河南省2020年高考理科数学模拟试题及答案
河南省2020年高考理科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知全集UR ，集合|24,{|(1)(3)0}xAx B x x x，则U ABe （）A. (1,2)B.1,2 C. (1,3)D. (,2]2. 已知复数(i)(1i)z a （i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线2yx 上，则实数a 的值为（）A. 0B.1C.1D.133．ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若26cb，，60B,则C 等于（）A ．30 B．60 C．150 D．30或1504.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p 为（）A. 6B. 24C. 120D. 7205. 已知等差数列的前项和为，且，则（）A. B.C.D.6. 已知直线和抛物线C ：，P 为C 上的一点，且P 到直线l 的距离与P 到C的焦点距离相等，那么这样的点P 有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C.D.8. 从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入1个球，且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（）A ．46种B ．36种 C．72种 D ．42种9. 已知双曲线2222:1x y C ab（0,0a b）的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且||OM a ，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y xB ．2y xC ．3yx D．4yx10.已知数列的通项公式是，其前项和，则项数A. 13B. 10C. 9D. 611.已知f x 是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递增,设21log 3mf ,0.17n f ,4log 25pf ,则,,m n p 的大小关系为( ) A.mpn B.p n m C.p m n D.n p m12.已知函数1xf xeax 在区间(-1,1)内存在极值点,且0f x恰好有唯一整数解,则a的取值范围是(其中e 为自然对数的底数, 2.71828e)A.221,2ee eB.22211,11,22eee eC.2211,1,e 2ee e ee D.1,e e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）13.5212x x展开式中的6x 的系数为_______14. 若向量(2,),(2,1)a x b 不共线，且()()ab ab ，则a b______15. 设等比数列的前项和是，若，则__________．16. 已知点，抛物线的焦点为，连接，与抛物线相交于点，延长，与抛物线的准线相交于点，若，则实数的值为__________．三、解答题（共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
）（一）必考题（共60分）17. （本题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，，.（1）求角；（2）若点满足，求的长.18.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，底面，为的中点（1）求证：（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积.19.（本题满分12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出（不足时按计算）需再收元．公司从承揽过的包裹中，随机抽取件，其重量统计如下：公司又随机抽取了天的揽件数，得到频数分布表如下：以记录的天的揽件数的频率作为各揽件数发生的概率（1）计算该公司天中恰有天揽件数在的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他费用，目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过件，每人每天工资元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）20. （本题满分12分）已知椭圆C ：的离心率为，左、右顶点分别为A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B的一点，直线AM 与y 轴交于点P ．（1）若点P 在椭圆C 的内部，求直线AM 的斜率的取值范围；（2）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且AQ ∥BM ，求证：∠PFQ 为定值．21．（本题满分12分）已知函数ln 1f x x x ax a R .（1）讨论f x 在1,上的零点个数；（2）当1a时，若存在1,x ，使13f x e a ，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，其值为 2.71828……）（二）选考题（共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
）22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，已知过点P (－2，－ 4)的直线l 的参数方程为x＝－2＋2 2 ty＝－4＋22t，直线l与曲线C分别交于M，N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设不等式的解集为M．(1)求集合M；(2)已知，求证：．参考答案一、选择题1.B2.D3.A4.B5.C6.C7.B8.D9.A 10.D 11.C 12.C二、填空题13.30 14.3 15. 16.三、解答题17.（1）由题设及正弦定理得，又，所以.由于，则.又因为，所以.（2）由正弦定理易知，解得.又因为，所以，即.在中，因为，，所以，所以在中，，，由余弦定理得，所以.18.（1）在中，由余弦定理得，则．因为为的中点，则．因为，则，所以．因为，则．因为底面，则，所以平面，从而．（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．设，则点，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以．因为为平面的法向量，则，即．所以，解得，所以．所以．19.样本中包裹件数在内的天数为，频率为，可估计概率为，未来天中，包裹件数在间的天数X服从二项分布，即，故所求概率为；样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元），故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元．（3）根据题意及，揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利．20.（Ⅰ）由题意可得c2＝a2﹣2，∵ｅ，∴a＝2，c，∴椭圆的方程为1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得m，又∵A（﹣2，0），∴直线AM的斜率k AM∈（，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴ｋAM∈（，0）（0，），（Ⅱ）由题意F （，0），M （x 0，y 0），其中x 0≠±2，则1，直线AM 的方程为y （x+2），令x ＝0，得点P 的坐标为（0，），∵ｋBM=k AQ，∴直线AQ 的方程为y（x+2），令x ＝0，得点Q 的坐标为（0，），由（，），（，），∴?20，∴⊥，即∠PFQ ＝90°，故∠PFQ 为定值21.（1）由ln 10f x x x ax 得1ln axx，令1ln g xxx，因此讨论f x 在1,上的零点个数，即是讨论直线ya 与曲线yg x 的交点个数，∵22111x gxx xx，0g x在1,上恒成立，故1ln g x xx在1,上单调递增，1,g x ，又g x 连续不断，所以当1a 时，f x 在1,上无零点；当1a 时，f x 在1,上存在一个零点.（2）当1a 时，由（1）得f x 在1,上存在一个零点，由ln 10f x x a得1a xe，由（1）可得f x 在11,a e上单调递减，在1,a e上单调递增；所以11min1a a f xf ee，又存在1,x ，使13f x e a 成立，所以，只需1113a e e a 成立，即11310a ee a 不等式成立，令1131x h x ee x ，则11x h x ee ，易知110x h xe e 在1,x 上恒成立，故1131x h xee x 在1,x上单调递增又20h ，所以02h x x.故实数a 的取值范围为2,.22 (1)由C ：ρsin 2θ＝2a cos θ，得(ρsin θ)2＝2a ρcos θ，所以曲线的普通方程为y 2＝2ax .由直线l 的参数方程x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t消去参数t ，得x －y －2＝0. ……５分(2)直线l 的参数方程为x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，代入y 2＝2ax, 得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0，则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a ). 因为|MN |2＝|PM |·｜PN |，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2. 解得a ＝1. ………10分23.（1）原不等式等价于或或解得：或所以原不等式的解集为（2）由（1）知，当时，，所以，从而可得。
2020届河南省高考适应性测试数学(理)试题解析
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}2450A x x x =--≤，{}1B x x =<，则A B =（）A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(]1,1-答案：B先求出集合A ，然后求两集的交集即可. 解：解：因为{}2545014A x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}1B x x =< 所以{}11A B x x ⋂=-≤<． 故选：B 点评：本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知复数201711i z i-=+，则z 的虚部是（）A ．1-B ．i -C ．1D ．i答案：C利用41i =化简后再由复数的除法法则计算出z 后可得z ，从而得z 的虚部． 解：由201711i z i-=+，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，则z i =，其虚部为1． 故选：C ． 点评：本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．3．顶点在坐标原点，准线为2y =-的抛物线的方程为（） A ．28x y =B ．24x y =C ．28y x =D ．24y x =答案：A根据抛物线的概念和性质，即可求出结果. 解：设抛物线方程为22x py =， 由题意可知，22p-=-，得4p =， 所以所求抛物线的方程为28x y =． 故选：A . 点评：本题考查抛物线的概念和性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4．函数()cos xf x e x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D先求出函数的导数()sin xf x e x '=+，可得当0x >时，则()0f x '>，从而函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C ，再由22cos 022f e e ππππ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，排除除选项B ，得出答案. 解：由()cos xf x e x =-，则()sin xf x e x '=+当0x >时，e 1x >则()sin 0xf x e x '=+>，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递增，则排除选项A ，C又22cos 022f e e ππππ--⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭（），排除除选项B 故选：D 点评：本题考查函数图像的识别，考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题. 5．执行如图所示的程序框图，则输出的k =（）A ．5B ．3C ．6D ．4答案：A执行程序框图，依此写出每次循环时的,k S 的值并判断，直到当0S <时，退出循环，输出k 的值. 解：第一次循环：615S =-=，112k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第二次循环：523S =-=，213k =+=，0S >，不满足0S <执行循环； 第三次循环：330S =-=，314k =+=，0S =，不满足0S <执行循环； 第四次循环：044S =-=-，415k =+=，0S <，退出循环，此时输出5k =. 故选:A 点评：本题主要考查直到型循环结构的计算结构的输出，对于这类问题，通常是利用程序框图给出的算法计算出每一步的结果并判断即可，属于基础题.6．中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量x （单位：克）与药物功效y （单位：药物单位）之间满足2152y x x =-．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5药的药物功效的平均值为（） A ．18药物单位 B ．15药物单位 C ．20药物单位 D ．10药物单位答案：B设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，根据方差概念计算出222126x x x ++⋅⋅⋅+，再计算出()()222126126126152y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+，可得y ．解：设这6个样本中成分甲的含量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，平均值为x ，则()()()()222222221261266630x x x x x x x x xx-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-=⨯=，所以222126180x x x ++⋅⋅⋅+=．于是()()22212612612615290y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则126156y y y y ++⋅⋅⋅+==．故选：B ． 点评：本题考查均值和方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．本题还考查统计与数学文化，考查数据处理能力．7．函数f （x ）＝2sin 2（ωx ﹣6π）＞（ω＞0）的最小正周期为π．则f （x ）在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（）A ．B ．12C ．2D ．1 答案：D由函数的最小正周期得到ω的值，再根据x 的取值范围求出23x π-的取值范围，结合余弦函数的性质得到函数的最小值； 解：解：因为()22sin 1cos 263f x x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 的最小正周期为π，所以22ππω=解得1ω=，所以()1cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为3,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以72,366x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以cos 21,32x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()min 12f x =- 故选：D 点评：本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题.8．连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x ，y ，z ，那么点(),,P x y z 到原点O 的A ．13108B ．427C ．1172D ．16答案：A根据题意可知点(),,P x y z 的情况共有216种，由点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，列出满足条件的所有情况，再根据古典概型即可求出结果. 解：由题意可知，所有点(),,P x y z 的情况共有666216⨯⨯=种，点P 到原点O (),,P x y z 满足22221x y z ++<，所以满足条件的点P 有()1,1,1，()1,1,2，()1,1,3，()1,1,4，()1,2,1，()1,2,2，()1,2,3，()1,3,1，()1,3,2，()1,3,3，()1,4,1，()2,1,1，()2,1,2，()2,1,3，()2,2,1，()2,2,2，()2,2,3，()2,3,1，()2,3,2，()3,1,1，()3,1,2，()3,1,3，()3,2,1，()3,2,2，()3,3,1，()4,1,1共26个，故点P 到原点O 的概率为2613216108=．点评：本题考查古典概型，考查数据处理能力和应用意识，属于基础题． 9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．已知cos ,cos 2==-ABCB bS C a c且b，则a +c ＝（） A ．B ．CD ．答案：D利用余弦定理角化边可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理可得3B π=，根据三角形面积公式可得3ac =，再根据余弦定理可求得结果. 解：因为cos cos 2B b C a c=-，所以222222222a c b b ac a b c a c ab+-=+--，化简得222a c b ac +-=， 所以2221cos 22a cb B ac +-==，因为0B π<<，所以3B π=，所以1sin 2ABCSacB4，所以22ac =，所以3ac =， 又2222cos b a c ac B =+-，所以23()2a c ac ac =+--，所以2()3312a c ac +=+=，所以a c +=. 故选：D. 点评：本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，属于基础题.10．设A 为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上一点，且A 在第四象限，O 为坐标原点，若向量m ＝（1，1），10,OA =且2OA m ⋅=-，则该双曲线的离心率为（） A ．BC．3D由已知可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，由10,OA =且OA 2m ⋅=-，可得22210a t c=，2at b a=-，建立关于,a b 的方程，解之，再由双曲线离心率的公式可得选项. 解：由已知可得A 为直线b y x a =-上一点，且A 在第四象限，故可设,b A t t a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中0t >，2c OA t t a===，其中c =，22210a t c ∴=，22,b aOA m t t t a b a⋅=-=-∴=-，0,0t b a >∴>>，2222102a a t c b a ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，2222221042a a a b b ab a =+-+，2231030a ab b ∴-+=，即(3)(3)0a b a b --=，0b a >>，3b a ∴=.所以该双曲线的离心率为c a ==== 故选：A. 点评：本题考查求双曲线的离心率的问题，关键在于由已知条件得出关于,,a b c 的方程，属于中档题.11．三棱锥S ﹣ABC 的各顶点均在球O 的球面上，SC 为该球的直径，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，且三棱锥S ﹣ABC 的体积为2，则球O 的半径为（）A B C ．52D ．3答案：A作出示意图，求得ABC 的面积，并计算出三棱锥S ABC -的高SD ，利用正弦定理计算圆E 的直径CD ，然后利用勾股定理求出SC ，即可求解球的直径，得到答案. 解：如图所示，因为2,120AC BC ACB ==∠=，可得ABC 的面积为11sin 22224ABC S AC BC ACB ∆=⋅∠=⨯⨯⨯=设ABC 的外接圆为圆E ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作圆E 的直径CD ，连接SD ，因为,O E 分别为,SC CD 的中点，则//SD OE ，所以SD ⊥平面ABC ，所以三棱锥S ABC -的体积为1323S ABC V SD -=⨯⨯=，解得23SD =， 由正弦定理，可得4sin sin 30AC ACCD ABC ===∠，2227SC CD SD =+=， 设球的半径为R ，则227R SC ==，解得7R =.故选：A.点评：本题主要考查了球的体积的计算公式及应用，其中解答中作出示意图，根据组合体的结构特征，找出线面垂直关系，求得三棱锥的高是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12．已知函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e =的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（）A ．1,e e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1(1,]e e-C ．1[1,]e e-D ．1[1,]e e+答案：B根据函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()xg x e =的图象上存在两对关于直线y x=对称的点，则函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，利用导数法，可得a 的取值范围. 解：解：因为函数()21,f x x ax x e e ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与()x g x e = 的图象上存在两对关于直线y x =对称的点，所以函数()21,f x x ax x e e⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与函数()ln h x x =的图象有两个交点，即方程2ln x ax x -=，1()x e e≤≤有两解，即方程ln x a x x =-，1()x e e ≤≤有两解， 令ln x y x x =-，1()x e e≤≤，则221ln x xy x -+'=，当11x e≤<时，0y '<，函数y 为减函数； 当1x e <≤时，0y '>，函数y 为增函数. 