中职数学基础模块下册《等差数列》ppt课件
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中职教育-数学(基础模块)下册 第六章 数列.ppt
根据高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，其前n项和
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
可表示为 Sn a1 (a1 d ) (a①1 2d ) [a1 (n 1)d ]，
Sn an (an d ) (②an 2d ) [an (n 1)d ]．
…
…
将①②两式相加可得
…
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) n个
．
于是
a2
a1q
16 3
3 2
8．
➢例题解析
例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5 项．
… …
观察
所以，数列的一般形式可以写成
a1 ，a2 ，a3 ， ，an ，
简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n
分别称为对应各项的项数．
项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上 面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列．
➢6.1.2 数列的通项公
59 3n 1， n 20．
因此，该数列的第20项为59．
➢例题解析
例3 在等差数列{an}中，公差d=5， a9=38，求首项a1。
解：
因d=5，故设等差数列的通项公式为
an a1 5(n 1) ．
因a9=38，故
38 a1 5 (9 1) ． a1 2 ．
➢例题解析
例4 某市出租车的计价标准为1.2元 /km，起步价为10元，即最初的4 km （不含4 km）计价10元．如果某人在该 市坐出租车去14 km处的地方，需要支 付 解多：少车费？
观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每 一项与其前一项的比都等于2．
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项 的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这 个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示．
2024版中职教育数学《等差数列》课件
课件•课程介绍与教学目标•等差数列基本概念与性质•等差数列求和公式与方法•等差数列在生活中的应用举例目录•拓展内容：等比数列简介及与等差数列关系•课堂互动环节与练习题设计01课程介绍与教学目标《等差数列》是中职教育数学课程中的重要内容，对于提高学生的数学思维和计算能力具有重要意义。
掌握《等差数列》的知识和技能，有助于学生更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
中职教育数学课程是中等职业教育的重要组成部分，旨在培养学生的数学素养和解决实际问题的能力。
课程背景及意义教学目标与要求知识与技能目标01掌握等差数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识；能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题。
过程与方法目标02通过探究、归纳、推理等过程，培养学生的数学思维和解决问题的能力；通过小组合作、交流讨论等方式，提高学生的合作意识和表达能力。
情感态度与价值观目标03激发学生的学习兴趣和探究欲望，培养学生的数学素养和审美情趣；引导学生体会数学在解决实际问题中的应用价值，增强学生的数学应用意识。
教材分析与选用教材分析本课程选用中等职业教育数学教材，该教材注重基础性和实用性，符合学生的认知规律和学习特点。
教材内容包括等差数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识，以及相应的例题、习题和实践活动。
选用理由该教材注重基础性和实用性，能够帮助学生掌握等差数列的基本知识和技能；同时，该教材还注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，符合中等职业教育数学课程的教学要求。
02等差数列基本概念与性质等差数列定义及通项公式定义等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
通项公式an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差，n表示项数。
等差中项性质及应用等差中项性质在等差数列中，任意两项的算术平均数等于它们的等差中项。
应用利用等差中项性质可以求解等差数列中的未知项，也可以证明等差数列的相关性质。
人教版中职数学(基础模块)下册6.2《等差数列》ppt课件1
脑 思 考
探 索
也可以写作 Sn an an1 an2 a3 a2 a1 . （2） 由于a1 an a1 an
a2 an1 a1 d an d a1 an
a3 an2 a1 2d an 2d a1 an
…
新
(1)式与(2)式两边分别相加，得
知等差数列的前n项和等于首2末Sn两 项na之1 和an与 项数乘积的一半．
第6章 数列
6.2 等差数列
6.2 等差数列
数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天 赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把
创 1到100的整数写下来,然后把它们加起来!” 设 情 境
兴 趣 导 入
6.2 等差数列
将等差数列an 的前n项的和记作Sn.
动
即 Sn a1 a2 a3 an2 an1 an. （1）
型
第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）．
例
应得到的利息就是上面各期利息之和．
题
Sn 1000 0.1425% (1 2 3 12) 111.15（元），
故年终本金与利息之和总额为
12×1000+111.15=12111.15（元）．
6.2 等差数列
1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上
座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？
巩
固
知 识
比较本例题 的两种解法, 从中受到什
典
么启发?
型
例
题
6.2 等差数列
年利率1.71%，折合 月利率为0.1425%．计 算公式为月利率=年利 率÷12．
例8 小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从
等差数列说课课件.ppt
...
