组合数学鸽巢原理
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组合数学第二章鸽巢原理
令m,n互素, 0 a m-1, 0 b n-1, 则方程组 x a mod m x b mod n
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
组合数学-鸽巢原理讲义课件
超鸽巢原理
总结词
超鸽巢原理是鸽巢原理的一种扩展，它考虑 了多于两种元素的情况。
详细描述
超鸽巢原理是在鸽巢原理的基础上，进一步 推广到多于两种元素的情况。它涉及到多个 元素和多个鸽巢之间的关系，并用于解决一 些更为复杂的问题。超鸽巢原理的应用范围 广泛，包括组合计数、图论等领域。
鸽巢原理的变体
总结词
鸽巢原理与其他数学原理的结合
总结词
将鸽巢原理与其他数学原理结合使用，可以 产生更强大的理论工具。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
详细描述
鸽巢原理是组合数学中的重要原理，但它的 应用范围有限。为了解决更复杂的问题，一 些数学家尝试将鸽巢原理与其他数学原理结 合使用。这种结合可以产生更强大的理论工 具，能够解决一些单独使用鸽巢原理无法解 决的问题。通过与其他数学原理的结合，鸽
鸽巢原理证明中的注意事项
在证明过程中，需要注意鸽巢原理的适用条件，即每个鸽 巢中的物体数量必须相同。如果每个鸽巢中的物体数量不 同，那么鸽巢原理就不适用。
另外，在证明过程中还需要注意逻辑推理的严密性，确保 每一步推理都是正确的，没有出现逻辑错误或遗漏。同时 ，还需要注意数学符号和公式的正确使用，以确保证明的 准确性和可读性。
鸽巢原理的变体是对原原理的某种修改或扩展，以适应特定的问题或情境。
详细描述
随着数学的发展，人们发现鸽巢原理在某些情况下可能并不适用，或者需要对它进行一 些修改以更好地解决问题。因此，一些数学家提出了鸽巢原理的变体。这些变体可能涉
及到对原原理的修改、扩展或与其他数学原理的结合，以适应更广泛的问题和情境。
02
在数学中，鸽巢原理常用于证明 一些组合数学和数论中的问题， 如整数分拆、集合的划分等。
鸽巢原理的适用范围
组合数学课件-第三章第四节鸽巢原理
分是36分，那么比赛中平局的场数共有多少场？
02
题目2
一个袋子里有大小形状相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球10个，
黄球9个，白球8个，某人闭着眼睛从中最少取出多少个球，才能保证4
个同色的球．
03
题目3
有10支足球队进行单循环赛，每个队都恰好与其他队各比赛一场，胜者
得3分，负者得0分，平局两队各的1分。比赛结束后，全部球队的总积
这个原理可以用数学语言表示为：如果 (n > m)，且 (n) 个物体放入 (m) 个容器中，那么至少有一个容器包含 (lceil frac{n}{m} rceil) 个 或更多的物体。
鸽巢原理的简单应用
分配问题
鸽巢原理可以用于解决分配问题，例如将 n 个不同的数分配到 m 个不同的区间中，使得每个区间至少有一个数。
量子力学
在量子力学中，鸽巢原理可以 用于描述量子系统的状态和演 化。
统计力学
在统计力学中算机模拟
在计算机模拟中，鸽巢原理可 以用于模拟物理系统的行为和 性质。
04
鸽巢原理的扩展和推广
鸽巢原理的推广形式
01
02
03
推广到无限集合
在无限集合中，如果每个 元素都有有限个“巢穴”， 则至少有一个“巢穴”包 含无限多个元素。
抽屉原理
鸽巢原理也可以用于解决抽屉原理问题，例如在 n+m 个物体中 放入 n 个抽屉，使得至少有一个抽屉包含两个或两个以上的物体 。
鸽巢原理的证明
• 鸽巢原理的证明可以通过反证法进行。假设存在一个反例，即存在 n 个物体放入 m 个容器中，且每个容器最多只有一个物 体。那么我们可以将这 n 个物体重新分配到 m 个容器中，使得每个容器至少有两个物体，这与假设矛盾。因此，假设不成 立，鸽巢原理成立。
组合1鸽巢原理
]
7
[205,540 [219, 1031] [252, 1713] [292, 2826]
]
8
[282,1870] [329, 3583] [343, 6090]
9
[565,6588] [591,12677]
10
[798,23581]
2023/1/3
27
3 Ramsey问题与Ramsey数
定理 1.3.2 对任意正整数a≥3，b≥3，有 r(a,b)≤r(a-1,b) + r(a,b-1).