故当1x =时，min 1|1x y y ===， 又111||x e x ey e y e e e ===+=-，， 所以当1=x e时，1max y e e =+，画出函数图象，如图：由图可知a 的取值范围1(1,]e e-. 故选：B. 点评：本题考查函数的对称性、导数与函数的应用，函数与方程的根的关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于综合题. 二、填空题13．函数f （x ）＝22,01,0x x x nx x ⎧+⎨>⎩，则f （f （1e ））＝_____．答案：﹣1先计算出11e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()1f -得值，由此得出结果. 解：依题意得1(1)1e f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1- 点评：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知向量a (3,),b (6,8)==m 若a 与b 平行，则m ＝_____． 答案：4根据向量平行的坐标表示直接列式求解. 解：由题意可知若a 和b 平行， 则386m ⨯=，解得：4m = 故答案为：4 点评：本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题型.15．4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______． 答案：145先将4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭化简为()()444132x x x -+，由此可知4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，从而可求得结果.解：因为()()4444132231x x x x x =-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()()44132x x -+的展开式中的4x 的系数，故4231x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为()()2044133244444C C 2C 1C 32C 1⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯-⨯ ()322231340444444C 32C 1C 32C C 3145⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=．故答案为：145 点评：本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于基础题． 三、双空题16．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为______；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线MC 与AC 所成角的余弦值为_______． 答案：15325117首先可证1BD AC ⊥，在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，可得1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在1BB 上取一点G ，由10BD EG ⋅=，求出G 点的位置，从而得到动点M 轨迹，即可求出动点M 的轨迹围成的图形的面积，显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大，利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值； 解： 解：如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面， 所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，所以1⊥BD EF ． 记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹．由题意得FG =3344EF AC ==⨯=， 动点M的轨迹围成的图形的面积为12⨯=．显然当M 与G 重合时，MC与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M，()1C ，所以()1MC =-，(1MC =-=因为直线AC 的一个方向向量为()0,1,0n =，所以11143cos ,17217MCn MC n MC n===，即异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为17． 故答案为：；17. 点评：本题考查空间中点、线、面的位置关系，利用空间向量法解决立体几何问题，考查直观想象与数学运算的核心素养，属于难题． 四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21nn S =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）()2325nn T n =-⋅+.（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥可得出1n n n a S S -=-，然后对1a 的值是否满足n a 在2n ≥时的表达式进行验证，由此可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法可求得n T . 解：（1）当1n =时，111213a S ==+=；当2n ≥时，()()11121212nn n n n n a S S ---=-=+-+=.13a =不适合12n na .综上所述，13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩；（2）由（1）可得()()13,121212,2n n n n b n a n n -=⎧=-=⎨-⋅≥⎩. 当1n =时，13=T ；当2n ≥时，()123133********n n T n -=+⋅+⋅+⋅++-⋅，得()()12312323252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅，上式-下式得()()()22318123222222212321212n n nnn T n n ----=+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅-()5322n n =-+-⋅，()2325n n T n ∴=-⋅+，13=T 满足()2325n n T n =-⋅+，因此，()2325nn T n =-⋅+.点评：本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题. 18．在一次庙会上，有个“套圈游戏”，规则如下：每人3个竹环，向A ，B 两个目标投掷，先向目标A 掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标B 连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据最终得分发放奖品．已知小华每投掷一次，套中目标A 的概率为45，套中目标B 的概率为34，假设小华每次投掷的结果相互独立． （1）求小华恰好套中一次的概率；（2）求小华总分X 的分布列及数学期望． 答案：（1）18；（2）分布列见解析，()195E X =. （1）分为套中目标A 和套中目标B 两种情形，结合相互独立事件同时发生的概率计算公式即可得结果；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5求出相对应的概率，再计算期望即可. 解：（1）设“小华恰好套中一次”为事件A ， 则()411131125445448P A =⨯⨯+⨯⨯⨯=. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，()1111054480P X ==⨯⨯=；()4111154420P X ==⨯⨯=；()131********P X ==⨯⨯⨯=；()43133254410P X ==⨯⨯⨯=；()1339454480P X ==⨯⨯=；()4339554420P X ==⨯⨯=；∴X 的分布列为：()0123458020401080205E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评：本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19．已知12(F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一点，当PF 1⊥F 1F 2时，|PF 2|＝2|PF 1|． （1）求椭圆C 的标准方程：（2）过点Q （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为点M ′，证明：直线NM ′过定点．答案：（1）22196x y +=；（2）直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）由椭圆的定义和已知条件得111222,3PF PF a PF a +==，又由112PF F F ⊥可得出点P 的坐标，代入椭圆的标准方程中可解出,a b ，从而得出椭圆的标准方程； （2）设出直线l 的方程，点M 、N 的坐标，直线l 的方程与椭圆的方程联立可得点M 、N 的坐标的关系，再表示出直线NM '的方程，将点M 、N 的坐标的关系代入可得直线NM ′所过的定点. 解：（1）由12(F F得c =，22223a b b ∴=+=+，由椭圆的定义得122PF PF a +=，212PF PF =，111222,3PF PF a PF a ∴+==， 112PF F F ⊥，所以点P 的坐标为23a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入椭圆的方程中有22222(31a ab ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=， 又22223,3a b b a =+=-，222313a a ⎛⎫± ⎪⎝⎭+=-， 解得29a =或295a =， 当295a =，226305b a =-=-<，故舍去； 当29a =，223936b a =-=-=，所以椭圆的标准方程为：22196x y +=.（2）由题意可知，直线l 的斜率必然存在,故设直线l 的方程为(4)y k x =+，设()()1122,,,M x y N x y ，则()11,M x y '-，联立方程组22196(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2222322448180k x k x k +++-=，()()()222222443248181681440kk k k ∆=-+-=-+>，解得267k <，21222432k x x k +=-+，2122481832k x x k -⋅=+， 又()22,N x y ，()11,M x y '-，设直线NM '的方程为()()()21212222121y y y y y y x x x x x x x x --+-=-=---，21212122122221222121212121y y y y y y y x y x y x y x y x x y x x x x x x x x x x x ++++-∴=-+=-+-----2112212121y y y x y x x x x x x ++=---()()()()21122121214444k x k x k x x k x x x x x x x ++++⋅++⋅=---()()1212122121824k x x kkx x k x x x x x x x ++++=---222222212124481824824323232k k k k k k k k k k x x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-++⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=--- ()()()()22212116363232k kx x x k x x k =+-+-+()()221169432k x x x k ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，当94x =-时，0y =，所以直线NM '过定点9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭. 点评：本题考查椭圆的定义和简单的几何性质，求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系中直线过定点的问题，关键在于将目标条件转化到直线与椭圆的交点的坐标上去，属于较难题.20．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为2时，证明：DB 1⊥平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围． 答案：（1）见解析，（2）3223[]27-- （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ；（2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a bn --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围.解：（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上， 因为2211PB PH HB =+1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232= 所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),(0,2,1),(4,4,1)D D EF B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-++=， 所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =,所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B , 设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥，设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11x =，则4(1,1,)3a bn --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角，则4cos cos ,2a b m nm nm nθ+-⋅=-=-=+， 0,sin 0,sinθπθθ≤≤∴>==则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--， 点评：此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.21．设函数f （x ）＝x ln x ，g （x ）＝ae x （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线也与曲线y ＝g （x ）相切，求a 的值． （2）若函数G （x ）＝f （x ）﹣g （x ）存在两个极值点． ①求a 的取值范围；②当ae 2≥2时，证明：G （x ）＜0． 答案：（1）21a e =；（2）①10a e<<；②证明详见解析. （1）首先求切线方程，设切点()00,P x y ，利用导数的几何意义列式求解；（2）①由条件转化为y a =与ln 1xx y e +=有两个交点，利用函数的导数求解； ②首先由已知条件22a e≥，转化为()22ln ln xx G x x x ae x x e e =-≤-，再通过构造函数()22ln xx x e e F x x-=，利用导数证明()0F x <恒成立. 解：（1）()ln 1f x x '=+，()11f '=，()10f =，则切线方程为1y x =-设切线与()y g x =相切于点()00,P x y ，则0000011x xae y ae y x ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得：02x =，01y =，21a e =；（2）①()ln xG x x x ae =-，0x >，()ln 1x G x x ae '=+-，当()0G x '=时，ln 1e xx a +=， 若函数()G x 有两个极值点，即y a =与ln 1xx y e +=有两个交点， 设()()ln 10xx h x x e+=>， ()1ln 1x x x h x e --'=，设()1ln 1t x x x=--， ()2110t x x x'=--<，即函数()t x 在()0,∞+上单调递减，且()10t =，∴在区间()0,1()0h x '>，在区间()1,+∞()0h x '<，()h x ∴在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，并且()11h e=，当x →+∞时，()0h x →，当0x →时，()h x →-∞， 若y a =与()y h x =有两个交点时，10a e<<；②()()()ln x G x f x g x x x ae =-=-，当2222ae a e≥⇔≥，()22ln ln x x G x x x ae x x e e=-≤-，令()222ln 2ln xx x x e e e F x x x x e-==-⋅， ()()222211212xx x e x x e e F x x x e x x e-⋅-'=-⋅=-⋅， 显然01x <<时，()0F x '>,()F x ∴在()0,1上单调递增， 当()0,1x ∈时，()()210F x F e<=-<， 当1x >时，()()()2222111221xx e x x e x F x x x e x e x ---⎛⎫'=-⋅=- ⎪-⎝⎭，令()221x e x H x e x =--，1x >，()()222101x e H x e x '=+>-， ()H x ∴在()1,+∞上单调递增，又()20H =,()1,2x ∈时，()0H x <，当()2,x ∈+∞时，()0H x >,∴当()1,2x ∈时，()0F x '>，当()2,x ∈+∞时，()0F x '<，()F x ∴在()1,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，当1x >时，()()2ln 210F x F ≤=-<，综上所述，()()0G x F x ≤<，所以()0G x <.点评：本题考查导数的几何意义，根据极值点的个数求参数的取值范围，以及证明不等式，重点考查转化与化归的思想，逻辑推理，计算能力，属于难题，本题的难点是第三问，需构造函数()222ln 2ln x x x x e e e F x x x x e -==-⋅，函数的变形求解.22．在直角坐标系xOy 中，P （0，1），曲线C 1的参数方程为122x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）曲线C 1与C 2交于M ，N 两点，求||PM |﹣|PN ||．答案：（1）10x y +-=，2240x y x +-=，（2（1）把曲线C 1的参数方程消去参数t 可得普通方程，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=两边同乘以ρ，把互化公式代入可得直角坐标方程；（2）把曲线C 化成标准参数方程，代入曲线C 2的直角坐标方程，得到关于t 的二次方程，然后利用t 的几何意义求解||PM |﹣|PN ||解：解：（1）曲线C 1的参数方程为12x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得普通方程为10x y +-=，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，两边同乘以ρ，得24cos ρρθ=，所以其直角坐标方程为2240x y x +-=（2）曲线C 1过点P （0，1），则其参数方程为212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，将其代入方程2240x y x +-=得，22()(1)4()0222-++-⨯-=，化简得(22104140t ++=∆=-=>，，设上式方程的根为12,t t，所以12121t t t t +=-=，所以12PM PN t t -=-===点评：本题考查了参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，考查了计算能力，属于中档题.23．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝3． （1）求11+2+a b的最小值； （2）证明：92+a b b a ab答案：（1）45；（2）证明见解析 （1）由所给等式得()215a b ++=，再利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用()2222a b a b ++≥即可逐步证明.解：（1）3a b +=，()215a b ++∴=，且200a b +>>，， ∴()1111112++2225252b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭14255⎛≥+= ⎝，当且仅当2=2b a a b ++即1522a b ==，时等号成立， ∴11+2+a b 的最小值为45. （2）因为a ＞0，b ＞0，所以要证92+a b b a ab ，需证2292a b +≥， 因为()222239222a b a b ++≥==， 所以92+a b b a ab ，当且仅当32a b ==时等号成立. 点评：本题考查条件等式求最值、基本不等式的应用，属于中档题.。
2020年高考理科数学模拟试题及答案(解析版) (14)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】 【分析】 结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与 A1B 成 60°角的异面直线一一列出，即得答案． 【详解】在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的八个顶点中任取两个点作直线， 与直线 A1B 异面且夹角成 60°的直线有： AD1，AC，D1B1，B1C，共 4 条． 故选 B．
3
2
故选 D.
【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．
4.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《 九章算术注》 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几
何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 π ： 4 . 若正
方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为 (
7
10.设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，sinAsinC＝ 3 -1 ，则角 C= 4
（）
A. C＝15°或 C＝45°
B. C＝15°或 C＝30°
C. C＝60°或 C＝45°
D. C＝30°或 C＝60°
【答案】A
【解析】 【分析】 直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出 B 的值.
