北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程串讲课件
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八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
分式方程 去分母 整式方程
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
北师大版八年级数学下册第五章《分式与分式方程》课件
(1) 2x
5y
(2) 3a
7b
(3)
10m 3n
解：（1）原式= 2x .
5y
（3）原式= 10m .
3n
（2）原式= 3a . 7b
探究新知
素养考点 1分式的基本性质 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）
b by ( y 0) 2x 2xy
； （2）
ax a . bx b
解：（1）因为y≠0，所以
则 x2 - 1=0，
∴x = ±1， 而 x+1≠0，
∴ x ≠ -1. ∴当x = 1时，分式
x2 - 1 x +1
的值为零.
探究新知
方法总结 分式值为零的求法 (1)利用分子等于0,构建方程. (2)解方程,求出所含字母的值. (3)代入验证:将所求的值代入分母,验证是否使分 母为0,不为0此值即为所求,否则,应舍去. (4)写出答案.
注意：
（1）分式也是代数式；
（2）分式是两个整式的商，它的形式是
A B
（其中A，B都是
整式并且还要求B是含有字母的整式）；
（3）A称为分式的分子，B为分式的分母.
探究新知
思考： （1）分式与分数有何联系？
① 100 7
整数 类比思想 100 a+1
整数
整式 整式
分数
分式 (分母含有字母）
②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具一般性. 特殊到一般思想
3000
3
300 a
5 5x 7
V
S
S
32
x2 xy y 2 2x 1
2x2 1 5
3x2 1
分式:
最新北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.4分式方程第3课时PPT课件
练习 〈湘西州〉如图，吉首城区某中学组织学生到距学 校20 km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学 生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余 学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达(两 条道路路程相同)，已知汽车速度是自行车速度的2 倍，求骑自行车学生的速度．
题中的等量关系：骑自行车行20 km所用时间－汽 导引：
随堂练习
1 小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一 种科普书，又用15元买了一 种文学书. 科普书的价 格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的 文学书 少1本. 是多少？ 这种科普书和这种文学书的价格各
设这种文学书的价格为x元/本，则这种科普书的 解：
价格为1.5x元/本． 15 15 －1＝ . 根据题意，得 x 1.5 x 解这个方程，得x＝5.
再由甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文
章所用的时间相同，可列出方程，解方程即可得出 答案．
设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字， 解：
1 000 900 = ， 由题意得 x+ 5 x 解得x＝45.
经检验，x＝45是所列方程的解． x＋5＝45＋5＝50.
答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
(1)审；
(2)设； (3)列； (4)解； (5)验；
(6)答.
2.分式方程的应用题主要涉及的类型： (1)利润问题：利润＝售价－进价，
60 ； (4)解：解分式方程，得________ (5)检：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验 分式方程的解是否符合问题的实际意义． 经检验：_________ x＝60 是原方程的解，且符合题意； (6)答：写出答案(不要忘记单位)． 60 km/h ． 答：原计划的行驶速度为__________
北师大版数学八年级下册《第五章 分式与分式方程 1 认识分式 第1课时 分式的概念》教学课件
第五章 分式与分式方程 1 认识分式
第1课时 分式的概念
北师版 八年级下册
新课导入
面对日益严重的土地沙漠化问题，某县决定在
一定期限内固沙造林2400hm2，实际每月固沙造林
的面积比原计划多30hm2 ，结果提前完成原计划的
任务.如果设原计划每月固沙造林xhm2，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少月？ 2 4 0 0
b a x
上面问题中出现了代数式 2 4 0 0 ， 2 4 0 0 ，
35a 45b ， b
x
x + 30
，它们有什么共同特征？
ab a x
观察下列两组式子，它们都是整式吗？ 它们有什么特点？ （1）a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2 （2） 2 ，y，a ，c
m-n x 9a-1 ab
x2
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
第1课时 分式的概念
北师版 八年级下册
新课导入
面对日益严重的土地沙漠化问题，某县决定在
一定期限内固沙造林2400hm2，实际每月固沙造林
的面积比原计划多30hm2 ，结果提前完成原计划的
任务.如果设原计划每月固沙造林xhm2，那么
（1）原计划完成造林任务需要多少月？ 2 4 0 0
b a x
上面问题中出现了代数式 2 4 0 0 ， 2 4 0 0 ，
35a 45b ， b
x
x + 30
，它们有什么共同特征？
ab a x
观察下列两组式子，它们都是整式吗？ 它们有什么特点？ （1）a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2 （2） 2 ，y，a ，c
m-n x 9a-1 ab
x2
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程PPT
分母颠倒位置后再与被除式相乘。
用符号语言表达：
分数与分式的乘除法法则类似
分数的乘除法法则: 两个分数相乘,把分子相 乘的积作为积的分子,把 分母相乘的积作为积的
分式的乘除法法则: 两个分式相乘,把分子相乘
的积作为积的分子,把分母
相乘的积作为积的分母;
分母;
两个分式相除,把除式的分
子分母颠倒位置后,再与被 除式相乘.