2023/1/3
4
1 鸽巢原理：简单形式
可以看出，应用鸽巢原理可以巧妙的解决看似复 杂的问题，其关键是如何去构造问题中的“鸽子” 和“鸽巢”.
2023/1/3
5
1 鸽巢原理：简单形式
【例3】 ：一位象棋大师以11 周时间准备一次比赛， 他决定每天至少下一盘棋，为了不至于太累，他限定 每一周不多于12 盘对局，证明，存在连续若干天， 在这些天中他恰下了21 盘棋。
的，m , n 是正整数，则 (1) S 有一长度为 m+1 的严格递增子序列或长度为 n+1 的严格递减子序列; (2) S 有一长度为 m+1 的严格递减子序列或长度为 n+1的严格递增子序列．
2023/1/3
12
2 鸽巢原理：加强形式
例 将 1 到 16 这16个数划分为3个子集，必有一个子
36
[40, 42]
4
18
25
[35,41] [49,61] [59,84] [73, 115] [92, 149]
5
[43,48] [58,87] [80,143] [101,216] [133, 316] [149, 442]
第二章 鸽笼原理
§是正整数，i=1,2,…,n, 且 q≥q1+q2 + … +qn-n+1。 如把q个物体放n个盒子中，则必存在i 使得第 i 个 盒子中至少有qi个物体。 推论1 推论 把n(r-1)+1个物体放入n个盒子中，则至少 有一个盒子至少有r物体。
例１ 367人中至少有２人的生日相同。 相当于把367个球放入365个盒子中。有鸽笼原理 可知 例２ 10双手套中任取11只，其中至少有两只是完 整配对的。 例３ 把5个顶点入到边长的为2的正方形中，则至 2 少存在两个顶点它们间的距离小于或等于 。 把2×2的正方形分割成四个1×1的小正方形，把5 个顶点放入这四个小正方形中，则至少有两个顶 点在同一个小正方形中。它们之间的距离必小于 或等于小正方形的对角线的长度
第二章 鸽巢原理
§2.1 鸽笼原理的简单形式
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本的原 理，也叫抽屉原理, 即 有n个鸽子，飞进 个鸽笼时， 个鸽子，飞进m(n>m)个鸽笼时，至少有一个 个鸽笼时 笼内有两只或两只以上的鸽子。 笼内有两只或两只以上的鸽子。 定理 2.1.1 如果把n+1件物体放入n个盒子中去，则至少 有一个盒子放有两个或更多的物体。
例5 一棋手为参加比赛要进行77天的训练，如他每天至少下一盘棋， 且每周至多下12盘棋，则必存在相连续的若干天，在这段时间中他恰 好下21盘棋。 设ai表示他前i天下棋的总数，则 1≤a1 <a2 <… <a77 ≤11×12 把他们分别加上21得： 22≤a1+21 <a2 +21<… <a77+21 ≤11×12+21=153 a1，a2，…,a77,a1+21,…,a77+21,共有154个数且这些数介于1—153 之间,有鸽笼原理可知，至少存在两个相等的数。 有以上的分析可知，这两个数分别位于a1—a77(ai)和a1+21— a77+21(aj)之间。则aj=ai+21。即aj-ai=21.则有i+1—j天的时间共下了 21盘棋
组合数学课件--第三章第四节鸽巢原理
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
13
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是 X的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素 的最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
25
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于等于3的整数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1}中存在一数被n除尽。
首先这是n-1个奇数，假如n是偶数时，不可能 成立；
当n=4时，数列为{1，3，7}不可能被4除尽。
26
3.14 鸽巢原理的推广
3.57,n是大于1的奇数，则下列数的集合： {2-1,22-1,23-1,...,2n-1-1,2n-1}中至少存在一数被 n除尽。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
14
3.13 鸽巢原理举例