【详解】二项式（ x
1 x
）n
的通项为
T r 1 C n rx （ r 1 x） n r C n rx2 r （ n0 r n ）
（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项 n2r n为正偶数 x
n4 n为正偶数，
n 为正偶数推不出 n 4 ∴ n 4 是（ x 1 ）n 的二项展开式中存在常数项的充分不必要条件．
2020年河南省郑州市高考(理科)数学二模试卷 含解析
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题.1．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，9] B ．（﹣∞，9）C ．[2，9]D ．（2，9）2．已知复数z =2+i i2（其中i 是虚数单位，满足i 2＝﹣1）则z 的共轭复数是（ ） A ．1﹣2iB ．1+2iC ．﹣2+iD ．﹣1+2i3．郑州市2019年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（ ）A ．20B ．21C ．20.5D ．234．圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y +2）2＝4 B ．（x +4）2+（y ﹣6）2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4D ．（x +6）2+（y +4）2＝45．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ） A ．30米B ．20米C ．15√2米D ．15米6．若α∈（π2，π），则2cos2α＝sin （π4−α），则sin2α的值为（ ） A ．18B ．−78C ．1D ．787．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（ ）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）8．为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini=aS，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有f(x)x＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini=14；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini=12．其中不正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④9．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（）A．96B．84C．120D．36010．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1＝1，S n为数列{a n}的前n项和，则2S n+16a n+3的最小值为（）A．4B．3C．2√3−2D．211．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．√6πB．2πC．6πD．24π12．过双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=−bax的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若FB→=2FA→，则该双曲线的离心率为（）A．√3B．2C．√5D．√7二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（x+2x）6展开的所有项的系数和为，展开式中的常数项是．14．已知函数f（x）=−π2x，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是．15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则|MC→+MD→|的最小值为．16．设函数y={−x3+x2，x＜elnxm，x≥e的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7＝77，且满足a 112＝a 1•a 61． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足1b n+1−1b n=a n (n ∈N ∗)，且b 1=13，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；其中n ＝a +b +c +d 独立性检验临界表： P （K 2＞k 0）0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.63519．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当AB AD=2时，求二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点F （3，0）的距离与A 到定直线x ＝4距离之比为√32． （Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于−14，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．21．已知函数f(x)=lnx a ，g(x)=x+1x(x ＞0)． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y =f(x)x在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数F （x ）=f(x)−1g(x)在（0，十∞）上的单调性．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a sin θ （a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =3t +1y =4t +3（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|≥√3a ．求实数a 的取值范围？ [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣a |x ﹣l |． （Ⅰ）当a ＝﹣2时，解不等式f （x ）＞5； （Ⅱ）若（x ）≤a |x +3|，求a 的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}，且A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，9]B ．（﹣∞，9）C ．[2，9]D ．（2，9）【分析】根据A ∩B ＝A 可得出A ⊆B ，从而可讨论A 是否为空集：A ＝∅时，a +1＞3a ﹣5；A ≠∅时，{a +1≤3a −5a +1＞33a −5＜22，解出a 的范围即可．解：∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，且A ＝{x |a +1≤x ≤3a ﹣5}，B ＝{x |3＜x ＜22}， ∴①A ＝∅时，a +1＞3a ﹣5，解得a ＜3； ②A ≠∅时，{a ≥3a +1＞33a −5＜22，解得3≤a ＜9，∴综上得，实数a 的取值范围是（﹣∞，9）． 故选：B ． 2．已知复数z =2+i i2（其中i 是虚数单位，满足i 2＝﹣1）则z 的共轭复数是（ ） A ．1﹣2iB ．1+2iC ．﹣2+iD ．﹣1+2i【分析】利用复数的运算法则化简z ，再根据共轭复数的定义即可得出． 解：复数z =2+ii2=−2﹣i ，则z 的共轭复数是﹣2+i ． 故选：C ．3．郑州市2019年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是（ ）A ．20B ．21C ．20.5D ．23【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数即可． 解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：1，2，15，16，18，20，21，23，23，28，32，34， 所以中位数是12×（20+21）＝20.5．故选：C ．4．圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的方程为（ ） A ．（x +3）2+（y +2）2＝4 B ．（x +4）2+（y ﹣6）2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4D ．（x +6）2+（y +4）2＝4【分析】一个圆关于直线对称的圆是圆心坐标关于直线对称，半径相等，求出已知圆的圆心坐标及半径，设所求的圆的圆心，可得两个圆心的中垂线为已知直线，进而求出所求的圆心坐标，进而求出圆的方程．解：由圆（x +2）2+（y ﹣12）2＝4可得圆心坐标（﹣2，12），半径为2，由题意可得关于直线x ﹣y +8＝0对称的圆的圆心与（﹣2，12）关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为（a ，b ）则{a−22−b+122+8=0b−12a+2=−1解得：a ＝4，b ＝6， 故圆的方程为：（x ﹣4）2+（y ﹣6）2＝4， 故选：C ．5．在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ） A ．30米B ．20米C ．15√2米D ．15米【分析】如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD ＝90°．△OAB 为等边三角形，可得OA ＝30，利用等腰直角三角形的性质即可得出．解：如图所示，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，△PAD 是一个等腰直角三角形，∠APD ＝90°．△OAB 为等边三角形，∴OA ＝30， ∵OP ⊥平面ABCDEF ， ∴∠OAP ＝45°， ∴OP ＝OA ＝30．要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30m ．故选：A ．6．若α∈（π2，π），则2cos2α＝sin （π4−α），则sin2α的值为（ ）A ．18B ．−78C ．1D ．78【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cos α﹣sin α，或 cos α+sin α的值，由此求得sin2α的值．解：法1：∵α∈（π2，π），且2cos2α＝sin （π4−α），∴2（cos 2α﹣sin 2α）=√22（sin α﹣cos α），∴cos α+sin α=−√24，或 cos α﹣sin α＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cos α+sin α=−√24，则有1+sin2α=18，sin2α=−78；故选：B ．法2：∵α∈（π2，π），∴2α∈（π，2π）， ∴sin2α＜0， 综合选项，故选：B ．7．在如图所示的程序框图中，若输出的值是4，则输入的x 的取值范围是（ ）A．（2，十∞）B．（2，4]C．（4，10]D．（4，+∞）【分析】根据题意i＝3，循环三次，可通过循环三次解出x．解：根据结果，3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2≤82，且3{3[3（3x﹣2）﹣2]﹣2}﹣2＞82，解之得2＜x≤4，故选：B．8．为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收人完全平等•劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．将Gini=aS，称为基尼系数对于下列说法：①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f（x），则对∀x∈（0，1），均有f(x)x＞1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2（x∈[0，1]），则Gini=14；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3（x∈[0，1]），则Gini=12．其中不正确的是（）A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④【分析】可由当Gini =aS ，则a 越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①， f （x ）＜x ，则对∀x ∈（0，1），均有f(x)x＜1，可由判断②，先积分求a ，再求Gini ，判断③④解：①：由题意知A 为不平等区域，a 表示其面积，s 为△OKL 的面积．当Gini =aS ，则a 越小，不平等区域越小，越公平，①对， ②：由图可知f （x ）＜x ，则对∀x ∈（0，1），均有f(x)x＜1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝x 2（x ∈[0，1]），a =∫ 10(x −x 2)dx =(12x 2−13x 3)|01=16，Gini =1612=13，③错， ④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y ＝x 3（x ∈[0，1]），a =∫ 10(x −x 3)dx =(12x 2−14x 4)|01=14，Gini =1412=12，④对， 故选：B ．9．2019年10月1日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96B ．84C ．120D ．360【分析】根据题意，由排除法分析：先计算将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行的排法数目，排除其中“0”在首位和数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前中重复的情况数目，分析可得答案．解：根据题意，将2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，“10”是一个整体，有A 55＝120种情况，其中数字“0”在首位的情况有：A 44＝24种情况，数字“1”和“0”相邻且为“1”在“0”之前的排法有：A 44＝24种， 则可以产生：120﹣24﹣24+12＝84种， 故选：B ．10．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n +16a n +3的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2√3−2D ．2【分析】a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1＝1，可得：a 32＝a 1a 13，即（1+2d ）2＝1+12d ，d ≠0，解得d ．可得a n ，S n ．代入2S n +16a n +3利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．解：∵a 1，a 3，a 13成等比数列，a 1＝1， ∴a 32＝a 1a 13，∴（1+2d ）2＝1+12d ，d ≠0， 解得d ＝2．∴a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1． S n ＝n +n(n−1)2×2＝n 2．∴2S n +16a n +3=2n 2+162n+2=(n+1)2−2(n+1)+9n+1=n +1+9n+1−2≥2√(n +1)×9n+1−2＝4， 当且仅当n +1=9n+1时取等号，此时n ＝2，且2S n +16a n +3取到最小值4， 故选：A ．11．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．√6πB ．2πC ．6πD ．24π【分析】由题意，PB 为球的直径，求出PB ，可得球的半径，即可求出球的表面积． 解：如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形，其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB =√1+1+4=√6．∴该阳马的外接球的表面积为：4π×(√62)2=6π．故选：C ．12．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 作直线y =−ba x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB →=2FA →，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√3B ．2C ．√5D ．√7【分析】根据题意直线AB 的方程为y =ab （x ﹣c ）代入双曲线渐近线方程，求出A 的坐标，进而求得B 的表达式，代入双曲线方程整理求得a 和c 的关系式，进而求得离心率．解：设F （c ，0），则直线AB 的方程为y =ab （x ﹣c ）代入双曲线渐近线方程y =−b ax得A （a 2c，−abc）， 由FB →=2FA →，可得B （−c 2+2a 23c，−2ab3c ），把B 点坐标代入双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1，即(c 2+2a 2)29c 2a 2−4a 29c 2=1，整理可得c =√5a ，即离心率e =ca =√5． 故选：C ．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（x +2x）6展开的所有项的系数和为 729 ，展开式中的常数项是 160 ． 【分析】令x ＝1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可．解：令x＝1得所有项的系数和为（1+2）6＝36＝729，通项公式T k+1＝C6k x6﹣k•（2x）k＝C6k•2k•x6﹣2k，k＝0，1， (6)令6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝C63•23＝20×8＝160，故答案为：729，16014．已知函数f（x）=−π2x，g（x）＝x•cos x﹣sin x，当x∈[﹣4π，4π]且x≠0时，方程f（x）＝g（x）根的个数是8．【分析】先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g （4π）＝4π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解：g′（x）＝cos x﹣x sin x﹣cos x＝﹣x sin x；令g′（x）＝0得x＝kπ，k∈Z．∴g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，在[3π，4π]上是增函数；且g（0）＝0，g（π）＝﹣π；g（2π）＝2π；g（3π）＝﹣3π；g（4π）＝4π故作函数f（x）与g（x）在[0，4π]上的图象如下，结合图象可知，两图象在[0，4π]上共有4个交点；又f（x），g（x）都是奇函数，且f（x）不经过原点，∴f（x）与g（x）在[﹣4π，4π]上共有8个交点，故f（x）＝g（x）有8个零点．故答案为：8．15．已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°．AD＝l，BC＝2，M是AB边上的动点，则|MC→+MD→|的最小值为3．【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，求出向量MC→+MD→的模长表达式，再求最小值．解：建立平面直角坐标系，如图所示，设A（0，a），M（0，b），且0≤b≤a；则C（2，0），D（1，a）；所以MC→=（2，﹣b），MD→=（1，a﹣b）；所以MC→+MD→=（3，a﹣2b），所以(MC→+MD→)2=9+（a﹣2b）2，当且仅当a﹣2b＝0，即a＝2b时，|MC→+MD→|取得最小值为√9=3．故答案为：3．16．设函数y={−x3+x2，x＜elnxm，x≥e的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中0为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数m的取值范围是[e+1，+∞）．【分析】曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数h（x）＝（x+1）lnx（x≥e），运用导数判断单调性，求得最值，即可得到m的范围．解：假设曲线y＝f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．不妨设P （t ，f （t ））（t ＞0），则Q （﹣t ，t 3+t 2）， ∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形， ∴OP →⋅OQ →=0，即﹣t 2+f （t ）（t 3+t 2）＝0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点P 、Q ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点P 、Q ．若0＜t ＜e ，则f （t ）＝﹣t 3+t 2代入①式得：﹣t 2+（﹣t 3+t 2）（t 3+t 2）＝0， 即t 4﹣t 2+1＝0，而此方程无解，因此t ≥e ，此时f （t ）=1mlnt ， 代入①式得：﹣t 2+（1m lnt ）（t 3+t 2）＝0，即m ＝（t +1）lnt ②，令h （x ）＝（x +1）lnx （x ≥e ）， 则h ′（x ）＝lnx +1+1x ＞0，∴h （x ）在[e ，+∞）上单调递增，∵t ≥e ，∴h （t ）≥h （e ）＝e +1，∴h （t ）的取值范围是[e +1，+∞）． ∴对于m ≥e +1，方程②总有解，即方程①总有解． 故答案为：[e +1，+∞）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，S 7＝77，且满足a 112＝a 1•a 61． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足1b n+1−1b n=a n (n ∈N ∗)，且b 1=13，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】本题第（Ⅰ）题先设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），然后根据题干可列出关于首项a 1与公差d 的方程组，解出a 1与d 的值，即可计算出数列{a n }的通项公式； 第（Ⅱ）题由题干1b n+1−1b n=a n 可得1b n−1b n−1=a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)．根据递推公式的特点可用累加法计算出数列{1b n}的通项公式，接着计算出数列{b n }的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n 项和T n ．解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则 {7a 1+21d =77，a 1(a 1+60d)=(a 1+10d)2，解得{a 1=5d =2．∴a n ＝5+2•（n ﹣1）＝2n +3，n ∈N*． （Ⅱ）依题意，由1b n+1−1b n=a n ，可得1b n−1b n−1=a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)． 则当n ≥2时，1b n =(1b n−1b n−1)+(1b n−1−1b n−2)+⋯+(1b 2−1b 1)+1b 1=a n−1+a n−2+⋯+a 1+1b 1＝（n ﹣1）（n ﹣2+5）+3 ＝n （n +2）．当n ＝1时，b 1=13，即1b 1=3也满足上式，∴1b n=n （n +2），∴b n =1n(n+2)=12（1n−1n+2），n ∈N*．