数据驱动建模：奇异值分解及主成分分析
机器学习-主成分分析及奇异值分解
机器学习期末报告成员：白子轩，安勇正，李文涛，王琳时间：2016年4月9日主成分分析（PCA ）与奇异值分解（SVD)原理及其应用一、导论在实际问题研究中，多变量问题是经常会遇到的。
变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。
为了解决这些问题，最简单和最直接的解决方案是削减变量的个数，但这必然又会导致信息丢失和信息不完整等问题的产生。
为此，人们希望探索一种更为有效的解决方法，它既能大大减少参与数据建模的变量个数，同时也不会造成信息的大量丢失。
主成分分析正式这样一种能够有效降低变量维数，并已得到广泛应用的分析方法。
二、主成分分析（PCA ）主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。
其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标123,,,p X X X X (比如p 个指标），重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标m F 来代替原来指标。
那么综合指标应该如何去提取，使其既能最大程度的反映原变量X 所代表的信息，又能保证新指标之间保持相互无关（信息不重叠）。
设1F 表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标，即11112121...p p F a X a X a X =+++,由数学知识可知，每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量，其方差1()Var F 越大，表示1F 包含的信息越多。
常常希望第一主成分1F 所含的信息量最大，因此在所有的线性组合中选取的1F 应该是123,,,p X X X X 的所有线性组合中方差最大的，故称1F 为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来p 个指标的信息，再考虑选取第二个主成分指标2F ，为有效地反映原信息，1F 已有的信息就不需要再出现在2F 中，即2F 与1F 要保持独立、不相关，用数学语言表达就是其协方差12(,)0Cov F F =，所以2F 是与1F 不相关的123,,,p X X X X 的所有线性组合中方差最大的，故称2F 为第二主成分，依此类推构造出的12m F F F 、、为原变量指标123,,,p X X X X 第一、第二、……、第m 个主成分。
奇异值分解法
奇异值分解法奇异值分解是一种基于数学的计算技术，有助于研究者在处理非结构化数据时，对数据中的模式和特征进行识别和分析。
主要的应用以及计算机视觉领域，如图像压缩，图像识别，网络指纹识别，特征识别，图像融合，图像检索，脸部识别，图像分类等。
它可以有效地提取结构信息，从而改善数值分析误差和结果准确度。
奇异值分解算法最早由犹太数学家图良克提出，用于解决高维数据的维度问题。
它的核心是利用奇异向量的分解，将原始数据矩阵分解为有限个相对低维的部分，然后在每个部分内求出最佳的拟合系数，最后将拟合系数合并，即可得出整个原始矩阵。
奇异值分解法的主要步骤是：首先，计算原始数据矩阵的奇异值和奇异向量，然后，根据固有值确定奇异值和奇异向量，确定压缩程度，综合利用奇异值分解和奇异向量，进行特征提取和矩阵重建，从而将复杂的原始矩阵压缩成有限的低维数据，增加模型的处理速度，提高预测准确度。
除了图像处理外，奇异值分解在信号处理，数据挖掘，社交网络分析，自然语言处理，机器学习等领域也都有广泛应用。
它可以用来识别微弱的特征，筛选出重要变量，减少数据维度，提高预测准确度，快速处理大型数据集，提高模型效率。
奇异值分解是一种高效的数据分析技术，可以提取原始数据中的有用信息，增强模型的精确性。
它的应用非常广泛，可以改善各种计算机视觉任务的性能，为商业，科学和技术发展带来重大的突破和改进。
然而，奇异值分解也有一些缺点。
例如，它要求原矩阵具有有限的解，但是很多实际数据集中存在大量的噪声，它可能会对奇异值分解造成影响，导致分析结果不准确。
另外，它也有较高的计算复杂度，不能有效地处理大型数据集。
总而言之，奇异值分解是一种有效的数学分析方法，它可以有效地提取原始数据中的有用信息，为计算机视觉和大数据分析研究提供有益的参考。
然而，由于它的计算复杂度较高，要求原矩阵具有有限解，它也存在一定的局限性，需要采取灵活的处理方法以获取更准确有效的分析结果。
数据驱动建模：奇异值分解与主成分分析
问题
• 如何刻画数据的主要变化趋势？ • 个别基因与主要趋势如何联系？ 如何用“最少数量” 的独立参数（最少的假 设），来代表数据中“有意义”的信息？