X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36 X的非空子集的数目？ C(9,1)+C(9,2)+…+C(9,9) =29-1=511
23
3.14 鸽巢原理的推广
例3.14.9：随意地给正十边形的10个顶点编 上号码1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,求证：必有一个顶 点及与之相邻的两顶点之和不小于17。
证明：以A1,A2,A3,…,A10表示正十边形的10 个顶点，
第3.4节_鸽巢原理
§３.4 巧妙利用鸽巢原理
的正整数中任取n+1个，则这 例7 从1到2n的正整数中任取 到 的正整数中任取 个 n+1个数中，至少有一对数，其中一个是 个数中， 个数中 至少有一对数， 另一个的倍数。 另一个的倍数。 证明：设n+1个数是 a1 , a2 , ··· , an+1。每个数去 掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。 组成序列 r1 , r2, , ··· , rn+1。这n+1个数仍在［ 1 , 2n]中，且都是奇数。而[1 , 2n]中只有n个 奇数 ，故必有 ri = rj = r , 则 ai = 2i *r, aj = 2j * r 若i＞j ，则 ai 是 aj 的倍数。
§３.4 鸽巢原理之二
都是正整数， 鸽巢原理二 m1 , m2 , … , mn都是正整数， 并有m 个鸽子住进n个 并有 1 + m2 +… +mn－n + 1个鸽子住进 个 个鸽子住进 鸽巢， 鸽巢，则至少对某个 i 有第 i 个巢中至少有 mi个鸽子，i = 1 , 2 , … , n。 个鸽子， 。 上一小节的鸽巢原理一是这一原理的特殊 情况， 情况，即m1 = m2 = … = mn= 2， ， 则m1 + m2 +… +mn－n + 1 = n + 1。 。 如若不然， 如若不然，则对任一 i， 都有第 i 个巢中的 ， 鸽子数≤mi－1，则鸽子总数≤ 鸽子数 ， 整数是 n的倍数，且在它的十进制表示中只出 现0和1。 • 证明 ：考虑n个整数1,11,111, …, 11…11 (在这个数列中，最后一个整数的十进制 表示中有n+1个1)，因为当一个整数除以 n时存在n个可能的余数，这个数列中有 n+1个数，由鸽巢原理必有两个整数在 除以n时有相同的余数，这两个整数之 差的十进制表示中只含有0和1，且它是 n的倍数。
组合数学-第一节：鸽巢原理
第1章 鸽巢原理鸽巢原理（又叫抽屉原理）指的是一件简单明了的事实：为数众多的一群鸽子飞进不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或更多的鸽子。
这个原理并无深奥之处，其正确性也是显而易见的，但利用它可以解决许多有趣的组合问题，得到一些很重要的结论，它在数学的历史上起了很重要的作用。
1.1 鸽巢原理的简单形式 鸽巢原理的简单形式可以描述为：定理1.1.1 如果把1n +个物品放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子中有两个或更多的物品。
证明 如果每个盒子中至多有一个物品，那么n 个盒子中至多有n 个物品，而我们共有1n +个物品，矛盾。
故定理成立。
鸽巢原理只断言存在一个盒子，该盒中有两个或两个以上的物品，但它并没有指出是哪个盒子，要想知道是哪一个盒子，则只能逐个检查这些盒子。
所以，这个原理只能用来证明某种安排的存在性，而对于找出这种安排却毫无帮助。
例1 共有12个属相，今有13个人，则必有两人的属相相同。
例2 在边长为1的正方形内任取5。
证明 把边长为1的正方形分成4个边长为12的小正方形，如图1.1.1所示，在大正方形内任取5点，则这5点分别落在4个小正方形中。
由鸽巢原理知，至少有两点落在某一个小正方形中，从而这两点间的距离小于或等于小正方形对角线的长度2。
例3 给出m 个整数12,,,m a a a ，证明：必存在整数,(0)k l k l m ≤<≤，使得()12k k t m a a a +++++证明 构造部分和序列1121212,,m m s a s a a s a a a ==+=+++则有如下两种可能：（i ）存在整数(1)h h m ≤≤，使得h m s ，此时，取0,k l h ==即满足题意。
（ii ）对任一整数i ，均有(1)i m s i m ≤≤，令(m o d )i i r s m =，则有11(1)i r m i m ≤≤-≤≤，这样，m 个余数均在1到m-1之间。