T n ＝b 1+b 2+b 3+b 4+…+b n ﹣1+b n=12（1−13）+12（12−14）+12（13−15）+12（14−16）+⋯+12（1n−1−1n+1）+12（1n −1n+2） =12（1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2） =12（1+12−1n+1−1n+2） =3n 2+5n 4(n+1)(n+2)．18．由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的2018年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦，此项活动于2018年6月启动，面向全国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”．现随机抽取了30名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在65票以上（包括65票）定义为风华组．票数在65票以下（不包括65票）的学生定义为青春组．（Ⅰ）在这30名学生中，青春组学生中有男生7人，风华组学生中有女生12人，试问有没有90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，那么至少有1人在青春组的概率是多少？（Ⅲ）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取4人，用ξ表示所选4人中青春组的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；其中n ＝a +b +c +d 独立性检验临界表： P （K 2＞k 0）0.100 0.050 0.010 K2.7063.8416.635【分析】（I ）作出2×2列联表，求出k 2≈1.83＜2.706，从而没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关．（Ⅱ） 用A 表示“至少有1人在青春组”，利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在青春组的概率．（III ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为1230=25，从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，ξ服从二项分布B(4，25)．由此能求出ξ的分布列、数学期望． 解：（I ）作出2×2列联表：青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计121830由列联表数据代入公式得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈1.83， 因为1.83＜2.706，故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关． （Ⅱ） 用A 表示“至少有1人在青春组”， 则至少有1人在青春组的概率为p(A)=1−C 32C 52=710．（III ）由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为1230=25，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是ξ服从二项分布B(4，25)．ξ的取值为0，1，2，3，4．且P(ξ=k)=C 4k (25)k (1−25)4−k ，k =0，1，2，3，4． 所以得ξ的分布列为：ξ 01234P816252166252166259662516625数学期望Eξ=4×25=85．19．如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将△ACD 折起，使得点D 在平面ABC 上的射影恰好落在边AB 上．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当AB AD=2时，求二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．【分析】（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连结DE 推导出DE ⊥BC ，AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面ABD ，进而BC ⊥AD ，又AD ⊥CD ，从而AD ⊥平面BCD ，由此能证明平面ACD ⊥平面BCD ．（2）过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ，则DE ⊥AC ，AC ⊥平面DME ，EM ⊥AC ，从而∠DMC 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，由此能求出二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值．【解答】证明：（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连结DE ， 则DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥BC ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面ABD ，∴BC ⊥AD ， 又AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD ．解：（2）在矩形ABCD 中，过点D 作AC 的垂线，垂足为M ，连结ME ， ∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ⊥AC ，又DM ∩DE ＝D ，∴AC ⊥平面DME ，∴EM ⊥AC ， ∴∠DMC 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角， 设AD ＝a ，则AB ＝2a ，在△ADC 中，由题意得AM =√55a ，DM =2√55a ，在△AEM 中，EM AM=tan∠BAC =12，解得EM =√510a ，∴cos ∠DME =EM DM =14． ∴二面角D ﹣AC ﹣B 的余弦值为14．20．在平面直角坐标系xOy 内，动点A 到定点F （3，0）的距离与A 到定直线x ＝4距离之比为√32．（Ⅰ）求动点A 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设点M ，N 是轨迹C 上两个动点直线OM ，ON 与轨迹C 的另一交点分别为P ，Q ，且直线OM ，ON 的斜率之积等于−14，问四边形MNPQ 的面积S 是否为定值？请说明理由．【分析】（I ）先设A 的坐标，然后根据题意列出方程，进行化简即可求解A 的轨迹方程；（II ）由已知结合直线的斜率公式进行化简，然后结合三角形的面积公式及已知椭圆的性质可求．【解答】解（I ）设A （x ，y ），由题意，√(x−3)2+y 2|x−4|=√32， 化简得x 2+4y 2＝12，所以，动点A 的轨迹C 的方程为x 212+y 23=1，（Ⅱ）解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由斜率之积，得y 1y 2x 1x 2=−14，|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2，因为点M ，N 在椭圆C 上，所以y 12=3−x 124，y 22=3−x 224． 所以(x 1x 2)2=16(y 1y 2)2=（3−x 124）（3−x 224），化简得x 12+x 22=12．直线AB 的方程为（y 2﹣y 1）x ﹣（x 2﹣x 1）y +x 2y 1﹣x 1y 2＝0， 原点O 到直线MN 的距离为d =1221√(x2−x 1)2+(y 2−y 1)2．所以，△MON 的面积S △AOB =12⋅|AB|⋅d =12|x 1y 2−x 2y 1|， 根据椭圆的对称性，四边形MNPQ 的面积S ＝2|x 1y 2﹣x 2y 1|，所以，S 2=4(x 1y 2−x 2y 1)2=4(x 12y 22−2x 1x 2y 1y 2+x 22y 12)，＝4[x 12(3−x 224)+x 22(3−x 124)−+12(x 1x 2)2]，=12(x 12+x 22)=144，所以S ＝12．所以，四边形MNPQ 的面积为定值12． 21．已知函数f(x)=lnx a ，g(x)=x+1x(x ＞0)． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y =f(x)x在x ＝1处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数F （x ）=f(x)−1g(x)在（0，十∞）上的单调性．【分析】（I ）把a ＝1代入后对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程．（II ）先对F （x ）求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数的单调性．解：（Ⅰ）当a ＝1时，曲线y =f(x)⋅g(x)=xlnx x+1．y′=(1+lnx)(x+1)−xlnx (x+1)2=lnx+x+1(x+1)2． x ＝1时，切线的斜率为12，又切线过点（1，0）所以切线方程为x ﹣2y ﹣1＝0，（Ⅱ）f′(x)=1ax ，(1g(x))′=1(x+1)2，F′(x)=f′(x)−(1g(x))′=1ax −1(x+1)2=(x+1)2−axax(x+1)2，当a ＜0时，F '（x ）＜0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞0时，令k(x)=1a x 2+(2a −1)x +1a ，△=1−4a ，当△≤0时，即0＜a ≤4，k （x ）≥0，此时F '（x ）≥0，函数F （x ）在（0，+∞）上单调递增；当△＞0时，即a ＞4，方程1a x 2+(2a −1)x +1a =0有两个不等实根x 1＜x 2，所以0＜x 1＜1＜x 2，(x 1=a−2−√a 2−4a 2，x 2=a−2+√a 2−4a 2) 此时，函数F （x ）在（0，x 1），（x 2，+∞）上单调递增；在（x 1，x 2）上单调递减． 综上所述，当a ＜0时，F （x ）的单减区间是（0，+∞）；当a ＞4时，F （x ）的单减区间是(a−2−√a 2−4a 2，a−2+√a 2−4a 2)，单增区间是(0，a−2−√a 2−4a 2)，(a−2+√a 2−4a 2，+∞) 当0＜a ≤4时，F （x ）单增区间是（0，+∞）．一、选择题22．在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a sin θ （a ＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为{x =3t +1y =4t +3（t 为参数）． （Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|≥√3a ．求实数a 的取值范围？【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程；（Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．解：（Ⅰ）∵ρ＝2a sin θ （a ＞0）．∴ρ2＝2a ρsin θ，即x 2+y 2＝2ay ，即x 2+（y ﹣a ）2＝a 2，（a ＞0）．则圆C 的标准方程为x 2+（y ﹣a ）2＝a 2，（a ＞0）．由{x =3t +1y =4t +3，消去参数t 得4x ﹣3y +5＝0， 即直线l 的普通方程为4x ﹣3y +5＝0；（Ⅱ）由圆的方程得圆心C （0，a ），半径R ＝a ，则圆心到直线的距离d =√3+4=|5−3a|5， ∵|AB|≥√3a ． ∴2√a 2−d 2≥√3a ，即a 2﹣d 2≥34a 2， 则d 2≤a 24， 即d ≤a 2， 则|5−3a|5≤a 2， 则−a 2≤3a−55≤a 2， 由{−a 2≤3a−553a−55≤a 2得{a ≥1011a ≤10得1011≤a ≤10． 即实数a 的取值范围是1011≤a ≤10．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣a |x ﹣l |．（Ⅰ）当a ＝﹣2时，解不等式f （x ）＞5；（Ⅱ）若（x ）≤a |x +3|，求a 的最小值．【分析】（Ⅰ）将a ＝2代入f （x ），表示出f （x ）的分段形式，结合函数的单调性求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为|x+1||x−1|+|x+3|≤12，求出a 的最小值即可． 解：（Ⅰ）当a ＝﹣2时，f （x ）={1−3x ，x ＜−13−x ，−1≤x ≤13x −1，x ＞1，由f （x ）的单调性及f （−43）＝f （2）＝5，得f （x ）＞5的解集为{x |x ＜−43，或x ＞2}．…（Ⅱ）由f （x ）≤a |x +3|得a ≥|x+1||x−1|+|x+3|，由|x ﹣1|+|x +3|≥2|x +1|得|x+1||x−1|+|x+3|≤12，得a ≥12． （当且仅当x ≥1或x ≤﹣3时等号成立） 故a 的最小值为12．。
2020年河南省普通高中高三毕业班高考适应性测试理科数学(含解析)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．143．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．165．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若△AOB 的面积为2b 2，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2√23 D ．2√336．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n 表示解下n （n ≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6 8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2] 9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．1210．已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P（B|A）＝（）A．1−π4B．π4C．1−2πD．2π11．已知定义在R上的奇函数f（x），对任意实数x，恒有f（x+3）＝﹣f（x），且当x∈(0，32]时，f（x）＝x2﹣6x+8，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝（）A．6B．3C．0D．﹣312．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f（x）＝（x﹣2）lnx，则函数f（x）在x＝1处的切线方程为．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是（填写字母）．16．设F1，F2是椭圆C：x2+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，4若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．18．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝3AB＝3．（1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．19．已知O 为坐标原点，点F （0，1），M 为坐标平面内的动点，且2，|FM →|，2OM →⋅OF →成等差数列．（1）求动点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线T ，过点N （0，2）作直线l 交曲线T 于C ，D 两点，试问在y 轴上是否存在定点Q ，使得QC →⋅QD →为定值？若存在，求出定点Q 的坐标，若不存在，说明理由．20．已知函数f （x ）＝axe x +（x +1）sin x +cos x ．（1）若a ＝1，x ≥−π2，求函数f （x ）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosx x ，x ∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g （x ）的导函数g '（x ）存在零点，求实数a 的取值范围．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n ∈N *）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p （0＜p ＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k （k ∈N *，2≤k ≤n ）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若E ξ1＝E ξ2，试运用概率与统计的知识，求p 关于k 的函数关系p ＝f （k ）； （ⅱ）若p =1−1√e 4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k 的最大值．（ln 4＝1.386，ln 5＝1.609，ln 6＝1.792，ln 7＝1.946，ln 8＝2.079，ln 9＝2.197）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|．（1）求函数f （x ）的最大值M ；（2）已知a ＞0，b ＞0，a +4b ＝M ，求a a+2+2b 2b+1的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}，则A∩B＝（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．{0}∪[1，+∞）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg（x2﹣x）}＝（﹣∞，0）∪（1，+∞），则A∩B＝（1，+∞），故选：B．【点评】本题考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．2．已知复数z=1(i−1)2（i为复数单位），则|z|＝（）A．i2B．√22C．12D．14【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：复数z=1(i−1)2=1−2i=i−2i⋅i=12i，则|z|=12．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（）A．月工资增长率最高的为8月份B．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元【分析】根据月工资变化图，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误，近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元，最低月工资为1300元，所以选项D错误．解：对于选项A：根据月工资变化图可知，6月份月工资增长率最高，所以选项A错误；对于选项B：该销售人员一年中工资超过4000元的月份有：1，6，7，8，9，11，12，有7个月工资超过4000元，所以选项B错误；对于选项C：由此图可知，销售人员2019年6，7，8月的平均工资都超过了8000元，而近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则可以估计该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元是正确的；对于选项D：由此图可知，该销售人员这一年中的最低月工资为1300元，所以选项D 错误，故选：C．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4．已知（x+1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2+a4的值为（）A．7B．8C．15D．16【分析】求出展开式的通项，然后分别求出x2，x4项的系数相加即可．解：（x+1）5＝（1+x）5，所以展开式的通项可写为：T k+1=C5k x k，k＝0，1， (5)所以a2+a4=C52+C54=15．故选：C．【点评】本题考查二项展开式通项的应用．注意系数与二项式系数的区别．属于基础题．5．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F，过F作x轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A，B两点，若△AOB的面积为2b2，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2√23D．2√33【分析】写出双曲线的渐近线方程，求得|AB|，代入三角形面积公式，整理可得双曲线C 的离心率．解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，则|AB|=2bca，则S△AOB=12×2bc a×c=2b2，即c4﹣4a2c2+4a4＝0，则（c2﹣2a2）2＝0．∴c2＝2a2，得e=ca=√2．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形面积公式的应用，是基础题．6．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用a n表示解下n（n≤9，n ∈N *）个圆环所需的多少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．22【分析】直接利用数列的通项公式的应用求出结果．解：数列{a n }满足a 1＝1，且a n ={2a n−1−1，n 为偶数2a n−1+2，n 为奇数， 所以：a 2＝1，a 3＝4，a 4＝7，a 5＝16．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．8+4√6C ．4+2√6D ．4+√6【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：根据三视图中的数据，所以AE ＝2，BE ＝CE ＝1，DE ＝2，所以AD =√22+22=2√2，AB ＝AD ＝AC ＝CD =√12+22=√5．则S △ABD =S △ACD =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6．S △ABC =S △BCD =12×2×2=2．故几何体的表面积S ＝2×2+2×√6=4+2√6． 故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换．几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8．已知函数y =sin(ωx +π3)(ω＞0)在区间(−π6，π3)上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．[12，1]C ．(13，23]D ．[23，2]【分析】求出函数的单调递增区间为，结合单调性之间的关系建立不等式组进行求解即可．解：由2k π−π2≤ωx +π3≤2k π+π2，k ∈Z ， 得2k π−5π6≤ωx ≤2k π+π6，k ∈Z ， 即2kπ−5π6ω≤x ≤2kπ+π6ω，k ∈Z∵f （x ）在区间(−π6，π3)上单调递增， ∴此时函数单调递增区间经过原点，则当k ＝0时，增区间为[−5π6ω，π6ω]． 此时满足{−5π6ω≤−π6π6ω≥π3，得{ω≤5ω≤12，解得0＜ω≤12， 即ω的取值范围是（0，12]，故选：A ．【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，结合三角函数的单调性求出递增区间，建立不等式关系是解决本题的关键．难度不大．9．已知平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM →•CM →的最小值为（ ）A ．−916B ．916C ．−12D ．12【分析】根据条件建立坐标系，求出各点坐标，以及对应向量的坐标，代入数量积，结合二次函数的性质即可求解．