河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学理试题(含答案,图片版)
2018-2019学年河南省洛阳市高二下学期期中考试数学(理)试题
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2018-2019学年洛阳市第一学期期末考试高二理科数学试卷及答案
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2018-2019学年河南省洛阳市高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b+c）（b-c）=a（b-a），则内角C等于（）A. B. C. D.2.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若A：B：C=1：1：4，则等于（）A. B. C. D.3.已知a，b∈R，定义区间[a，b]的长度为b-a，若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则实数m的取值为（）A. B. C. D. 14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R），若{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A. B. C. D.5.等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A. B.C. D.6.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若c=5，b=3，cos B=，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.7.下列四个结论：①若a＞b＞0，且c＜0，则＞；②＞；③lg9•lg11＜1；④若1≤x+y≤2，2≤x-y≤4，则4x-2y的取值范围是[6，15]．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若实数x，y满足，则（x-3）2+y2的最小值为（）A. B. C. 4 D. 139.在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则AB的长为（）A. 1B.C.D.10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a11=20，公差d为整数，对任意n∈N*都有S n≥S5，则使S n＞0成立的最小正整数n等于（）A. 5B. 6C. 10D. 1111.关于x的不等式x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.12.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若B是A与C的等差中项，b=，则a+2c的最大值为（）A. 4B. 5C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，若sin A+cos A=，则△ABC的形状是______．14.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元．15.将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2018，则i+j=______．16.已知正数x，y满足x+y+2xy-4=0，则x+y的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式：ax2-（a2+1）x+a＞0，（-1＜a＜1）．18.在△ABC中，D为AC上一点，且DC=2AD，AB=，AD=1，∠ABD=，∠A为锐角．（1）求△ABC面积；（2）求BC的长．19.设数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•2，求数列{b n}的前n项和T n．20.某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？21.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AB的中点，AB=2，CD=．（1）求角C的最大值；（2）求a+b的取值范围．22.数列{a n}的首项a1=，且，a n a n+1-2a n+1+a n=0．（1）求证：数列{}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n=2n（2a n+1-a n），T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由（b+c）（b-c）=a（b-a）得：a2+b2-c2=ab，即=，∴cosC=，∴C=，故选：B．将已知等式变形后，用余弦定理可得cosC和C．本题考查了余弦定理．属基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，A+B+C=π，A：B：C=1：1：4，∴A=B=，C=，由正弦定理可得：===．故选：C．通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可．本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则m＜0，设方程mx2+2x+3=0的解是x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∵|x1-x2|=4，∴=4，∴-=16，解得：m=（舍）或m=-1，故选：C．根据韦达定理以及解集长度为4得到关于m的方程，解出即可．本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R）数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=（n+1）2-λ（n+1）-（n2-λn）=2n+1-λ＞0恒成立∵2n+1-λ的最小值是2×1+1-λ=3-λ＞0∴λ＜3即实数λ的取值范围是（-∞，3）．故选：A．由已知条件推导出a n+1-a n=2n+1-λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．5.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，设首相为a，公比为q，当q=1时，S4=4a，S8=8a，S12=12a，则A正确，B不正确，C不正确，D正确，当q≠1时，S4==（1-q4），S8=（1-q8），S12=（1-q12），若S4+S8=（1-q8+1-q4）=S12=（1-q12），解得q=±1，故A不一定成立，故选：D．根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵c=5，b=3，cosB=，可得：sinB==，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：18=a2+25-2×a×5×，解得：a=，∴S△ABC=acsinB==．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于①，∵a＞b＞0，c＜0，∴-=＞0，即＞，所以①正确；对于②，＞⇔17+2＞17+2⇔70＞42，所以②正确；对于③，∵lg9+lg11＞2，∴lg9•lg11＜（）2=（）2＜（）2=1，所以③正确；对于④，令x+y=a，x-y=b，则x=，y=，∴4x-2y=2a+2b=a+3b，∵1≤a≤2，2≤b≤4，∴7≤a+3b≤14，即4x-2y的取值范围是[7，14]，所以④不正确．故选：C．对每个结论逐个分析，可知①②③正确，④错误．故选C本题考查了不等式的基本性质．属基础题．8.【答案】B【解析】解：设z=（x-3）2+y2，则z的几何意义为点（x，y）得定点D（3，0）的距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知BD的距离最大，点D到直线3x-y-3=0的距离最小，此时d==，则z=d2=，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意使用数形结合．9.【答案】C【解析】解：如图所示：在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则：△BCD为直角三角形，故：CD=BC=1，利用勾股定理得：BD=．在△ADC中，由于∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，解得：∠DAC=30°．故：AD=DC=1．在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2•AD•BD•cos∠ADB，=1+2-2，=3-=4-，故：AB=．故选：C．首先利用三角形的内角和定理求出△BCD为直角三角形，将进一步求出AD=BC=1，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a7+a11=20，则2a1+16d=20，即a1=10-8d，对任意n∈N*都有S n≥S5，则有a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得：≤d≤，又由公差d为整数，则d=3，则a1=10-8d=-14，则a n=a1+（n-1）d=3n-17，若S n＞0，则有S n==×n＞0，解可得n＞或n＜0，又由n∈N*，则n≥11；即使S n＞0成立的最小正整数n的值为11；故选：D．根据题意，由等差数列的通项公式可得若a7+a11=20，则有2a1+16d=20，即a1=10-8d，又由S n≥S5，分析可得a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得d的值，进而可得首项a1的值，由等差数列的通项公式可得a n=a1+（n-1）d=3n-17，由等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出公差d的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（1）≤0，即（a+3）（7-a）≤0，解可得：a≤-3或a≥7；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；综合可得：a≤-3或a≥7；即实数a的取值范围是（-∞，-3][7，+∞）；故选：A．根据题意，原问题可以转化为函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；分有1个零点与2个零点2种情况讨论a的取值范围，综合即可得答案．本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵2B=A+C，A+B+C=π，得B=，b=，∴由正弦定理得：==2，∴a=2sinA，c=2sinC，则a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin（-A）=2（2sinA+cosA）=2sin（A+φ），（其中tanφ=，φ∈（0，），∴当A=-φ时，a+2c的最大值是2．故选：D．