst1=data(1:90,11:70,1:Num); % 选取所需要区域的数据sst2=data(311:360,11:70,1:Num);sst3=zeros(140,60,Num);sst3(90:-1:1,1:60,1:Num)=sst1;sst3(140:-1:91,1:60,1:Num)=sst2;sst=sst3;for i=1:140for j=1:60for k=1:Numif(sst(i,j,k)==-1000)||((sst(i,j,k)==-32768))页脚内容1sst(i,j,k)=NaN;endendendendsst_area1=zeros(Num,8400); % zeros全零数组for i=1:Num;squ=squeeze(sst(:,:,i)); % 执行该指令后sst数据转换为二维数组sst_area1(i,:)=reshape(squ,1,8400); % 将数据转变为二维endsst_nan=isnan(sst_area1);i=0;for j=1:8400if sum(sst_nan(:,j))==0;i=i+1;sst_region(:,i)=sst_area1(:,j);end页脚内容2end% 求距平~注意季节的变换X=zeros(size(sst_region)); % 学者给的程序for i=1:12X(i:12:Num-12+i,:)=sst_region(i:12:end,:) - repmat( mean(sst_region(i:12:end,:),1) , size(sst_region(i:12:end,:),1), 1); endR=X*X'; % 协方差矩阵R=X*X'是8400*8400的方阵~现定义矩阵R=X'*X是156*156的矩阵[v,d]=eig(R); % 进行EOF分解~因为X'*X与X*X'的秩相同所以特征值相同~d为x的特征值组成的对角阵~v为X*X'的特征向量~[diagonal,I]=sort(diag(d),'descend');v=v(:,I);G=diagonal/sum(diagonal);Gs=0;for i=1:length(G)Gs(i)=sum(G(1:i));if Gs(i)>0.8 break;页脚内容3endendN=length(Gs)%v=fliplr(v); % 矩阵作左右翻转%d=rot90(d,2); % 矩阵上下翻转后再左右翻转(查看生成的对角阵是由小到大排列的~此指令可使其由大到小排列~fliplr(flipud(d))=rot90(d,2))%diagonal=diag(d);spacef=X'*v;for i=1:Num;spacef(:,i)=spacef(:,i)/sqrt(diagonal(i)); % 空间本征函数endtimef=X*spacef; % 时间本征函数sum_d=sum(diagonal);count=0;for i=1:Num;count=count+diagonal(i);G1(i)=count/sum_d; % G1(i)是累积方差贡献率页脚内容4endfor i=1:Num;G2(i)=diagonal(i)/sum_d; % G2(i)是方差贡献率end%**************************************************************************% 将删去的陆地与冰点的填充值补回sst_area2=zeros(Num,8400);sst_area2(:,:)=NaN;i=1;spacef2=spacef';for j=1:8400if sum(sst_nan(:,j))==0;sst_area2(:,j)=spacef2(:,i);i=i+1;endendsst_area3=sst_area2';页脚内容5%**************************************************************************% 画图% subplot(2,1,2) % 将绘图窗口划分为2*1个子窗口，并在第2个子窗口中绘图figure(1)x=1:Num;plot(x,timef(:,1),'g');%ylim([ -80 80 ]);% xlabel('1980-1992年156个月','fontsize',15,'fontname','隶书')ylabel('INDEX','fontsize',12,'fontname','黑体')set(gca,'xtick',(1:6:Num))set(gca,'xticklabel',{'1980','','1981','','1982','','1983','','1984','','1985','','1986','','1987','','1988','','1989','','1990','' ,'1991','','1992','','1993'})title('北太平洋第1模态1980至1992年SST时间序列', 'color', 'k','fontsize',15,'fontname','幼圆')grid onhold