数学人教版九年级下册几何最小值
A
G O P
D E C
B
图9
F
2、到不在同一直线上的三 点距离之和的最小值及最小 值点 在同一平面内不在同一直线 上的三点，可作唯一的三角 形，所以到不在同一直线上 的三点距离之和的最小值及 最小值点，也就是求到三角 形三顶点距离之和的最小值 及最小值的点。
A P B Q' C Q
B'
图10
A'
y O A
x=1
B P x
图7
3、两平行直线外侧两点的 最小值点 如图8，在平面直角坐标系 中，有A（1，3）、B（5，1）两点分别代表两个村庄， x轴代表河的南岸，河宽为 一个单位长度，现在要在河 上造一座桥MN，桥造在何 处才能使从A到B的路径AM-N-B最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河 垂直）。
y A A/ B/
M
O
N 题图 8
B//
x
B
三、特殊最小值
1、定点与动交点的最小值 如图9，在正方形ABCD中， 动点E，F分别从D，C两点 同时出发，以相同的速度在 直线DC，CB上移动。可以 发现当E，F分别在边DC， CB上移动时，AE和DF的交 点P也随之运动，请你画出 点P运动的路径图。若AD=2， 试求线段CP的最小值。
在直线l上求作一点P到直线l外A、B两点距离的和有最小值。
A l P
A P B A/
B l
①
②
图1
1、容器壁内、外两点的最小值 如图2，圆柱形容器的高为4cm，底面周长为6 cm，在容器壁高 度中间的相对处有一壁虎A和蚊子B，分别在容器的外壁和内壁， 求壁虎捕捉到蚊子的最短距离（不考虑容器壁的厚度、壁虎的长 度）。
A
D A/ E
M Q
a P B b
N C 图4
另解，如图5，作法：1、作 直线a、b距离的中垂线c；2、 作B关于直线c的对称点；3、 作关于a的对称点，连接A交 直线a于点M；4、作MN⊥直 线a交直线b于N，则M、N为 所求作的点。
A
D A/ E
B/
M
a
B// c
Байду номын сангаас
N C 图5 B
b
二、直角坐标系中的最小值
A/ C A B A B D
图2
2、两相交直线内侧两点的 最小值 如图3，A为马厩，B为帐篷， 牧马人某天要从马厩牵出马， 先到牧区的某一处牧马，再 到河边饮水，然后回到帐篷， 请你帮他确定一次完成这一 过程的最短路线。
牧
P M
Q N
河流
B/
A/
区
m
A 图3
B
n
3、两平行直线外侧两点的 最小值及最小值点 如图4,已知直线a∥b,且a与b 之间的距离为4,点A到直线a 的距离为3,点B到直线b的距 离为2,AB=2,试在直线a上找 一点M,在直线b上找一点N, 求满足MN⊥a且 AM+MN+NB长度和为最小 值点的M、N,并求此时 AM+MN+NB的值。
y
1、直线型图形 如图6，在平面直角坐标系 中，Rt△OAB的顶点A在x 轴的正半轴，顶点B的坐标 为（3，），点C的坐标为（， 0），点P为斜边OB上的一 动点，求PA+PC的最小值。
A/
D
P
O C H
B
A x
图6
2、曲线型图形 如图7,在平面直角坐标系中, 抛物线y=ax2+bx+c经过A(1、-)、O（0，0）、B（2， 0）三点。（1）求抛物线 y=ax2+bx+c的解析式；（2） 若点P是该抛物线对称轴上 的一点，求PA+PO为最小值 的P点的坐标。
四种四边形有关的最小值问题
四种四边形有关的最小值问题
四边形的最小值问题可能会涉及到很多不同的情况和条件，下面是一些常见的与四边形有关的最小值问题及求解方法：
1.周长最小值：对于一个给定的四边形，要使其周长最小，通常需
要让四边形的边长尽可能短。
这可能涉及到优化四边形的形状或找到特定条件下的最优解。
2.面积最小值：如果要找到四边形的面积最小值，可以考虑使用几
何学中的公式和定理来计算不同形状四边形的面积，并比较它们的大小。
3.对角线长度最小值：四边形的对角线长度也可能是一个最小值问
题。
通常情况下，要找到对角线长度的最小值，需要根据四边形的性质和条件进行分析。
4.最小路径问题：在某些情况下，可能需要在四边形内或穿越四边
形找到一条最短路径。
这可以通过图论或几何学中的最短路径算法来解决。
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
教师讲解：“大家总结得很好。反比例函数是我们学习函数的重要部分，希望大家能够掌握其定义、性质和几何意义，并在实际问题中灵活运用。”
五、作业布置
为了巩固学生对反比例函数知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
（1）根据反比例函数的定义，求出以下函数的表达式，并说明k的几何意义：y=3/x、y=-2/x、y=5/|x|。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，规范解答，注意细节。
2.对于实践应用题，要求学生结合反比例函数的性质和几何意义，分析问题，列出方程，并求解。
3.拓展提高题要求学生独立思考，尝试不同的解题方法，锻炼数学思维能力。