先求得B，由正弦定理得出a=2sinA，c=2sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：∵sinA+cosA=，可得：csinA+ccosA=a+b，∴由正弦定理可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinB，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=sinA+sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=1+cosC，即：sinC-cosC=1，两边平方可得：1-sin2C=1，可得：sin2C=0，∵C∈（0，π），2C∈（0，2π），∴2C=π，可得C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinCsinA=sinA+sinAcosC，由于sinA≠0，可得sin2C=0，结合范围2C∈（0，2π），可求C=即可得解△ABC的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】216000【解析】【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键；设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元，由题意，得，z=2100x+900y，不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得，A（60，100），目标函数z=2100x+900y，经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元，故答案为216000．15.【答案】66【解析】解：由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n（n+1）个数，∴前63行共有×63×64=2016个数，故若a ij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66，故答案为：66．先找到数的分布规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.【答案】2【解析】解：∵x+y≥2，∴0=x+y+2xy-4≤x+y+2×（）2-4．令t=x+y，整理可得，t2+2t-8≥0，∴（t-2）（t+4）≥0∵t＞0∴t≥2，即x+y≥2，当且仅当x=y=1时，取得最小值2．故答案为：2利用x+y≥2进行代换、得出关于x+y的不等式，通过解不等式可确定最值．本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法．17.【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0，不等式的解集为{x|x＜0}；②，当a≠0时，若ax2-（a2+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，该方程有2个根，x1=，x2=a，当0＜a＜1时，＞a，则不等式的解集为{x|x＜a或x＞}，当-1＜a＜0时，＜a，则不等式的解集为{x|＜x＜a}，综合可得：当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞}，当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜a}，【解析】根据题意，分a=0与a≠02种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进行分析．18.【答案】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB===，∠ADB为三角形的内角．∴∠ADB=或，又∠A为锐角，∴∠ADB=，∴∠A=π--=．（2）△ABC中，由余弦定理可得：BC2=-2×cos=3．∴BC=．【解析】（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=，根据∠ADB为三角形的内角，∠A为锐角，可得∠ADB，进而得出∠A．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n 都有=．则：①，当n=1时，解得：a1=1，则：②①-②得：（a n+1+a n）（a n+1-a n-2）=0，由于：数列{a n}的各项为正数，故：a n+1-a n=2（常数），所以：数列{a n}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．故：a n=2+2（n-1）=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以：，所以①，②①-②得：．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.【答案】解：设这种车开x年报废比较合算，当x≥6时，总费用为：y=95000+4000x+5000x+500[1+2+3+…+（x-5）]=95000+4000x+5000x+250（x-4）（x-5）=2500x2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥＞．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算．【解析】设这种车开x年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥，由此得到这种车开20年报废比较合算．本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.【答案】解：（1）在△ADC中，由余弦定理得：b2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC=4-2cos∠ADC，在△BDC中，由余弦定理得：a2=BD2+CD2-2BD•CD cos∠BDC=4-2cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，∴cos∠ADC+cos∠BDC=0，∴a2+b2=8，∴cos C=≥==，∵0＜C＜π，y=cos x在（0，π）上单调递减，所以角C的最大值为（2）∵CD＜a＜CD+AD，∴-1＜a＜+1，∴4-2＜a2＜4+2，由（1）知a2+b2=8，得b=，∴a+b=a+，（a+b）2=8+2a=8+2，∵-2＜a2-4＜2，∴12＜（a+b）2≤16，∴2＜a+b≤4，【解析】（1）分别在△ADC和△BDC中用余弦定理，得到a2+b2=8，在用cosC的余弦定理进行放缩，可得；（2）利用（1）问中a2+b2=8以及CD＜a＜CD+AD，-1＜a＜+1，得到a+b=a+，然后求出取值范围．本题考查了余弦定理．属中档题．22.【答案】证明：（1）数列{a n}的首项a1=，且a n a n+1-2a n+1+a n=0．则：，故：==，所以：数列{}是以为首项，2为公比的等比数列．故：，整理得：（首项符合通项），故：．（2）由（1）得：b n=2n（2a n+1-a n）==，则：++…+=＜，故：T n＜．【解析】（1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(含精品解析)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b+c）（b-c）=a（b-a），则内角C等于（）A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若A：B：C=1：1：4，则ba+c等于（）A. 15B. 12C. √3−12D. 3−√323.已知a，b∈R，定义区间[a，b]的长度为b-a，若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则实数m的取值为（）A. −14B. 14C. −1D. 14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R），若{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A. A(−∞,3)B. (−∞,2)C. (−∞,1)D. (−∞,0)5.等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A. S4+S8=S12B. S82=S4⋅S12C. S4+S8−S12=S82D. S42+S82=S4(S8+S12)6.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若c=5，b=3√2，cos B=√75，则△ABC 的面积为（）A. 72B. 3√142C. 15√212D. 10√77.下列四个结论：①若a＞b＞0，且c＜0，则ca ＞cb；②√7+√10＞√3+√14；③lg9•lg11＜1；④若1≤x+y≤2，2≤x-y≤4，则4x-2y的取值范围是[6，15]．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若实数x，y满足{2x+y−2≥0x−2y+4≥03x−y−3≤0，则（x-3）2+y2的最小值为（）A. 165B. 185C. 4D. 139.在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则AB的长为（）A. 1B. √3C. √4−√3D. √4+√310.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a11=20，公差d为整数，对任意n∈N*都有S n≥S5，则使S n＞0成立的最小正整数n等于（）A. 5B. 6C. 10D. 1111.关于x的不等式x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,−3]∪[7,+∞)B. (−∞,−2]∪[6,+∞)C. [0,4]D. (−∞,0]∪[4,+∞)12.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若B是A与C的等差中项，b=√3，则a+2c的最大值为（）A. 4B. 5C. 3√3D. 2√7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，若sin A+cos A=a+b，则△ABC的形c状是______．14.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元．15.将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2018，则i+j=______．16.已知正数x，y满足x+y+2xy-4=0，则x+y的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式：ax2-（a2+1）x+a＞0，（-1＜a＜1）．18.在△ABC中，D为AC上一点，且DC=2AD，AB=√3，AD=1，∠ABD=π，∠A为锐角．6（1）求△ABC面积；（2）求BC的长．19. 设数列{a n }的各项为正数，前n 项和为S n ，若对于任意的正整数n 都有√S n =a n +12．