(完整word版)北师大版七年级数学下册三角形难题全解

来源：2011-2012学年广东省汕头市潮南区中考模拟考试数学卷（解析版）考点：三角形如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90o，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90o，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90ｏ-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（ 2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO，由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90ｏ，∴AE⊥BF．（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF来源：2012-2013学年吉林省八年级上期中考试数学试卷（解析版）考点：四边形如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB,已知△ABE≌△ADF.（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中哪一种方法，使△ABE变到△ADF 的位置；（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论.【答案】（1）绕点A旋转90°；（2）BE=DF，BE⊥DF．【解析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判断和性质（1）根据旋转的概念得出；（2）根据旋转的性质得出△ABE≌△ADF，从而得出BE=DF，再根据正方形的性质得出BE⊥DF．（1）图中是通过绕点A旋转90°，使△ABE变到△ADF的位置．（2）BE=DF，BE⊥DF；延长BE交DF于G；由△ABE≌△ADF，得BE=DF，∠ABE=∠ADF；又∠AEB=∠DEG；∴∠DGB=∠DAB=90°；∴BE⊥DF．来源：2012年江苏省东台市七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）如图，在△a bc中，已知∠abc=30°，点d在bc上，点e在ac上，∠bad=∠ebc，ad交be于f.1.求的度数；2.若eg∥ad交bc于g，eh⊥be交bc于h，求∠heg的度数.【答案】1.∠BFD=∠ABF+∠BAD （三角形外角等于两内角之和）∵∠BAD=∠EBC，∴∠BFD=∠ABF+∠EBC，∴∠BFD=∠ABC=30°；2.∵EG∥AD，∴∠BFD=∠BEG=30°（同位角相等）∵EH⊥BE，∴∠HEB=90°，∴∠HEG=∠HEB-∠BEG=90°-30°=60°．【解析】1.∠BFD的度数可以利用角的等效替换转化为∠ABC的大小，2.在直角三角形中，有平行线，利用同位角即可求解．三角形强化训练和深化☣1、如图a是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是_________°．解析：由题意可知折叠前，由BC//AD得：∠BFE=∠DEF=25°将纸带沿EF折叠成图b后，∠GEF=∠DEF=25°所以图b中，∠DGF=∠GEF+∠BFE=25°+25°=50°又在四边形CDGF中，∠C=∠D=90°则由：∠DGF+∠GFC=180°所以：∠GFC=180°－50°＝130°将纸带再沿BF第二次折叠成图C后∠GFC角度值保持不变且此时：∠GFC＝∠EFG+∠CFE所以：∠CFE=∠GFC-∠EFG=130°-25°=1052、在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．解法1：【解析】证明：∵∠BAC=900AD⊥BC∴∠1=∠B∵CE是角平分线∴∠2＝∠3∵∠5＝∠1+∠2∠4＝∠3+∠B∴∠4＝∠5∴AE＝AF过F作FM⊥AC并延长MF交BC于N∴MN//AB∵FG//BD∴四边形GBDF为平行四边形∴GB=FN∵AD⊥BC,CE为角平分线∴FD=FM在Rt△AMF和RtNDF中∴△AMF≌△NDF∴AF＝FN∴AE＝BG解法2：解：作EH⊥BC于H，如图，∵E是角平分线上的点，EH⊥BC，EA⊥CA，∴EA=EH，∵AD为△ABC的高，EC平分∠ACD，∴∠ADC=90°，∠ACE=∠ECB，∴∠B=∠DAC，∵∠AEC=∠B+∠ECB，∴∠AEC=∠DAC+∠ECA=∠AFE，∴AE=AF，∴EG=AF，∵FG∥BC，∴∠AGF=∠B，∵在△AFG和△EHB中，∠GAF=∠BEH∠AGF=∠BAF=EH，∴△AFG≌△EHB（AAS）∴AG=EB，即AE+EG=BG+GE，∴AE=BG．3、如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．解：作CF⊥AB于F，交AD于G ，如图，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF=∠BCF=45°，即∠ACG=45°，∠B=45°，∵CE⊥AD，∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE=90°，∴∠1=∠2，在△AGC和△CEB中∠1=∠2AC=CB∠ACG=∠CBE，∴△AGC≌△CEB（ASA），∴CG=BE，∵AD为腰CB上的中线，∴CD=BD，在△CGD和△BED中CG=BE∠GCD=∠BCD=BD，∴△CGD≌△BED（SAS），∴∠CDA=∠EDB．4、如图，已知AD和BC相交于点O ，且均为等边三角形，以平行四边形ODEB，连结AC，AE和CE。