a2 4 12ab (1) 2 8a b 3a 6
a 1 a2 1 (2) 2 2 a 4a 4 a 4
当分子或分母是多项式时,怎么办？
能分解因式的要进行分解因式.
练习
a2 1 (1) a 2 a2 2a
a2 6a 9 12-4a (3) 2 1 4a 4a 2a 1
第五章 分式与分式方程
5.1认识分式
第1课时
1. 知道分式的概念 , 明确分式和整式的区别 .
2. 掌握分式有意义、无意义的条件及分式的值为 0
的条件 .
小明在做练习题时遇到这样一道题目:下列式子中哪些是整式? ① 3x+4y,② 4a,③
������+������ ������������
,④ 8m ,⑤
2
������
������-������
,⑥ x-2,⑦
������+������ ������
.
小明能很快判断出①②④⑥是整式,并能很快地分辨出①⑥是多 项式,②④是单项式,因为单项式和多项式统称为整式.可对于③⑤⑦ 这样的式子小明很好奇:它们不是整式,是什么呢?你知道吗?
1.若分式������+������的值为正整数,小组讨论整数 x 的值有多少种可能.
北师大版八年级数学下册第五章：4、分式方程 第3课时 教学课件(共15张PPT)
第五章分式与分式方程经历实际问题情境建立分式方程模型求解解释解的合理性的过程进一步提高学生分析问题和解决问题的能力增强学生学数学用数学的意识
第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程 第3课时
一、 学习目标
1. 经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解 的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力， 增强学生学数学、用数学的意识．
六、 课堂小结
列分式方程解应用题的步骤： （1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等
量关系； （2）设：设未知数（要有单位）； （3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程； （4）解：解方程； （5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意； （6）答：写出答案（要有单位）．
再见
四、 典例精讲
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3．则今年的水价为
1+
1 3
元/m3，根据题意，得
1
30 1
3
x
15 x
5．
解这个方程，得
x 3． 2
经检验 x 3 是所列方程的根． 2
3 2
1
1 3
（2 元/m3）．
所以该市今年居民用水的价格为2元/m3．
五、 课堂练习
小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书， 又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他 们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的 价格各是多少？
每间房屋的租金
（2）根据这一情境你能提出哪些问题? 解：求出租房屋的总间数；分别求出两年每间房屋的租金．
三、 探究新知
（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租 金为(x＋500)元．
第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程 第3课时
一、 学习目标
1. 经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解 的合理性”的过程，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力， 增强学生学数学、用数学的意识．
六、 课堂小结
列分式方程解应用题的步骤： （1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等
量关系； （2）设：设未知数（要有单位）； （3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程； （4）解：解方程； （5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意； （6）答：写出答案（要有单位）．
再见
四、 典例精讲
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3．则今年的水价为
1+
1 3
元/m3，根据题意，得
1
30 1
3
x
15 x
5．
解这个方程，得
x 3． 2
经检验 x 3 是所列方程的根． 2
3 2
1
1 3
（2 元/m3）．
所以该市今年居民用水的价格为2元/m3．
五、 课堂练习
小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书， 又用15元买了一种文学书．科普书的价格比文学书高出一半，因此他 们所买的科普书比所买的文学书少1本，这种科普书和这种文学书的 价格各是多少？
每间房屋的租金
（2）根据这一情境你能提出哪些问题? 解：求出租房屋的总间数；分别求出两年每间房屋的租金．
三、 探究新知
（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租 金为(x＋500)元．
北师大版八年级数学初二下册第5章《分式与分式方程》5.4分式方程优秀PPT课件
2 1.(2014· 重庆中考)关于x的方程 x 1 1 的解是
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1 2.(2014· 湘潭中考)分式方程
检测反馈
( B )
5 3 x2 x
的解为 ( C )
A.x=1
B.x=2
C.x=3
D.x=4 的根是 x=2
3.(2015·温州中考)方程
的包装箱进行包装,已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件
文具,单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个.设 B型包装箱每个可以装x件文具,根据题意列方程为 A. 1080 1080 12 x x 15
1080 1080 12 B. x x 15
1080 1080 12 D. x x 15
[知识拓展]
1.把分式方程化为整式方程的方法是去掉分式方程中的分 母.如何去掉分式方程中的分母是解分式方程的“关键”步骤.