4.思考题要求学生在理解反比例函数的基础上，深入思考，形成自己的见解。
2.教学策略：
（1）情境创设：以生活实例或有趣的故事引入反比例函数的学习，激发学生的学习兴趣；
（2）任务驱动：设置具有挑战性的任务，引导学生主动探究反比例函数的性质和应用；
（3）分层教学：针对不同学生的学习需求，设计难易适度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（4）反馈与评价：及时关注学生的学习进度，给予有效的反馈和激励，提高学生的学习积极性。
教师提问：“同学们，我们之前学习了正比例函数和一次函数，谁能来说说它们的特点和性质？”
2.创设情境：通过生活中的实例，如物体在反比例力作用下的运动轨迹，引出反比例函数的概念。
教师讲解：“在生活中，我们经常会遇到一些与反比例关系相关的问题。比如，当物体受到一个与速度成反比的阻力时，它的运动轨迹是怎样的呢？这就涉及到我们今天要学习的反比例函数。”
人教版九年级数学下册第二十六章26.1.1反比例函数k的几何意义教学设计
初中数学中求极值的几种常见的方法
初中数学中求最值的几种常见方法仪陇县实验学校 李洪泉在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。
同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。
这类问题涉及变量多，综合性强，技巧性强，要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。
下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。
一 、根据绝对值的几何意义求最值 实数的绝对值具有非负性，0a ≥，即a 的最小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。
若根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。
例1：已知13M x x =-++，则M 的最小值是 。
【思路点拨】用分类讨论法求出13x x -++的最小值是4,此时31x -≤≤。
如果我们从绝对值的几何意义来看此题,就是在数轴上求一点,使它到点1和点3-的距离之和为最短。
显然,若3x <-,距离之和为[1(3)]2(3)4x --+-->;若31x -≤≤,距离之和为1(3)4--=;若1x >,距离之和为[1(3)]2(1)4x --+->。
所以, 当31x -≤≤时,距离之和最短,最小值为4。
故M 的最小值为4。
二、利用配方法求最值完全平方式具有非负性，即2()0a b +≥。
一个代数式若能配方成2()m a b k ++的形式，则这个代数式的最小值就为k 。
例2：设,a b 为实数，求222a ab b a b ++--的最小值。
【思路点拨】一是将原式直接配方成与,a b 的完全平方式有关的式子可以求出最小值。
二是引入参数设222a ab b a b t ++--=，将等式整理成关于a 的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。
解：(方法一) 配方得：当10,10,2b a b -+=-=即0,1a b ==时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值222222222(1)21331()242413()(1)1124a ab b a b a b a b b b a b b b a b ++--=+-+--=++---=++--≥-为1-。
新人教版九年级数学下册知识点总结
新人教版九年级数学下册知识点总结人教版九年级数学下册知识点总结12.直线与圆的位置关系2.1.直线与圆的位置关系当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交;当直线与圆有公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点;当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
直线与圆的位置关系有以下定理：直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线性质：经过切点的半径垂直于圆的切线。
2.2.切线长定理从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。
切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。
2.3.三角形的内切圆与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。
3.三视图与表面展开图3.1.投影物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。