off% %subplot(2,1,1)页脚内容6% lon=[130.5:269.5];% lat=[20.5:79.5];% m_proj('Equidistant Cylindrical','lat',[20.5 79.5],'lon',[130.5 269.5]);% m_contourf(lon,lat,rot90(reshape(sst_area3(:,6),140,60)',2),30,'linestyle','none'); % colorbar% m_coast('patch',[.95 .95 .95]);% m_coast('color','k');% m_grid('linestyle','none','tickdir','out','linewidth',1.5);% % xlabel('longitude','fontsize',15,'fontname','comic sans ms');% % ylabel('latitude','fontsize',15,'fontname','comic sans ms');% title(['北太平洋第6模态填色图'],'fontsize',15,'fontname','幼圆');lon=[130.5:269.5];lat=[20.5:79.5];figure(2)m_proj('lambert','lat',[20.5 79.5],'lon',[130.5 269.5]);m_contourf(lon,lat,rot90(reshape(sst_area3(:,1),140,60)',2));页脚内容7% colorbar;m_coast('patch',[1 .85 .7]);%m_elev('contourf',[500:500:6000]);m_grid('box','fancy','tickdir','in');%colormap(flipud(copper));% xlabel('longitude','fontsize',15,'fontname','幼圆');% ylabel('latitude','fontsize',15,'fontname','幼圆');title(['北太平洋第1模态填色图'],'fontsize',15,'fontname','幼圆'); colorbar页脚内容8。
正交函数
2.1 用完备正交函数集表示信号将信号分解为正交函数分量的问题与将矢量分解为正交矢量的方法是类似的。
下面我们首先从正交矢量开始讨论，进而引入正交函数集的概念。
为了给出正交函数的概念，并研究正交函数的分解方法，下面我们首先来回顾一下矢量的正交矢量分解。
2.1.1 正交矢量设矢量与矢量的关系如下图所示其中，是它们的夹角，是在上的投影，是用投影来表示时的误差。
由于直角边长小于斜边长，所以根据投影误差可知：如果要用上的矢量来表示，则应选择在上的垂直投影，这时的投影误差最小。
此时(选择垂直投影来表示)，于是，可以求出系数为式中的算子表示求两矢量的内积，定义如下系数C 12表示的是与的近似程度。
当与重合时，=0， =1；随着 增大，C12减小；当 时，C 12，此时与成为相互垂直的矢量，称为正交矢量。
这样，我们就提出这样一个结论：两个矢量是正交的充要条件是它们的内积为0，即<=> 与垂直或正交下面我们来看看，有了正交矢量后，对我们到底有什么好处？对于二维平面上的矢量V 在直角坐标中可分解为x 方向的分量和y 方向上的分量，其中Vx 、Vy 表示x 和y 方向上的正交单位矢量，即为了便于研究矢量分解，把相互正交的两个矢量组成一个二维正交矢量集，在此平面上的任意矢量均可用二维正交矢量集的分量组合来表示。
同样，对于三维矢量V，也可以用一个三维正交矢量集{Vx,Vy,Vz}的分量组合来表示，即V = C1Vx+C2Vy+C3Vz根据此原理，可以把K维空间中的任一矢量分解为K个互相正交的矢量的和。
2.1.2 正交函数下面我们来考虑在区间(t1,t2)内用函数来近似表示，即此时，所选择的C12应使得C12ƒ2(t)与ƒ1(t)之间的均方误差最小。
为求使均方误差最小时的C12，须使。
即交换微分与积分次序，可得上式中的第一项为零，因此（2-2）仿照矢量内积定义，定义两个函数和在区间上的内积为则式(2-2)可以改写为(2-3)可以看出，它与矢量正交分解的系数公式(2-1)很相似。
EOF应用：从数据预处理到详细分析
响因子， 进行简单相关、 复相关和偏相关分析， 确定可能的影响因子。 确定了影响因子之后可以尝试用多元回归分析， 探讨这些因子与研究 要素之间的可预报性。 除了以上提到的分析，还可以根据自己的目的增加分析的内容。 5. 不同类型的 EOF 5.1EOF 本身的变化 对于 EOF 的介绍很多的参考书籍都将其用于时空分离，也就是用在 了空间和时间构成的三维场。但是实际上，我们回归最前面的 EOF 的出处， 可以看出最原本的主成分分析并没有限定要素是时空的函数。 这种方法只是通过引入新变量来达到数组降维的效果。 所以我们可以 在应用中进行多种尝试，只要能在物理上找到合理的解释就没问题。 因为，这终究只是一种数学工具。 举个例子，我们将一个 30 年长度月分辨率的时间序列，写成一个 30*12 的数组，第一维 30 年，第二维是 12 个月，这样以 30 年为我 们通常认为的时间，12 个月为‘空间’ ，进行 EOF 分析，得到的结果 可以揭示不同模态下 12 个月分别在这 30 年中的变化。 除此之外还有很多种用法，在此不再赘述，仅作抛砖引玉。 5.2 多变量 EOF（MV-EOF） EOF 分析时， 不仅会研究某一要素的时空特征， 有时也会研究某现象 的时空特征，而这些现象往往不能用单一的要素来表征，这时候就需 要用到了多变量的 EOF。 例如，研究海洋大陆的季风系统时空变化特征，很可能要考虑到