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n •2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？21. △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 为AB 的中点，AB =2，CD =√3．（1）求角C 的最大值； （2）求a +b 的取值范围． 22. 数列{a n }的首项a 1=13，且，a n a n +1-2a n +1+a n =0．（1）求证：数列{1−a n a n }为等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）设b n =2n （2a n +1-a n ），T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：T n ＜13．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由（b+c）（b-c）=a（b-a）得：a2+b2-c2=ab，即=，∴cosC=，∴C=，故选：B．将已知等式变形后，用余弦定理可得cosC和C．本题考查了余弦定理．属基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，A+B+C=π，A：B：C=1：1：4，∴A=B=，C=，由正弦定理可得：===．故选：C．通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可．本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则m＜0，设方程mx2+2x+3=0的解是x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∵|x1-x2|=4，∴=4，∴-=16，解得：m=（舍）或m=-1，故选：C．根据韦达定理以及解集长度为4得到关于m的方程，解出即可．本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R）数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=（n+1）2-λ（n+1）-（n2-λn）=2n+1-λ＞0恒成立∵2n+1-λ的最小值是2×1+1-λ=3-λ＞0∴λ＜3即实数λ的取值范围是（-∞，3）．故选：A．由已知条件推导出a n+1-a n=2n+1-λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．5.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，设首相为a，公比为q，当q=1时，S4=4a，S8=8a，S12=12a，则A正确，B不正确，C不正确，D正确，当q≠1时，S4==（1-q4），S8=（1-q8），S12=（1-q12），若S4+S8=（1-q8+1-q4）=S12=（1-q12），解得q=±1，故A不一定成立，故选：D．根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵c=5，b=3，cosB=，可得：sinB==，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：18=a2+25-2×a×5×，解得：a=，∴S△ABC=acsinB==．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于①，∵a＞b＞0，c＜0，∴-=＞0，即＞，所以①正确；对于②，＞⇔17+2＞17+2⇔70＞42，所以②正确；对于③，∵lg9+lg11＞2，∴lg9•lg11＜（）2=（）2＜（）2=1，所以③正确；对于④，令x+y=a，x-y=b，则x=，y=，∴4x-2y=2a+2b=a+3b，∵1≤a≤2，2≤b≤4，∴7≤a+3b≤14，即4x-2y的取值范围是[7，14]，所以④不正确．故选：C．对每个结论逐个分析，可知①②③正确，④错误．故选C本题考查了不等式的基本性质．属基础题．8.【答案】B【解析】解：设z=（x-3）2+y2，则z的几何意义为点（x，y）得定点D（3，0）的距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知BD的距离最大，点D到直线3x-y-3=0的距离最小，此时d==，则z=d2=，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意使用数形结合．9.【答案】C【解析】解：如图所示：在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则：△BCD为直角三角形，故：CD=BC=1，利用勾股定理得：BD=．在△ADC中，由于∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，解得：∠DAC=30°．故：AD=DC=1．在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2•AD•BD•cos∠ADB，=1+2-2，=3-=4-，故：AB=．故选：C．首先利用三角形的内角和定理求出△BCD为直角三角形，将进一步求出AD=BC=1，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a7+a11=20，则2a1+16d=20，即a1=10-8d，对任意n∈N*都有S n≥S5，则有a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得：≤d≤，又由公差d为整数，则d=3，则a1=10-8d=-14，则a n=a1+（n-1）d=3n-17，若S n＞0，则有S n==×n＞0，解可得n＞或n＜0，又由n∈N*，则n≥11；即使S n＞0成立的最小正整数n的值为11；故选：D．根据题意，由等差数列的通项公式可得若a7+a11=20，则有2a1+16d=20，即a1=10-8d，又由S n≥S5，分析可得a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得d的值，进而可得首项a1的值，由等差数列的通项公式可得a n=a1+（n-1）d=3n-17，由等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出公差d的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（1）≤0，即（a+3）（7-a）≤0，解可得：a≤-3或a≥7；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；综合可得：a≤-3或a≥7；即实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[7，+∞）；故选：A．根据题意，原问题可以转化为函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；分有1个零点与2个零点2种情况讨论a的取值范围，综合即可得答案．本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵2B=A+C，A+B+C=π，得B=，b=，∴由正弦定理得：==2，∴a=2sinA，c=2sinC，则a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin（-A）=2（2sinA+cosA）=2sin（A+φ），（其中tanφ=，φ∈（0，），∴当A=-φ时，a+2c的最大值是2．故选：D．先求得B，由正弦定理得出a=2sinA，c=2sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：∵sinA+cosA=，可得：csinA+ccosA=a+b，∴由正弦定理可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinB，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=sinA+sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=1+cosC，即：sinC-cosC=1，两边平方可得：1-sin2C=1，可得：sin2C=0，∵C∈（0，π），2C∈（0，2π），∴2C=π，可得C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinCsinA=sinA+sinAcosC，由于sinA≠0，可得sin2C=0，结合范围2C∈（0，2π），可求C=即可得解△ABC的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】216000【解析】【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键；设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元，由题意，得，z=2100x+900y，不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得，A（60，100），目标函数z=2100x+900y，经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元，故答案为216000．15.【答案】66【解析】解：由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n（n+1）个数，∴前63行共有×63×64=2016个数，故若a ij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66，故答案为：66．先找到数的分布规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.【答案】2【解析】解：∵x+y≥2，∴0=x+y+2xy-4≤x+y+2×（）2-4．令t=x+y，整理可得，t2+2t-8≥0，∴（t-2）（t+4）≥0∵t＞0∴t≥2，即x+y≥2，当且仅当x=y=1时，取得最小值2．故答案为：2利用x+y≥2进行代换、得出关于x+y的不等式，通过解不等式可确定最值．本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法．17.【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0，不等式的解集为{x|x＜0}；②，当a≠0时，若ax2-（a2+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，该方程有2个根，x1=1a，x2=a，当0＜a＜1时，1a ＞a，则不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当-1＜a＜0时，1a ＜a，则不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，综合可得：当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞1a}，当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜a}，【解析】根据题意，分a=0与a≠02种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进行分析．