6，10，14，18，…
设计意图 通过活动引出两个具体的等差数列，初步认
活动
识等差数列的特征，为正确理解概念奠定基 小组合作，动手操作 础；学生观察两个数列特点，引出等差数列
思考，讨论，回答 的概念，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过对问题的总结，培养学生由具
体到抽象、由特殊到一般的认知能力；使学
生在参与活动中，提高学习兴趣。
石家庄机电职业中专 白晓曼
石家庄机电职业中专 白晓曼
合作交流
情景体验
自主探 究
情景感 悟
石家庄机电职业中专 白晓曼
授课时间 45分钟
复习回顾 旧知重现
2分钟
教
创设情境 发现新知
6分钟
学
擂台比武 见招拆招
14分钟
环
动手动脑 深入探究
5分钟
节
身体力行 学以致用
15分钟
提炼感悟 盘点收获
2分钟
分层落实 课后巩固
设计意图
体现知识要点，突出重点内容，给学生留下清晰深刻的印象。
石家庄机电职业中专 白晓曼
2、 创设情境 发现新知
分组活动： 请你将课前准备好的火柴摆成如图所示的正方形，并将所用火 柴的数目写成数列，并观察所得数列有何规律？
①
②
③
n
4，7，10，13，16，……
石家庄机电职业中专 白晓曼
2、 创设情境 发现新知
请你将课前准备好的棋子摆“上”字，并将所用棋子的数目写成数列，并 观察所得数列有何规律？并说出得出的两个数列有什么共同点？
石家庄机电职业中专 白晓曼
2、 创设情境 发现新知
等差数列的概念:
如果一个数列,从第二项开始每一项与它前
高教版中职数学(基础模块)下册6.2《等差数列》ppt课件4
(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n ＋1)＋p＋q.又(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数，
∴数列{an＋1－an}是等差数列．
类型二 等差数列基本量的计算
例 2.在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，
(3)设该等差数列的项数为 n，则 a1＋a2＋a3＋a4＝36，an ＋an－1＋an－2＋an－3＝124，
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝160，即 a1＋an＝40. ∴Sn＝n（a12＋an）＝20n＝780，解得 n＝39.故填 39.
(4)解法一：令 Sn＝An2＋Bn，则
(5)等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…为等差数列，公差为 n2d.
(6)若等差数列的项数为 2n，则有
S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
(2015·重庆)在等差数列 {an} 中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
设数列{an}的前 n 项 和为 Sn，若对于所有的正整数 n， 都有 Sn＝n（a1＋ 2 an），证明{an} 是等差数列．
证明：当 n≥2 时，由题设知 an＝Sn－Sn－1＝n（a12＋an）－（n－1）（2a1＋an－1） ＝12[a1＋nan－(n－1)an－1]， 同理 an＋1＝12[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而 an＋1－an＝12[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]. 等差数列的定义
∴数列{an＋1－an}是等差数列．
类型二 等差数列基本量的计算
例 2.在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 an； (2)已知 a6＝10，S5＝5，求 Sn； (3)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d＞0，
(3)设该等差数列的项数为 n，则 a1＋a2＋a3＋a4＝36，an ＋an－1＋an－2＋an－3＝124，
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3， ∴4(a1＋an)＝160，即 a1＋an＝40. ∴Sn＝n（a12＋an）＝20n＝780，解得 n＝39.故填 39.
(4)解法一：令 Sn＝An2＋Bn，则
(5)等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn， S3n－S2n，…为等差数列，公差为 n2d.
(6)若等差数列的项数为 2n，则有
S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1.
(2015·重庆)在等差数列 {an} 中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．6
设数列{an}的前 n 项 和为 Sn，若对于所有的正整数 n， 都有 Sn＝n（a1＋ 2 an），证明{an} 是等差数列．
证明：当 n≥2 时，由题设知 an＝Sn－Sn－1＝n（a12＋an）－（n－1）（2a1＋an－1） ＝12[a1＋nan－(n－1)an－1]， 同理 an＋1＝12[a1＋(n＋1)an＋1－nan]．从而 an＋1－an＝12[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1]. 等差数列的定义
精品中职数学基础模块下册：6.2《等差数列》ppt课件(两份)
引例二
姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
引例三
匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
2. (4) 15, 12, 10, 8, 6,4,2.