小时间序列的自由度。3.带通滤波也是常用的方法（本人没用过） ， 其优点是可以选定一定的频率范围，缺点是边界处处理不是很清晰。 4.谐波滤波，以傅里叶函数为基函数对时间序列进行逼近，其优点是 可以较准确的得到选取的频段信号，缺点是选的基函数有局限性，而 且结果和时间序列的长度有关。5.线性去趋势可以去除时间序列的线 性趋势信号，但是需要这一线性趋势通过显著性检验。 2.3 如何合理选定分析对象 上面谈到的是滤波的方法， 但是如果我们的数据是一些大家不熟悉的 数据，我们并不知道它都主要包含何种尺度的信号，也不知道各个主 要尺度信号的强弱，那就需要先对时间序列进行分析。对于时间序列 的分析，我们可以采用 1.谐波滤波，看各个频率的数值大小。2.功率 谱分析，得到显著周期。3.小波分析，同样可以得到时间序列的多尺 度变化特征。 在此，我推荐的方法是结合空间利用方差分析，因为以上的分析我们 都是忽略了空间的影响， 一种要素的时间变化特征是会随着空间变化 的。例如，对中国地区做某一要素的 EOF 分析，得到的结果不能通 过检验（检验的方法，后面再说） ，这个时候我们就需要考虑是否一 些地区的目标信号不强，而另外一些地区目标信号很强，这样的话就 只需要分析目标信号很强的地区，即只对特定区域进行 EOF 分析。 结合空间的方差分析， 首先需要对要素每一个空间点的时间序列进行 滤波，得到各个不同频率的信号（从季节内到线性趋势） 。对每个平 率的信号求方差，得到了各个频率的方差的空间分布。在分析的过程
经验正交函数分解(EOF)
图1b 1976 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线基本上呈 上升趋势, 海温以正距平主, 这之后累积曲线呈下降趋势, 海温以负距平为主。19511975 年平均海温距平为12℃, 而1977- 1993 年平均海温距 平为-128℃。这就是说西风 漂流区年平均海温从19511975 年至1977- 1993 年下降 了0148℃。 图1c 1981 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线呈下降趋 势, 海温以负距平为主, 这之 后累积曲线呈上升趋势, 海温 以正距平为主。1951- 1980 年平均海温距平为0.08℃, 1982- 1993 年为0.21℃, 赤道 太平洋年平均海温1981 年后 比1981 年前增加了 b 西风漂流区的年平均海温距平(实线) 和累积曲线(虚线) ;
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0 v v j = ∑ v ki v kj = k =1 1
T i p
i≠ j i= j
i≠ j i= j
性 质
ZiZ
T j
=
∑z
t =1
n
it
z jt
0 = λ i
i , j = 1,2 ,L , m
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三、分解方法
XX
T
= VZZ V
T
T
A = XX
V AV = Λ
T
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T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原 理，一定有 或者
k =1 p
i = 1, 2 , L , m t = 1 , 2 , L , n
正交函数展开
x (1e1 ....... nen ) 0
as
Then (en) is called basis for X. series
k ek
k 1
Which has the sum x is then called the expansion of x
For b.c’s :
c1u1(a) c2u2(a) 0
c1u1(b) c2u2(b) 0
The condition of nontrivial sol. of c1,c2 to be existed if :
u1(a)u1(a) 0 u2 (b)u2 (b)
The Euler Column
x y x y
Here x and y are arbitrary vector in X and is any scalar
Definition of Banach Space A Banach space is a complete normed space.
