组合3容斥原理鸽巢原理共89页

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武大计院组合数学PPT第3章容斥原理和鸽巢原理

设 Ai 为不超过120,但被i整除的数的集合, i=2,3,5,7
A2

120 2

60
A3

120 3

40
A5

120 5

24
A7

120 7

17
A2 A3

120 6

20
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15
容斥原理
2 3 5
235
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24
容斥原理
例3.10 错排问题设 Ai (i 1,2,, n) 表示i在第i位排列的集合，则有
Ai (n 1)!, i 1,2,, n
Ai Aj (n 2)!, i, j 1,2,, n, i j ，…
A2 A5

120 10

12
A3 A5

120 15

8
A2 A7

120 14

8
A3 A7

120 21

5
A5 A7

120 35

3
A2 A3 A5

120 30

4
(1)n | A1 A2 An |
证任取S中的一个元素a，
(1) 若a不具有这n个性质中的任何一个，则a对方程左端的贡献为1，而对方程右端的贡献为
1 0 0 0 (1)n 0 1
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容斥原理
(2) 若a具有这n个性质中的m个，则a对方程左端的贡献为0，而对方程右端的贡献为

组合数学课件-第三章第四节鸽巢原理

分是36分，那么比赛中平局的场数共有多少场？
02
题目2
一个袋子里有大小形状相同的红、黄、白三种颜色的球，其中红球10个，
黄球9个，白球8个，某人闭着眼睛从中最少取出多少个球，才能保证4
个同色的球．
03
题目3
有10支足球队进行单循环赛，每个队都恰好与其他队各比赛一场，胜者
得3分，负者得0分，平局两队各的1分。比赛结束后，全部球队的总积
这个原理可以用数学语言表示为：如果 (n > m)，且 (n) 个物体放入 (m) 个容器中，那么至少有一个容器包含 (lceil frac{n}{m} rceil) 个或更多的物体。
鸽巢原理的简单应用
分配问题
鸽巢原理可以用于解决分配问题，例如将 n 个不同的数分配到 m 个不同的区间中，使得每个区间至少有一个数。
量子力学
在量子力学中，鸽巢原理可以用于描述量子系统的状态和演化。
统计力学
在统计力学中算机模拟
在计算机模拟中，鸽巢原理可以用于模拟物理系统的行为和性质。
04
鸽巢原理的扩展和推广
鸽巢原理的推广形式
01
02
03
推广到无限集合
在无限集合中，如果每个元素都有有限个“巢穴”，则至少有一个“巢穴”包含无限多个元素。
抽屉原理
鸽巢原理也可以用于解决抽屉原理问题，例如在 n+m 个物体中放入 n 个抽屉，使得至少有一个抽屉包含两个或两个以上的物体。
鸽巢原理的证明
• 鸽巢原理的证明可以通过反证法进行。假设存在一个反例，即存在 n 个物体放入 m 个容器中，且每个容器最多只有一个物体。那么我们可以将这 n 个物体重新分配到 m 个容器中，使得每个容器至少有两个物体，这与假设矛盾。因此，假设不成立，鸽巢原理成立。