18.【答案】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=ABsin∠ABDAD =√3×sinπ61=√32，∠ADB为三角形的内角．∴∠ADB=π3或2π3，又∠A为锐角，∴∠ADB=2π3，∴∠A=π-π6-2π3=π6．（2）△ABC中，由余弦定理可得：BC2=(√3)2+32-2×√3×3cosπ6=3．∴BC=√3．【解析】（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=，根据∠ADB为三角形的内角，∠A为锐角，可得∠ADB，进而得出∠A．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有√S n=a n+12．则：4S n=(a n+1)2①，当n=1时，解得：a1=1，则：4S n+1=(a n+1+1)2②①-②得：（a n +1+a n ）（a n +1-a n -2）=0， 由于：数列{a n }的各项为正数， 故：a n +1-a n =2（常数），所以：数列{a n }是以a 1=1为首项，2为公差的等差数列． 故：a n =2+2（n -1）=2n -1． （2）由于a n =2n -1，所以：b n =(2n −1)⋅22n−1，所以T n =1⋅21+3⋅23+5⋅25+⋯+(2n −1)⋅22n−1①， 4T n =1⋅23+3⋅25+5⋅27+⋯+(2n −1)⋅22n+1② ①-②得：T n =(6n−59)⋅22n+1+109．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 20.【答案】解：设这种车开x 年报废比较合算，当x ≥6时，总费用为：y =95000+4000x +5000x +500[1+2+3+…+（x -5）] =95000+4000x +5000x +250（x -4）（x -5） =2500x 2+6750x +100000， 平均费用：yx=250x +10000x+6750≥2√250x ⋅100000x+6750=16750，当250x =100000x，即x =20时，取最小值．当x ≤5时，平均费用：y x ≥950005+9000＞16750．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算． 【解析】设这种车开x 年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x 2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥，由此得到这种车开20年报废比较合算．本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 21.【答案】解：（1）在△ADC 中，由余弦定理得：b 2=AD 2+CD 2-2AD •CD •cos ∠ADC =4-2√3cos ∠ADC ，在△BDC 中，由余弦定理得：a 2=BD 2+CD 2-2BD •CD cos ∠BDC =4-2√3cos ∠BDC ，∵∠ADC +∠BDC =π，∴cos ∠ADC +cos ∠BDC =0， ∴a 2+b 2=8， ∴cos C =a 2+b 2−c 22ab ≥a 2+b 2−c 2a 2+b2=8−48=12， ∵0＜C ＜π，y =cos x 在（0，π）上单调递减， 所以角C 的最大值为π3（2）∵CD ＜a ＜CD +AD ，∴√3-1＜a ＜√3+1，∴4-2√3＜a 2＜4+2√3，由（1）知a 2+b 2=8，得b =√8−a 2， ∴a +b =a +√8−a 2，（a +b ）2=8+2a √8−a 2=8+2√−(a 2−4)2+16， ∵-2√3＜a 2-4＜2√3，∴12＜（a +b ）2≤16， ∴2√3＜a +b ≤4， 【解析】（1）分别在△ADC 和△BDC 中用余弦定理，得到a 2+b 2=8，在用cosC 的余弦定理进行放缩，可得；（2）利用（1）问中a 2+b 2=8以及CD ＜a ＜CD+AD ，-1＜a ＜+1，得到a+b=a+，然后求出取值范围．本题考查了余弦定理．属中档题．22.【答案】证明：（1）数列{a n }的首项a 1=13，且a n a n +1-2a n +1+a n =0．则：a n+1=an2−a n ，故：1−a n+1a n+1=1−an2−a na n 2−a n=2⋅1−a n a n ，所以：数列{1−a n a n}是以1−a 1a 1=2为首项，2为公比的等比数列．故：1−a n a n=2⋅2n−1=2n ，整理得：a n =12n +1（首项符合通项）， 故：a n =12n +1．（2）由（1）得：b n =2n（2a n +1-a n ）=2n(2n +1)(2n+1+1)=12n +1−12n+1+1，则：T n=121+1−122+1+122+1−123+1+…+12n+1−12n+1+1=1 21+1−12n+1+1＜13，故：T n＜13．【解析】（1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
洛阳市2018-2019高三期中考试理数答案
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河南省洛阳市2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（b+c）（b-c）=a（b-a），则内角C等于（）A. B. C. D.2.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若A：B：C=1：1：4，则等于（）A. B. C. D.3.已知a，b∈R，定义区间[a，b]的长度为b-a，若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则实数m的取值为（）A. B. C. D. 14.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R），若{a n}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A. B. C. D.5.等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A. B.C. D.6.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若c=5，b=3，cos B=，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.7.下列四个结论：①若a＞b＞0，且c＜0，则＞；②＞；③lg9•lg11＜1；④若1≤x+y≤2，2≤x-y≤4，则4x-2y的取值范围是[6，15]．其中正确的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.若实数x，y满足，则（x-3）2+y2的最小值为（）A. B. C. 4 D. 139.在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则AB的长为（）A. 1B.C.D.10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7+a11=20，公差d为整数，对任意n∈N*都有S n≥S5，则使S n＞0成立的最小正整数n等于（）A. 5B. 6C. 10D. 1111.关于x的不等式x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.12.△ABC的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，若B是A与C的等差中项，b=，则a+2c的最大值为（）A. 4B. 5C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，若sin A+cos A=，则△ABC的形状是______．14.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为______元．15.将正整数按如图规律排列：第i行第j列的数字记为a ij，若a ij=2018，则i+j=______．16.已知正数x，y满足x+y+2xy-4=0，则x+y的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式：ax2-（a2+1）x+a＞0，（-1＜a＜1）．18.在△ABC中，D为AC上一点，且DC=2AD，AB=，AD=1，∠ABD=，∠A为锐角．（1）求△ABC面积；（2）求BC的长．19.设数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n都有=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n•2，求数列{b n}的前n项和T n．20.某家用轿车的购车费9.5万元，保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4000元，每年行车里程按1万公里，前5年性能稳定，每年的油费5000元，由于磨损，从第6年开始，每年的油费以500元的速度增加，按这种标准，这种车开多少年报废比较合算？21.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为AB的中点，AB=2，CD=．（1）求角C的最大值；（2）求a+b的取值范围．22.数列{a n}的首项a1=，且，a n a n+1-2a n+1+a n=0．（1）求证：数列{}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）设b n=2n（2a n+1-a n），T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由（b+c）（b-c）=a（b-a）得：a2+b2-c2=ab，即=，∴cosC=，∴C=，故选：B．将已知等式变形后，用余弦定理可得cosC和C．本题考查了余弦定理．属基础题．2.【答案】C【解析】解：△ABC中，A+B+C=π，A：B：C=1：1：4，∴A=B=，C=，由正弦定理可得：===．故选：C．通过三角形的角的比求出三个角的大小，利用正弦定理求出即可．本题考查正弦定理以及三角形的内角和的应用，属于基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：若关于x的不等式mx2+2x+3≥0的解集长度为4，则m＜0，设方程mx2+2x+3=0的解是x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=，∵|x1-x2|=4，∴=4，∴-=16，解得：m=（舍）或m=-1，故选：C．根据韦达定理以及解集长度为4得到关于m的方程，解出即可．本题考查了不等式问题，考查韦达定理以及转化思想，是一道常规题．4.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}的通项公式为a n=n2-λn（λ∈R）数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n=（n+1）2-λ（n+1）-（n2-λn）=2n+1-λ＞0恒成立∵2n+1-λ的最小值是2×1+1-λ=3-λ＞0∴λ＜3即实数λ的取值范围是（-∞，3）．