大学高等数学经典课件1-2
lim xn a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
n
或 xn a ( n )
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
高 等 数 学 电 子 教 案
注 1。不等式 x - a < e 刻划了 xn与 a 的无限(任意)接近 n
。 2 N 与任意给定的正数 e 有关. n > N 刻划接近阶段
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说明: 常数列的极限等于同一常数.
高 等 数 学 电 子 教 案
证明 lim q n 0, 其中q 1. 例3
n
证
任给 0,
若 q 0,
则 lim q n lim 0 0;
n n
n 若0 q 1, x n 0 q , n ln q ln ,
只要 n 100时, 有 x n 1
1 , 100
1 1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 , 1000 1000
1 给定 , 10000
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只要 n 10000时, 有 x n 1
1 , 10000
1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时,
(1)
称为 无穷数列, 简称 数列. 其中的每个数称为数列 的项， n 称为通项（一般项）. 数列 (1) 记为 {x n } x
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例如
2, 4,8, , 2n , ;
1 1 1 1 , , ,, n , ; 2 4 8 2
{2n }
1 { n} 2
高 等 数 学 电 子 教 案
定理 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证
设数列 xnk 是数列 xn 的任一子数列．
lim xn a,
n
0, N 0, 使 n N 时, 恒有 xn a .
取 K N,
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则当 k K 时,
设 lim x n a , 又 lim x n b,
n n
由定义,
0, N 1 , N 2 .使得
当n N 1时恒有 x n a ;
取N maxN 1 , N 2 ,
当n N 2时恒有 x n b ;
则当n N时有
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例如， x1 , x 2 ,, x i , x n ,
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x n1 , x n2 ,, x nk ,
注： 在子数列 {xn} 中，一般项 xnk 是第 k 项，而 xn
在原数列 { x n }中却是第 nk 项， 显然， nk > k
k
高 等 数 学 电 子 教 案
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
1 1 1 第n天截下的杖长总和为 X n 2 n ; 2 2 2
1 X n 1 n 2
1
高 等 数 学 电 子 教 案
二、数列的定义
定义 按自然数 1 , 2 , 3 , …. 编号依次排列的一列数 x 1 , x 2 , … , xn , ….
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注：数列极限的 ε- N 定义，在理论上的重要性是显 而易见的，许多定理的证明都要用到。
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A1 , A2 , A3 ,..., An ,...
S（圆的面积）
高 等 数 学 电 子 教 案
2、截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1 第一天截下的杖长为 X1 ; 2
第二天截下的杖长总和为 X 2 1 1 2; 2 2
...... ......
高 等 数 学 电 子 教 案
第二节
一、概念的引入 1、割圆术
“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则
数列的极限
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与圆周合体而无所
失矣”
—— 刘徽
高 等 数 学 电 子 教 案
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 ...... ......
R
正 6 2n1 形的面积 An
有 x n 1 成立.
高 等 数 学 电 子 教 案
定义 如果对于任意给定的正数 e（不论它多么小）， 总存在正数 N , 使得对于 n > N 时的一切 xn , 不等式 xn - a < e 都成立, 那末就称常数 a 是数列 xn 的极限， 或者称数列 x n 收敛于 a , 记为
n ( 1) n 1 即 lim 1. n n
高 等 数 学 电 子 教 案
例2
设xn C (C为常数), 证明 lim xn C.
n
证 任给 0 ,
对于一切自然数 n ,
xn C C C
所以,
n
0 成立,
lim x n C .
k
nk nK K N
xnk a .
lim xnk a.
证毕．
高 等 数 学 电 子 教 案
反之，即使数列的两个子序列都收敛，但不收敛 于同一极限，原数列仍是发散的。 例如
{X2k-1}= 1,1,1,…和{X2k}= -1,-1,-1,…
都是{Xn}=1,-1,1,-1,1,-1,…的子序列，它们分别收敛于 1和-1，但原数列{Xn}是发散的。
注：在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重 要的是要指出对于任意给定的正数ε，正整数N 确实存在，没有必要非去求出 1、有界性
定义: 对数列 xn , 若存在正数 M , 使得一切自然数 n ,
恒有
x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
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不可能同时位于长度为1的区间内.这就
证明数列 xn (1)n 1 是发散的.