鸽巢问题原理PPT课件

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THANKS
密码学中的应用
密码学是研究如何保护信息安全的一门科学，而鸽巢原理在密码学中也有一定的应用。例如，在分析某些加密算法的安全性时，可以利用鸽巢原理来证明某些攻击方法的有效性或无效性。
05
鸽巢问题原理拓展与延伸
广义鸽巢原理
原理表述
如果n个物体放入m个容器，且n>m，则至少有一个容器包含两个或两个以上的物体。
掌握鸽巢原理的证明方法是学习该原理的关键。建议学习者多阅读相关教材或论文，了解不同证明方法的思路和应用场景。
多做练习题
通过大量的练习题可以加深对鸽巢原理的理解和掌握。建议学习者多做一些难度适中的练习题，逐步提高自己的解题能力。
未来研究方向展望
拓展应用领域
随着计算机科学和信息技术的发展，鸽巢原理的应用领域也在不断拓展。未来可以进一步探索鸽巢原理在人工智能、大数据等领域的应用。
鸽巢问题原理ppt课件
目录
• 鸽巢问题原理概述 • 鸽巢问题原理基本概念 • 鸽巢问题原理证明方法 • 鸽巢问题原理应用举例 • 鸽巢问题原理拓展与延伸 • 总结与回顾
01
鸽巢问题原理概述
定义与背景
鸽巢原理定义
如果 n 个鸽子要放进 m 个鸽巢，且 n > m，则至少有一个鸽巢里有多于一个鸽子。
重要性
理论价值
鸽巢原理是数学中的基本原理之一，对于理解更高级的数学概念和证明具有重要意义。
实际应用
在计算机科学、工程等领域中，鸽巢原理为解决复杂问题提供了有效的思路和方法。
拓展思维
通过学习鸽巢原理，可以培养逻辑思维和抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。
02
鸽巢问题原理基本概念

三容斥原理所有公式

三容斥原理所有公式三容斥原理是组合数学中常用的一种方法，用于解决集合的交集和并集问题。

它是一种基本的计数原理，可以帮助我们解决一些复杂的计数问题。

在这篇文档中，我们将介绍三容斥原理的所有公式，希望能帮助大家更好地理解和运用这一原理。

首先，让我们来了解一下三容斥原理的基本概念。

三容斥原理是指对于三个集合A、B、C，其元素的个数分别为|A|、|B|、|C|，则三个集合的交集元素个数为|A∩B∩C|，那么三个集合的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有如下的公式：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

这就是三容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以计算三个集合的并集元素个数，而不需要逐个遍历元素进行计数，大大简化了计数问题的复杂度。

除了三个集合的情况，三容斥原理也可以推广到更多集合的情况。

对于n个集合A1、A2、...An，其元素的个数分别为|A1|、|A2|、...|An|，则n个集合的并集元素个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。

其中Σ表示对所有可能的集合交集进行求和，(-1)^(n-1)表示交替加减，这就是n个集合的情况下的三容斥原理公式。

三容斥原理的应用非常广泛，可以用于解决各种组合计数问题，比如排列组合、概率统计等。

通过灵活运用三容斥原理，我们可以更加高效地解决一些复杂的计数问题，提高计算效率，减少出错概率。

总之，三容斥原理是一种非常重要的计数原理，通过掌握其基本公式和推广公式，我们可以更好地解决集合的交集和并集问题，为我们的计算工作提供便利。

希望本文介绍的三容斥原理的所有公式能够帮助大家更好地理解和运用这一原理，提高计数问题的解决能力。

容斥原理和鸽巢原理的应用

容斥原理和鸽巢原理的应用容斥原理的基本概念容斥原理是组合数学中一种重要的计数原理，用于解决涉及多个集合的问题。

它的核心思想是通过排除掉重复计数的部分，得到不重复计数的结果。

容斥原理通常用于解决集合交、并、差等操作的计数问题。

容斥原理的表述设A₁，A₂，…，Aₙ为n个集合，容斥原理可以表述为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ | = ∑ | Ai | - ∑ | Aᵢ⋂ Aₙ | + ∑ | Ai ⋂ Aₙ ⋂ Ak | - ... + (-1)ⁿ₋₁ | A₁ ⋂ A₂ ⋂ ... ⋂ Aₙ |其中，| · |表示集合的元素个数，∪表示集合的交集，⋂表示集合的并集，⋂表示集合的交集，(-1)ⁿ₋₁表示取负号。