光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。
可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。
3.2.简单几何体的三视图物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。
主视图、左视图和俯视图合称三视图。
产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。
3.3.由三视图描述几何体三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小。
3.4.简单几何体的表面展开图将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图。
圆柱可以看做由一个矩形ABCD绕它的一条边BC旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体。
AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆。
AD旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线。
圆锥可以看做将一根直角三角形ACB绕它的一条直角边(AC)旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体。
人教版数学九年级下册26.1.1反比例函数中K的几何意义课件
利用K值解决实际问题
例题3：某工厂生产A、B两种配套产品 ，其中每天生产$x$吨A产品，需生产 $y$吨B产品。已知生产A产品的成本与 产量的平方成正比。经测算，生产1吨 A产品需要4万元，而B产品的成本为每
吨8万元。求
(1)生产A、B两种配套产品的平均成本 的最小值；
(2)若原料供应商对这种小型工厂供货 办法使得该工厂每天生产A产品的产量 $x$在$0 < x leqslant 2$的范围内， 那么在这种情况下，该工厂应生产A产
当$K < 0$时，距离公式同样适用， 只是图像位于第二、四象限。
K值与角度关系
对于反比例函数图像上任意一点，其与原点连线的倾斜角$theta$与该点 的横坐标$x$和纵坐标$y$满足关系：$tantheta = frac{y}{x} = frac{K}{x^2}$。
当$K > 0$时，$theta$为锐角或直角；当$K < 0$时，$theta$为钝角或 直角。
随着$|K|$的增大，倾斜角$theta$也逐渐增大，但始终不会超过直角。
05
典型例题解析
求反比例函数中K值
01
例题1
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图像经过点 $A(2,3)$，求$k$的值。
02
例题2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图像经过点 $B(m,n)$和$C(p,q)$，且$mn = 6$，$pq = 8$
06
课堂小结与拓展延伸
课堂小结
反比例函数$y = frac{k}{x}$（$k neq 0$）中，比例系数$k$的几 何意义：过双曲线上任意一点引 $x$轴、$y$轴垂线，所得矩形面
积为$|k|$。
人教版义务教育教科书《数学》九年级下册 几何最值问题——线段和最小问题
A
A'
M
l
N
k
B
AM+MN+NB最小
M
N'
N
P QP Q
l
M' MP+PQ+QN最小
当堂反馈：
1.如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最 小,则这个最小值为 ( )
A. 2 2
C B. 3
C. 4
D. 4 2
当堂反馈：
人教版义务教育教科书《数学》 九年级下册 几何最值问题——线
段和最小问题
几何最值问题
在平面几何动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、 图形的周长或面积以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.
基本模型一：两定点在一直线同侧确定单动点问题
直线l表示草原上的一条河流，一骑马将军从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的驻地.他应沿怎 样的路线行走，使路程最短？请作出这条最短路线.
14 2 = 4 .
2 33
D(1,m)
12 D
B 3 4x
基本模型二：两定点在两直线内侧确定双动点问题
如图，一骑马将军从A点出发，先到草地边MN处牧马， 再到河边PQ处饮马（MN、PQ均为直线），然后回到驻 地B处，问将军应走怎样的路线，才能使整个路程最短？ 请作出这条最短路线.
A'
AC+CD+DB的最小值
解：1.作点A关于直线l 的对称点A '; 2. 连接A 'B,交直线 l于点P;
3. 连接AP.
∴将军沿A P B的路线行走， 路程最短.