解：因为平行四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝2，∠DAB ＝60°， 对角线AC 与BD 相交于点O ， 故ABCD 为菱形，建立如图坐标系；则A （−√3，0），B （0，﹣1），C （√3，0），D （0，1）；故直线BC 的方程为：y =√33x ﹣1；∵点M 是线段BC 上一点；故M （x ，√33x ﹣1）；且 0≤x ≤√3； ∴OM →=（x ，√33x ﹣1）；CM →=（x −√3，√33x ﹣1）； 故OM →•CM →=x （x −√3）+（√33x ﹣1）2=43x 2−5√33x +1；对称轴x =5√38∈[0，√3]∴当x =5√38时，OM →•CM →取最小值为：43×（5√38）2−5√33×5√38+1=−916；故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力，属于基础题．10．已知ABCD 为正方形，其内切圆I 与各边分别切于E ，F ，G ，H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则P （B |A ）＝（ ）A ．1−π4B ．π4C ．1−2πD ．2π【分析】由题意，计算正方形EFGH 与圆I 的面积比，利用对立事件的概率求出P （B |A ）的值．解：由题意，设正方形ABCD 的边长为2a ， 则圆I 的半径为r ＝a ，面积为πa 2； 正方形EFGH 的边长为√2a ，面积为2a 2； ∴所求的概率为P （B |A ）＝1−2a 22=1−2π．故选：C ．【点评】本题考查条件概率与几何概率的计算问题，是基础题．11．已知定义在R 上的奇函数f （x ），对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），且当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （0）+f （1）+f （2）+…+f （2020）＝（ ） A ．6 B ．3 C ．0 D ．﹣3【分析】根据题意，分析可得f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，结合函数的解析式与奇偶性求出f （0）、f （1）、f （2）、f （3）、f （4）、f （5）的值，即可得f （0）+f （1）+f （2）+f （3）+f （4）+f （5）的值，结合周期性分析可得答案．解：根据题意，对任意实数x ，恒有f （x +3）＝﹣f （x ），则有f （x +6）＝﹣f （x +3）＝f （x ），即函数f （x ）是周期为6的周期函数，又由f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f （3）＝﹣f （0）＝0， 又由当x ∈(0，32]时，f （x ）＝x 2﹣6x +8，则f （1）＝3，f （2）＝f （﹣1+3）＝﹣f （﹣1）＝f （1）＝3，f （4）＝f （1+3）＝﹣f （1）＝﹣3，f（5）＝f（2+3）＝﹣f（2）＝﹣3，则有f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝0，f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2020）＝[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（5）]×336+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝f（2）＝3；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题．12．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N 两点，则四棱锥P﹣AMEN体积的最小值为（）A．2√23B．2√33C．2√29D．2√39【分析】V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，由此能求出四棱锥P﹣AMEN体积的最小值．解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝2，底面ABCD是边长为√2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，∴V P﹣AMEN＝V A﹣MNP+V E﹣MNP=13S△PMN⋅32=12S△PMN，依题意当S△PMN最小时，四棱锥P﹣AMEN体积取最小值，M ，O ，V 三点共线，且PN →=λPD →，PM →=μPB →，|PD →||PN →|=1λ，|PB →||PM →|=1μ，PV →=23PO →=13(PD →+PB →)=13λPN →+13μPM →，13λ+13μ=1，∴2|PN →|+2|PM →|=3，∵3=2|PN →|+2|PM →|≥2√2|PN →|⋅2|PM →|，∴|PN →|•|PM →|≥169，当且仅当2|PN →|=2|PM →|时，取“＝”， ∴V P ﹣AMNE =12S △PMN =12×12×|PN →|×|PM →|×sinπ3≥12×12×169×√32=29√3． ∴四棱锥P ﹣AMEN 体积的最小值为2√39．故选：D ．【点评】本题考查四棱锥体积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f （x ）＝（x ﹣2）lnx ，则函数f （x ）在x ＝1处的切线方程为 x +y ﹣1＝0 ． 【分析】先求导数，然后利用导数求出斜率，最后利用点斜式写出切线方程即可．解：∵f′(x)=lnx +x−2x，∴f′（1）＝﹣1，f（1）＝0，故切线方程为：y＝﹣（x﹣1），即x+y﹣1＝0．故答案为：x+y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14．已知数列{a n}为公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，且a1，a2，a4成等比数列，S5＝15，则a4＝4．【分析】运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式、求和公式，可得首项和公差的方程组，解得首项和公差，再由等差数列的通项公式，计算可得所求值．解：数列{a n}为公差d不为零的等差数列，其前n项和为S n，由a1，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，化为a1＝d，由S5＝15，可得5a1+10d＝15，即a1+2d＝3，解得a1＝d＝1，则a4＝a1+3d＝4．故答案为：4．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．15．现有灰色与白色的卡片各八张．分别写有数字1到8．甲、乙．丙、丁四个人每人面前摆放四张，并按从小到大的顺序自左向右排列（当灰色卡片和白色卡片数字相同时，白色卡片摆在灰色卡片的右侧）．如图，甲面面的四张卡片已经翻开，则写有数字4的灰色卡片是K（填写字母）．【分析】根据剩余的白色数字：1，3，4，5，6，8；灰色数字：1，2，4，5，6，7．结合从左到右小到大，同数白靠右，先确定最小数字与最大数字的位置，则剩余的数字即可确定，由此找到灰4的位置．解：由题意，剩余的白色数字为：1，3，4，5，6，8；灰色数字为：1，2，4，5，6，7．易知E→灰1；L→白8．然后7必在H，G中选一个位置，但还有一个白6，只能在G位置，故灰7→H．剩下的灰6最大，只能在Q位置．剩下的还有白1，3，4，5，灰2，4，5；白5只能在F，N位置选一个，若放在N位置，则P位置无数可选，故白5→F．剩下的灰5最大，只能在K，P选一位置，但若在K位置，则白4、灰4无法放置，所以灰5→P．则灰4只能在K位置，白3→M，白4→N，白1→I，灰2→J．故选：C．【点评】本题考查了学生的逻辑推理能力，一般采用反证法的思路去推矛盾，确定结论．属于中档题．16．设F1，F2是椭圆C：x24+y2=1的两个焦点，过F1，F2分别作直线l1，l2．且l1∥l2，若l1与椭圆C交于A，B两点，l2与椭圆C交于C，D两点（点A，D在x轴上方），则四边形ABCD面积的最大值为4．【分析】由题意四边形为平行四边形，设平行线间的距离为d，所以四边形的面积为S= 12|AB|•d，分两条直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在且不为0时，设直线l1的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长|AB|，再求平行线间的距离d的值，求出面积S的表达式，换元再由均值不等式求出面积的取值范围，进而求出面积的最大值．解：由题意可得椭圆的焦点F1，F2的坐标分别为（−√3，0），（√3，0），因为l1∥l2，设平行线间的距离为d，所以四边形ABCD面积为S=12|AB|•d，①当直线的斜率不存在时，可得四边形ABCD为矩形，设直线AB的方程：x＝±√3，代入椭圆的方程可得y＝±b2a=±12，所以|AB|＝|CD|＝2×12=1，d＝|F1F2|，这时S ABCD＝|F1F2|•|AB|＝2√3×1＝2√3，②当直线的斜率存在且不为0时，且m≠0，由椭圆的对称性可得ABCD为平行四边形，设l1的方程为：x＝my−√3，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程{x=my−√3x24+y2=1，整理可得（4+m2）y2﹣2√3my﹣1＝0，x1+x2=2√3m4+m2，x1x2=−14+m2，所以|AB|=√1+m2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+m2√12m2(4+m2)2−4×(−1)4+m2=4(1+m2)4+m2，可得两条平行线间的距离d=√3√1+m，所以S ABCD＝|AB|•d=4(1+m2)2⋅√3√1+m=8√3√1+m22=8√3√1+m2(1+m2)2+6(1+m2)+9=8√3•√1(1+m2)+91+m2+6令t＝1+m2＞1，则t+9t+6≥2√9+6＝12，所以0＜1t+9t+6≤112，所以S≤8√3⋅√112=4，故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，及换元法的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必．考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1中，△BCC1为正三角形，AC⊥BC，AC＝AA1＝2，A1C=2√2，点P在线段BB1上，且A1P⊥AA1．（1）证明：AA1⊥C1P；（2）求BC1和平面A1CP所成角的正弦值．【分析】（1）证明A1A⊥AC，AA1⊥A1C1，结合A1P⊥AA1，证明AA1⊥平面A1C1P，推出AA1⊥C1P．（2）以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面A1CP的一个法向量，求出直线BC1对应的向量，然后利用向量的数量积求解直线BC1与平面A1CP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由A1C=2√2，AC＝AA1＝2，所以A1C2=A1A2+AC2，所以A1A ⊥AC，因为A1C1∥AC，所以AA1⊥A1C1，又A1P⊥AA1，A1P∩A1C1＝A1．所以AA1⊥平面A1C1P，所以AA1⊥C1P．（2）解：由（1）知AA1⊥AC，又AA1∥CC1，所以AC⊥CC1，又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，AC⊂平面ABC，所以平面BCC1B1⊥平面ABC．取BC中点O，由△BCC1为正三角形知C1O⊥BC，C1O⊂平面B1BCC1，又平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，所以C1O⊥平面ABC，以O为坐标系原点，建立如图所示空间直角坐标系，则A （2，﹣1，0），C （0，﹣1，0），B （0，1，0），C 1(0，0，√3)，A 1(2，0，√3)，P(0，32，√32)，A 1P →=(−2，32，−√32)，CP →=(0，52，√32)，BC 1→=(0，−1，√3)，设平面A 1CP 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则n →⋅A 1P →=0且n →⋅CP →=0， 所以{−4x +3y −√3z =05y +√3z =0，取z ＝5，则x =−2√3，y =−√3，n →=(−2√3，−√3，5)．所以cos〈BC 1→，n →〉=BC 1→⋅n→|BC 1→||n →|=√32×40=3√3020， 所以直线BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：sin〈BC 1→，n →〉=cos〈BC 1→，n →〉=3√3020，BC 1和平面A 1CP 所成角的正弦值为：3√3020．【点评】本题考查直线与平面所成角的三角函数值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 18．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3． （1）若CA ＝CD ，且tan∠ABC =−√5，求△ABC 的面积S ；（2）若cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，求BD 的长．【分析】（1）利用三角函数化简已知条件，然后通过余弦定理求出BC ，再根据三角形的面积公式即可求出；（2）通过同角的三角函数的关系，正弦定理求出AD ，利用余弦定理求出．解：（1）由tan∠ABC =−√5知，cos∠ABC =√66，sin∠ABC =√306，在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝CD ＝3由余弦定理，知AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos ∠ABC ，所以9=1+BC 2+√63BC ，即3BC 2+√6BC −24=0，解得BC =√6或BC =−4√63（舍），所以△ABC 的面积S =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12×1×√6×√306=√52．（2）在△ADC 中，因为cos∠DAC =√24，cos∠ACD =34，所以sin∠DAC =√1−cos 2∠DAC =√144，sin∠ACD =√74，由正弦定理CDsin∠DAC=AD sin∠ACD，所以AD =3×√74√144=3√22，又cos ∠BAD ＝cos （∠DAC +∠ACD ）＝cos ∠DAC cos ∠ACD ﹣sin ∠DAC sin ∠ACD =3√216−7√216=−√24， 在△ABD 中，由余弦定理，知BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠BAD =1+92+2×3√22×√24=7， 所以BD =√7．【点评】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理三角形的面积的求法，考查计算能力．19．已知O为坐标原点，点F（0，1），M为坐标平面内的动点，且2，|FM→|，2OM→⋅OF→成等差数列．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为曲线T，过点N（0，2）作直线l交曲线T于C，D两点，试问在y轴上是否存在定点Q，使得QC→⋅QD→为定值？若存在，求出定点Q的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出点的坐标，根据条件整理即可求得结论；（2）设出直线方程，与曲线的方程联立，再代入数量积求解即可．解：（1）设M（x，y），由条件知|FM→|=1+OM→⋅OF→，所以√x2+(y−1)2=1+y(y≥−1)，两边平方得，x2+y2﹣2y+1＝y2+2y+1，所以x2＝4y满足（y≥﹣1），所以点M的轨迹方程为x2＝4y．（2）由题意知直线l的斜率存在．设l的方程为y＝kx+2，与x2＝4y联立得，x2﹣4kx ﹣8＝0，所以△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，又设C（x1，y1），D（x2，y2），Q（0，y0），则QC→⋅QD→=(x1，y1−y0)⋅(x2，y2−y0)=x1x2+(y1−y0)(y2−y0)＝x1x2+（kx1+2﹣y0）（kx2+2﹣y0）=(k2+1)x1x2+k(2−y0)(x1+x2)+(2−y0)2=−8(k2+1)+4k2(2−y0)+(2−y0)2=(2−y0)2−8−4y0k2为定值，从而得y0＝0，所以存在定点Q（0，0），使得QC→⋅QD→为定值﹣4．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了考生综合分析问题的能力和基本的计算能力．20．已知函数f（x）＝axe x+（x+1）sin x+cos x．（1）若a＝1，x≥−π2，求函数f（x）的最小值；（2）函数g(x)=f(x)−sinx−cosxx，x∈[−π4，0]∪(0，7π4]，若函数g（x）的导函数g'（x）存在零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），通过对x分类讨论：x∈[−π2，π2]，x＞π2，可得：e x+cos x＞0，进而得出单调性．（2）由题意得，g（x）＝ae x+sin x，x∈[−π4，0)∪(0，7π4]，函数g'（x）有零点，即g'（x）＝ae x+cos x＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，可得a=−cosxe x，利用导数研究其调调性即可得出．解：（1）当a＝1时，f（x）＝xe x+（1+x）sin x+cos x，f'（x）＝（x+1）e x+sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）（e x+cos x），当x∈[−π2，π2]时，e x＞0，cos x≥0，所以e x+cos x＞0，当x ＞π2时，e x ＞1，|cos x |≤1，所以e x +cos x ＞0， 所以当x ≥−π2时，e x +cos x ＞0．故由f '（x ）≥0，得x ≥﹣1；由f '（x ）＜0，得−π2≤x ＜−1， 所以f （x ）的减区间为[−π2，−1)，单调递增区间为[﹣1，+∞）， 所以f （x ）的最小值为f(−1)=−1e+cos1．（2）由题意得，g （x ）＝ae x +sin x ，x ∈[−π4，0)∪(0，7π4]， 函数g '（x ）有零点，即g '（x ）＝ae x +cos x ＝0在[−π4，0)∪(0，7π4]上有解，所以a =−cosxe x ，设m(x)=−cosxe x ，则m′(x)=sinx+cosxe x， 若m '（x ）≥0，则sin x +cos x ≥0，即√2sin(x +π4)≥0，解得−π4≤x ≤3π4，且x ≠0； 若m '（x ）＜0，则sin x +cos x ＜0，即√2sin(x +π4)＜0，解得3π4＜x ＜7π4，所以m （x ）在[−π4，0)，(0，3π4]上是增函数，在(3π4，7π4]上是减函数． 而m(−π4)=−√22e π4，m （0）＝﹣1，m(3π4)=√23e −3π4，m(7π4)=−√22e −7π4，又−√22e −7π4＞−1，所以−√22e π4≤a ＜−1，或−1＜a ≤√22e −3π4．所以实数a 的取值范围是[−√22e π4，−1)∪(−1，√22e −3π4]．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、三角函数的单调性、分类讨论方法、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n （n∈一、选择题*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出采的概率．（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）若p=1−1√e4，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）【分析】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，利用古典概型的概率公式求解即可．（2）（ⅰ）由题意知Eξ1＝k，ξ2取值的可能有1，k+1，求出概率，即可求解期望，列出关系式，推出p关于k的函数关系p＝f（k）；（ⅱ）由题意知，Eξ1＞Eξ2，得到k（1﹣p）k＞1．结合p=1−e−14，推出(e−14)k＞1k，利用对数的运算法则，通过构造法，结合函数的导数，判断函数的单调性转化求解k的最大值．解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则P(A)=A22A44 A66=1 15，即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为115．（2）（ⅰ）由题意知E ξ1＝k ，ξ2取值的可能有1，k +1，p(ξ2=1)=(1−p)k ，p(ξ2=k +1)=1−(1−p)k ，所以Eξ2=(1−p)k +(k +1)[1−(1−p)k ]=k +1−k(1−p)k ， 由E ξ1＝E ξ2，得k ＝k +1﹣k （1﹣p ）k ，即(1−p)k =1k ，所以p =1−(1k )1k ，所以p 关于k 的函数关系p =1−(1k)1k (k ∈N ∗，2≤k ≤n)．（ⅱ）由题意知，E ξ1＞E ξ2，所以k ＞1+k ﹣k （1﹣p ）k ，即k （1﹣p ）k ＞1． 所以1k ＜(1−p)k ，又p =1−e −14，所以(e −14)k ＞1k，两边同时取对数，得−k 4＞−lnk ，即lnk −k 4＞0，设f(x)=lnx −x4，则f′(x)=1x −14，易知函数f （x ）在（4，+∞）上单调递减， f （8）＝ln 8﹣2＝2.079﹣2＝0.079＞0，f(9)=ln9−94=2.197−2.25＜0， 所以k 的最大值为8．【点评】本题考查离散型随机变量的期望的求法，古典概型概率的求法，构造法的应用，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系内，曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．（1）把曲线C 和直线l 化为直角坐标方程；（2）过原点O 引一条射线分别交曲线C 和直线l 于A ，B 两点，射线上另有一点M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，求点M 的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）． 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用建立等量关系，进一步求出直角坐标方程．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosθ+2sinθy =cosθ−sinθ（θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 28+y 22=1．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=8√2．转换为直角坐标方程为√22x +√22y =8√2，整理得x +y ﹣16＝0．（2）曲线C 的直角坐标方程转换为极坐标方程为(ρcosθ)28+(ρsinθ)22=1，直线l 的直角坐标方程转换为极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）＝16， 设A （ρA ，θ），B （ρB ，θ），M （ρ，θ）， 由于M 满足|OA |2＝|OM |•|OB |，所以ρA2=ρ⋅ρB ，整理得ρA 2=1cos θ8+sin 2θ2=16⋅ρcosθ+sinθ，所以cosθ+sinθ=16ρ(cos 2θ8+sin 2θ2)，转换为直角坐标方程为x +y ＝2x 2+8y 2， 即2x 2+8y 2﹣x ﹣y ＝0．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝2|x +2|﹣3|x ﹣1|． （1）求函数f （x ）的最大值M ；。
2020年河南省高考数学(理科)模拟试卷(10)
D ．今年 8 号气温最低
7．（ 5 分）在△ ABC 中，点 D 为 AB 边上一点，且
→
????=
1 4
→
???，? 则
→
????=
（
）
3→ 1→
A ． ????+ ????