容斥原理的应用解决排列组合问题容斥原理在解决排列组合问题时非常有用。

例如，考虑一个由A、B、C三个字母组成的长度为4的字符串，要求字符串中至少包含两个字母相同的个数。

使用容斥原理可以很方便地解决这个问题。

设集合A为满足至少包含两个A的字符串，集合B为满足至少包含两个B的字符串，集合C为满足至少包含两个C的字符串。

根据容斥原理，可以得到满足条件的字符串个数为：| A ∪ B ∪ C | = | A | + | B | + | C | - | A ⋂ B | - | A ⋂ C | - | B ⋂ C | + | A ⋂ B ⋂ C |其中，| A |表示满足至少包含两个A的字符串个数，| A ⋂ B |表示满足至少包含两个A和两个B的字符串个数，以此类推。

解决整数划分问题整数划分问题是指将一个正整数n划分成若干个正整数之和的问题。

使用容斥原理可以很好地解决这个问题。

设集合Aᵢ表示正整数划分中至少出现i个特定数（例如2）的划分集合。

根据容斥原理，可以得到正整数划分的个数为：| A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Ak | = ∑ | Ai |其中，Ai表示正整数划分中至少出现i个特定数的划分个数。

容斥原理与鸽巢原理的应用

容斥原理与鸽巢原理的应用1. 容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，常用于解决计数问题。

它利用集合的互斥与包含关系，将复杂的计数问题转化为简单的计数问题。

下面是容斥原理的应用方式：1.基本容斥原理：对于给定的一组事件A1, A2, …, An，它们的概率分别为P(A1), P(A2), …, P(An)，则这些事件的并集的概率P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)可以通过容斥原理计算得到。

2.二项式系数的应用：容斥原理还可以应用于计算二项式系数的求和，通过利用二项式系数性质和容斥原理的结合，可以简化求和式，加快计算速度。

3.容斥原理在组合数学中的应用：容斥原理在组合数学中经常用于计算排列组合问题，例如求解某些集合的大小、某些集合的交集、某些集合的并集等问题。

2. 鸽巢原理鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中一个基本原理。

它的核心思想是：如果有n个物体要分配到m个容器中，且n>m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。

下面是鸽巢原理的应用方式：1.分配问题：鸽巢原理可以应用于分配问题，例如某考试有n个学生和m个座位，如果n>m，则根据鸽巢原理可以得出至少有一个座位会被两个或者更多的学生占据。

2.概率问题：鸽巢原理可以用于解决概率问题，例如抛掷两个骰子，如果将两个骰子的点数总和视为一个数，那么总有两个骰子的点数总和相等，这是由鸽巢原理保证的。

3.鸽巢原理在密码学中的应用：鸽巢原理在密码学中也有广泛的应用，例如在哈希函数中，将大量的输入映射到有限的输出空间中，根据鸽巢原理，总会存在多个输入被映射到同一个输出。

3. 容斥原理与鸽巢原理的应用案例下面是容斥原理与鸽巢原理的具体应用案例：1.求解集合的大小：假设有两个集合A和B，分别包含n个元素和m个元素，求解它们的并集A ∪ B的大小。