2.用分式方程中各式的最简公分母分别乘方程的两边,从而约 去分母.但要注意用最简公分母乘方程两边的每一项,切勿漏项.
3.解分式方程可能产生使最简公分母为零的增根,因此检 验是解分式方程必要的步骤.
(2)以往学过的方程中,分母中含有字母吗?
归纳:分式方程的重要特征:
(1)含分母; (2)分母中含有未知数. 分式方程与整式方程的区别:分式方程中的分母含 有未知数,而整式方程中的分母不含有未知数.
1 1 x ( x 1) 【想一想】方程 3 6
是分式方程吗?
不是分式方程,分母中不含有未知数.
动装所需要的时间,由题意列出等量关系.故选B.
第五 章 分式与分式方程
(教材例1)解方程
1 3 . x2 x
北师大版八年级下册 第五章 分式与分式方程 5.4 分式方程 课件 (共14张PPT)
检验：将x=5代入原方程，分母x－5= 0 和
= 0，
相应的分式 无 （有或无）意义。因此，x=5不
是原方程的解。
∴原分式方程无解。
思考:怎么会出 现这样的情况?
归纳小结： 在这里，x = 5不是原方程的根，因为它使得原分式 方程的分母为零，我们称它为原分式方程的 。增根 增根产生的原因是：我们在方程两边同乘了一个可能
❖ You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
❖
合作探究：
解方程：
＝
解：方程两边同乘最简公分母（x+5）(x -，5）得：
x+5=10
解得： x=5
“去分母”后分式方 程化成了什么方程?
4、写：写出结论
一化二解三检验四写
拓展延伸：
1.若关于x的方程 有增根，求m的值。
解： 方程两边都乘以(x-2),得
m+1=-2x+1
∵方程有增根 ∴x=2 当x=2时，m=-4
【小结】
通过例题的学习和练习的操作,你能谈谈今天有 和收获？ 解分式方程的一般步骤的框架图：
分式方程 去分母 整式方程
注意：增根不是原方程的解，但适
合原方程转化后的
x=1
无解
无解
说说解分式方程的基本步骤
解分式方程的步骤
1、化：即在方程两边都乘以最简公分母。 约去分母，化成整式方程。
注意：不要漏乘不含分母项。 2、解：解这个整式方程。
3、检验：把整式方程的根代入最简公分母， 看结果是否是零，使最简公分母为零的根， 是原方程的增根，必须舍去。
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A
【例1】下列各式中哪些是整式？哪些是分式？
b (1) , (2)2a b 2a
x 1 1 x y (3) (4) xy 4 x 2 4
2
二．分式有意义，无意义或等于零的条件
1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 分式有意义 分式无意义 分式的值为零 分母不等于零 分母等于零
【练2】(1)当x取何值时，分式
(2)当x取何值时，分式 x 3 的值是负数？ 解(1) 由题意,得
x 1 的值为正数？ x2
x5
x 1 0 x 1 0 ① 或 ② x 2 0 x 2 0 解不等式组①，得x>1，解等式组②，得x<-2 x 1 所以当x>1或x<-2时，分式 的值为正数. x 2 x 3 0 x 3 0 (2) 由题意,得 ① 或 ② x 5 0 x 5 0
x 2 的值为零。 2x 1 4、已知，当x=5时，分式 2 x k 的值等于零， 3x 2 则k =-10 。
⑵ 当x =2 时，分式
三．分式的基本性质
1. 2. 复习分数的基本性质及约分，通分。 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 （或除以）同一个不等于零的整式，分式的 值不变。 a am am 即： b bm bm
分子为零 分母不等于零
分式的值大于零 分子分母同正或同负 分式的值小于零 分子分母异号（两类） 分式的值等于1 子=母且母≠0 分式的值等于-1 子+母=0且母≠0 分母是含有字母的整式，只有其中的字母取 满足上述各条件时，对应的结论才成立。
【例2】
（1）当 a=1，2时，分别求分式 的值； （2）当x取什么值时,下列分式有意义?
【练2】 不改变分式的值，把下列各式的分子
与分母中的各项系数化为整数．
（ 1）
0.03x 0.2y ; （ 2） 0.08x 0.5y
0.03x 0.2y 3x 20y ; 解:（1） 0.08x 0.5y 8x 50y
（ 2）
m 1n 3 2 m 2n 5
.