假设： k种相互独立的调控机制，其相对贡献：σj 对每个基因的影响： Uj （有M个分量） 对每个实验条件的影响：Vj (有N个分量）
∑
i =1
M
可能的稳态流量是零空间的向量
线性最小二乘拟合
Ax = b % b = b+ε
x
理想模型 实际观察 误差最小的结果
% % x = arg min || Ax − b || % b= % ∑ (b • u )u
j j
j =1, k
+ ε =∑
j
% (b • u j )
σj σj
σ ju j + ε
=∑
A=
j =1, k
σ j u j vT , k: number of "non-zero" singular values, ∑
j
A = U ΣV T U : M × M orthogonal matrix V: N × N orthogonal matrix Σ: M × N diagonal matrix
∑
yin y n = λiδ ij j
2、如果保留全部非零本征值，总协方差不变
Var ( X ) =
i =1, M
∑ C = ∑λ
ii i=M
i
数据分析中的应用
• 数据投影（可视化）/聚类
每个基因： 多个样本表达数据 （N) (M) 样本之间的协方差矩阵 --〉主成分（每个样本的加权） --〉用多个组合样本中表达数值描述每个基因 基因之间的协方差矩阵 --〉主成分 （每个基因的加权） --〉用多个基因表达的组合数据来描述每个样本
奇异值分解在数据挖掘中的特征提取方法(九)
奇异值分解在数据挖掘中的特征提取方法引言随着信息时代的到来，数据的重要性变得越来越显著。
数据挖掘作为一种从数据中提取模式和知识的方法，被广泛应用于商业、科学和工程领域。
在数据挖掘中，特征提取是一个至关重要的步骤，它可以帮助我们从大量的数据中提取出最重要的特征，从而更好地理解和利用数据。
奇异值分解（SVD）作为一种有效的特征提取方法，在数据挖掘中得到了广泛的应用。
奇异值分解的原理奇异值分解是一种矩阵分解的方法，能够将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
对于一个实数矩阵A，它的奇异值分解可以表示为A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的主要作用是将原始矩阵A转换为一个更简洁、更易处理的形式，从而减少数据的维度和复杂度。
奇异值分解在特征提取中的应用在数据挖掘中，奇异值分解可以用来提取数据的主要特征。
通过对原始数据进行奇异值分解，我们可以得到数据的主成分，从而更好地理解数据的结构和特点。
此外，奇异值分解还可以帮助我们降低数据的维度，从而减少数据的复杂度和计算成本。
因此，奇异值分解在数据挖掘中被广泛应用于特征提取和降维处理。
奇异值分解与主成分分析的关系奇异值分解与主成分分析（PCA）是密切相关的。
主成分分析是一种常见的特征提取方法，它通过线性变换将原始数据投影到新的坐标系中，并且保留最重要的特征。
而奇异值分解可以看作是主成分分析的一种推广，它可以对非方阵进行分解，并且能够得到更加稳定和准确的结果。
因此，奇异值分解在实际应用中往往比主成分分析更加可靠和有效。
奇异值分解在图像处理中的应用除了在数据挖掘中的应用，奇异值分解还广泛应用于图像处理领域。
图像可以看作是一个二维矩阵，而奇异值分解可以帮助我们提取图像的主要特征，从而实现图像的压缩和去噪。
通过对图像进行奇异值分解，我们可以得到图像的主成分，从而减少图像的数据量，提高图像的压缩率和传输效率。
此外，奇异值分解还可以帮助我们去除图像中的噪声，从而提高图像的质量和清晰度。
主成分分析与奇异值分解的关系分析
主成分分析与奇异值分解的关系分析主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)和奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)是统计学和线性代数领域的两个重要概念和方法。
它们在数据降维、特征提取和模式识别等领域有着广泛的应用。
本文将从数学角度分析主成分分析和奇异值分解之间的关系。
首先，我们先了解主成分分析和奇异值分解的基本概念和原理。
主成分分析是一种无监督学习方法，旨在找到能够解释数据中最大方差的新组合（也称为主成分）。
主成分分析通过将原始数据投影到新的特征空间中，使得新的特征具有最大的方差。
这样可以降低原始数据的维度，同时保留主要的信息。
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵乘积的方法。