人教版九年级数学下册精品教案 实际问题与二次函数3个课时
22．3 实际问题与二次函数第1课时 几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式；(2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)；(2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得：x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程． 【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得，a ＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x . (3)设OB ＝m 米，则点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )，所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m .根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC ＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15.所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.第2课时商品利润最大问题1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．一、情境导入红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？二、合作探究探究点一：最大利润问题【类型一】利用解析式确定获利最大的条件为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．解：设该厂生产第x 档的产品一天的总利润为y 元，则有y ＝[10＋2(x －1)][76－4(x－1)]＝－8x 2＋128x ＋640＝－8(x －8)2＋1152.当x ＝8时，y 最大值＝1152.由此可见，并不是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档次的产品．(其他建议，只要合理即可)【类型二】利用图象解析式确定最大利润某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12)． (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克． 三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－112.所以此函数关系式为y＝－112(x－6)2＋6＝－112x2＋x＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题二
2021年九年级中考数学几何教学重难点专题：轴对称之线段最短问题二1．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（）A．4B．2C．2D．82．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值等于（）A．BD B．CD C．CE D．AC3．在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（﹣6，0），过第四象限内一动点C作y轴的垂线，垂足为D，且2OD+CD＝6，点E、P分别在线段AB和x轴上运动，则CP+PE的最小值是（）A．B．C．D．4．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC 边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°5．如图，已知点A（1，﹣3），B（5，﹣1），点P（m，0）是x轴上一动点，点Q是y轴上一动点，要使四边形ABPQ的周长最小，m的值为（）A．3.5B．4C．7D．2.56．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．如图，在△ABC中，AC＝4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（）A．28B．18C．10D．78．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD＝3，则EP+CP的最小值为（）A．2B．3C．4D．59．如图，∠AOB＝60°，点P是∠AOB内的定点且，点M，N分别是射线OA，OB 上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．3D．610．如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB 边上一点，若BF＝4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．45°11．如图，等腰三角形ABC的底边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为（）A．8B．10C．12D．1412．如图，直线l是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A．B．C．D．13．如图，正方形ABCD的边长为16，点M在边DC上，且DM＝4，点N是对角线AC上一动点，则线段DN+MN的最小值为（）A．16B．16C．20D．414．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（）A．2B．4C．6D．815．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°16．已知点A（﹣3，5），B（﹣3，﹣2），P（m2﹣5，2），若P A+PB最短，则m值是（）A．B．4C．±4D．17．如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（）A．6B．8C．10D．1218．已知，如图点A（1，1），B（2，﹣3），点P为x轴上一点，当|P A﹣PB|最大时，点P 的坐标为（）A．（﹣1，0）B．C．D．（1，0）19．如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（）A．3B．6C．3D．620．