求证：也是等边三角形证明：∵△OAB和△OCD为等边三角形，∴CD=OD，OB=AB，∠ADC=∠ABO=60°．∵四边形ODEB是平行四边形，∴OD=BE，OB=DE，∠CBE=∠EDO．∴CD=BE，AB=DE，∠ABE=∠CDE．∴△ABE≌△EDC．∴AE=CE，∠AEB=∠ECD．∵BE∥AD，O A BCDEF ∴∠AEB=∠EAD ．∴∠EAD=∠ECD ．在△AFE 和△CFD 中又∵∠AFE=∠CFD ，∴∠AEC=∠ADC=60°．∴△ACE 为等边三角形．5.如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=16，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且FE+BO=8. 求AD+BC 的值.6.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°,AB=AC, D 是△ABC 内一点， 且求证：BD=BA 。

解：如图：以AD 为边，在△ADB 中作等边三角形ADE ，连接BE ．∵∠BAE=90°-60°-15°=15°，即∠BAE=∠CAD ，且AB=AC ，AE=AD ，∴△EAB ≌△DAC （SAS ），∴∠BEA=∠CDA=180°-15°-15°=150°，∴∠BED=360°-∠BEA-60°=150°，即∠BEA=∠BED ；又∵AE=ED，BE=BE，∴△BEA≌△BED（SAS），∴BA=BD．7.已知，如图D是的边BA延长线上一点，有AD=BA，E是边AC上一点，且DE=BC求证：延长CA至F，使得AF=CA则三角形DAF与三角形BAC全等，DF=BC,且<C=<F又DE=BC=DF，所以三角形DFE为等腰三角形，所以<DEF=<DEA=<F=<C8.如图，已知点D是边长为1的等边三角形ABC的内心，点E，F分别在边AB，AC上，且满足。

求的周长。

过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度可以证明。

过D做AC和AB的垂线交与H G找到一个I 点，使∠EDI = 60度那么三角形HDF和GDI全等。

证明：∠HDG=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠HDG-∠FDG = ∠FDI-∠FDG∠HDF = ∠GDIDH=GD∠DHF = ∠DGI = 90度由此可知FD=ID那么三角形FDE和IDE全等。

证明：因为FD=IDED=ED∠FDE = ∠IDE = 60°由此可知FE=IE （蓝色线）那么三角形AFD和BID全等。

证明：∠ADB=120 ∠FDI=120 （2个60度相加）∠ADB-∠ADI = ∠FDI-∠ADI所以∠BDI = ∠FDA因为FD=ID，AD=BD那么，AE = BI (红色线)最后，AE+EF+FA = AE+EI+IB = 单边长。

为固定值。

初一下册数学难题（全内容）1、解方程：() 18031902180⨯=---αα，则α= 60° 2、用10%和5%的盐水合成8%的盐水10kg ，问10%和5%的盐水各需多少kg ？设需10%的盐水X 千克，则需要5%的盐水（10-X ）千克X*10%+（10-X ）*5%=10*8%5%X=0.3X=610-6=4（千克）所以需10%的盐水6千克，则需要5%的盐水4千克3、已知523x k +=的解为正数，则k 的取值范围是4、（2）若212(1)11x a x x-〈⎧⎨+〉-⎩的解为x ＞3，则a 的取值范围（3）若2123x a x b -〈⎧⎨-〉⎩的解是-1＜x ＜1，则（a+1）（b-2）= （4）若2x ＜a 的解集为x ＜2，则a=（5）若204160x m x -≤⎧⎨+〉⎩有解，则m 的取值范围5、已知32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，x ＞y ，则m 的取值范围 ； 6、已知上山的速度为600m/h ，下上的速度为400m/h ，则上下山的平均速度为？7、已知24(3)0x y x y +-+-=，则x= ，y= ；8、已知35303580x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩（0z ≠），则:x z = ，:y z = ；9、当m= 时，方程262310x y x y m +=⎧⎨-=-⎩中x 、y 的值相等，此时x 、y 的值= 。

10、已知点P(5a-7,-6a-2)在二、四象限的角平分线上，则a= 。

11、⎩⎨⎧=-=+my x m y x 932的解是3423=+y x 的解，求m m 12-。