4
4
B．-
3→ 1→ 4 ???-? 4 ????
C． -
3→ 4 ???+?
1→ 4 ????
1→ 3→
D． ????+ ????
故选： A．
7．（ 5 分）在△ ABC 中，点 D 为 AB 边上一点，且
→
????=
1 4
→
???，? 则
C． {0 ， 1， 2，3} NhomakorabeaD ．{1 ， 2}
2．（ 5 分）已知复数 z 满足 z+2 i∈R， z 的共轭复数为 ??，则 z-?? = （ ）
A ．0
B ．4i
C．﹣ 4i
D．﹣ 4
3．（ 5 分）数列 { an} 满足 an+2﹣ an+1＝ an+1﹣ an（ n∈N* ），且 a8＝ 10，则 S15＝（
板的半价层厚度为 0.8，钢的密度为 7.6，则这种射线的吸收系数为（
）
（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，
ln2≈ 0.6931，结果
精确到 0.001）
A ．0.110
B ．0.112
5．（ 5 分）函数
y=
2 ??-2
-??
的图象大致为（
|??|-????????
C． 0.114 ）
a 的取值范围为
2020年河南省、广东省等五岳联考高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(附答案详解)
2020年河南省、广东省等五岳联考高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|x 2−2x −3<0,x ∈Z}，则集合M 的真子集个数为( )A. 8B. 7C. 4D. 32. 已知i 是虚数单位，则化简(1+i1−i )2020的结果为( )A. iB. −iC. −1D. 13. 若干年前，某教师刚退休的月退休金为4000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为( )A. 4500元B. 5000元C. 5500元D. 6000元4. 将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为( )A. 27B. 37C. 17D. 3145. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M(3,2√3)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF|：|NM|等于( )A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：√36. 在所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D ，E 分别为棱CC 1，AC 的中点，则直线AB 与平面B 1DE 所成角的余弦值为( )A. √3010B. √3020C. √13020D. √70107. 已知点A(4,3)，点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB|的最小值为( )A. 5B. 4√55C. √5D. 2√558. 给出下列说法①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x 2−(a +4)x +b 的最大值为20； ②“x =π4”是“tanx =1”的充分不必要条件；③命题“∃x 0∈(0,+∞),x 0+1x 0≥2”的否定形式是“∀x ∈(0,+∞),x +1x <2”其中正确说法的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知log m 3>0,a =m log 42,b =m log 32,c =m 20.5，则a ，b ，c 间的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. b <c <a10. 元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两(1秤=15斤，1斤=16两)，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银( )A. 9两B. 266127两C.26663两 D. 250127两11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若acosB −bcosA =c3，则acosBacosA+bcosB的最大值为( )A. √2B. √22 C. √32 D. 2√3312. 已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=log 3(3x +1)，不等式3g(x)−f(x)−t ≥0对x ∈R 恒成立，则t 的最大值为( )A. 1B. 3−2log 32C. 2D. 32log 32−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)，则b ⃗ 在a ⃗ 方向上的投影等于______． 14. 在△ABC 中，∠B =2π3，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC =12AB ，则E 的离心率为______．15. 已知函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)是奇函数，且在[−π6,π4]上单调递减，则ω的最大值是 ．16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC =CD =2，AB =AD =√6，则三棱锥A −BCD 的外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=12na n+a n−1．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{2a n2}的前n项和为T n，证明：T n<32．18.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF⊥DF，AF=2√2FD，∠DFE=∠CEF=45．(1)证明：DC//FE；(2)求二面角D−BE−C的平面角的余弦值．19.已知点P在圆O：x2+y2=9上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足4PQ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设G(−3,0)，H(3,0)，过点F(1,0)的动直线l与曲线E交于A、B两点．问：直线AG与BH的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20.某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C.经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p(0.6≤p≤0.8)．(1)任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；(2)将(1)中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵？21.已知函数f(x)=(a−1)x+xlnx的图象在点A(e2,f(e2))(e为自然对数的底数)处的切线斜率为4．(1)求实数a的值；(2)若m∈Z，且m(x−1)<f(x)+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．22.以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，直线l的参数方程为{x=−2+tcosαy=−4+tssinα(t为参数)．(1)点A在曲线C上，且曲线C在点A处的切线与直线：x+2y+1=0垂直，求点A的直角坐标；(2)设直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率的取值范围．23.设函数f(x)=|x−1|+2|x+1|，x∈R．(1)求不等式f(x)<5的解集；(2)若关于x的不等式f(x)+2<|2t−1|在实数范围内解集为空集，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合M={x|x|x2−2x−3<0,x∈Z}={x|−1<x<3,x∈Z}={0,1,2}，所以集合M的真子集个数为：23−1=7个．故选：B．由列举法得到集合A中的元素个数，再由结论：含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个，即得答案本题主要考查了集合的子集，一般地，含有n个元素的集合的真子集数共有：2n−1个．2.【答案】D【解析】解：∵1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i，∴(1+i1−i)2020=i2020=i4×505=1．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1−i，再由虚数单位i的运算性质得答案．本题考查复数的代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的运算性质，是基础题．3.【答案】B【解析】解：设目前该教师的月退休金为x元，则有10%x=4000×15%−100，解之得x=5000，故选：B．根据题中目前的月就医费比刚退休时少100元可列等式，求出即可．本题考查对条形图，折线图的数据整合能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C52=10种方法，③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C52=10种方法，∴甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为： p =3C 52C 84=37．故选：B ．①甲指挥交通，乙不指挥交通，是丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有C 52=10种方法，甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有C 52=10种方法，由此能求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率．本题考查概率的求法，考查分类讨论思想、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】C【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)，所以k FM =2√33−1=√3，由{y 2=4x y =√3(x −1)，可得3x 2−10x +3=0，所以x 1=3，x 2=13， 所以|FN||MN|=x 2+p2x 1+x 2+p=13+13+13+2=14．故选：C ．求出抛物线的焦点坐标，通过直线与抛物线方程联立，求出MN 的坐标，然后转化求解|NF|：|NM|即可．本题考查抛物线的焦点弦，抛物线的简单性质以及数形结合的思想的应用，是中档题．6.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了利用空间向量求线面角的问题，属于中档题．根据题意，建立空间直角坐标系，将所求的角转化为直线AB 与平面B 1DE 的法向量的夹角来求即可． 【解答】解：因为是所有棱长都相等的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1． ∴该棱柱的上下底面是正三角形，侧面都是正方形，设各棱长均为2，取AB 的中点为原点，直线OC ，OB 分为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则O(0,0,0)，B(0,1,0)，E(√32,−12,0)，D(√3,0,1)，B 1(0,1,2)． ∴ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,32,2)， 设平面B 1DE 的法向量m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)， ∴{m ⃗⃗⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{√32x +12y +z =0−√32x +32y +2z =0，令x =2，得m ⃗⃗⃗ =(2,6√3,−4√3)．∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 设所求角为θ，则sinθ=|m⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√3020， ∴cosθ=√13020． 故选：C ．7.【答案】C【解析】解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB|的最小值为A 到B 的距离． 由{x −y =0x +2y −6=0解得B(2,2)， |AB|的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5， 故选：C ．画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．8.【答案】D【解析】解：①定义在[a,b]上的偶函数f(x)=x2−(a+4)x+b，所以有f(−x)=f(x)，即a=−4，定义域为[a,b]，所以b=4，所以函数f(x)在x=±4时取得最大值为20，正确；②由充要条件的定义“x=π4”能推出“tanx=1”成立，而“tanx=1”不能推出“x=π4”成立，所以“x=π4”是“tanx=1”的充分不必要条件正确；③由特称量词命题的否定定义可得命题“∃x0∈(0,+∞),x0+1x0≥2”的否定形式是“∀x∈(0,+∞),x+1x<2”正确；其中正确说法的个数为①②③三个，故选：D．①利用函数的奇偶性和最值可得答案，②由充要条件定义可判断，③由命题的否定定义可判断，从而可得结论．本题考查命题真假判断及充要条件，函数的奇偶性和最值，命题的否定，属基础题．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵log m3>0，∴m>1，∵0<log42<log32<1，20.5>1，∴a<b<c，故选：A．10.【答案】B【解析】解：由题意共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，则a(1−27)1−2=266，解得a=266127．故选：B．共有银：16×16+10=266两，设分银最少的为a两，则7人的分银量构成以a为首项，2为公比的等比数列，由此利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：因为acosB−bcosA=c3，由正弦定理可得，sinAcosB−sinBcosA=13sinC=13(sinAcosB+sinBcosA)，化简可得，tanA=2tanB，则acosBacosA+bcosB=sinAcosBsinAcosA+sinBcosB=1cosAcosB+sinBsinA≤2√sinAcosB，当且仅当cosAcosB=sinBsinA时取等号，=2√tanBtanA =√22，即最大值√22，故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式化简可得tanA=2tanB，然后对所求式子进行化简，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理及三角恒等变形在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式求解最值的应用，属于中档试题．12.【答案】B【解析】解：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，可得f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，由f(x)+g(x)=log3(3x+1)，①可得f(−x)+g(−x)=log3(3−x+1)，即为−f(x)+g(x)=log3(3−x+1)，②联立①②可得f(x)=12x，g(x)=log3(3x+1)−12x，由不等式3g(x)−f(x)−t≥0对x∈R恒成立，可得t ≤3g(x)−f(x)=3log 3(3x+1)−2x =log 3(3x +1)332x恒成立，设ℎ(x)=(3x +1)332x，ℎ′(x)=ln3⋅32x (1+3x )2(3x −2)34x，当x >log 32时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，当x <log 32时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减， 可得x =log 32处ℎ(x)取得极小值，且为最小值3−2log 32， 则t ≤3−2log 32， 故选：B ．运用奇偶性的定义，将x 换为−x ，联立两个方程求得f(x)，g(x)，由题意可得t ≤3g(x)−f(x)的最小值，构造函数ℎ(x)，求得导数和单调性、极值和最小值，可得所求范围． 本题考查函数的奇偶性的定义和函数恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，运用导数求得单调性和最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】−83【解析】解：向量a ⃗ =(2,−√5)，b ⃗ =(1,2√5)， 则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为|b ⃗|cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=√5×2√5√22+(−√5)2=−83．故答案为：−83．根据平面向量投影的定义，计算即可．本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．14.【答案】√7+13【解析】解：由题得，AB =2c ，BC =c ，∠B =23π， 则根据余弦定理可得AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√4c 2+c 2−2×2c ×(−12)=√7c ，所以√7c −c =2a ，解得e =√7+13，故答案为√7+13．根据余弦定理可得AC =√7c ，结合双曲线定义，则有√7c −c =2a ，即可解出e ．本题考查双曲线离心率的求法，考查余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】2【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，三角函数的诱导公式，正弦型函数的单调性，考查了计算能力．根据f(x)是奇函数即可得出φ=π2，进而得出f(x)=−sinωx，然后根据题意即可得出[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，然后即可得出0<ω≤2，从而得出ω的最大值．【解答】解：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)=cosφ=0，且0≤φ≤π，∴φ=π2，∴f(x)=cos(ωx+π2)=−sinωx，且ω>0，f(x)在[−π6,π4]上单调递减，∴[−π6,π4]⊆[−π2ω,π2ω]，∴π2ω≥π4且−π2ω⩽−π6，解得0<ω≤2，∴ω的最大值是2．故答案为：2．16.【答案】9π2【解析】解：∵AB=AD，取BD中点E，则AE⊥BD ∵平面ABD⊥平面BCD，则AE⊥BD，故AE⊥平面BCD，则球心O在AE上，且BD=2√2，EB=√2，AE=√AD2−BE2=2，设外接球的半径R，则OB2=OE2+EB2，∴R2=2+(2−R)2，解可得，R=32，V=4πR33=43×(32)3=9π2．根据四棱锥的性质可先求出球心的位置，然后根据勾股定理可求半径R，然后代入球的体积公式可求．本题主要通过空间几何体的外接球问题，考查了考生的空间想象能力，推理论证能力，属于中档试题．17.【答案】解：(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差得，a n=12na n+a n−1−12a n−1−a n−1+1，化简得，na n=(n+1)a n−1，即a na n−1=n+1n，由a n=a na n−1⋅a n−1a n−2…a2a1⋅a1=n+1n⋅nn−1…32⋅2=n+1，综上，a n=n+1(n∈N∗)；(2)证明：根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以T n=222+232+242+⋯+2(n+1)2<12+2(12−13+13−14+⋯+1n−1n+1)=12+1−2n+1<32，故命题成立．【解析】(1)当n=1时，S1=12a1+a1−1=a1，得a1=2，当n≥2时，由S n=12na n+a n−1得，S n−1=12(n−1)a n−1+a n−1−1，作差化简求出a n的通项公式；(2)根据(1)得，当n=1时，2a12=12，当n≥2时，2a n2=2(n+1)2<2n(n+1)=2(1n−1n+1)，根据裂项相消法和放缩法，证明结论成立．本题考查了数列递推式求数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力，中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABEF 为正方形，∴AB//FE ，∵AB ⊄平面EFDC ，FE ⊂平面EFDC ，∴AB//平面EFDC ， ∵AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFDC =DC ， ∴DC//AB ，∴DC//FE ．