解： （1）所给数列是首项为1，公差为0的等差数列；
（2）所给数列是首项为4，公差为3的等差数列；
（ 3 ） （- 1 ） （- 2 ） 1 （ -1 ） 小 结 ：判 断 一 个数列是不是等差数列，主
（4） 12-15 10 12 (2)后一项与前一项的差 所给数列不是等差数列 ； (3)同一个 常数(公差d)
结论：若一个等差数列
公差是d，那么这个数列的通项公式是：
a1 ， {an，它的首项为 }
an a1 (n 1)d
a 1 、 d、 n、 a n 中
知三求一
例3 已知等差数列 an 的首项是1，公差是3， 求 其第 11项． 解：
a1 1, d ຫໍສະໝຸດ , n 11根据 an a1 (n 1)d
观察：以上数列有什么共同特点？ 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一
项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d 表示。
数学语言：an- an-1=d
或an+1- an = d
（d是常数，n≥2，n∈N*）
人教版中职数学拓展模块一：2.2.1等差数列(1)课件(共16张PPT)
始，数列中的每一项与它前一项的差都等于同一个常数．
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
抽象概括 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，则这个数列称为等差数列 ，这个常数称为等差数列的公差，公差通常用字母 d 表 示. 由定义知，如数列{an}为等差数列，d为公差，则 an+1-an=d，即 an+1=an+d.
数学
基础模块（下册）
第二单元 数列
2.2.1等差数列
人民教育出版社
第二单元 数列 2.2.1 等差数列
学习目标
知识目标 理解等差数列的概念；
能力目标
学生运用自主探讨、合作学习，理解等差数列通项公式的含义，掌握根据等 差数列的前几项写出该数列的一个通项公式的方法，提高其发现问题、分析 问题及解决问题能力
至下列出每层钢管的数量为 4，5，6，7，8，9，10； ①
创设情境，生成问题 在活初动中1，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
问题提出 一个小剧场，有10排座位，第1排至第10排的座位数
分别为 20，22，24，26，28，30，32，34，36，38； ② 2021年2月，每一个星期一的日期构成数列 1 ，8，15，22． ③
活动 3 巩固练习，提升素养
例2 等差数列-5，-9，… 的第多少项是-401？ 解 设此数列为{an}. 因为 a1=-5，d=-9-(-5)=-4，an=-401，所以
-401=-5+(n-1)×(-4). 解得 n=100. 即这个数列的第100项是-401.
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
抽象概括 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前一项之差都等于同一个常数，则这个数列称为等差数列 ，这个常数称为等差数列的公差，公差通常用字母 d 表 示. 由定义知，如数列{an}为等差数列，d为公差，则 an+1-an=d，即 an+1=an+d.
数学
基础模块（下册）
第二单元 数列
2.2.1等差数列
人民教育出版社
第二单元 数列 2.2.1 等差数列
学习目标
知识目标 理解等差数列的概念；
能力目标
学生运用自主探讨、合作学习，理解等差数列通项公式的含义，掌握根据等 差数列的前几项写出该数列的一个通项公式的方法，提高其发现问题、分析 问题及解决问题能力
至下列出每层钢管的数量为 4，5，6，7，8，9，10； ①
创设情境，生成问题 在活初动中1，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
问题提出 一个小剧场，有10排座位，第1排至第10排的座位数
分别为 20，22，24，26，28，30，32，34，36，38； ② 2021年2月，每一个星期一的日期构成数列 1 ，8，15，22． ③
活动 3 巩固练习，提升素养
例2 等差数列-5，-9，… 的第多少项是-401？ 解 设此数列为{an}. 因为 a1=-5，d=-9-(-5)=-4，an=-401，所以
-401=-5+(n-1)×(-4). 解得 n=100. 即这个数列的第100项是-401.
高教版中职数学(基础模块)下册6.2《等差数列》ppt课件3
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
（1）1，3，5，7，… （2）9，6，3，0，-3… （3）-8，-6，-4，-2，0，… （4）3，3，3，3，…
(5)1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2345
是 a1=1,d=2 是 a1=9,d=-3 是 a1=-8,d=2 是 a1=3,d=0
得到数列： 6000，6500，7000，7500，
8000，8500，9000
引例三
匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
22 1 ，23， 23 1 ，24，
2
2
24 1 ，25， 2
得到数列
1 25
，26，
2
1 22
，23，
1 23
，24，
2
2
1 24
，25，
1 25
，26，
2
2
观察归纳
பைடு நூலகம்
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d 表示。
数学语言：an- an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
或an+1- an = d （ d是常数） 即 a2 - a 1 = a3 – a2 = a4- a3 =…….= an－an-1 = d