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4、任给5个整数，其中至少有3个数的 和被3除尽；
2
3.12 鸽巢原理
鸽巢原理：n个鸽子巢，若有n+1只鸽子在里面， 则至少有一个巢里的鸽子数不少于2。
抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽屉里， 则必有一个抽屉里至少放了两个物体。
3
3.13 鸽巢原理举例
3.13.1 任取11个数，求证其中至少有两个数 它们的差是10的倍数。
从A中任意取n+1个数，必有两个数相邻， 相邻数互素；
设这n+1个数为a1,a2,…,an+1，如果两两不 相邻；
构造序列a1,a1+1,a2,a2+1,…an,an+1,an+1， 是2n+1个不同的正整数；
与已知条件矛盾。
8
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.4 设a1,a2,…,a100是由1和2组成的序列，已 知从其中任意一个数开始的连续10个数的和不超过 16，即对于1≤i≤91,恒有ai+ai+1+…+ai+9≤16
存在h和k，有
sk=sh+39,1≤h,k≤100
则：sk-sh=39
即：a1+a2+…+ak-(a1+a2+…+ah)=39也就是
ah+1+ah+2+…+ak=39
10
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.5 一间屋内有10个人,其中没有人超过 60岁(只能是整数),证明:总能够找出两组人(两组 不含相同的人)，各组中人的年龄和是相同的。题 中10是否能换成更小的数？
解：求X的非空真子集的数目： C(10,1)+C(10,2)+…+C(10,9)=2102=1022
另一方面，X的非空真子集A，其元素之和有：
1 ai 91 92 ... 99 855 aiA
12
3.13 鸽巢原理举例
非空真子集的数量有1022个，而非空真子 集的元素之和小于或等于855，因此至少有两 个非空真子集的元素之和相等，设这两个子集 分别为A和B，使得：
证明： 构造一个序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm
有两种可能：
(1)若有一个sh是m的倍数，那么上式成立。
5
3.13 鸽巢原理举例
序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm (2)设在上面的序列中没有任何一个元素是 m的倍数，
-) sk=a1+a2+…+ak sL-sk= ak+1+…+aL sL-sk=0 (mod m) 也就是说：sL-sk= ak+1+…+aL是m倍数。
7
3.13 鸽巢原理举例
3.13.3,A是{1,2,...,2n}中任意n+1个数，试 证至少存在一对a,b∈A使得a与b互素。
证明： 相邻数互素；
令sh≡rh(mod m),其中h=1,2,3,…,m。 假定上面的序列中所有的项都非m的倍数， 也就是r1,r2,…,rm无一为0，而且所有rh均小于 m。
6
3.13 鸽巢原理举例
不超过m-1的正整数只有m-1个，其中至 少存在一对rL与rk,满足rL=rk。即sL和sk满 足 设L>k。 sk≡sL(mod m) sL=a1+a2+…+ak+ak+1+…+aL
各组的年龄值在什么范围？
1--600
有多少组？
C(10,1)+C(10,2)+…+C(10,9)+C(10, =210-
10)
1=1023
必有两组年龄和相同
29-
ห้องสมุดไป่ตู้
1=511
11
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.6 A={1,2,…,99},X是A的子集，X=10， 试证：可以找到X的两个非空真子集Y和Z，Y∩Z=， 使得Y的元素之和和Z的元素之和相等。
根据条件：s100≤10×16=160
9
3.13 鸽巢原理举例
作序列s1,s2 ,…,s100 ,s1+39, s2+39,…, s100+39,共 200项。
最后一项s100+39≤160+39=199。
但序列共200项。是从1到199的正整数。根据鸽巢 原理，其中必有两项相等。
但前100项严格单调递增，后100项也严格单调递增。
证明： 一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位数 是不是0，是0就是10的倍数；