对于一个任意的矩阵A，奇异值分解能够将其表示为$A = U \Sigma V^T$的形式，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角阵，对角线上的元素称为奇异值。
这种分解可以将原始矩阵A的信息分解为三个部分，分别由U、Σ和V表示。
然后，我们来探讨主成分分析和奇异值分解之间的关系。
主成分分析和奇异值分解有着密切的联系。
事实上，主成分分析可以看作是数据矩阵的奇异值分解的一种特殊情况。
具体来说，如果我们将主成分分析应用于数据矩阵，那么经过中心化的数据矩阵可以表示为X = USV^T，其中X是数据矩阵，U和V是正交矩阵，S是一个对角阵。
这个形式和奇异值分解非常相似，只是U和V的定义稍有不同。
在主成分分析中，U的每一列代表一个主成分，V代表原始特征与主成分之间的关系，而S含有数据的方差信息。
进一步地，我们可以通过奇异值分解的性质来理解主成分分析的几何意义。
奇异值分解可以将原始矩阵A表示为一个线性变换后的椭球体。
每个主成分可以看作是沿着一个特定方向对椭球体进行线性变换的结果。
而主成分分析的目标就是找到这些方向，使得变换后的椭球体的方差最大化。
通过找到能够解释数据最大方差的主成分，我们可以对数据进行降维，同时保留主要的信息。
利用奇异值分解进行数据预处理的最佳实践(Ⅰ)
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种常用的矩阵分解方法，广泛应用于数据降维、特征提取和推荐系统等领域。
在数据预处理中，利用SVD可以帮助我们处理缺失值、去除噪声、降低数据维度，从而提高数据的质量和准确性。
本文将讨论利用SVD进行数据预处理的最佳实践。
首先，我们需要明确SVD的原理和步骤。
对于一个矩阵A，SVD将其分解为三个矩阵的乘积：A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
在实际应用中，我们通常会对数据矩阵进行SVD分解，然后利用分解后的三个矩阵对数据进行处理。
在数据预处理中，SVD可以用于处理缺失值。
当数据集中存在缺失值时，我们可以利用SVD对数据进行填充，从而提高数据的完整性。
具体做法是先对原始数据进行SVD分解，然后利用分解后的矩阵进行插值，最后将插值后的数据作为预处理后的数据进行后续分析。
除了处理缺失值，SVD还可以用于去除噪声。
在实际数据中，常常存在一些噪声数据，影响了数据的准确性。
利用SVD分解，我们可以将数据矩阵分解为低秩矩阵的乘积，从而去除噪声，提高数据的质量。
具体做法是对原始数据进行SVD分解，然后只保留分解后矩阵中的部分特征值和特征向量，从而得到去噪后的数据矩阵。
此外，SVD还可以用于降低数据维度。
对于高维数据，我们常常希望将其降维，以便进行有效的分析和建模。
利用SVD分解，我们可以将高维数据矩阵分解为低秩矩阵的乘积，从而实现数据的降维。
具体做法是对原始数据进行SVD分解，然后只保留分解后矩阵中的部分特征值和特征向量，从而得到降维后的数据矩阵。
在实际应用中，我们可以结合上述方法，利用SVD对数据进行预处理。
首先，对数据进行SVD分解，然后根据具体情况选择合适的处理方法，如填充缺失值、去除噪声或降低数据维度，最后得到预处理后的数据，以便进行后续分析和建模。
需要注意的是，在使用SVD进行数据预处理时，我们需要考虑到SVD的计算复杂度和存储空间。
线性代数中的奇异值分解与主成分分析
线性代数中的奇异值分解与主成分分析奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）和主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是线性代数领域中两个重要的概念和技术。
它们在数据处理、模式识别、图像处理等领域中被广泛应用，并具有很高的实用价值。
本文将对奇异值分解和主成分分析进行介绍和解释。
一、奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）奇异值分解是指对一个实数或复数的矩阵进行分解，将矩阵分解为三个矩阵的乘积。
具体来说，对于一个m × n的矩阵A，可以将它表示为如下形式的乘积：A = UΣV^T其中，U是一个m × m的酉矩阵，Σ是一个m × n的矩阵，只有对角线上有非零元素且非负，V^T是一个n × n的酉矩阵，表示V的共轭转置。
奇异值分解的重要性在于它可以实现对矩阵的降维和信息提取。
通过SVD，我们可以找到矩阵A的主要特征，将其表示为一系列奇异值以及对应的特征向量的线性组合。
这些特征向量对应的奇异值越大，代表这些特征在数据中的重要性越大。
因此，奇异值分解在数据压缩、模式识别和数据挖掘等领域发挥着重要作用。