1 m n 3 15m 5n . 2 m 2n 6m 30n 5
第五章 分式与分式方程
八年级（下册）
第一单元：认识分式
一．分式的概念
有理式
整式 分式 数与字母用运算符号连接
1. 2.
代数式 无理式
分式的概念
定义：整式A除以整式B，可以表示成— 的形式如 B A 果除式B中含有字母，那么— 称为分式。其中A为 B 分式的分子，B为分式的分母（被除式；除式）。 ② 可以类比于分数，但须分母中含有字母。 ③ A、B必须都是整式——分式：整式的商。 ④ 分式的分数线：具有除号和括号的双重功能。 ⑤ 辨识：看本来形式。切记不能看变形以后的形式。 辨识三要素：看本来-有分母-分母中含字母。 ①
a 1 2a
3 ① x
x ② x2
x 2x 1 ③ x2 1
2
x6 ④ 2 x 3
（3）当x取什么值时，下列分式无意义？
x (1) 2x 3
x 1 (2) 5 x 10
【练1】、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 : | x | 2 x2 , (2) (1) . 2x 5 2x 4 解⑴： 由分子x+2=0， 得 x=-2
（其中a、b、m是整式,且m≠0）
3.
m≠0的条件是重要考点之一。做题时要注意 “隐含条件
例 3
下列等式的右边是怎样从左边得到的？ b by an a 1) ( y 0); 2) (n 0). bn b 2 x 2 xy
解: 1) 因为
b b y 所以 2x 2x y
y0
2) 因为
an an n a . 所以 bn bn n b
n0
by ; 2 xy
四．分式的约分
1.
2. 3.
4. 5.
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的 分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分 最简分式：如果一个分式的分子和分母没有 公因式，那么这个分式叫做最简分式。 找公因式：一化三定：若分子分母有多项式， 要通过分解因式化为积的形式。然后定系数， 定字母，定指数。其中指数取相同字母中的 最小者。 分式的计算、化简最后的结果必须是最简分 式。求分式值时，一般先化简后求值。 分式分子分母和分式本身的符号“变二不 变”。
解不等式组①，无解，解等式组②，得 -3<x<5
x3 所以当-3<x<5时，分式 的值为负数. x5
【小测试】 1、在下面四个有理式中,分式为( B ) 2x 5 1 x8 A、 B、 C、 7 3x 8
1 x D、- + 4 5
２、当x=-1时，下列分式没有意义的是( C ) A、x 1 B、 x C、 2 x D、x 1 x x 1 x 1 x ３、⑴ 当x ≠ 1 时，分式 x 2 有意义。 2x 1 2
例 4
2
化简下列分式 :
ab 2 a bc a ab c 解:（1） = ac ； ab ab 2
x 1 ( x 1)(x 1) （2） 2 2 x 2x 1 ( x 1)
=
x 1 x 1 。
（1） a bc ；
x 1 （2） 2 . x 2x 1
2
【练1】化简下列分式:
12 x y (1) 3 2 9x y
2
3
x y (2) 3 ( x y)
2 3 2 2
12 x y 3x y 4 y 4 y 解： (1) 3 2 2 2 9x y 3x y 3x 3x
x y x y 1 (2) 3 2 2 ( x y) ( x y)( x y) ( x y)
而当 x=-2时，分母 2x-5=-4-５≠0。 x2 所以当x=-2时，分式 的值是零。 2x 5 由分子|x|-2=0， 得 x=±2。 解⑵ ： 当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。
| x | 2 所以当x=2时，分式 2 x 4 的值是零。
【例1】下列各式中哪些是整式？哪些是分式？
b (1) , (2)2a b 2a
x 1 1 x y (3) (4) xy 4 x 2 4
2
二．分式有意义，无意义或等于零的条件
1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 分式有意义 分式无意义 分式的值为零 分母不等于零 分母等于零
【练2】(1)当x取何值时，分式
(2)当x取何值时，分式 x 3 的值是负数？ 解(1) 由题意,得
x 1 的值为正数？ x2
x5
x 1 0 x 1 0 ① 或 ② x 2 0 x 2 0 解不等式组①，得x>1，解等式组②，得x<-2 x 1 所以当x>1或x<-2时，分式 的值为正数. x 2 x 3 0 x 3 0 (2) 由题意,得 ① 或 ② x 5 0 x 5 0
x 2 的值为零。 2x 1 4、已知，当x=5时，分式 2 x k 的值等于零， 3x 2 则k =-10 。
⑵ 当x =2 时，分式
三．分式的基本性质
1. 2. 复习分数的基本性质及约分，通分。 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 （或除以）同一个不等于零的整式，分式的 值不变。 a am am 即： b bm bm
分子为零 分母不等于零
分式的值大于零 分子分母同正或同负 分式的值小于零 分子分母异号（两类） 分式的值等于1 子=母且母≠0 分式的值等于-1 子+母=0且母≠0 分母是含有字母的整式，只有其中的字母取 满足上述各条件时，对应的结论才成立。
【例2】
（1）当 a=1，2时，分别求分式 的值； （2）当x取什么值时,下列分式有意义?