已知菱形ABCD的面积为8，对角线AC的长为4，∠BCD＝60°，M为BC的中点，若P为对角线AC上一动点，则PB+PM的最小值为（）A．B．2C．2D．421．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P 到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A．C．22．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF 上的任意一点，则P A+PB的最小值是（）A．3B．4C．5D．623．一条河流的BD段长8km，在B点的正北方1km处有一村庄A，在D点的正南方5km 处有一村庄E，在BD段上有一座桥C，把C建在何处时可以使C到A村和E村的距离和最小，那么此时桥C到A村和E村的距离和为（）A．10B．C．12D．24．如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（）A．2+2B．4C．4D．625．某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水．某同学用直线（虛线）l表示小河，P，Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的中线，点P为AD 上一动点，则PE+PC的最小值等于（）A．线段AB的长B．线段BC的长C．线段AD的长D．线段BE的长27．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使P A+PB的值最小，则点P坐标为（）A．C．28．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（）A．3B．4C．5D．629．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．2B．C．1D．30．在周长为8的正方形ABCD中，点E是AB边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）A．2B．C．D．2参考答案1．解：如图，设AC，BD相交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，∵AB＝4，∴AO＝2，连结DE交AC于点P，连结BP，作EM⊥BD于点M，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中点，EM⊥BD，∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，∴DM＝DO+OM＝BO＝3，∴DE＝＝＝2，故选：C．2．解：如图，在BA上截取BF'＝BF，∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴EF＝EF'．∴CE+EF＝CE+EF'≥CF'．当CF'⊥AB时，即CF'＝CH时，CF'取最小值，此时CF'＝CH＝BD．即CE+EF＝CH＝BD．故选：A．3．解：设C（x，y）∵2OD+CD＝6，∴﹣2y+x＝6∴y＝x﹣3∵过点A（0，3），B（﹣6，0）的直线解析式为：y＝x+3∴点C的运动轨迹与线段AB关于原点对称，当点C、P、E共线且CE⊥AB时，CP+PE最小，此时CP＝PE．∵AB＝＝＝3方法一：sin∠BAO＝＝＝∴＝＝∴PE＝∴CE＝2PE＝．方法二：∵S＝ABPE＝APBP△APB∴PE＝＝＝，∴CP＝PE，∴CE＝2PE＝．故选：B．4．解：∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°，∵∠C＝50°，∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，故选：D．5．解：由于线段AB为定长，故四边形ABPQ周长最小值即可转化为线段BP、PQ、QA和的最小值问题．如图，作点A关于y轴的对称点A′，点B关于x轴对称点B′，连接A′B′，分别y 轴，x轴于点Q、P，则所作点Q、P即为所求．此时四边形ABPQ周长最小，∵点A（1，﹣3），B（5，﹣1），∴A′（﹣1，﹣3），B′（5，1），∴直线A′B′的解析式为y＝x﹣，当y＝0时，x＝3.5，∴m＝3.5，故选：A．6．解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．7．解：∵DE是BC的中垂线，∴BE＝EC，则AB＝EB+AE＝CE+EA，又∵△ACE的周长为11，故AB＝11﹣4＝7，直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7．故选：D．8．解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点E关于AD的对应点为点F，∴CF就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，∴F是AB的中点，∴CF是△ABC的中线，∴CF＝AD＝3，即EP+CP的最小值为3，故选：B．9．解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图则MP＝MC，NP＝ND，OP＝OD＝OC＝，∠BOP＝∠BOD，∠AOP＝∠AOC，∴PN+PM+MN＝ND+MN+MC＝DC，∠COD＝∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC＝2∠AOB＝120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH＝DH，∵∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝3．故选：C．10．解：取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，∵等边△ABC的边长为8，BF＝4，∴点F是AB中点，∴点G与点F关于AD对称，此时BE+FE＝BG最小，根据等边三角形的性质知∠EBC＝∠ABC＝30°，11．解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BCAD＝×4×AD＝24，解得AD＝12，∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝12+×4＝14．故选：D．12．解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．故选：D．13．解：如图，连接MB交AC于N，此时DN+MN最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴DN＝BN，∴DN+MN＝BN+NM＝BM，在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，BC＝16，CM＝CD﹣DM＝16﹣4＝12，∴BM＝．