根据容斥原理，可以通过计算A和B的大小以及它们的交集A ∩ B的大小，来求解并集的大小。

具体计算公式为：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。

第04讲-计数问题-容斥原理与鸽笼原理_图文

*
解（续）
利用容斥原理，并代入已知条件得 24＝13＋5＋10＋9－2－4－4－4－0－0
＋0＋0＋0＋|A∩C∩D|－0。得：|A∩C∩D|＝1，即同时会英、德、法语的只有 1人。
*
例2.4.3 解（续）
设只会英、日、德、法语的人数分别为x1,x2,x3,x4 ，则
x1＝|A|－|(B∪C∪D)∩A| ＝|A|－|(B∩A)∪(C∩A)∪(D∩A)|
的基本概念，它们之间关系和相应的计算公式； 3. 容斥原理和鸽笼原理的基本概念及正确使用；
*
习题类型
（1）基本概念题：涉及离散概率的基本概念；（2）计算题：涉及排列数与组合数的计算，利用容斥原理的计算，离散概率的计算和递归关系的建立与求解；（3）证明题：涉及对鸽笼原理的应用。
*
习题
第44-45页
*
定理2.4.1
设A和B是任意有限集合，有 A-B
|A∪B| = |A|＋|B|－|A∩B|。
U
分析由图容易看出，
A B
A∪B = (A - B)∪(A∩B)∪(B - A)，
B-A
|A∪B| = |A-B|+|A∩B|+|B-A|
A = ( A - B)∪(A∩B)
|A| = |A-B|+|A∩B|
= 41，即结论得证。
*
2.5 离散概率简介
概率(Probability)是17世纪为分析博弈游戏而发展起来的学科，最初计算概率仅有计数一种方法。
本节主要介绍离散概率的基本概率、基本性质和概率计算的简单例子。
*
2.8 本章总结
1. 乘法原理和加法原理的基本含义； 2. r-排列，全排列，环形r排列，环排列，r-组合

组合数学第3章鸽笼原理

§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例8
证明：作序列 s1 a1, s2 a1 a2 , ..., s100 a1 a2 ... a100。由而故做于且根序例每据列个假题设ai都有s1是s,1s020正s,1.0.的.0(.,例已的a＞.as.整i11+01知和8h0a数(0、≥,iaa+从不s1191，2设，1+1其超6…故a使3.a.1中过9.+a9得1,2a21任s…6sia+26a1019.，意0ha≤.+.)1130即一as6902ha是(。,+对个a1.10.1+由.0则1.,于数.)…s。.11至01开a和+0≤1s少a21始i2k0≤0=3组存9的93.1.9成.在恒顺。的ha有序和20序1)k0列，个，（k数S）
§§3.31.1 鸽鸽笼笼原原理例理6
例题
例6、从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中至少有一对数，其中一个数是另一个数的倍数（n≥1）。
证明：设所取n+1个数是a1,a2,…,an,an+1，
对该序列中的每一个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇
数为止，即 ri = ai / 2x ，x = 0,1,2,…。
结果得由奇数组成的序列R：r1,r2,…,rn,rn+1。
1到2n中只有n个奇数，故序列R中至少有两个数是相同的。
设为 ri rj r, i j ，对应的有 ai 2i r，a j
2 j
r，不妨设i
j
，
则ai是aj的倍数。
§3§.13.1鸽鸽笼笼原原理理例7
例题
例7、设a1a2…am是正整数的序列，则至少存在整数 k 和 l ， 1≤k ＜ l≤m ，使得和 ak+1+ak+2+…+al是m的倍数。（m≥2）

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3.1 容斥原理
对于求两个有限集合A和B的并的元素数目，我们有
定理1
ABABAB (1)
即具有性质A或B的元素的个数等于具有性质A的元素个数和具有性质B的元素个数减去同时具有性质A和B的元素个数。
3.1 容斥原理
U
A∩B
A
B
3.1 容斥原理
证若A∩B=，则 | A∪B |= |A| + |B|, 否则 |A||A(B B)||(A B) (A B)|
类似有
A1 A3 22!
A 1 A40,A 1 A 50,
A2 A30,A2 A4A2 A520! A3 A419!,A3 A520!A4 A519!
3.1 容斥原理
例2 一个学校只有三门课程：数学、物理、化学。已知修这三门课的学生分别有170、130、 120人；同时修数学、物理的学生45人；同时修数学、化学的20人；同时修物理化学的22人。同时修三门的3人。假设每个学生至少修一门课，问这学校共有多少学生？
解：令A为修数学的学生集合； B 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
则
U 26!
出现dog字样的排列，相当于把dog作为一个单元参加排列，故 A1 24 !
3.1 容斥原理
类似有： A 2A 32 4 !,A 4A 52 2 !
由于god,dog不可能在一个排列中同时出现，故：
A1 A2 0;
由于gum,dog可以在dogum中同时出现，故有：
定理2 ABCABCAB -ACBCABC (2 )
3.1 容斥原理
A∩B
A
A∩C
C
A∩B ∩C
U B
B∩C
3.1 容斥原理
证明 A B C(A B) C A BC(A B) C
根据(A B) C(A C) (B C) A B CABCA B
(A C) (B C) ABCA B-A CB CA B C
ABAC BC 2 n A B C 1
a,b,c都至少出现一次的n位符号串数目为
ABC U (A BC ) (ABAC BC ) ABC 4 n 3 3 n 3 2 n 1
3.1 容斥原理
例5 用26个英文字母作不允许重复的全排列，要求
排除dog，god，gum，depth，thing字样的出现，求
A
B