故选：A．由已知条件推导出a n+1-a n=2n+1-λ＞0恒成立，由此能求出实数λ的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用．5.【答案】D【解析】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，设首相为a，公比为q，当q=1时，S4=4a，S8=8a，S12=12a，则A正确，B不正确，C不正确，D正确，当q≠1时，S4==（1-q4），S8=（1-q8），S12=（1-q12），若S4+S8=（1-q8+1-q4）=S12=（1-q12），解得q=±1，故A不一定成立，故选：D．根据等比数列的求和公式，即可利用排除法判断即可．本题考查了等比数列的求和公式，考查了运算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：∵c=5，b=3，cosB=，可得：sinB==，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得：18=a2+25-2×a×5×，解得：a=，∴S△ABC=acsinB==．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用余弦定理可求a的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：对于①，∵a＞b＞0，c＜0，∴-=＞0，即＞，所以①正确；对于②，＞⇔17+2＞17+2⇔70＞42，所以②正确；对于③，∵lg9+lg11＞2，∴lg9•lg11＜（）2=（）2＜（）2=1，所以③正确；对于④，令x+y=a，x-y=b，则x=，y=，∴4x-2y=2a+2b=a+3b，∵1≤a≤2，2≤b≤4，∴7≤a+3b≤14，即4x-2y的取值范围是[7，14]，所以④不正确．故选：C．对每个结论逐个分析，可知①②③正确，④错误．故选C本题考查了不等式的基本性质．属基础题．8.【答案】B【解析】解：设z=（x-3）2+y2，则z的几何意义为点（x，y）得定点D（3，0）的距离的平方，出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知BD的距离最大，点D到直线3x-y-3=0的距离最小，此时d==，则z=d2=，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义以及点到直线的距离公式是解决本题的关键，注意使用数形结合．9.【答案】C【解析】解：如图所示：在平面四边形ABCD中，已知CD=1，∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，∠ACB=60°，则：△BCD为直角三角形，故：CD=BC=1，利用勾股定理得：BD=．在△ADC中，由于∠ADB=75°，∠BDC=45°，∠ACD=30°，解得：∠DAC=30°．故：AD=DC=1．在△ABD中，利用余弦定理得：AB2=AD2+BD2-2•AD•BD•cos∠ADB，=1+2-2，=3-=4-，故：AB=．故选：C．首先利用三角形的内角和定理求出△BCD为直角三角形，将进一步求出AD=BC=1，进一步利用余弦定理求出结果．本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，余弦定理的应用和三角函数值得应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】D【解析】解：根据题意，等差数列{a n}中，a7+a11=20，则2a1+16d=20，即a1=10-8d，对任意n∈N*都有S n≥S5，则有a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得：≤d≤，又由公差d为整数，则d=3，则a1=10-8d=-14，则a n=a1+（n-1）d=3n-17，若S n＞0，则有S n==×n＞0，解可得n＞或n＜0，又由n∈N*，则n≥11；即使S n＞0成立的最小正整数n的值为11；故选：D．根据题意，由等差数列的通项公式可得若a7+a11=20，则有2a1+16d=20，即a1=10-8d，又由S n≥S5，分析可得a5=a1+4d=10-4d≤0，a6=a1+5d=10-3d≥0，解可得d的值，进而可得首项a1的值，由等差数列的通项公式可得a n=a1+（n-1）d=3n-17，由等差数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式的应用，关键是求出公差d的值，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，x2-ax+a+3≤0在区间[0，2]上有解，则函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有1个零点，则有f（0）f（1）≤0，即（a+3）（7-a）≤0，解可得：a≤-3或a≥7；若函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上有2个零点，则有，此时无解；综合可得：a≤-3或a≥7；即实数a的取值范围是（-∞，-3][7，+∞）；故选：A．根据题意，原问题可以转化为函数f（x）=x2-ax+a+3在[0，2]上与x轴有交点，即在[0，2]上存在零点；分有1个零点与2个零点2种情况讨论a的取值范围，综合即可得答案．本题考查不等式的解法与应用问题，注意将原问题转化为函数的零点问题，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：∵2B=A+C，A+B+C=π，得B=，b=，∴由正弦定理得：==2，∴a=2sinA，c=2sinC，则a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin（-A）=2（2sinA+cosA）=2sin（A+φ），（其中tanφ=，φ∈（0，），∴当A=-φ时，a+2c的最大值是2．故选：D．先求得B，由正弦定理得出a=2sinA，c=2sinC，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可．本题主要考查正弦定理的应用，考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用为解题关键，属于中档题．13.【答案】直角三角形【解析】解：∵sinA+cosA=，可得：csinA+ccosA=a+b，∴由正弦定理可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinB，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴可得：sinCsinA+sinCcosA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，∴sinCsinA=sinA+sinAcosC，∵sinA≠0，∴sinC=1+cosC，即：sinC-cosC=1，两边平方可得：1-sin2C=1，可得：sin2C=0，∵C∈（0，π），2C∈（0，2π），∴2C=π，可得C=，即△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得sinCsinA=sinA+sinAcosC，由于sinA≠0，可得sin2C=0，结合范围2C∈（0，2π），可求C=即可得解△ABC的形状．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】216000【解析】【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键；设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元，由题意，得，z=2100x+900y，不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得，A（60，100），目标函数z=2100x+900y，经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元，故答案为216000．15.【答案】66【解析】解：由排列的规律可得，第n行结束的时候共排了1+2+3+…+n=n（n+1）个数，∴前63行共有×63×64=2016个数，故若a ij=2018，则i=64，j=2，故i+j=66，故答案为：66．先找到数的分布规律，求出第n-1行结束的时候一共出现的数的个数，即可求得结论．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．16.【答案】2【解析】解：∵x+y≥2，∴0=x+y+2xy-4≤x+y+2×（）2-4．令t=x+y，整理可得，t2+2t-8≥0，∴（t-2）（t+4）≥0∵t＞0∴t≥2，即x+y≥2，当且仅当x=y=1时，取得最小值2．故答案为：2利用x+y≥2进行代换、得出关于x+y的不等式，通过解不等式可确定最值．本题考查基本不等式的应用，考查了转化、换元的思想，不等式解法．17.【答案】解：根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，不等式为-x＞0，即x＜0，不等式的解集为{x|x＜0}；②，当a≠0时，若ax2-（a2+1）x+a=（x-a）（ax-1）=0，该方程有2个根，x1=，x2=a，当0＜a＜1时，＞a，则不等式的解集为{x|x＜a或x＞}，当-1＜a＜0时，＜a，则不等式的解集为{x|＜x＜a}，综合可得：当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞}，当a=0时，不等式的解集为{x|x＜0}；当-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜a}，【解析】根据题意，分a=0与a≠02种情况讨论，分别求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，涉及参数讨论，注意结合二次函数的性质进行分析．18.【答案】解：（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB= ∠ ==，∠ADB为三角形的内角．∴∠ADB=或，又∠A为锐角，∴∠ADB=，∴∠A=π--=．（2）△ABC中，由余弦定理可得：BC2=-2×cos=3．∴BC=．【解析】（1）△ABC中，由正弦定理可得：sin∠ADB=，根据∠ADB为三角形的内角，∠A为锐角，可得∠ADB，进而得出∠A．（2）△ABC中，由余弦定理可得BC．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）数列{a n}的各项为正数，前n项和为S n，若对于任意的正整数n 都有=．则：①，当n=1时，解得：a1=1，则：②①-②得：（a n+1+a n）（a n+1-a n-2）=0，由于：数列{a n}的各项为正数，故：a n+1-a n=2（常数），所以：数列{a n}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．