旋转经验正交函数(REOF)

1.资料：从国家气候中心提供的全国160站点逐月 降水资
料中选取分布在华南地区（105-125°E, 18-27°N）
的25个站点，资料时段为1951～2008年夏季（6-8 月）的逐月降水资料。
2.方法：EOF及REOF
3.计算结果：
4.对图分析：
图1 华南地区夏季降水EOF前两个模态
(a )第一模态（方差贡献率30.78%）
1.第一模态降水时间系数序列在1951-1975年间数值较小基本在零线附 近变化，说明这24年中华南地区夏季降水无太大异常。在1975-1989 年间华南地区降水偏少，在1989年之后降水偏多。
2.若将时间系数大于2（小于-2）的年份定义为旱涝年的标准。则有 1955,1958,1961,1968,1976,1994,1995,1997,2001,2002,2005, 2006,2008.共13年华南地区表现为普遍偏涝的特征。1953，1956， 1963，1965，1967，1975，1977，1980，1982，1983，1987， 1988，1989，2003，2004.共15年华南地区表现为普遍偏旱的特征。
华南地区降水分布大致可分贵州东部、福建沿海、广东南部、云南 东部、湖南东北部、江西东北部和广东东部沿海，共7个区域。
1. 第一旋转特征向量场降水时间系数序列在1951-1963年基本在零线附近， 波动幅度较小，说明华南中西部地区降水无太大异常。1963-1975年基本都 为正值，则在这13年里华南中西部地区夏季降水呈现偏多，且贵州东部表现 最明显。1975-1991年降水时间系数序列为负值，且波动幅度较大，这说明 这15年来华南中西部地区夏季降水偏少，且贵州东部最明显。1991年之后 降水系数序列基本为正值，波动幅度不大，这说明华南中西部地区降水偏多。
图2 华南地区夏季降水REOF前四个模态 （a～d的方差贡献率分别为13.15%，10.50%，12.56%，6.84%）
图3 华南地区夏季降水REOF后五个模态 （e～i的方差贡献率分别为4.48%， 5.40%，11.56%，6.58%，9.66%）
对REOF展开结果所绘出的图分别进行分析：
（1）EOF截取了前K个空间型，累计解释 场的总方差已达一定的要求，现在设法将 这K个空间型再作调整，使得调整后的第K 个空间型累积解释原场总方差的百分率保 持不变，而单个空间型尽量反映场的局部 相关结构。 （2）REOF方法的主要推导过程可以看老 师课件以及书本，这里主要参考魏凤英老 师《现代统计诊断与预测技术》中的讲解。
(3)用North特征值误差范围来确定旋转待征向量的个 数P。
四、REOF的结果分析
(1)REOF得到的空间模态是旋转因子荷载向量。 因此， 每个向量代表的是空间相关性分布结构。经历了旋转 过程，高荷载集中在某一较小区域上，其余大片区域 的荷载接近0。
如果某一向量的各分量符号均一致，则它代表了这一 区域的气候变量变化一致，且以高荷载地域为中心的 空间分布结构。
第4旋转特征向量场的高荷载区主要在云南东部及广西西北部 （华南西部），荷载值为负，中心最大荷载位于云南东部，达0.6。
第5和第6旋转特征向量场的高荷载区相比其他地区的荷载值较小， 且方差贡献率<6%,暂不考虑其分区。
第7旋转特征向量场的高荷载区主要在湖南大部及江西西部（华 南中部偏北），荷载值为正，中心最大荷载位于பைடு நூலகம்南东北部，达 0.8。
(3)旋转后方差贡献要比EOF均匀分散。通过它们 可以了解旋转的特征向量解释总方差的比例。
五、REOF实例分析
整体的思路： 筛选资料→资料预处理→做旋转EOF
（编写、调试程序）→编写ctl及gs文件 →用Grads绘图→出图→分析图
实例
用EOF及REOF对我国华南地区夏季降水的时空特征分析
图4 华南 地区 分区 示意
图
EOF 分析的基础上,再进一步做最大正交方差旋转,进行REOF 展开, 可以得出非常细微的地理分区.
因为前9个主成分的累积方差达到了80.7% ，可以用此来代表原始 的向量场. 对前9 个主成分进行方差最大旋转,并由方差贡献率较大的 7个旋转载荷向量对华南地区降水进行分区.
旋转经验正交函数（REOF）
一、引言
EOF展开得到的前几个特征向量，可以最大限度 地表征气候变量场整个区域的变率结构。
但是，EOF也有其局限性，即分离出的空间分布结 构不能清晰表示不同地理区域的特征.另外，进行EOF 展开时，所取区域范围不同，例如：取整个区域和分 块区域，得到的特征向量空间分布图形亦会不同，这 就给进行物理解释带来困难。再者，计算EOF取样大 小不同，对反映真实分布结构的相似度也会有不同， 即存在一定的取样误差。
第1旋转特征向量场的高荷载区主要在贵州和云南大部（华南中 部偏西），中心最大荷载位于贵州东部，达0.8。
第2旋转特征向量场的高荷载区主要在福建和浙江南部（华南东 部），荷载值为负值。中心最大荷载位于福建沿海，达-0.8.