500 15
33
被3或5除尽的数的个数为
A B AB A B
1 6 6 1 0 0 3 3 2 3 3
3.1 容斥原理
例4 求由a,b,c,d四个字母构成的n位符号串中a,b,c 都至少出现一次的符号串数目。
解：令A、B、C分别为不出现a，b，c符号的集合。即有 U 4 n ABC3n
组合数学
帅天平
北京邮电大学数学系 Email: tpshuaigmail
第三章排列组合
3.1 容斥原理 3.2 容斥原理应用 3.3 广义容斥原理 3.4 广义容斥原理应用 3.5 鸽巢原理及其应用 3.6 Ramsay数 3.7 应用举例
3.1 容斥原理
计数问题是组合数学研究的重要问题之一。
已学过的一些计数方法：如加法法则，母函数方法等；两个重要的计数原理：容斥原理和PÓlya计数定理。
本次课我们学习容斥原理及其应用。
3.1 容斥原理
例1 求不超过20的正整数中2或3的倍数的个数。
解： 2的倍数是：2，4，6，8，10，12，14，16， 18，20。共10个； 3 的倍数是：3，6，9，12，15，18。共 6个；答案是10+6=16个吗？否！因为6，12，18在两类中重复计数，应减去。故答案是：16-3=13
3.1 容斥原理
A170,B130,C120,A B45 AC20,B C22,A B C3
A B CABCA B ACB CA B C
1701301204520223 336
即学校学生数为336人。
3.1 容斥原理
同理可推出：
A B C DABCD
An
(5)
容斥原理指的就是（4）和（5）式。用来计算有限集合的并或交的元素个数。
3.1 容斥原理
例3 求从1到500的整数中能被3或5除尽的数的个数.
解：令A为从1到500的整数中被3除尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合
A

500 3
166,
B

500 5
100;
|(A B)||(A B)|
(i)
同理
|B | |(BA )| |(BA )| (ii)
A B(A (B B)) (B (A A) (A B) (A B) (B A) (B A) A BA BB A (iii)
3.1 容斥原理
( iii ) －( i ) －( ii ) 得 |A B||A||B| |A B||A B||B A|(|A B||A B|) (|B A||B A|)|A B| ∴| A∪B |＝| A | + | B |－| A∩B |
A BA CA DB CB DC D
A B CA B DA C DB C D
A B C D
(3)
利用数学归纳法可得一般的定理：
3.1 容斥原理
定理3 设A1,A2,…,An是有限集合，则
A1 A2 ... An
n
n
n
Ai Ai Aj Ai Aj Ak
i1
i1 ji
i1 ji kj
...(1)n1 A1 A2 ... An
(4)
3.1 容斥原理
又 AU A,
A1 A2 ... An UA1 A2
An
n
n
n
UAi Ai Aj -Ai Aj Ak
ห้องสมุดไป่ตู้
i1
i1 ji
i=1 ji kj
(1)n A1 A2
满足这些条件的排列数。
解：所有排列中，令
A 1为出现 dog的排列的全体； A 2为出现 god的排列的全体；
A 3为出现 gum 的排列的全体； A 4为出现 depth 的排列的全体；
A 5为出现 thing的排列的全体；