故：a n=2+2（n-1）=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以：，所以①，②①-②得：．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.【答案】解：设这种车开x年报废比较合算，当x≥6时，总费用为：y=95000+4000x+5000x+500[1+2+3+…+（x-5）]=95000+4000x+5000x+250（x-4）（x-5）=2500x2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥＞．∴这种车开20年，平均使用费用最底，故这种车开20年报废比较合算．【解析】设这种车开x年报废比较合算，当x≥6时，总费用为y=2500x2+6750x+100000，平均费用：=250x++6750≥2+6750=16750，当250x=，即x=20时，取最小值．当x≤5时，平均费用：≥，由此得到这种车开20年报废比较合算．本题考查函数在生产生活中的应用，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.【答案】解：（1）在△ADC中，由余弦定理得：b2=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠ADC=4-2cos∠ADC，在△BDC中，由余弦定理得：a2=BD2+CD2-2BD•CD cos∠BDC=4-2cos∠BDC，∵∠ADC+∠BDC=π，∴cos∠ADC+cos∠BDC=0，∴a2+b2=8，∴cos C=≥==，∵0＜C＜π，y=cos x在（0，π）上单调递减，所以角C的最大值为（2）∵CD＜a＜CD+AD，∴-1＜a＜+1，∴4-2＜a2＜4+2，由（1）知a2+b2=8，得b=，∴a+b=a+，（a+b）2=8+2a=8+2，∵-2＜a2-4＜2，∴12＜（a+b）2≤16，∴2＜a+b≤4，【解析】（1）分别在△ADC和△BDC中用余弦定理，得到a2+b2=8，在用cosC的余弦定理进行放缩，可得；（2）利用（1）问中a2+b2=8以及CD＜a＜CD+AD，-1＜a＜+1，得到a+b=a+，然后求出取值范围．本题考查了余弦定理．属中档题．22.【答案】证明：（1）数列{a n}的首项a1=，且a n a n+1-2a n+1+a n=0．则：，故：==，所以：数列{}是以为首项，2为公比的等比数列．故：，整理得：（首项符合通项），故：．（2）由（1）得：b n=2n（2a n+1-a n）==，则：++…+=＜，故：T n＜．【解析】（1）直接利用递推关系式和构造新数列求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。
河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中(理科)数学试卷含答案
河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，2，，则A. 0，1，2，B.C. 0，D.2.在中，已知，，，则A. B. C. 或 D. 或3.若数列是公比为的正项等比数列，则是A. 公比为的等比数列B. 公比为的等比数列C. 公差为的等差数列D. 公差为的等差数列4.若a，b，，且，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围为A. B.C. D. 或6.若实数x，y满足不等式组，则的最小值为A. B. 2 C. D.7.设数列是等比数列，且为其前n项和，若为常数，则A. B. 1 C. D. 28.若实数x，y满足不等式组，则的取值范围是A. B. C. D.9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值为A. B. C. D.10.已知数列的通项公式为，，，依次为等比数列，的前3项，则的最大值为A. 4B. 2C. 1D. 011.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a，c，b成等差数列，，且的面积为3，则A. B. C. D. 512.设n为正整数，在n与之间插入n个x，构成数列1，x，2，x，x，3，x，x，x，4，，若该数列的前2018项的和为7881，则A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列满足，，且与的等差中项为6，则______．14.不等式的解集为A，则A中的整数元素是______．15.某工厂一车间计划每天生产A，B，C型产品共30个，生产一个A型产品需要资金100元，生产一个B型产品需要资金120元，生产一个C型产品需要资金80元，且该车间每天可支配的生产资金为3200元，若生产一个A型产品可获利160元，生产一个B型产品可获利180元，生产一个C型产品可获利120元，则该车间每天的最大利润为______元16.数列满足，且，设为的前n项和，则______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知，，不等式的解集为求m，n；Ⅱ正实数a，b满足，求的最大值．18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．Ⅰ求角B；Ⅱ若，，求的面积．19.在等差数列中，，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．求角C的大小；若，求周长的取值范围．21.如图，在平面四边形ABCD中，，，Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求的大小．22.已知数列满足，且且．Ⅰ求证：数列是等差数列；Ⅱ设，求数列的前n项和．河南省天一大联考2018-2019学年上学期高二期中理科数学试卷解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）23.已知集合，2，，则A. 0，1，2，B.C. 0，D.【答案】B【解析】解：0，1，，故选：B．求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．24.在中，已知，，，则A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】解：，，，由正弦定理，可得：，，，或．故选：C．由已知利用正弦定理可求，结合A的范围即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．25.若数列是公比为的正项等比数列，则是A. 公比为的等比数列B. 公比为的等比数列C. 公差为的等差数列D. 公差为的等差数列【答案】A【解析】解：数列是公比为的正项等比数列，则，，故选：A．根据等比数列的定义即可求出．本题考查了等比数列的定义和通项公式，属于基础题．26.若a，b，，且，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，，即，所以，故选：D．根据同向不等式的可加性得，再除以2即可得．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．27.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若有两解，则b的取值范围为A. B.C. D. 或【答案】A【解析】解：由题意得，有两解时需要：，则，解得；故选：A．有两解时需要：，代入数据，求出b的范围．本题考查了解三角形一题多解的问题，注意理解，属于基础题．28.若实数x，y满足不等式组，则的最小值为A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】解：实数x，y满足不等式组的可行域如下图所示：令变形为，作出直线将其平移至点A时，纵截距最大，z最小由得，则的最小值为：，故选：A．画出不等式的可行域，将目标函数变形，作出目标函数对应的直线将其平移，由图判断出当经过点C 时纵截距最大，z的值最小，联立直线的方程求出交点C的坐标，将坐标代入目标函数求出最小值．本题考查利用线性规划求函数的最值，关键是画出不等式组表示的平面区域；判断出目标函数具有的几何意义．29.设数列是等比数列，且为其前n项和，若为常数，则A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】解：当时，，当时，，当时，，，，解得或，当时，，不能为等比数列，当时，，符合题意，，故选：C．根据数列的递推公式和等比中项的性质即可求出．本题考查了数列的递推公式和等比数列的性质，属于中档题．30.若实数x，y满足不等式组，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：作出实数x，y满足不等式组对应的平面区域，则则的几何意义为区域内的点到的斜率，由图象知，P与可行域A点，B点连线的斜率，取得最小值与最大值，由解得，由解得，则的最大值为：2，最小值为．则的取值范围是：．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．31.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：中，，，，即，；又，，当且仅当时取“”，；此时取得最大值为．故选：D．利用余弦定理和基本不等式求出的最小值，从而求出的最大值．本题考查了解三角形的应用问题，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．32.已知数列的通项公式为，，，依次为等比数列，的前3项，则的最大值为A. 4B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】解：由数列的通项公式为，可得，，，由，，依次为等比数列的前3项，可得，即，解得．，，，则．．当时，，当时，，当时，，当时，，当时，．的最大值为2．故选：B．由已知列式求得k，进一步求出等比数列的通项公式，代入，分析n的取值可得的最大值．本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．33.在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a，c，b成等差数列，，且的面积为3，则A. B. C. D. 5【答案】C【解析】解：，，解得：，，，c，b成等差数列，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，可得：，解得：．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求，，利用等差数列的性质可求，利用三角形面积公式可求，由余弦定理即可解得c的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，等差数列的性质，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．34.设n为正整数，在n与之间插入n个x，构成数列1，x，2，x，x，3，x，x，x，4，，若该数列的前2018项的和为7881，则A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A【解析】解：在n与之间插入n个x，可得，最后一个数为63，共有个数，则数列的前2018个数的和为，解得，故选：A．由题意可得，且最后一个数为63时，共有2016项，由等差数列的求和公式，解方程可得所求值．