Lemma (Translation invariance) A metric d induced by a norm on a normed space X satisfies
Normed Space
Definition of Normed Space Here a norm on a vector space X is a real-value function on X whose value
at an x X is denoted by x
x 0 x 0x0
x y
S(x0;r) B~(x0;r) B(x0;r)
正交函数
b0 = 0,
b1 = ±
3, 2
c0 = ±
2 = m3
5 8
Ex. 試證集合{1, cos x, cos 2x, …}在區間[−π , π ] 內正交。
Ex. 試求上例之正交集合的範[Norm] 。
{ } < Ans > 2π , π , π , ......... 。
Ex. 正交集合{1, cos x , cos 2x, ………}的正範集合為何？
。
** 若{φn (x)}在 [a,b]上對權函數 w(x) 成正交，則[a,b]區間內函數 f (x)的廣義傅立葉級數為
f (x) = ∑∞ cnφn (x)
n=0
但係數 cn 為
cn
=
∫b a
f
(
x) w( x)φn
φn
(
x)
2 w
(
x ) dx
其中
φn
(x)
2 w
=
∫
b a
w(
x )φn 2
(
sin 2π x , L
cos 2π x , L
sin 3π x , L
cos π x , L
L 於區間
(−L, L) 內構成一正交集合。
matlab EOF
一列特征向量值，也称EOF。如λ1 对应的特征向量值称第一个EOF模态， 也就是V 的第一列即EOF1 = V (:, 1)；第λk 对应的特征向量是V 的第k 列， 即EOFk = V (:, k )。 • 计算主成分。将EOF投影到原始资料矩阵X 上，就得到所有空间特征向量对 应的时间系数(即主成分)，即
数据性质与预处理
(1)误差 (2)资料的处理。原始场，距平场，与标准化场 例子：我国160站夏季降水量的EOF分析(图A.17) (3)空间样本点。大范围的空间数据，特别需要注意资料空间代表性。非均匀 场与均匀分布场；空间抽样；面积加权。 北半球1月SLP例子
时空转换
有时空间样本m远大于时间序列长度n，计算m × m矩阵的特征根很困难，可以
1.80 0.60
-1.20 -0.40
46
EOF1 26.1% 4000 3000 Eigenvalue 2000 1000 0 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 −0.06 0 2 4 6 Number 8 10 −0.08
100 50 PC#1 0 −50 −100 1950 1960 1970 1980 1990 2000
-2.20 -4.40
1.80 0.60
-1.20 -0.40
[U,S,V]=svd(X); 得到 U= 0.19 0.98 0.98 -0.19 S= 6.49 0 0 0 0 0 4.23 0 0 0 V= 0.66 -0.49 0.56 0.02 0.67 0.63 -0.73 -0.31 0.53 0.14 0.39 0.03 -0.10 -0.26 -0.02 EOF=U; PC=S*V’; 得到PC= 4.28 -2.07
0.09 -0.32 0.25 0.91 0.06
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'*************************************' 全局变量，便于主函数调用。
' VB 6.0 的函数返回的参数偏少，' 使用全局变量在一定程度可以解决这个问题。
'****************************************Public A() As Single ' 协方差/相关系数矩阵APublic V() As Single '特征向量为列组成的矩阵，即空间函数V （EOF）Public T() As Single '时间系数矩阵T（PC）Public B() As Single '特征值λ（E）,按从大到小排列Public GM() As Single '解释的方差(%)（特征向量对X场的累积贡献率）P Public GA() As SinglePublic GB() As Single '个体i特征向量对X场的贡献率ρPublic XF() As Single '模拟结果'********************************************************' 函数名：CovarMat' 函数用途: 计算协方差（相关系数）矩阵' 参数说明：矩阵下标为1：N,从1开始；' X,存放原始观测值，二维实型数组，X(P,P)。
' 返回：计算协方差（相关系数）矩阵。
'*******************************************************Function CovarMat(X() As Single) As Single()Dim XX() As SingleDim P As Integer, N As IntegerDim px As SingleP = UBound(X, 1)N = UBound(X, 2)px = IIf(N > 0, 1 / N, 1)ReDim Preserve XX(1 To P, 1 To P)Dim iAs Integer, j As Integer, k As Integer' 求X乘以X的转置,即A=XXˊFor i = 1 To PFor j = 1 To PXX(i, j) = 0For k = 1 To NXX(i, j) = XX(i, j) + X(i, k) * X(j, k)Next kXX(i, j) = XX(i, j) * pxNext jNext iCovarMat = XXEnd Function'********************************************************' 函数名：EOF' 函数用途: EOF,经验正交分解法(EOF)' 参数说明：矩阵下标为1：N,从1开始；' X,存放原始观测值，二维实型数组，X(P,N)。