问题情景:
高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100
姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
发现？
运动鞋尺码的数列
22 1 2
，23，
（1）1，3，5，7，… （2）9，6，3，0，-3… （3）-8，-6，-4，-2，0，… （4）3，3，3，3，…
(5)1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2345
是 a1=1,d=2 是 a1=9,d=-3 是 a1=-8,d=2 是 a1=3,d=0
得到数列： 6000，6500，7000，7500，
8000，8500，9000
引例三
匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
22 1 ，23， 23 1 ，24，
2
2
24 1 ，25， 2
得到数列
1 25
，26，
2
1 22
，23，
1 23
，24，
2
2
1 24
，25，
1 25
，26，
2
2
观察归纳
பைடு நூலகம்
等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它的前一 项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫等差数列的公差，通常用字母d 表示。
数学语言：an- an-1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
或an+1- an = d （ d是常数） 即 a2 - a 1 = a3 – a2 = a4- a3 =…….= an－an-1 = d
问题情景:
高斯计算的数列： 1，2，3，4， … ，100
姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
发现？
运动鞋尺码的数列
22 1 2
，23，
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• 首项和公差决定着一个等差数列！
EXCEL&MPPS
小组交流题(抽取题目)
1、求等差数列10，7，4，…的通项公式与第10项。 2、已知一个等差数列的第5项是15，第8项是24，求第20项。 3、梯子最高一级宽33cm，最低一级宽89cm，中间还有7级，各级的 宽度成等差数列，求中间各级的宽度。 4、求等差数列2，9，16，…的第n项。 5、三个数成等差数列，它们的和为18，平方和为116，求这三个数 6、已知等差数列的第3项是5，第8项是20，求第25项。 7、求等差数列3，7，11，…的第4、7、10项。 8、求等差数列2，4，6，…的通项公式与第31项，第几项是40？ 9、求等差数列3，7，11，…的第12项。 10、求等差数列1，6，11，…的通项公式和第几项是96。 11、求等差数列15，10，5，…的通项公式与第60项。 12、求等差数列10，6，2，…的通项公式与第18项。
小结：
• 等差数列概念:an+1 • 等差数列通项公式:an=a1+(n-1)d
an = d
(n≥1)
• 等差数列通项公式的运用 交笔记本 课后作业：140 A 2、3 挑战题：P140 B 1、2、3
制作：许智莹
项：①a1＝2，d＝1.5； ②a1＝8，d＝-2；
a1＝89，d＝3。
每组为别的组编造一道有关等差数列通项公式的 题目，并负责批改。
钢管数
1 钢管，自上 而下，从第 2 二层起，每 3 一层与上一 层的钢管数 4 的差都是1.
婚礼蛋糕， 从第二层起， 每一层与上 一层的磅数 都差1.
自上而下，从第二层起，每一层与 上一层人数的差都是1.
等差数列（1）
（一）、等差数列概念 （二）、等差数列通项公式
小组任务
1、找出生产、生活中等差数列的例子，以图片 方式展示并加以说明。 2、什么是等差数列，其中哪些是关键条件？怎 样判断数列是否为等差数列？举例说明。 3、推导公差为d的等差数列{an}的通项公式； 若求等差数列的通项公式，关键需要什么条 件？举例说明。 4、演示在EXCEL表格中分别输入等差数列前100 ③
（一）等差数列
• 若一个数列从它的第2项起，每一项 与它前一项的差都等于同一个常数， 则这个数列叫做等差数列。这个常数 叫做等差数列的公差。公差用d表示。 d d d d
a1 , a2 , a3, a4 ,…,an ,an+1,… an+1 - an = d (n≥1)
关键：
• 1、从第二项起，每一项减去前一项， 顺序不能颠倒 • 2、后项减前项的差是同一个常数
0 0 -1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
是 d<0
d=0
d=3 递增 d=-1递减
3
1
Hale Waihona Puke 333是
d=-2/3
不变
不是
⑦ 3，3，3，3，… 常数列 是
d=0
（二）等差数列通项公式
• 公差为d的等差数列{an}的通项公式 为 a a (n 1)d
n 1
• 关键条件：首项
a1 ，公差 d
叠罗汉
人 数
6 7
8
9
玩具七彩塔(梵塔)，由上至下，从第二个 环开始，每个环与上一个环直径长的差都 为1cm
每一条跑道的宽 度相等。从第2 条跑道开始，每 一跑道与前一条 跑道宽度的差都 等于零。
从左至右，从第二个 杯子开始，每个杯子 的高度与它前面一个 杯子高度的差都相等
婚宴上半圆形 的酒杯塔，从 第二层起，每 一层与上一层 杯子数的差都 是 2。
达标题：
判断以下数列是否为等差数列，如果不是的说明理由，是等差 数列的写出公差： 2 2 2 2
① 2，4，6，8，10； ② 1，2，4，6，8；
1 2 3 3 3 3
是
d=2
公差 d 不是 d>0 是
数列发展趋势
③ -7，-4，-1，2，5； -1 -1 -1 -1 -1 ④ 6，5，4，3，2，1； ⑤ 3, 7 , 5 , 1, 1 , 1 ; ⑥ 1，0，1，0，1，…