14．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M′、N′，连接OC、OD、PM′、PN′．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM′＝CM′，OP＝OC，∠COB＝∠POB；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN′＝DN′，OP＝OD，∠DOA＝∠POA，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COB+∠POB+∠POA+∠DOA＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴当M、N分别与M′、N′重合时，△PMN的周长的最小值＝PM′+M′N′+PN′＝DN′+M′N′+CM′＝CD＝4．故选：B．15．解：过E作EM∥BC，交AD于N，∵AC＝4，AE＝2，∴EC＝2＝AE，∴AM＝BM＝2，∴AM＝AE，∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，∴AD⊥BC，∵EM∥BC，∵AM＝AE，∴E和M关于AD对称，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵AM＝BM，∴∠ECF＝∠ACB＝30°，故选：C．16．解：∵点A（﹣3，5），B（﹣3，﹣2），P（m2﹣5，2），∴若P A+PB最短时，则A、B、P在同一直线上，∴m2﹣5＝﹣3，∴m＝，故选：D．17．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，＝BCAD＝×4×AD＝12，∴S△ABC解得AD＝6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．故选：B．18．解：作A关于x轴对称点C，连接BC并延长交x轴于点P，∵A（1，1），∴C的坐标为（1，﹣1），连接BC，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣2x+1，当y＝0时，x＝，∴点P的坐标为：（，0），∵当B，C，P不共线时，根据三角形三边的关系可得：|P A﹣PB|＝|PC﹣PB|＜BC，∴此时|P A﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值．故选：B．19．解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，△PMN的最小周长为PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故选：B．20．解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；∵菱形ABCD的面积为8，对角线AC长为4，∴BD＝4，∵BC＝CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝4，∵M是BC的中点，∴DM⊥BC，CM＝BM＝2，在Rt△CDM中，CM＝2，CD＝4，∴DM＝＝＝2，故选：C．21．解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，∵A（﹣2，4），∴C（﹣2，﹣4），设直线CB的解析式是y＝kx+b，把C、B的坐标代入得：，解得：k＝1，b＝﹣2，∴y＝x﹣2，把y＝0代入得：0＝x﹣2，x＝2，即P的坐标是（2，0），故选：C．22．解：如图，连接BE，∵EF是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，根据两点之间线段最短，P A+PB＝P A+PC＝AC，最小，此时点P与点E重合．所以P A+PB的最小值即为AC的长，为4．所以P A+PB的最小值为4．故选：B．23．解：连接AE交BD于C，则AC+CE距离和最小，且AC+CE＝AE，过A作AH⊥ED交ED的延长线于H，∵AH＝BD＝8，EH＝1+5＝6，∴AE＝＝10，∴此时桥C到A村和E村的距离和为10，故选：A．24．解：连结DE．∵BE的长度固定，∴要使△PBE的周长最小，只需要PB+PE的长度最小即可，∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴P′D＝P′B，∴PB+PE的最小长度为DE的长，∵菱形ABCD的边长为4，E为BC的中点，∠DAB＝60°，∴△BCD是等边三角形，又∵菱形ABCD的边长为4，∴BD＝4，BE＝2，DE＝2，∴△PBE的最小周长＝DE+BE＝2+2，故选：A．25．解：作点P关于直线l的对称点C，连接QC交直线l于M．根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道最短．故选：C．26．解：如图，连接PB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，故选：D．27．解：如图所示：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点P，则此时AP+PB ＝AP+PB′＝AB′的值最小，∵点B坐标为（1，﹣3），∴B′（﹣1，﹣3），∴B′C＝AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴PD＝B′D＝1，∵OD＝|﹣3|＝3，∴OP＝2，∴P（0，﹣2），故选：D．28．解：∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，在Rt△BCM中，BM＝＝＝5，故DN+MN的最小值是5．故选：C．29．解：如图连接PC，∵CE是△ABC的中线，AB＝AC＝BC＝2，∴CE⊥AB，BE＝AE＝1∴CE＝，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PB+PE＝PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，即为．故选：B．。
部编新人教版教材数学九年级下册必背几何定理(17条)
部编新人教版教材数学九年级下册必背几何定理(17条)本文档旨在总结部编新人教版教材数学九年级下册中的17条必背几何定理，以帮助学生更好地复和掌握这些重要的定理。
以下是这些定理的简要介绍：1. 同位角互补定理：同位角互补定理指出，当两个角为同位角时，它们的补角相等。