' P,整型变量，空间格点数。
' N,整型变量，序列的时间长度。
' XF,返回时存放恢复值，二维实型数组，XF(P,N)。
'*******************************************************Sub EOF(X() As Single, ByRef S() As String)Dim V1() As SingleDim VF() As Single, TF() As SingleDim P As Integer, N As IntegerP = UBound(X, 1)N = UBound(X, 2)ReDimXF(1 To P, 1 To N)ReDimT(1 To P, 1 To N)ReDimA(1 To P, 1 To P)ReDimV(1 To P, 1 To P)ReDimV1(1 To P, 1 To P)ReDimB(1 To P)ReDimGM(1 To P)ReDimGA(1 To P)ReDimGB(1 To P)ReDimVF(1 To P, 1 To P)ReDimTF(1 To P, 1 To N)' 求X的协方差（相关系数）矩阵A = CovarMat(X)Dim iAs Integer, j As Integer, k As Integer, L As Integer' 用Jacobi法求A的特征值和特征向量' 返回时B存放矩阵的全部特征值，V存放特征向量为列组成的矩阵Call Jacobi(A, P, 0.000001, V, B, L)For i = 1 To PGA(i) = 0For j = 1 ToiGA(i) = GA(i) + B(j)Next jNext iFor i = 1 To PGM(i) = GA(i) / GA(P)GB(i) = B(i) / GA(P)Next iFor i = 1 To PFor j = 1 To PV1(i, j) = V(j, i)Next jNext iT = MATMUL(V1, X) '时间系数'输出结果字符串Dim lsAs Integerls = UBound(S)ReDim Preserve S(ls + 2)S(ls) = MA TtoString(B, 1, , "特征值λ（E）")S(ls + 1) = MA TtoString(GB, 1, 100, "个体i特征向量对X场的贡献率ρ")S(ls + 2) = MA TtoString(GM, 1, 100, "解释的方差(%)（特征向量对X场的累积贡献率）P")For i = 1 To PFor j = 1 TolwVF(i, j) = V(i, j)Next jNext iFor i = 1 TolwFor j = 1 To NTF(i, j) = T(i, j)Next jNext iXF = MATMUL(VF, TF) '模拟值End Sub'*******************'函数名：MATtoString'函数作用：矩阵转成字符串输出'参数说明：' MAT，用以存储矩阵数值，最多为2维数组' retS，返回时存储字符串，以换行符（vbcrlf）结尾' nDim，矩阵维数，最大为2' strMatNote,矩阵备注信息，默认为空字符串'********************Function MATtoString(MAT() As Single, _nDim As Integer, _Optional ZoomCoefAs Single = 1, _Optional MatNoteStringAs String = "") As StringDim retString As StringDim N As Integer, i As Integer'如果数组说明为非空串，则添加换行符retString = IIf(Len(MatNoteString) > 0, MatNoteString&vbCrLf, MatNoteString)Select Case nDimCase 1N = UBound(MAT)For i = 1 To NretString = retString& Format(MAT(i) * ZoomCoef, "#0.##") &vbTabNext iretString = retString&vbCrLfCase 2Dim m As Integer, j As IntegerN = UBound(MA T, 1)m = UBound(MA T, 2)For i = 1 To NFor j = 1 To mretString = retString& Format(MAT(i, j) * ZoomCoef, "#0.