二、主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）主成分分析是一种常用的数据降维技术，能够将高维数据转换为低维数据，同时保留原始数据的重要特征。
PCA的核心思想是找到原始数据中方差最大的方向，并将数据投影到这个方向上，以达到数据降维的目的。
具体来说，主成分分析包括以下几个步骤：1. 标准化数据：对原始数据进行标准化处理，使得每个维度的数据具有相同的尺度。
2. 计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。
3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择主成分：按照特征值从大到小的顺序选择前k个特征向量作为主成分。
使用奇异值分解进行主成分分析的方法(九)
奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）是一种十分重要的数学工具，其在主成分分析、图像压缩、推荐系统等领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将深入探讨奇异值分解在主成分分析中的应用方法和原理。
首先，我们需要了解奇异值分解的基本原理。
在线性代数中，任意一个矩阵A都可以分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V都是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，其对角线上的元素称为奇异值。
奇异值分解的一个重要性质是，对于任意的矩阵A，其奇异值分解都是唯一的。
在主成分分析中，我们通常希望通过降维来实现数据的压缩和特征的提取。
奇异值分解可以帮助我们实现这一目标。
假设我们有一个数据矩阵X，其中每一行代表一个样本，每一列代表一个特征。
通过对X进行奇异值分解，我们可以得到三个矩阵U、Σ和V^T。
其中，U代表了样本在新的特征空间中的投影，Σ的对角线元素则代表了每个新特征上的重要程度，V^T则提供了原始特征与新特征之间的关系。
接下来，我们可以根据奇异值的大小来选择保留的主成分个数。
通常来说，我们会选择保留那些对应奇异值较大的主成分，而忽略那些对应奇异值较小的主成分。
这样可以实现对数据的压缩，同时尽可能地保留原始数据的特征。
除了在数据压缩和特征提取方面的应用，奇异值分解还在推荐系统中发挥着重要作用。
在推荐系统中，我们通常会使用用户-物品评分矩阵来表示用户对物品的喜好程度。
通过对评分矩阵进行奇异值分解，我们可以得到用户和物品在一个潜在的特征空间中的表示。
这样一来，我们就可以利用这些潜在特征来进行推荐，从而提高推荐系统的准确性和效率。
总的来说，奇异值分解是一种强大的数学工具，其在主成分分析、数据压缩、特征提取和推荐系统中都有着重要的应用。
通过对数据进行奇异值分解，我们可以发现数据中的潜在结构，实现数据的降维和压缩，从而更好地理解和利用数据。
希望本文对读者对奇异值分解的应用方法和原理有所帮助。
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uj: “eigengene” vj: “eigen expression”
: M N diagonal matrix
含义？
“eigengene” j is only expressed in the jth “eigenarray” with expression level j
假设所有观察数据受到 kห้องสมุดไป่ตู้种互相独立的调控机制的影响。
Av j ju j
奇异值分解与几何变换：
A的“大小”（范数）
|| Av j |||| ju j || j
MN
|| A ||F
a2 ( ij
2 l
)2
i1 j 1
l
x
b=Ax
奇异值分解与线形方程组
{v | 0}: basis of null space for A
Ax 0
x c v
j 1,k
N M k k *(M N ),
小的奇异值代表误差
A%
j
u
j
vT j
,
l : number of singular values with values
j 1,l
larger than some 1
A%x Ax
j
u
j
vT j
x,
j 1
j l 1,k
example
AV UV TV U
Ax b
b bgu
b
b
( u )
奇异值为零和不为零的U(V)向量将M(N)维 线性空间分为U0(V0)和U1(V1) 两个互相正 交的子空间。
V0: A 的零空间
U1: A 的定义域
x
b
(v )
c v
例子：代谢流量平衡
aA bB ƒ cC
ciA, a
ciB, b
ciC, c
M 个基因的表达水平不一定是相互独立的 N 个样本不一定是相互独立的