一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数，任 取11个数，其中必有两个数个位数相同，
那么这两个数的差的个位数必然是0。
4
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.2 设a1,a2,…,am。是正整数的序列，则至 少存在整数k和L, 1≤k≤L≤m,使得和ak+ak+1+…+aL 是m的倍数。
(a a A) (b b B)
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
13
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是X 的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素的 最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
3.2 容斥原理
3.3 容斥原理举例
3.4 棋盘多项式与有限制的排列
3.5 有禁区的排列
3.6 广义的容斥原理
3.7 广义容斥原理的应用
2.8 第二类Stirling数的展开式
2.9 欧拉函数(n)
2.10 n对夫妻问题
*2.11 Mobius反演定理
2.12 鸽巢原理
2.13 鸽巢原理举例
2.14 鸽巢原理的推广
*2.15 Ramsey数
1
3.12 鸽巢原理
1、366个人中必然有至少两人生日相 同(不包括闰年)；
2、抽屉里散放着10双手套，从中任意 抽取11只，其中至少有两只是成双的；
3、某次会议有n位代表参加，则至少有 两个人认识的人数是一样的；
则至少存在h和k，k>h,使得
ah+1+…+ak=39 证明：
作序列s1=a1, s2=a1+a2,…, s100=a1+a2+…+a100。由于每 个ai都是正整数，因此：
s1< s2<…< s100
s100=(a1+a2+…+a10)+ (a11+a12+…+a20)+…
+(a91+a92+…+a100)
2
3.12 鸽巢原理
鸽巢原理：n个鸽子巢，若有n+1只鸽子在里面， 则至少有一个巢里的鸽子数不少于2。
抽屉原理：如果把n+1个物体放到n个抽屉里， 则必有一个抽屉里至少放了两个物体。
3
3.13 鸽巢原理举例
3.13.1 任取11个数，求证其中至少有两个数 它们的差是10的倍数。
从A中任意取n+1个数，必有两个数相邻， 相邻数互素；
设这n+1个数为a1,a2,…,an+1，如果两两不 相邻；
构造序列a1,a1+1,a2,a2+1,…an,an+1,an+1， 是2n+1个不同的正整数；
与已知条件矛盾。
8
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.4 设a1,a2,…,a100是由1和2组成的序列，已 知从其中任意一个数开始的连续10个数的和不超过 16，即对于1≤i≤91,恒有ai+ai+1+…+ai+9≤16
存在h和k，有
sk=sh+39,1≤h,k≤100
则：sk-sh=39
即：a1+a2+…+ak-(a1+a2+…+ah)=39也就是
ah+1+ah+2+…+ak=39
10
3.13 鸽巢原理举例
例3.13.5 一间屋内有10个人,其中没有人超过 60岁(只能是整数),证明:总能够找出两组人(两组 不含相同的人)，各组中人的年龄和是相同的。题 中10是否能换成更小的数？
解：求X的非空真子集的数目： C(10,1)+C(10,2)+…+C(10,9)=2102=1022
另一方面，X的非空真子集A，其元素之和有：
1 ai 91 92 ... 99 855 aiA
12
3.13 鸽巢原理举例
非空真子集的数量有1022个，而非空真子 集的元素之和小于或等于855，因此至少有两 个非空真子集的元素之和相等，设这两个子集 分别为A和B，使得：
证明： 构造一个序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm
有两种可能：
(1)若有一个sh是m的倍数，那么上式成立。
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3.13 鸽巢原理举例
序列s1=a1,s2=a1+a2,s3=a1+a2+a3,…, sm=a1+a2+…+am ,则s1<s2<…<sm (2)设在上面的序列中没有任何一个元素是 m的倍数，