【练2】 不改变分式的值，把下列各式的分子
与分母中的各项系数化为整数．
（ 1）
0.03x 0.2y ; （ 2） 0.08x 0.5y
0.03x 0.2y 3x 20y ; 解:（1） 0.08x 0.5y 8x 50y
（ 2）
m 1n 3 2 m 2n 5
.
1 m n 3 15m 5n . 2 m 2n 6m 30n 5
第五章 分式与分式方程
八年级（下册）
第一单元：认识分式
一．分式的概念
有理式
整式 分式 数与字母用运算符号连接
1. 2.
代数式 无理式
分式的概念
定义：整式A除以整式B，可以表示成— 的形式如 B A 果除式B中含有字母，那么— 称为分式。其中A为 B 分式的分子，B为分式的分母（被除式；除式）。 ② 可以类比于分数，但须分母中含有字母。 ③ A、B必须都是整式——分式：整式的商。 ④ 分式的分数线：具有除号和括号的双重功能。 ⑤ 辨识：看本来形式。切记不能看变形以后的形式。 辨识三要素：看本来-有分母-分母中含字母。 ①
a 1 2a
3 ① x
x ② x2
x 2x 1 ③ x2 1
2
x6 ④ 2 x 3
（3）当x取什么值时，下列分式无意义？
x (1) 2x 3
x 1 (2) 5 x 10
【练1】、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 : | x | 2 x2 , (2) (1) . 2x 5 2x 4 解⑴： 由分子x+2=0， 得 x=-2
（其中a、b、m是整式,且m≠0）
3.
m≠0的条件是重要考点之一。做题时要注意 “隐含条件
例 3
下列等式的右边是怎样从左边得到的？ b by an a 1) ( y 0); 2) (n 0). bn b 2 x 2 xy
解: 1) 因为
b b y 所以 2x 2x y
y0
2) 因为
an an n a . 所以 bn bn n b
n0
by ; 2 xy
四．分式的约分
1.
2. 3.
4. 5.
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的 分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分 最简分式：如果一个分式的分子和分母没有 公因式，那么这个分式叫做最简分式。 找公因式：一化三定：若分子分母有多项式， 要通过分解因式化为积的形式。然后定系数， 定字母，定指数。其中指数取相同字母中的 最小者。 分式的计算、化简最后的结果必须是最简分 式。求分式值时，一般先化简后求值。 分式分子分母和分式本身的符号“变二不 变”。
解不等式组①，无解，解等式组②，得 -3<x<5
x3 所以当-3<x<5时，分式 的值为负数. x5
【小测试】 1、在下面四个有理式中,分式为( B ) 2x 5 1 x8 A、 B、 C、 7 3x 8
1 x D、- + 4 5
２、当x=-1时，下列分式没有意义的是( C ) A、x 1 B、 x C、 2 x D、x 1 x x 1 x 1 x ３、⑴ 当x ≠ 1 时，分式 x 2 有意义。 2x 1 2
例 4
2
化简下列分式 :
ab 2 a bc a ab c 解:（1） = ac ； ab ab 2
x 1 ( x 1)(x 1) （2） 2 2 x 2x 1 ( x 1)
=
x 1 x 1 。
（1） a bc ；
x 1 （2） 2 . x 2x 1
2
【练1】化简下列分式:
12 x y (1) 3 2 9x y
2
3
x y (2) 3 ( x y)
2 3 2 2
12 x y 3x y 4 y 4 y 解： (1) 3 2 2 2 9x y 3x y 3x 3x
x y x y 1 (2) 3 2 2 ( x y) ( x y)( x y) ( x y)
而当 x=-2时，分母 2x-5=-4-５≠0。 x2 所以当x=-2时，分式 的值是零。 2x 5 由分子|x|-2=0， 得 x=±2。 解⑵ ： 当x=2时，分母 2x+4=4+4≠0。 当x=-2时，分母 2x+4=-4+4=0。
| x | 2 所以当x=2时，分式 2 x 4 的值是零。