第3旋转特征向量场的高荷载区主要在广西南部和广东大部（华 南南部），荷载值为正，中心最大荷载位于广东南部，达0.9。
（3）具体做法：
新因子上的因子荷载阵
其元素为 ，欲使新因子
上少数变量有高荷载，而同时其余接近0，就要使新的
因子荷载元素的方差
达到极大。
（1）
表示第i个变量由公共因子解释的方差。为了
使(1)式达到极大，连续使用因子轴的转动角的三 角函数变换矩阵来极大化方差。
每次从要旋转的P个因子中选两个进行正交旋转，使它 们的因子荷载满足(1)式的判据。再用其中一个新因子 与另外一个原因子进行旋转，满足(1)式判据，这样共 进行p(p-1)／2次旋转，就完成了一次旋转循环。重 新进行循环，直至所有要旋转的因子对均满足(1)式判 据为止。
如果某一向量在某一区域的分量符号为正，而在另一 区域的分量符号为负，高荷载集中在正区域或负区域， 它代表了这两区域变化趋势相反，且以高荷载所在区 域为中心的分布结构。
通过空间分布结构，不仅可以分析气候变量场的地域 结构，也可以通过各向量的高荷载区域对气候变量场 进行区域和类型的划分等研究。
(2)通过旋转空间模态对应的时间系数，可以分 析相关性分布结构随时间的演变特征。时间系 数的绝对值越大，表明这一时刻(年、月等)的 这种分布结构越典型，极大值中心亦越明显。
六、参考程序及文献
程序：用Fortran程序编写EOF及REOF的程序比较长，可参考 前人
编好的，只要能读懂即可。具体语句可参考《Fortran90程序设 计》一书。
绘图所用的ctl和gs文件的编写可参考《Grads绘图》一书。
文献 [1]魏凤英. 现代气候统计诊断预测技术 . [2]张平. 基于REOF的青藏高原东侧降水区划分析. [3]周后福. 陈晓红 基于EOF和REOF分析江淮梅雨量的时空分布. [4]刘燕, 叶萌. 基于REOF分析的广东前汛期降水趋势的区域特征. [5]刘艳群,赵佩红. 广东省春季降水的空间分布特征. [6]陈静 穆仕超. 贵州夏季气温分区变化特征.
(b)第二模态（方差贡献率13.66%）
（图1a）给出了华南地区夏季降水第一特征场,全区一致为正,说明
华南地区夏季降水的变化是一致的,具体是指某年华南地区夏季或
者普遍偏干,或者普遍偏湿,。
(图1b)给出了第二特征场分布，可看出零线基本上把华南的沿海与 内陆分开，东部和西部表现为反向变化特征。由于前两个模态累 计总方差贡献率可达44%，说明这两个空间型基本可以反映华南 地区夏季降水的主要空间特征。
EOF 分析方法表明：华南地区降水空间格局既有全区一 致的少雨或多雨现象,也存在区域内部的差异,主要特点 为东西部反向分布型。
REOF 分析方法表明：华南地区夏季降水可以被分为7 个主要的类型，主成分旋转后载荷要比旋转前分布均匀 得多，REOF的时间系数的绝对值越大，表明这一时刻 的这种分布结构越典型，极大值中心亦越明显。
REOF方法的实质，是将各因子轴旋转到 某个位置，使每个变量在旋转后的因子 轴上极大、极小两极分化，从而使高荷 载只出现在少数变量上，即在旋转因子 矩阵中，少数变量有高荷载，其余均接 近0。
从变量场的角度解释，经过极大方差旋 转，使分离出的典型空间模态上只有某 一较小区域上有高荷载，其余区域均接 近0使得空间结构简化、清晰。
2.在1993，1998年里，时间系数大于2，这说明华南中西部地区降水在这两年 中降水异常偏多，贵州东部地区则表现的最典型。1995年的时间系数趋于2，这说明华南中西部地区降水在这1年中降水异常偏少，贵州东部地区则表 现的最典型。
5.小结：
基于华南地区地区25个站1951-2008年的夏季降水资 料,利用EOF、REOF 两种展开方法,分析了华南地区夏季 降水的空间分布及时间演变特征,重点在利用REOF对华 南地区降水特征进行分区。
EOF上述的局限性，使用旋转经验正交函数(REOF) 可以得到克服。
旋转后的典型空间分布结构清晰，不 但可以较好地反映不同地域的变化， 还可以反映不同地域的相关分布状 况.REOF比EOF在取样误差上也小得 多。因此,REOF愈来愈受到人们的重 视，且成为分离变量场典型空间结构 的一种新倾向。
二、REOF方法概述
第8旋转特征向量场的高荷载区主要在江西大部分地区（华南中 部偏东），荷载值为正，中心最大荷载位于江西东北部达0.7。
第9旋转特征向量场的高荷载区主要在广东大部份及广西西南地 区（华南东南部），荷载值为负，中心最大荷载位于广东东部沿 海达-0.8。
按载荷绝对值> =0. 6 的高载荷分布区域来考虑,华南地区降水分 布大致可分贵州东部、福建沿海、广东南部、云南东部、湖南东 北部、江西东北部和广东东部沿海，共7个区域。
REOF 计算流
程图
三、REOF因子个数的确定
(1)由经验正交函数的累积方差贡献来确定。一般可 取累积方差贡献达85％为标准来确定旋转持征向量的 个数P。方差贡献百分率根据具体问题适当增减。