本题考查等差数列的求和公式，考查判断能力和推理能力，以及运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）35.等比数列满足，，且与的等差中项为6，则______．【答案】【解析】解：设公比为q，由，，且与的等差中项为6，可得，即，即，解得或舍去，，故答案为：设公比为q，由，，且与的等差中项为6，可得，即，进一步求出公比，利用等比数列的通项公式求出数列的通项公式本题考查了等差数列的性质和等比数列的通项公式，属于基础题36.不等式的解集为A，则A中的整数元素是______．【答案】1和2【解析】解：不等式可化为，解得，，则A中的整数元素是1和2．故答案为：1和2．求出不等式的解集A，再写出A中的整数元素．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．37.某工厂一车间计划每天生产A，B，C型产品共30个，生产一个A型产品需要资金100元，生产一个B型产品需要资金120元，生产一个C型产品需要资金80元，且该车间每天可支配的生产资金为3200元，若生产一个A型产品可获利160元，生产一个B型产品可获利180元，生产一个C型产品可获利120元，则该车间每天的最大利润为______元【答案】5200【解析】解：设生产A型产品x个，生产B型产品y个，生产C型产品个，则满足的条件为，即，设利润为z，则，画出约束条件，如图所示：当目标函数经过点A时利润最大，由，解得，，则，，故答案为：5200．设生产A型产品x个，生产B型产品y个，生产C型产品个，利润总额为z元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．本题主要考查用线性规划解决实际问题中的最值问题，基本思路是抽象约束条件，作出可行域，利用目标函数的类型，找到最优解属中档题．38.数列满足，且，设为的前n项和，则______．【答案】3【解析】解：根据题意，满足，变形可得，又由，则有，则有，则数列的周期为6，又由，则，则有，则；故答案为：3．根据题意，将变形可得，又由，分析可得，则有，分析可得数列的周期为6；又由，则，进而可得，则，分析可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列的周期，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题）39.已知，，不等式的解集为求m，n；Ⅱ正实数a，b满足，求的最大值．【答案】解：Ⅰ因为不等式的解集为和n是一元二次方程的两根，，，解得，Ⅱ由题意得：，即，当且仅当，，时取等，故的最大值为【解析】Ⅰ因为不等式的解集为和n是一元二次方程的两根，再根据韦达定理可得；ⅡⅡ由题意得：，即，然后根据基本不等式求出的最小值，最后求出的最大值．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．40.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．Ⅰ求角B；Ⅱ若，，求的面积．【答案】解：Ⅰ，由正弦定理可得：，可得：，可得：，，可得，，．Ⅱ，，，由余弦定理可得：，解得：，，．【解析】Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由于，可得，结合范围，可求B的值．Ⅱ由余弦定理可得c的值，进而可求a的值，利用三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．41.在等差数列中，，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ等差数列的公差设为d，，，可得，，解得，，则；Ⅱ若，，即有数列的前n项和，即有，两式相减可得，，化简可得前n项和．【解析】Ⅰ等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项；Ⅱ求得，，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式，以及等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．42.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．求角C的大小；若，求周长的取值范围．【答案】本题满分为12分解：在中，．由正弦定理可得：，即，分，由C为三角形内角，分由可知，分分，，，，周长的取值范围分【解析】利用正弦正理化简已知等式可得：，由余弦定理可得求得，结合A 的范围，即可求得A的值．由正弦定理用、表示出a、b，由内角和定理求出A与B的关系式，代入利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正弦函数的性质得出的取值范围，即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范围，属于中档题．43.如图，在平面四边形ABCD中，，，Ⅰ求的值；Ⅱ若，，求的大小．【答案】解：Ⅰ在中，，，．由余弦定理可得：，，；Ⅱ由Ⅰ可得，，，，由正弦定理可得，即，，或，，．【解析】Ⅰ先用利用余弦定理即可解得BD的值，再用余弦定理即可求出，Ⅱ根据两角差的正弦公式，先求出，再利用正弦定理，利用特殊角的三角函数值即可得解A．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，熟练掌握正弦定理余弦定理是解题的关键，属于中档题．44.已知数列满足，且且．Ⅰ求证：数列是等差数列；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：Ⅰ证明：数列满足，且，可得，即有数列是首项为3，公差为1的等差数列；Ⅱ由Ⅰ可得，即，，可得前n项和．【解析】Ⅰ由已知等式变形，结合等差数列的定义即可得证；Ⅱ由Ⅰ可得，即，，再由数列的裂项相消求和即可得到所求和．。
2018-2019学年河南省洛阳市高二第一学期期末数学试卷(理科)〖详解版〗
2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是（）A．4B．2C．D．2．（5分）命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是（）A．若a，b都不是奇数，则a+b是偶数B．若a+b是偶数，则a，b都是奇数C．若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数D．若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数3．（5分）已知空间向量＝（0，1，﹣1），＝（x，0，﹣1），则“x＝1”是“向量与的夹角是”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，若S1，S3，S2成等差数列，则{a n}的公比q等于（）A．1B．2C．D．﹣5．（5分）已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上一点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为（）A．B．9C．18D．166．（5分）已知数列a n＝，令T n＝a1•a2…a n，若T n≥14，则n的最小值为（）A．4B．5C．6D．77．（5分）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（sin2A+sin2C﹣sin2B）•tan B ＝sin A•sin C，则B＝（）A．B．C．或D．或。
8．（5分）已知点（x，y）满足，目标函数z＝ax+y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围为（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（）D．（）9．（5分）给出如下四个命题：①命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0；②四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；③函数y＝x2+2+的最小值是2；④在△ABC中，a＜b是cos2A＜cos2B的充要条件．其中假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝11．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）过原点的一条直线与椭圆＝1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB 为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[）B．[]C．[）D．[]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等差数列{a n}中，a4+a6+2a9＝16，则S13＝．14．（5分）为了计算不可直接测量的A，B两点间的距离，另选一点C，测得AC＝2，∠BAC ＝75°，∠ACB＝60°，则AB＝．15．（5分）化简：++……++……+＝．16．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，F为焦点，点A在圆（x﹣4）2+（y+1）2＝1上运动，则|P A|+|PF|的最小值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p：点（1，1）在不等式x﹣（m2﹣2m+4）y+6＞0表示的平面区域内；命题q：x2﹣mx+1≥0对一切x∈（0，+∞）恒成立，若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，点（a n+1，S n）在直线x﹣y﹣1＝0上，且a1＝1．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝．（1）若cos B＝﹣，求sin C的值；（2）求角C的取值范围．20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为1的一条直线与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2．（1）求抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上是否存在点M（m，0），使得过点M与抛物线有两个交点C，D的任一直线均满足∠CFD为钝角？若存在，求出m的范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，P A⊥平面ABCD，E，F分别为线段AB，BC的中点．（1）线段AP上一点M，满足＝，求证：EM∥平面PDF；（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），离心率为，F1，F2是椭圆C的左，右焦点，且|F1F2|＝2，点P是直线x＝2上的动点，过点P作圆O：x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为M，N，直线MN与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求△F1AB面积的最大值．2018-2019学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：抛物线y＝4x2，即x2＝y的焦点到准线的距离为：p＝．