基因和样本之间是如何关联的？
A
j
u
j
vT j
,
k: number of "non-zero" singular values,
j 1,k
A U V T U : M M orthogonal matrix V: N N orthogonal matrix
数据驱动建模：奇异值分解与主成分分析 data-driven modeling: singular value decomposition (SVD) and principal component analysis (PCA)
“Omics”: 海量数据
• microarray:
– 在N个样本中 – 同时监测M个基因的表达水平 – 数据量： M x N – 未考虑关于N个基因的背景知识
每种调控机制对各个基因表达的影响： uj uj系数： 相对强度和相位 （对基因归一化）
不同调控机制对表达数据的贡献：j
每种调控机制对各个样本的贡献：vj vj的系数：相对强度和相位 （对样本归一化）
例子：出芽酵母细胞周期基因表达 数据驱动建模 （PNAS,2000， 10102）
390 min /30 min ( 14 samples) 6109 open reading frames (ORFs)， 5981 genes with complete data 表达数据: 5981x 14
dxi
dt
c i
ciother, 0
ci 0, 1,..., number of reactions
i=1,..., number of chemical species
可能的稳态流量是零空间的向量
线性最小二乘拟合
Ax b
理想模型
b% b
实际观察
x% arg min || Ax b%|| x
umj (ij j )vnj
j 1,k
j1,k i1,k
A U V T
U (u1,..., uk , uk1,..., uM )
V (v1,..., vk , vk1,..., vN )
1 0 0 0
0
..
0
0
0
0 k
0
0 0 0 0
0 0 0 0
SVD 是什么？
• 考虑 M x N 的矩阵 A
i 1
Ax b
N 组（不同条件下）近似观察结果： {b%k , k 1,..., N}
？与每组观察结果对应的体系状态参数 {xik , i 1,..., N}, k 1,..., M
复习
• 线性组合、线形空间 • 向量的内积，正交 • 向量、基矢量 • 线性变换与矩阵乘法
amn umj jvnj
问题
• 如何刻画数据的主要变化趋势？ • 个别基因与主要趋势如何联系？
如何用“最少数量” 的独立参数（最少的假 设），来代表数据中“有意义”的信息？
假设： k种相互独立的调控机制，其相对贡献：j 对每个基因的影响： Uj （有M个分量） 对每个实验条件的影响：Vj (有N个分量）
M
aik xk bk , k 1,..., N
ui gu j ij , or U TU I
vi gv j ij , or VTV I
1 0 0 0 0
0
2
0
0
0
0
0
0 0
... 0
0 j
0
,
ij
j ij
0
0 0 0 0
数据压缩与数据过滤
A
ju
j
vT j
,
k: number of non-zero singular values
SVD
SVD-original data
• 最大奇异值 〉90%的表达水平
time invariant ( vj constant )
2
1 90%
2 j j
表明： 样本是在稳态 基础上的小的变化
SVD-original data
The second, third, and fourth eigengenes, which show oscillations during the cell cycle, capture about 3%, 1%, and 0.5% of the overall relative expression, respectively.
误差最小的结果
b% (b%• u j )u j j 1,k
j
(b%•
u
j
j
)
ju
j
j
(b%•
u
j
j
)
Av j
A
j
(b%• u j )
j
vj
x%
j
(b%•
u
j
j
)
v
j
|| Ax% b%|||| ||
Back to gene expression data
在N个样本中 同时监测M个基因的表达水平 数据量： M x N 基因表达矩阵
A U V T U : M M orthogonal matrix V: N N orthogonal matrix : M N diagonal matrix
U (u1 , u2 , ..., uM )
u1 j
u2
j
v1 j
v2
j
uj
.
,
v
j
.
,
.
.
uMj
vNj