(2)解：∵AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，∴AF ⊥平面EFDC ， ∴平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，∴以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则题意得∠DFG =∠CEF =45°，设AB =4， 则D(0,0,1)，E(−3,0,0)，C(−2,0,1)，B(−3,4,0)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4,1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−4,1)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 设平面DBE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3x −4y +z =0m ⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0,−3)， 设平面BEC 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −4b +c =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,0,−1)， 设二面角D −BE −C 的平面角为θ， 则二面角D −BE −C 的平面角的余弦值为： cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√10⋅√2=2√55．【解析】(1)推导出AB//FE ，从而AB//平面EFDC ，进而DC//AB ，由此能证明DC//FE ． (2)由AF ⊥EF ，AF ⊥DF ，得AF ⊥平面EFDC ，从而平面ABEF ⊥平面EFDC ，作DG ⊥EF ，垂足为G ，则DG ⊥平面ABEF ，以G 为原点，GF 为x 轴，在平面ABEF 中，过G 作EF 的垂线为y 轴，GD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −BE −C 的平面角的余弦值．本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)， 则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 4(0,−y 0)=3√2(x 0−x,−y)，∴x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得x 29+y 28=1．∴动点M 的轨迹E 的方程为x 29+y 28=1；(2)直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{x =my +1x 29+y 28=1，得(8m 2+9)y 2+16my −64=0．则y 1+y 2=−16m 8m 2+9，y 1y 2=−648m 2+9． ∴my 1y 2=4(y 1+y 2)， 则k AGk BH=y 1x 1+3⋅x 2−3y 2=y 1(my 2−2)(my 1+4)y 2=my 1y 2−2y 1my 1y 2+4y 2=4(y 1+y 2)−2y 14(y 1+y 2)+4y 2=2y 1+4y 24y 1+8y 2=12．【解析】(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，Q(x 0,0)，则由4PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =3√2MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得x 0=x ，y 03√24y ，代入圆O ：x 2+y 2=9，可得动点M 的轨迹E 的方程；(2)设直线l 为x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X =0)=0.3(1−p)2=0.3−0.6p +0.3p 2，P(X =1)=0.7(1−p)2+0.3×2p(1−p)=0.1p 2−0.8p +0.7， P(X =2)=2×0.7p(1−p)+0.3p 2=−1.1p 2+1.4p ， P(X =3)=0.7p 2， 所以X 的分布列为所以E(X)=1×0.1p 2−0.8p +0.7+2×−1.1p 2+1.4p +3×0.7p 2=2p +0.7． (2)因为0.6≤p ≤0.8，由(1)可知，当p =0.8时，E(X)取得最大值， ①一棵B 种树苗最终成活的概率为0.8+(1−0.8)×0.75×0.8=0.92， ②记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，E (Y)=0.92n ， ∴(0.92×400−0.08×80)n ≥100000， 解得n ≥100000361.6≈276.55，∴n ≥277，∴该农户至少要种植277棵树苗，才可获利不低于10万元．【解析】(1)X 的所有可能取值为0，1，2，3，然后用p 分别表示出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列和数学期望；(2)先结合p 的取值范围和(1)中的结论确定p 的取值，然后就能得到一颗B 种树苗成活的概率；记Y 为n 棵树苗的成活棵数，则Y ～B(n,0.92)，再结合二项分布的性质，列出关于n 的不等式，解之并取整即可．本题考查了随机变量的分布列、数学期望等基础知识点，考查了学生数学建模的能力，即把实际问题转化为数学问题，再运算求解的能力，对于考生的综合分析能力提出较高要求，属于中档题．21.【答案】解：(1)∵f(x)=(a −1)x +xlnx ，∴f′(x)=a +lnx ，∵函数f(x)=(a −1)x +xlnx 的图象在点A(e 2,f(e 2))处的切线斜率为4， ∴f′(e 2)=a +lne 2=4，∴a =2．(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∵m(x −1)<f(x)+1对任意x >1恒成立，∴m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立， 令g(x)=f(x)+1x−1，则g′(x)=(lnx+2)(x−1)−(x+xlnx+1)(x−1)2=x−lnx−3(x−1)2．令μ(x)=x −lnx −3，则μ′(x)=1−1x ，∵x >1，∴μ′(x)>0，∴μ(x)=x −lnx −3在(1,+∞)为增函数． ∵μ(4)=1−ln4<0，μ(5)=2−ln5>0， ∴∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，∴x ∈(1,x 0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，x ∈(x 0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)min =g(x 0)=x 0+x 0lnx 0+1x 0−1=x 0+x 0(x 0−3)+1x 0−1=x 0−1，故有m <x 0−1对x >1都成立，∵x 0∈(4,5)，x 0−1∈(3,4)，∴m 的最大值为3．【解析】(1)f(x)=(a −1)x +xlnx ⇒f′(x)=a +lnx ，依题意，f′(e 2)=a +lne 2=4，可求得a 的值；(2)由(1)知f(x)=x +xlnx ，∀x >1，m(x −1)<f(x)+1⇔m <f(x)+1x−1对任意x >1恒成立，构造函数g(x)=f(x)+1x−1，求g′(x)=x−lnx−3(x−1)2，再令μ(x)=x −lnx −3，分析得到∃x 0∈(4,5)，使得μ(x 0)=x 0−lnx 0−3=0，g(x)min =g(x 0)=x 0−1∈(3,4)，从而可求得m 的最大值．本题第(1)问考查切线问题，第(2)问考查恒成立问题，通过分离参数后，构造函数，利用导数解决问题，考查转化思想与运算能力，对学生要求较高，属于难题．22.【答案】解：(1)已知曲线C 的极坐标方程为ρ=√2(θ∈[−π2,π2])，转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2(x ≥0)，A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x +2y +1=0垂直， 所以{x 2+y 2=2y =−12xx ≥0，解得{x =2√105y =−√105，即A(2√105,−√105). (2)直线l 的直角坐标方程为y =−4+k(x +2)与半圆x 2+y 2=2(x ≥0)有且只有一个交点， 故√1+k 2=√2，整理得k 2−8k +7=0，解得k =1或7，由于B(0,√2)，C(0,−√2)P(−2,−4)， 所以k PB =4+√22，k PC =4−√22， 所以直线l 的斜率的范围为(4−√22,4−√22]∪{1}．【解析】(1)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果． (2)利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围的值． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.【答案】解：(1)函数f(x)={−3x −1,x <−1x +3,−1≤x ≤13x +1,x >1，则{x <−1−3x −1<5或{x >13x +1<5或{−1≤x ≤1x +3<5， 解得−2<x <−1或1<x <43或−1≤x ≤1， 则原不等式的解集为(−2,43)；(2)关于x 的不等式f(x)+2<|2t −1|在实数范围内解集为空集， 等价为(f(x)+2)min ≥|2t −1|， 由(1)可得f(x)的最小值为f(−1)=2，则2+f(x)的最小值为4，则|2t −1|≤4，解得−32≤t ≤52， 则t 的取值范围是[−32,52].【解析】(1)将f(x)写成分段函数的形式，f(x)<5等价为一次不等式组，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得(f(x)+2)min ≥|2t −1|，由f(x)的解析式可得f(−1)为最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年河南省漯河市、南阳市、信阳市、周口市、驻马店市、三门峡市高考(理科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（理科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）1．若复数z满足，则|z|＝（）A．B．C．D．2．集合的真子集的个数为（）A．7B．8C．31D．323．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A．B．C．D．4．著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，n∈N*，若，则k＝（）A．2020B．4038C．4039D．40405．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益6．设函数f（x）＝xln，则函数f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．7．设x，y满足约束条件，若z＝﹣3x+2y的最大值为n，则的展开式中x2项的系数为（）A．60B．80C．90D．1208．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（）A．B．C．D．9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于A，B两点，若，则|AB|为（）A．B．40C．16D．10．已知P为圆C：（x﹣5）2+y2＝36上任意一点，A（﹣5，0），若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为（）A．B．C．D．11．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2018＜S2020＜S2019，设b n＝a n a n+1a n+2，则数列的前n项和T n取最大值时n的值为（）A．2020B．2019C．2018D．201712．方程2（x﹣1）sinπx+1＝0在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（）A．4B．6C．8D．10二、填空题13．已知向量，若，则＝．14．设函数，则满足f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的x的取值范围为．15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有种（用数字回答）．16．若方程a x＝x（a＞0且a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．如图△ABC中，D为BC的中点，AB＝，AC＝4，AD＝3．（1）求边BC的长；（2）点E在边AB上，若CE是∠BCA的角平分线，求△BCE的面积．18．在四棱椎P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝5，，AB＝6，PO⊥AD，O，E分别为AD，AB中点，∠BAD＝60°（1）求证：AC⊥PE；（2）求平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值．19．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．20．已知函数f（x）＝xe x﹣ae2x（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，若不等式x1+λx2＞0恒成立，求正实数λ的取值范围．21．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A、O、B三点，求线段AB的长[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用商的模等于模的商求解．解：∵，∴|z|＝||＝．故选：C．2．集合的真子集的个数为（）A．7B．8C．31D．32【分析】根据题意，设x取一些值，代入求y值，再求真子集个数．解：令x＝0，则y＝2；令x＝±1，则y＝；令x＝±2，则y＝0；则M中有三个元素，则有7个真子集．故选：A．3．五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）A．B．C．D．【分析】从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，由此能求出2类元素相生的概率．解：金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．从5类元素中任选2类元素，基本事件总数n＝＝10，2类元素相生包含的基本事件有5个，则2类元素相生的概率为P＝＝．故选：A．4．著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，n∈N*，若，则k＝（）A．2020B．4038C．4039D．4040【分析】利用特征根法可求出“斐波那契数列”的通项，利用数列的规律可推导出其前n项和与第k项的关系，进而可得结论．解：根据题意斐波那契数列{a n}中：满足a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，n∈N*，当n为奇数时，a n+1＝a n+a n﹣1＝a n+a n﹣2+a n﹣3＝a n+a n﹣2+a n﹣4+a n﹣6＝…＝a n+a n﹣2+a n﹣4+…+a1+1．则＝1+a3+a5+…+a4039＝a4040．所以k＝4040．故选：D．5．已知某超市2019年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示，根据该折线图可知，下列说法错误的是（）A．该超市2019年的12个月中的7月份的收益最高B．该超市2019年的12个月中的4月份的收益最低C．该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了90万元D．该超市2019年1至6月份的总收益低于2019年7至12月份的总收益【分析】根据折线图，即可判定选项A，B正确，计算出2019年7至12月份的总收益和2019年1至6月份的总收益，比较，即可得到选项C错误，选项D正确．解：由折线图可知，该超市2019年的12个月中的7月份的收入﹣支出的值最大，所以收益最高，故选项A正确；由折线图可知，该超市2019年的12个月中的4月份的收入﹣支出的值最小，所以收益最低，故选项B正确；由折线图可知，该超市2019年7至12月份的总收益为60+40+30+30+50+30＝240，2019年1至6月份的总收益为20+30+20+10+30+30＝140，所以该超市2019年7至12月份的总收益比2019年1至6月份的总收益增长了100万元，故选项C错误，选项D正确；故选：C．6．设函数f（x）＝xln，则函数f（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【分析】由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出f（），则答案可求．解：函数f（x）＝xln的定义域为（﹣1，1），由f（﹣x）＝﹣xln＝xln＝f（x），得f（x）为偶函数，排除A，C；又f（）＝＞0，排除D．故选：B．7．设x，y满足约束条件，若z＝﹣3x+2y的最大值为n，则的展开式中x2项的系数为（）A．60B．80C．90D．120【分析】利用线性规划求解目标函数的最大值n，然后利用二项式定理的通项公式求解即可．解：x，y满足约束条件，表示的可行域如图：z＝﹣3x+2y化为：y＝﹣x+，当直线y＝﹣x+经过可行域的A时，目标函数取得最大值为a，由解得A（﹣1，1），n＝15，则的展开式的通项公式为：＝，展开式中x2项，可得r＝2．系数为：＝80．故选：B．8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】设球的半径为R，根据圆锥的几何特征，可得R2＝（R﹣h）2+r2，解出半径，则球的体积可求．由此能求出这个球的体积与圆锥的体积的比值．解：设球的半径为R，∵圆锥的高h＝3，底面圆的半径r＝，∴R2＝（R﹣h）2+r2，即R2＝（R﹣3）2+3，解得：R＝2，故该球的体积V＝＝．圆锥体积为：V′＝＝3π，∴这个球的体积与圆锥的体积的比值为：＝＝．故选：B．9．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于A，B两点，若，则|AB|为（）A．B．40C．16D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知：|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2，由，可得直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为：y＝x+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可求出，从而|AB|＝．解：抛物线C的方程为：x2＝4y，焦点F（0，1），准线方程为：y＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由抛物线的定义可知：|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2，∵，∴直线AB的斜率为，∴直线AB的方程为：y＝x+1，联立方程，消去x得：3y2﹣10y+3＝0，∴，∴|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝，故选：D．10．已知P为圆C：（x﹣5）2+y2＝36上任意一点，A（﹣5，0），若线段PA的垂直平分线交直线PC于点Q，则Q点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得点Q满足双曲线的定义，且求得a，c的值，再由b2＝c2﹣a2求得b，则点Q的轨迹的方程可求．解：由点Q是线段AP垂直平分线上的点，∴|AQ|＝|PQ|，又∵||QA|﹣|QC||＝|PC|＝6＜|AC|＝10，满足双曲线定义且a＝3，c＝5，∴b＝4，∴轨迹方程：．故选：B．11．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2018＜S2020＜S2019，设b n＝a n a n+1a n+2，则数列的前n项和T n取最大值时n的值为（）A．2020B．2019C．2018D．2017【分析】设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的性质，可得数列{a n}的公差d＜0，且a1＞0，a2＞0，…，a2019＞0，a2020＜0，…，求得＝＝（﹣），计算可得T n，分析比较，即可得到所求最大值时n的值．解：等差数列{a n}的公差设为d，若S2018＜S2020＜S2019，则S2020﹣S2019＝a2020＜0，S2019﹣S2018＝a2019＞0，S2020﹣S2018＝a2020+a2019＞0，即a2019＞﹣a2020＞0，a2019﹣d＞﹣a2020+d＞0，即a2018＞﹣a2019＞0，可得a2018a2019＞a2020a2021，可得公差d＜0，即数列{a n}递减，且a1＞0，a2＞0，…，a2019＞0，a2020＜0，…，＝＝（﹣），则T n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣），由d＜0，要使T n取最大值，可得（﹣）取得最小值，显然＞0，而a2a3＞a3a4＞…＞a2018a2019＞a2020a2021＜a2021a2022＜…，可得n＝2019时，（﹣）取得最小值，故选：B．12．方程2（x﹣1）sinπx+1＝0在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（）A．4B．6C．8D．10【分析】由方程可得sinπx＝，作出函数图象可得解的个数，根据图象的对称关系即可得出答案．解：由2（x﹣1）sinπx+1＝0，得sinπx＝，作出y＝sinπx与y＝的函数图象如图，由图象可知两函数图象在[﹣2，4]上有8个交点，∵y＝sinπx与y＝的函数图象均关于点（1，0）对称，∴方程2（x﹣1）sinπx+1＝0的解的和为4×2＝8．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量，若，则＝10．【分析】根据题意，由向量的数量积与向量垂直的关系可得则•＝﹣8+y＝0，解可得y的值，即可得2+的坐标，进而计算可得答案．解：根据题意，向量，若，则•＝﹣8+y＝0，解可得y＝8；则2+＝（0，10），故|2+|＝10；故答案为：10．14．设函数，则满足f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的x的取值范围为（1，+∞）．【分析】由分段函数可得f（x）在R上单调递增，讨论x﹣1＜0，或x﹣1≥0，解不等式即可得到所求解集．