故选：C．2．【解答】解：根据逆否命题的定义可知：命题的逆否命题为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数．故选：D．3．【解答】解：空间向量＝（0，1，﹣1），＝（x，0，﹣1），则•＝0+0+1，||＝＝，||＝，∴cos＜，＞＝＝＝cos＝，解得x＝±1，故“x＝1”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件，故选：A．4．【解答】解：S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1+S2，即为2（a1+a2+a3）＝a1+a1+a2，即有2a1（1+q+q2）＝a1（2+q），化为2q2+q＝0，解得q＝﹣（q＝0舍去），故选：D．5．【解答】解：由题意可得F2（5，0），F1 （﹣5，0），由余弦定理可得100＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2cos60°＝（PF1﹣PF2）2+PF1•PF2＝64+PF1•PF2，∴PF1•PF2＝36．S△F1PF2＝PF1•PF2sin60°＝×36×＝9．故选：A．6．【解答】解：数列a n＝，令T n＝a1•a2…a n＝＝，由于T n≥14，则：，故：（n+1）（n+2）≥28，当n＝4时5×6＝30≥28，故选：A．7．【解答】解：∵（sin2A+sin2C﹣sin2B）•tan B＝sin A•sin C，∴（sin2A+sin2C﹣sin2B）•sin B＝sin A•sin C•cos B，∴由正弦定理可得：（a2+c2﹣b2）•sin B＝a•c•cos B，∴由余弦定理可得：2a•c•cos B•sin B＝a•c•cos B，可得：2cos B•sin B＝cos B，∴cos B＝0（舍去），或sin B＝，∵B∈（0，π），∴B＝或．故选：C．8．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，可行域为△ABC，由z＝ax+y可得y＝﹣ax+z，直线的斜率k＝﹣a∵k AC＝2，k AB＝﹣1若目标函数z＝ax+y仅在点A（1，0）处取得最小值，则有k AB＜k＜k AC 即﹣1＜﹣a＜2∴﹣2＜a＜1，即实数a的取值范围是（﹣2，1）故选：B．9．【解答】解：①，命题p：∃x0∈R，x02+x0﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故①正确；②，四个实数a，b，c，d依次成等比数列可得ad＝bc，但ad＝bc＝0，推不到a，b，c，d成等比数列，故②正确；③，函数y＝x2+2+，可令t＝x2+2（t≥2），由y＝t+在t≥2递增，可得函数y的最小值是2，故③错误；④，在△ABC中，a＜b⇔A＜B⇔sin A＜sin B⇔sin2A＜sin2B，即1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B，即cos2A＞cos2B，故④错误．故选：C．10．【解答】解：∵过双曲线C：（a＞0，b＞0），左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为P，∴丨OP丨＝a，设双曲线的右焦点为F′，∵P为线段FQ的中点，∴|QF′|＝2a，|QF|＝2b，由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a，∴b＝2a．∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，即2ax±ay＝0，∴2x±y＝0．故选：B．11．【解答】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），＝（0，﹣1，﹣2），＝（1，﹣1，0），＝（0，0，2），设平面ABB1A1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，0），设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴cosθ＝＝．∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．故选：A．12．【解答】解：如图，设椭圆的另一焦点为F1，连接AF1，AF2，BF1，则四边形AF2BF1为矩形，∴AB＝F1F2＝2c，∵AF2+BF2＝2a，AF2＝2c•sin∠ABF2，BF2＝2c•cos∠ABF2，∴2c•sin∠ABF2+2c•cos∠ABF2＝2a，得e＝＝．∵∠ABF2∈[]，∴，则∈[]．则椭圆离心率的取值范围为[]．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：设过程为d，∵在等差数列{a n}中，a4+a6+2a9＝a5﹣d+a5+d+2a9＝2（a5+a9）＝16，∴a5+a9＝8，∴a1+a13＝8，∴前13项和S13＝（a1+a13）＝×8＝52，故答案为：52．14．【解答】解：在△ABC中，由于∠BAC＝75°，∠ACB＝60°，则：∠ABC＝45°利用正弦定理：，解得：故答案为：15．【解答】解：＝＝＝﹣，则++……++……+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣．故答案为：1﹣．16．【解答】解：圆（x﹣4）2+（y+1）2＝1的圆心为C（4，﹣1），过点C作抛物线y2＝4x准线x＝﹣1的垂线，垂足为N，如图所示：由抛物线的定义可知：|PF|＝|PN|，当P、A、N经过圆C的圆心时，|P A|+|PF|取得最小值，圆心（4，﹣1），半径为1，所以|P A|+|PF|最小值为：4﹣（﹣1）﹣1＝4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：命题p真等价于：1﹣（m2﹣2m+4）+6＞0，即﹣1＜m＜3；命题q真等价于：m≤（x+）min＝2；“p∨q”为真，“p∧q”为假等价于p，q一真一假；等价于：或解得2＜m＜3或m≤﹣118．【解答】解：（1）（a n+1，S n）在直线x﹣y﹣1＝0上，可得S n＝a n+1﹣1，n＝1时，a2＝1+S1＝1+1＝2，当n≥2时，S n﹣1＝a n﹣1，相减可得a n＝S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即为a n+1＝2a n，可得a n＝2•2n﹣2＝2n﹣1；（2）b n＝＝＝n•（）n﹣1，前n项和为T n＝1•（）0+2•（）1+…+n•（）n﹣1，T n＝1•（）+2•（）2+…+n•（）n，相减可得T n＝1+（）+（）2+…+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n，化简可得T n＝4﹣（n+2）•（）n﹣1．19．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵cos B＝﹣，∴可得：sin B＝＝，∵a＝2，c＝．由余弦定理可得：b＝＝＝3，∴由正弦定理，可得：sin C＝＝＝．（2）∵△ABC中，a＝2，c＝，∴由正弦定理，得，由此可得sin C＝sin A，∵A∈（0，π），可得：0＜sin A≤1，∴sin C∈（0，]，结合函数y＝sin x的图象，可得C∈（0，]∪[，π），又∵a＞c，可得角C是锐角，∴C∈（0，]．20．【解答】解：（1）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则，所以，y1+y2＝4．由于直线AB的斜率为1，则．将点A、B的坐标代入抛物线的方程得，将上述两式相减得，则（y1﹣y2）（y1+y2）＝2p（x1﹣x2），所以，，即，解得p＝2．因此，抛物线的方程为y2＝4x；（2）设直线CD的方程为x＝ty+m，设点C（x3，y3）、D（x4，y4）．将直线CD的方程与抛物线的方程联立，消去x得，y2﹣4ty﹣4m＝0．∵m＞0，△＝16t2+16m＞0恒成立，由韦达定理得y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4m．由于∠CFD为钝角，则，且，同理可得．∴＝＝﹣4m（t2+1）+4t2（m﹣1）+（m﹣1）2＝m2﹣6m+1﹣4t2＜0，即不等式m2﹣6m+1＜4t2对任意的实数t∈R恒成立，所以，m2﹣6m+1＜0，解得．由于m＞0，因此，实数m的取值范围为．所以，在x轴正半轴上是否存在点M（m，0），使得过点M与抛物线有两个交点C，D 的任一直线均满足∠CFD为钝角，且实数m的取值范围是．21．【解答】证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），设P A＝a，则M（0，0，），P（0，0，a），F（2，1，0），D（0，2，0），E（1，0，0），＝（﹣1，0，），＝（2，1，﹣a），＝（0，2，﹣a），设平面PDF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝2，得＝（，a，2），∵＝﹣＝0，EM⊄平面PDF，∴EM∥平面PDF．解：（2）∵PB与平面ABCD所成的角为45°，∴P A＝AB＝2，P（0，0，2），D（0，2，0），F（2，1，0），＝（0，2，﹣2），＝（2，1，0），设平面PDF的法向量为＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，1），平面P AD的法向量＝（1，0，0），设二面角A﹣PD﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．22．【解答】解：（1）由题意可得c＝1，＝，可得a＝，则b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆方程为+y2＝1，（2）设点P（2，t），A（x1，y1）、B（x2，y2），以点P为圆心，MP的长为半径的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣t）2＝2+t2，①，由已知圆的方程为x2+y2＝2，∴由①﹣②可得直线MN的方程为：2x+2t﹣2＝0，∴直线MN恒过点（1，0），此点为椭圆的右焦点，由，可得（t2+8）y2﹣4ty﹣4＝0，∴△＝（﹣4t）2﹣4×（﹣4）×（t2+8）＞0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴△F1AB的面积S＝|F1F2|•|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝＝＝4•＝≤4×＝，当且仅当＝，即t＝0时等号成立，故△F1AB面积的最大值．。
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期中试题及答案
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13.设 0 < a < b < 1，则四个数 2 ab ，2ab ,a+b,a2 + b2 中最小的是 .
x 0
14.若实数
x,
y
满足
y
0
4x 3y
12
则
z
2x y x 1
3
的取值范围是
.
15.已知数列{ an }的前 n 项和分别为 Sn 22n1 a ，若此数列为等比数列，则 a
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