湖南科技大学考试试题

湖南科技大学考试试题 (2008 -200 9 学年第二学期)
计算方法 课程 信息、能源 院（系）
07级 通信工程1—3，电气工程1-4，电子工程1—2，建筑环境1—2，自动化1—2 班级 考试时量 100分钟 命题教师 唐运梅 交题时间：2009 年 4月 22日 考试时间：2009 年5 月 17日 一、选择题（每小题4分，共20分）
1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）
A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；
B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；
C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；
D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

2. 若132)(356++−=x x x x f ，则其六阶差商
=]3,,3,3,3[6
210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。

3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）
A. 0；
B. 1；
C. 2；
D. 3 。

4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ）
A. 都发散；
B. 都收敛
C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；
D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。

5. 对于试验方程y y λ=′，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）
A. 02≤≤−h ；
B. 0785.2≤≤−h ；
C. 02≤≤−h λ；
D. 0785.2≤≤−h λ ； 二、填空题（每空3分，共18分）
1. 已知
−−=′−=4321,)2,1(A x ，则 =2
x 5，
=
1
Ax
16 ，
=
2A 22115+
2. 已知3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。

3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。

三、利用下面数据表，
1. 用复化梯形公式计算积分
dx
x f I )(6
.28
.1∫
=的近似值；
解：1.用复化梯形公式计算 取
2.048
.16.2,4=−=
=h n 1分
10.46675
8.03014
6.04241
4.42569
3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x
分分分7058337
.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22
.04))
()(2)((231
1
1
4=+++=++=∑∑=−=f k f f b f x f a f h
T k n k k
2. 用复化Simpson 公式计算积分
dx
x f I )(6
.28
.1∫
=的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位). （14分）
解：用复化辛甫生公式计算 取
4.028
.16.2,2=−=
=h n 8分
分分分14033002.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({6
4
.011))()(2)(4)((61
1
1022
1=++++=
+++=∑∑−=−=+f f f f f b f x f x f a f h
S n k k n k k
四、已知矩阵
=1256144412A ，求矩阵A 的Doolittle 分解。

（10分） 解：用紧凑格式法
分分分14033002
.512)}6.2()2.2(2)]4.2()0.2([4)8.1({6
4
.011))
()(2)(4)((61
11022
1=++++=+++=∑∑−=−=+f f f f f b f x f x f a f h
S n k k n k k
41
2131312121111======a u a u a u 2分
7
2
213
21232312
2122221121
21−=⋅−==⋅−===
u l a u u l a u a a l 5分
7
1
3
233213
31333322
12
31323211
3121=⋅−⋅−==⋅−=
==u l u l a u u u l a l a a
l 8分
−⋅
==∴772412113121
LU A 10分
五、用Newton 迭代法求解方程0133
=−−x x 在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。

（12分）
解：
013)(3
=−−=x x x f ， 0.20=x
331
23313)()(2
3
231−+=−−−−=′−=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 6分
8889.19
17
3
2312233122320301==
−×+×=
−+=
x x x 8分
8794
.13
31221
312=−+=
x x x ，
8794
.13
31222
3
23=−+=
x x x 11分
故，方程的近似根为1.8974 12分
六、对下面线性方程组 （12分）
=++=++=++3
8.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x 1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；
2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式； 解 1. 雅可比法:
A 是对角元素为正的实对称阵,下面判别A D A −2 和是否同时正定:
296.01
8.04.08.014.04
.04.01 , 016.011
4.04
.01 , 01 >=>−=>
A ∴正定 5分
−−−−−−=−18.04.08.014.04.04.01
2A D
216.01
8.04.08.014.04.04.01 , 016.011
4.04
.01 , 01 <−=−−−−−−>−=−−>
A D −∴2 不正定.即A D A −2 和不同时正定 8分
故,Jacobi 法发散. 9分 2. 高斯-塞德尔法:由1知, A 是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel 法收敛. 10分
其迭代格式为 −−=−−=−−=++++++)
1(2
)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)(3
)(2)1(1
8.04.0380 4.02 4.04.01 k k k k k k k k k x x x x .x x x x x 12分
七、已知初值问题：
=≤<−= 1)0(4
.00,'y x y x y ，取步长h =0.1，
1. 用（显式的）Euler 方法求解上述初值问题的数值解；
2. 用改进的Euler 方法求上述初值问题的数值解。

（14分） 解：1 .建立具体的Euler 公式:
n n n n n n n n n y x y x y y x hf y y 9.01.0)(1.0),(1
+=−+=+=+ 3分
已知4,3,2,1,0 , 1.0 , 10
===n n x y n ，则有：
9.09.01.0001
=+=y x y
82.09.09.01.01.09.01.0112=×+×=+=y x y 5分
758.082.09.02.01.09.01.0223
=×+×=+=y x y
7122.0758.09.03.01.09.01.0334=×+×=+=y x y 7分
解：2.建立具体的改进的Euler 公式:
++=+=++=+=+=+=++ 005.0905.0095.0)(01.091.009.0),( 9.01.0),(2111n n c p n n n p n n c n n n n n p y x y y y y x y x hf y y y x y x hf y y 10分 已知4,3,2,1,0 , 1.0 , 10
===n n x y n 则有：
91.0005.0905.0095.0001=++=y x y
83805.0005.091.0905.01.0095.0 005
.0905.0095.0112=+×+×=++=y x y 12分
78243525.0005.083805.0905.02.0095.0 005
.0905.0095.0223=+×+×=++=y x y
7416039.0 005.078243525.0905.03.0095.0 005
.0905.0095.0334=+×+×=++=y x y 14分
有根祝大家： 好好学习 天天给力。