##") &vbTabNextretString = retString&vbCrLfNext iEnd SelectMATtoString = retStringEnd Function'*************************'函数名：MATMUL'函数作用：矩阵相乘'参数说明：' Mat1，用以存储矩阵1数值' Mat2，用以存储矩阵1数据' 返回：矩阵相乘结果'**************************Function MATMUL(MAT1() As Single, MA T2() As Single) As Single()Dim MatXX() As SingleDim N As Integer, m As Integer, L As Integer, l2 As IntegerDim iAs Integer, j As Integer, k As IntegerN = UBound(MAT1, 1)m = UBound(MAT2, 2)L = UBound(MAT1, 2)l2 = UBound(MAT2, 1)If L <> l2 Then EndReDimMatXX(1 To N, 1 To m)For i = 1 To NFor j = 1 To mMatXX(i, j) = 0For k = 1 To LMatXX(i, j) = MatXX(i, j) + MAT1(i, k) * MAT2(k, j)Next kNext jNext iMATMUL = MatXXEnd Function'********************************************************' 函数名：Jacobi' 函数用途: 用Jacobi法求A的特征值和特征向量' 参数说明：矩阵下标为1：N,从1开始；' A:调用时存放实对称矩阵,A(N,N)' N:矩阵长度' Bx:返回时存放矩阵的全部特征值,B(N)' Vx:特征向量为列组成的矩阵,V(N,N),其中第i列为与第i个特征值相对应的特征向量' EPS:存放精度要求'*********************************************************Private Sub Jacobi(A() As Single, _N As Integer, _EPS As Single, _ByRefVx() As Single, _ByRefBx() As Single, _ByRef L As Integer)' A:调用时存放实对称矩阵' Bx:返回时存放矩阵的全部特征值' Vx:存放特征向量,其中第i列为与第i个特征值相对应的特征向量' EPS:存放精度要求ReDimVx(1 To N, 1 To N)ReDimBx(1 To N)Dim FM As Single, CN As Single, SN As SingleDim Omega As Single, X As Single, Y AsSingleDim P As Integer, Q As IntegerDim iAs Integer, j As Integer, k As IntegerL = 1'初始化特征向量矩阵For i = 1 To NFor j = 1 To NVx(i, j) = 0Next jVx(i, i) = 1Next i'如果计算次数大于给定次数，则跳出循环Do While (L < 100)FM = 0'查找矩阵中非对角元素的最大值，并记录其位置（P,Q)For i = 1 To NFor j = 1 To NIf (i<> j And Abs(A(i, j)) > FM) ThenFM = Abs(A(i, j))P = iQ = jEnd IfNext jNext i'如果最大值小于给定最小值，则跳出循环If (FM < EPS) ThenL = -1Exit DoEnd IfL = L + 1X = -A(P, Q)Y = (A(Q, Q) - A(P, P)) / 2Omega = X / VBA.Sqr(X * X + Y * Y)If (Y < 0) Then Omega = -OmegaSN = 1 + VBA.Sqr(1 - Omega * Omega)SN = Omega / VBA.Sqr(2 * SN)CN = VBA.Sqr(1 - SN * SN)FM = A(P, P)A(P, P) = FM * CN * CN + A(Q, Q) * SN * SN + A(P, Q) * OmegaA(Q, Q) = FM * SN * SN + A(Q, Q) * CN * CN - A(P, Q) * OmegaA(P, Q) = 0 '处理完当前最大非对角元素值，赋值0，下一循环不再计算A(Q, P) = 0 '处理完当前最大非对角元素值，赋值0，下一循环不再计算For j = 1 To NIf (j <> P And j <> Q) ThenFM = A(P, j)A(P, j) = FM * CN + A(Q, j) * SNA(Q, j) = -FM * SN + A(Q, j) * CNEnd IfNext jFor i = 1 To NIf (i<> P Andi<> Q) ThenFM = A(i, P)A(i, P) = FM * CN + A(i, Q) * SNA(i, Q) = -FM * SN + A(i, Q) * CNEnd IfNext iFor i = 1 To NFM = Vx(i, P)Vx(i, P) = FM * CN + Vx(i, Q) * SNVx(i, Q) = -FM * SN + Vx(i, Q) * CNNext iFor i = 1 To NBx(i) = A(i, i)Next iLoop' 将特征值按大小排列m = NDo While (m > 0)j = m - 1m = 0For i = 1 To jIf (Bx(i) <Bx(i + 1)) ThenB1 = Bx(i)Bx(i) = Bx(i + 1)Bx(i + 1) = B1m = iFor k = 1 To NV1 = Vx(k, i) Vx(k, i) = Vx(k, i + 1)Vx(k, i + 1) = V1Next kEnd IfNext iLoopEnd Sub。