解：函数，当x≤0时，f（x）≥2020，可得f（x）在x≤0上单调递增，f（x2﹣4）＞f（﹣3x），可得，即为1＜x，则f（x2﹣4）＞f（﹣3x）的解集为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．15．六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有135种（用数字回答）．【分析】根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，②、分析剩下4人不坐自己位置的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①、在六位同学中任选2人，坐自己原来的位置，有C62＝15种情况，②、假设不坐自己位置的4人为A、B、C、D，A不坐自己的位置，有3种坐法，假设A坐在了B的位置，B有3种坐法，剩下C、D，只有一种坐法，则剩下4人不坐自己的位置，有3×3＝9种情况，故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有15×9＝135种；故答案为：135．16．若方程a x＝x（a＞0且a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围为（1，e）【分析】由指数函数的值域可得x＞0，对原方程两边取自然对数，分离参数可得lna＝，设f（x）＝，求得导数和单调性、极值和最值，作出y＝f（x）的图象，通过图象可得所求范围．解：由a＞0且a≠1，可得a x＝x＞0，两边取自然对数，可得xlna＝lnx，即lna＝，设f（x）＝，可得f′（x）＝，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）递增．可得f（x）在x＝e处取得极大值，且为最大值，当x→+∞，f（x）→0，作出函数f（x）的图象，当0＜lna＜，即1＜a＜e时，y＝lna与y＝f（x）的图象有两个交点，即方程lna＝有两个不等的实根，故答案为：（1，e）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：60分17．如图△ABC中，D为BC的中点，AB＝，AC＝4，AD＝3．（1）求边BC的长；（2）点E在边AB上，若CE是∠BCA的角平分线，求△BCE的面积．【分析】（1）由题意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，进而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，可求S△ADC＝＝6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分线的性质可得＝，根据S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．解：（1）因为D在边BC上，所以cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，在△ADB和△ACD中，由余弦定理可得：+＝0，因为AB＝2，AC＝4，AD＝3，BD＝DC，所以9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，所以BD2＝25，解得BD＝5，所以BC的长为10．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，所以S△ADC＝＝6，S△ABC＝2S△ADC＝12，因为CE是∠BCA的角平分线，所以＝＝＝＝，所以S△ABC＝S△BCE+S△ACE＝S△BCE+S△BCE＝S△BCE＝12，所以S△BCE＝．18．在四棱椎P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA＝5，，AB＝6，PO⊥AD，O，E分别为AD，AB中点，∠BAD＝60°（1）求证：AC⊥PE；（2）求平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）由已知得△ABD为等边三角形，又O是AD的中点，得BO⊥AD，求解三角形证明PO⊥OB，可得PO⊥平面ABCD，得PO⊥AC，结合ABCD是菱形，得OE ∥BD，则AC⊥OE，由线面垂直的判定可得AC⊥平面POE，得AC⊥PE；（2）由题意结合菱形的性质可得OP⊥OA，OP⊥OB，OA⊥OB，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面POE的一个法向量与平面PBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，又∵O是AD的中点，∴BO⊥AD，又∵AB＝6，AO＝3，∴BO＝3．又PO＝4，PB＝，则BO2+PO2＝PB2，∴PO⊥OB，又PO⊥AD，AD∩OB＝O，∴PO⊥平面ABCD，得PO⊥AC．又∵ABCD是菱形，OE∥BD，∴AC⊥OE，又PO∩OE＝O，∴AC⊥平面POE，得AC⊥PE；（2）解：由题意结合菱形的性质可得OP⊥OA，OP⊥OB，OA⊥OB．以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz．则：P（0，0，4），B（0，，0），O（0，0，0），E（，，0），D（﹣3，0，0）．设平面POE的一个法向量为，由，取y＝﹣1，得；设平面PBD的一个法向量为．由，取y1＝4，得．cos＜＞＝．∴平面POE与平面PBD所成锐二面角的余弦值为．19．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率是e，动点P（x0，y0）在椭圆C上运动．当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．（1）求椭圆C的方程；（2）延长PF1，PF2分别交椭圆C于点A，B（A，B不重合）．设＝λ，＝μ，求λ+μ的最小值．【分析】（1）由PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e得c，b的值，再由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）由（1）得：焦点F1，F2的坐标，再由＝λ，＝μ，求出λ，μ的值，进而求出之和的值，再由x02d的范围，求出λ+μ的最小值．解：（1）由题意知当PF2⊥x轴时，x0＝1，y0＝e．知c＝1，＝e＝，∴b＝c＝1，又a2＝b2+c2＝2，所以椭圆的方程为：＝1；（2）由（1）知F1（﹣1，0），F2（1，0）设A（x0，y0），由＝λ得，即，代入椭圆方程得：+（﹣λy0）2＝1，又＝1，得，两式相减得：＝1﹣λ2，因为λ+1≠0，所以2λx0+λ+1＝2（1﹣λ），故；同理可得：，故λ+μ＝+＝，当且仅当x0＝0时取等号，故λ+μ的最小值为．20．已知函数f（x）＝xe x﹣ae2x（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，若不等式x1+λx2＞0恒成立，求正实数λ的取值范围．【分析】（1）问题可等价于x+1﹣2ae x＝0有两个不等的实根，令，利用导数研究函数h（x）的性质，可得2a∈（0，1），由此求得实数a的取值范围；（2）显然，x1，x2是方程的两根，依题意，，则，两边取对数得到对一切x1∈（﹣1，0）恒成立，再构造函数，分λ≥1及0＜λ＜1讨论得解．解：（1）由题可知f′（x）＝（x+1）e x﹣2ae2x＝0有两个不等的实根，即x+1﹣2ae x ＝0有两个不等的实根，令，则，∴当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，∴h（x）max＝h（0）＝1，又h（﹣1）＝0，x∈（﹣∞，﹣1）时，h（x）＜0，x∈（﹣1，+∞）时，h（x）＞0，∴2a∈（0，1），即；（2）由（1）知，x1，x2是方程的两根，∴﹣1＜x1＜0＜x2，则x1+λx2＞0即为，∵h（x）在（0，+∞）上单减，∴，又h（x2）＝h（x1），∴，即，两边取对数，并整理得，对一切x1∈（﹣1，0）恒成立，设，则当λ≥1时，F′（x）＞0对x∈（﹣1，0）恒成立，∴F（x）在（﹣1，0）上单增，故F（x）＜F（0）＝0恒成立，符合题意；当0＜λ＜1时，λ﹣1∈（﹣1，0），x∈（λ﹣1，0）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（λ﹣1，0）上单减，F（x）＞F（0）＝0，不合题意．综上，λ≥1．21．某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，依题意知X的可能取值，计算分布列即可；（2）方案②中计算每个人的平均化验次数E（X），分别求出k＝2、3、4时E（X）的值，比较即可．解：（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q，则q＝1﹣p；所以k个人的混合后呈阴性的概率为q k，呈阳性反应的概率为1﹣q k；依题意知X的可能取值为，1+；所以X的分布列为；X1+P qk1﹣qk（2）方案②中，结合（1）知每个人的平均化验次数为：E（X）＝•q k+（1+）•（1﹣q k）＝﹣q k+1；所以当k＝2时，E（X）＝﹣0.92+1＝0.69，此时1000人需要化验的总次数为690次；当k＝3时，E（X）＝﹣0.93+1≈0.6043，此时1000人需要化验的总次数为604次；当k＝4时，E（X）＝﹣0.94+1＝0.5939，此时1000人需要化验的总次数为594次；即k＝2时化验次数最多，k＝3时化验次数居中，k＝4时化验次数最少；而采用方案①需要化验1000次；所以在这三种分组情况下，相比方案①，k＝4时化验次数最多可以平均减少1000﹣594＝406（次）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名．在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线，如图，以极轴Ox所在的直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A、O、B三点，求线段AB的长【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用求出结果．解：已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为（ρ∈R）．（2）由，解得．所以A（）．由，解得，解得B（）．所以|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥7的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝，然后由f（x）≥7分别解不等式即可；（2）由条件可得|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|在[0，2]上恒成立，然后求出|x+a|﹣|x+2a|和|x﹣4|﹣|x﹣2|最大值即可．解：（1）当a＝1时，f（x）＝，当x≤﹣1时，由f（x）≥7得﹣2x+1≥7，解得x≤﹣3；当﹣1＜x＜2时，f（x）≥7无解；当x≥2时，由f（x）≥7得2x﹣1≥7，解得x≥4，∴f（x）≥7的解集为：{x|x≤﹣3，或x≥4}；（2）f（x）≤|x﹣4|+|x+2a|的解集包含[0，2]等价于|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|在[0，2]上恒成立，当x∈[0，2]时，|x+a|﹣|x+2a|≤|x﹣4|﹣|x﹣2|＝2等价于（|x+a|﹣|x+2a|）max≤2恒成立，而|x+a|﹣|x+2a|≤|（x+a）﹣（x+2a）|＝|a|，∴|a|≤2，∴﹣2≤a≤2，故满足条件的a的取值范围为：[﹣2，2]．。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密★启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（） A ．5 B ．34C ．41D ．526．()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（） A ．14B ．15 C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b bb b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试卷带答案
绝密★启用前2020年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后。
用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}0A x x =≥，{}2lg()B x y x x ==-，则B A I =（ ）A ．),0[+∞B ．),1(+∞C ．{}),1[0+∞YD ．),1(]0,(+∞-∞Y2．已知复数21(1)z i =- （i 为虚数单位），则z =（ ） A ．14 B ．12 C ．22 D ．2i 3．2019年，河南省郑州市的房价依旧是郑州市民关心的话题．总体来说，二手房房价有所下降，相比二手房而言，新房市场依然强劲，价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现统计郑州市某新房销售人员一年的工资情况的结果如图所示，若近几年来该销售人员每年的工资总体情况基本稳定，则下列说法正确的是（ ）A ．月工资增长率最高的为8月份B ．该销售人员一年有6个月的工资超过4000元C ．由此图可以估计，该销售人员2020年6，7，8月的平均工资将会超过5000元D ．该销售人员这一年中的最低月工资为1900元4．已知55443322105)1(x a x a x a x a x a a x +++++=+，则24a a +的值为（ ）A ．7B ．8C ．15D ．165．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的一个焦点为F ，过F 作x 轴的垂线分别交双曲线的两渐近线于A ，B 两点，若△AOB 的面积为22b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ，2B ．3C ．322D ．3326．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数，决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用n a 表示解下),9(*N n n n ∈≤个圆环所需的多少移动次数，数列{}n a 满足11=a ，且⎩⎨⎧+-=--为奇数为偶数n a n a a n n n ,22,1211，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）A ．7B ．10C ．16D ．227．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是（ ）A ．6B ．648+C ．624+D ．64+8．已知函数)0)(3sin(>+=ωπωx y 在区间)3,6(ππ-上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．]21,0(B ．]1,21[C ．]32,31(D ．]2,32[9．已知平行四边形ABCD 中，ο60,2=∠==DAB AD AB ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段BC 上一点，则OM CM ⋅u u u u r u u u u r 的最小值为（ ）A ．169-B ．169C ．21-D ．21 10．已知正方形ABCD ，其内切圆I 与各边分别切于点E ，F ，G ，H ，连接EF 、FG 、GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则)(A B P =（ ）A ．π2B ．π21-C ．21D ．214-π 11．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，对任意实数x ，恒有)()3(x f x f -=+，且当]23,0(∈x 时，86)(2+-=x x x f ，则=++++)2020()2()1()0(f f f f Λ（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-12．如图，在四棱锥ABCD P -中，2====PD PC PB PA ，底面ABCD是边长为2的正方形．点E 是PC 的中点，过点A ，E 作棱锥的截面，分别于侧棱PB ，PD 交于M ，N 两点，则四棱锥AMEN P -体积的最小值为（ ）A ．322 B ．332 C ．922 D ．932二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河南高考模拟题理数(附答案)
2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题1-12BDACB CBCDB DA 二、填空题13.10;x y -+=14.4;15.;53016.{}.66,2,0--三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.a c b ac +-=……3分∴2221cos .22a c b B ac+-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c B C=,3sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，6cos 3C =……9分3613323sin sin()sin().323236A B C C π+=+=+=⋅+⋅=……12分18.解析：（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒，OB AC ⊥.……2分在MAC ∆中：2M A M C A C ===O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且 6.O M ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB =222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM⊥,AC OM 相交于O ，故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系 㜠Ꮉ婈Ӭ如图所示．因为2M A M B M C A C ====,2AB BC ==则(0,2,0),(2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC = 所以，222(,33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z = ，则252252(,,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩ 令3y =(53,3,1)m =-- ……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB = 为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =-- 与(2,0,0)OB = 所成角的余弦为5653cos ,79279m OB < 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1(797979m OB -<>=-= .……12分19．（I ）由题意知1b =，22c a =.……1分又因为222a b c =+解得，2a =.……3分所以椭圆方程为2212y x +=.……4分（Ⅱ）设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆.则12212212,918616,918y y y t y t t ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =- ，()221,CB x y =- ，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以C A C B ⊥ .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20.解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分(II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，2ξ246p 64811681181可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5.其分布列如下，4ξ15p 64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E ξ=⨯+⨯=.比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分(ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3η25p3p 31p -3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54η15p4p 41p -4444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=，由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x x x x x x bx x x⇔-+-++-≥ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(,x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x xϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=,极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，，则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23.解：(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|，……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=-又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2).……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。