-) sk=a1+a2+…+ak sL-sk= ak+1+…+aL sL-sk=0 (mod m) 也就是说：sL-sk= ak+1+…+aL是m倍数。
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3.13 鸽巢原理举例
3.13.3,A是{1,2,...,2n}中任意n+1个数，试 证至少存在一对a,b∈A使得a与b互素。
证明： 相邻数互素；
令sh≡rh(mod m),其中h=1,2,3,…,m。 假定上面的序列中所有的项都非m的倍数， 也就是r1,r2,…,rm无一为0，而且所有rh均小于 m。
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3.13 鸽巢原理举例
不超过m-1的正整数只有m-1个，其中至 少存在一对rL与rk,满足rL=rk。即sL和sk满 足 设L>k。 sk≡sL(mod m) sL=a1+a2+…+ak+ak+1+…+aL
各组的年龄值在什么范围？
1--600
有多少组？
C(10,1)+C(10,2)+…+C(10,9)+C(10, =210-
10)
1=1023
必有两组年龄和相同
29-
ห้องสมุดไป่ตู้
1=511
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.6 A={1,2,…,99},X是A的子集，X=10， 试证：可以找到X的两个非空真子集Y和Z，Y∩Z=， 使得Y的元素之和和Z的元素之和相等。
根据条件：s100≤10×16=160
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3.13 鸽巢原理举例
作序列s1,s2 ,…,s100 ,s1+39, s2+39,…, s100+39,共 200项。
最后一项s100+39≤160+39=199。
但序列共200项。是从1到199的正整数。根据鸽巢 原理，其中必有两项相等。
但前100项严格单调递增，后100项也严格单调递增。
证明： 一个数是不是10的倍数取决于这个数的个位数 是不是0，是0就是10的倍数；
一个数的个位数只可能是0,1,...,9十个数，任 取11个数，其中必有两个数个位数相同，
那么这两个数的差的个位数必然是0。
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.2 设a1,a2,…,am。是正整数的序列，则至 少存在整数k和L, 1≤k≤L≤m,使得和ak+ak+1+…+aL 是m的倍数。
(a a A) (b b B)
如果 A B
则结果成立。否则：
令： Y A \ (A B), Z B \ (A B)
Y和Z就是满足条件的两个集合。
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3.13 鸽巢原理举例
例3.13.7 X是9个不同正整数的集合，E是X 的子集，S(E)是集合E的元素和。n是X的元素的 最大值。
求n的值，使X至少存在两个集合A和B，使 S(A)=S(B)。
解：
X的任意子集的元素之和小于X的所有子集 的数目时！
设E是X的任意子集。 S(E)≤n+(n-1)+(n-2)+…+(n-8)=9n-36 也就是说X的任何子集的元素和都小于或等于9n-36
第3章 容斥原理与鸽巢原理
3.1 De Morgan定理
3.2 容斥原理
3.3 容斥原理举例
3.4 棋盘多项式与有限制的排列
3.5 有禁区的排列
3.6 广义的容斥原理
3.7 广义容斥原理的应用
2.8 第二类Stirling数的展开式
2.9 欧拉函数(n)
2.10 n对夫妻问题
*2.11 Mobius反演定理
2.12 鸽巢原理
2.13 鸽巢原理举例
2.14 鸽巢原理的推广
*2.15 Ramsey数
1
3.12 鸽巢原理
1、366个人中必然有至少两人生日相 同(不包括闰年)；
2、抽屉里散放着10双手套，从中任意 抽取11只，其中至少有两只是成双的；
3、某次会议有n位代表参加，则至少有 两个人认识的人数是一样的；
则至少存在h和k，k>h,使得
ah+1+…+ak=39 证明：
作序列s1=a1, s2=a1+a2,…, s100=a1+a2+…+a100。由于每 个ai都是正整数，因此：
s1< s2<…< s100
s100=(a1+a2+…+a10)+ (a11+a12+…+a20)+…
+(a91+a92+…+a100)