2. 相对角平分线定理：相对角平分线定理指出，当一条直线通过两条平行线，则这条直线将两条平行线分成两对相等的相对角。
3. 平行线间的夹角定理：平行线间的夹角定理指出，当两条平行线被一条截线时，所形成的对应角相等。
4. 同位角内错角定理：同位角内错角定理指出，当两条平行线被一条截线时，同位角的错角互补。
5. 一对同位角等于180度：当两条平行线被一条截线时，同位角之和等于180度。
6. 两条平行线间的距离相等定理：两条平行线间的距离相等定理指出，两条平行线之间的距离是它们上或下的任意一条平行线与截线的垂直距离。
7. 对顶角相等定理：对顶角相等定理指出，当两条平行线被一条截线时，对顶角相等。
8. 同位角的外错角定理：同位角的外错角定理指出，当两条平行线被一条截线时，同位角的外错角互补。
9. 两角和等于180度定理：两角和等于180度定理指出，当两角之和等于180度时，这两个角互为补角。
10. 两角差等于180度定理：两角差等于180度定理指出，当两角之差等于180度时，这两个角互为余角。
11. 外角等于两内错角之和定理：外角等于两内错角之和定理指出，当一条直线与另外两条线相交时，所形成的外角等于相邻的两个内错角之和。
12. 锐角三角函数值的大小定理：锐角三角函数值的大小定理指出，在锐角三角函数中，正弦值最小，余弦值次之，切线值最大。
13. 同弧上的弦等于内接矩形的对角线之和：同弧上的弦等于内接矩形的对角线之和定理指出，在同一个圆的同一个弧上，所对的弦的长度等于内接矩形的对角线之和。
14. 等腰三角形底角定理：等腰三角形底角定理指出，在等腰三角形中，底角相等。
九年级下册数学知识点汇总(人教版)
九年级下册（人教版数学）知识点汇总目录反比例函数 (1)26.1反比例函数 (1)● 反比例函数的定义 (1)● 反比例函数的图像 (1)● 反比例函数图像的对称性 (1)● 反比例函数的性质 (2)● 反比例函数系数k的几何意义 (2)● 反比例函数图像上点的坐标特征 (2)● 待定系数法求反比例函数解析式 (2)● 反比例函数与一次函数的交点问题 (3)26.2实际问题与反比例函数 (3)● 根据实际问题列反比例函数关系式 (3)● 反比例函数的应用 (4)相似 (5)27.1图形的相似 (5)● 相似图形 (5)27.2相似三角形 (5)● 相似三角形的判定 (5)● 相似三角形的应用 (5)● 相似多边形的性质 (5)● 相似三角形的性质 (6)● 相似三角形的判定与性质 (6)● 作图--相似变换 (6)● 射影定理 (6)27.3位似 (7)● 位似变换 (7)● 作图-位似变换 (7)锐角三角函数 (8)28.1锐角三角函数 (8)● 锐角三角函数的定义 (8)● 锐角三角函数的增减性 (8)● 同角三角函数的关系 (8)● 互余两角三角函数的关系 (9)● 特殊角的三角函数值 (9)28.2解直角三角形及其应用 (9)● 解直角三角形 (9)● 解直角三角形的应用 (10)● 解直角三角形的应用--坡度坡角问题 (10)● 解直角三角形的应用--仰角俯角问题 (10)● 解直角三角形的应用--方向角问题 (10)投影与视图 (11)29.1投影 (11)● 平行投影 (11)● 中心投影 (11)● 视点、视角和盲区 (11)29.2三视图 (11)● 简单几何体的三视图 (11)● 简单组合体的三视图 (12)● 由三视图判定几何体 (12)● 作图--三视图 (12)29.3课题学习、制作立体模型 (12)● 课题学习制作立体模型 (12)反比例函数26.1反比例函数●反比例函数的定义【反比例函数的概念】形如的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．【反比例函数的判断】判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为或.●反比例函数的图像【反比例函数的图象】反比例函数的图象是由两条曲线组成的，这两条曲线通常称为双曲线当k>0时，两个分支分别位于第一、三象限内；当k<0时，两个分支分别位于第二、四象限①k>0②K<0●反比例函数图像的对称性【反比例函数图象的对称性】1、反比例函数图象本身既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=-x ；一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．2、若经过原点的直线与反比例函数交于两点，则这两点关于原点对称；3、反比例函数与的图象关于x轴，y轴对称.●反比例函数的性质●反比例函数系数k的几何意义【反比例系数的几何意义】1.在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．2.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．●反比例函数图像上点的坐标特征【反比例函数图象上的点的坐标特征】1. 若点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足反比例函数解析式2. 若点在反比例函数图象上，则也一定在反比例函数图象上3. 若点A（x,y）在反比例函数的图像上，则xy=k●待定系数法求反比例函数解析式【待定系数求反比例函数解析式的一般步骤】(1)设出含有待定系数的反比例函数解析式；(2)把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；(3)解方程，求出待定系数；(4)写出解析式．●反比例函数与一次函数的交点问题【反比例函数与一次函数的交点】1.(1)求反比例函数与一次函数的交点坐标时，先把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解，则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；(2)已知反比例函数与一次函数的交点坐标，把点的坐标带入函数解析式可求得函数关系式或系数间的等量关系.2.判断正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：(1)当k1与k2同号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；(2)当k1与k2异号时，正比例函数和反比例函数在同一直角坐标系中有0个交点．26.2实际问题与反比例函数●根据实际问题列反比例函数关系式【列反比例函数关系式的一般解题思路】根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．根据图象去求反比例函数的解析式，或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．【根据实际问题列反比例函数的步骤】步骤1：审：审清题意,找出题目中的常量、变量,并理清常量与变量之间的关系。