事实上, { x n }是有界的, 但却发散.
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3、子数列的收敛性
定义：在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持
这些项在原数列 xn 中的先后次序，这样得到 的一个数列称为原数列 xn 的子数列（或子列）．
n n
证 任给 0,
lim x n a ,
n
N使得当n N时恒有 x n a 1 ,
从而有 x n a xn a xn a 1 xn a a a
故 lim x n a .
n
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( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于 1. n
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
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对于 xn 1 = ( 1)
n 1
1 1 n n
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给定
1 1 1 , , 由 n 100 100
无界
有界 有界
数列一 1, 2, 3,…, n, …
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数列二
1/2, 2/3, 3/4, … , n/(n+1),…
数列三 1, -1, 1, -1,…
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间[ M , M ]上.
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2、唯一性
定理 每个收敛的数列只有一个极限. 证
a b ( x n b) ( x n a ) xn b xn a
2.
上式仅当a b时才能成立.
故收敛数列极限唯一.
高 等 数 学 电 子 教 案
定理 收敛的数列必定有界. 证
设 lim x n a ,
n
由定义, 取 1,
高 等 数 学 电 子 教 案
例： 证明数列 xn (1)n1 是发散的.
1 证 设 lim x n a , 由定义, 对于 , n 2 1 则N , 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, x n (a , a ), 区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
a
x 2 x1
x N 1
2
a
xN 2
a
x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在 (a - , a )内,
只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
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高 等 数 学 电 子 教 案
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n
证
1 n ( 1) n 1 1 xn 1 n n
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或 n , n
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1 所以, 取N [ ], 则当n N时,
n ( 1) n1 就有 1 n
ln ln n , 取N [ ], ln q ln q
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则当n N时,
就有 q n 0 ,
lim q n 0.
n
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例4 设xn 0, 且 lim xn a 0, 求证 lim xn a .
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x3
x1
x2 x4
xn
。 2 数列是整标函数 x n f (n).
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三、数列的极限
(1) n 1 观察数列 {1 } 当 n 时的变化趋势. n
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2024/9/27
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
xn
1
(1)n n
无限接近于常数1 ．
怎样用精确的数学语言来阐述“当 n 趋于无穷大时，
数列 xn 无限接近一个确定的常数 a ”这一变化趋势？ 我们知道，两个数 a 与 b 之间的接近程度可以用这两个
数之差的绝对值| b a | 来度量（ | b a | 的几何意义表示点 a
与点 b 之间的距离），| b a | 越小，a 与 b 就越接近．为此，“数
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
2. 收敛数列一定有界.
(Roundedness)
证: 设nl imxn a, 取 1, 则 N , 当 nN 时, 有 xn a 1,从而有
去求最小的 N．
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从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例2 证明
lim
n
(1)n (n 8)3
0
证:
xn0
( 1) n (n 8)3
极限是唯一的.
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《高等数学》教学课件：第1章 曲线与曲面 第2节
1
1
2
2x py z 6 0
数学与生物信息学教研室 Mathematics & Bioinformatics
2.1.两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角（介于0与 间）叫做两直线的夹角
2cos s1 s2 Nhomakorabea| m1m2 n1n2 p1 p2 |
| s1 || s2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
问题：两直线平行、重合？两直线垂直(相交、 不交)?
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直线L的位置就完全确定下来
参数的含义？方程的
特殊形式？
x x0 tm,
y
y0
tn,
tR
z z0 tp.
参数方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
对称式方程
点向式方程
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二、空间直线及其方程 10
1、空间直线的方程 1.2.直线的一般方程
4
1、平面方程 法向量(normal vector):与一平面垂直的向量(vector)称为该平面的法向 量(normal vector).
一般方程
Ax By Cz D 0
它是三元一次方程.事实上任何三元一次方程在三维几 何空间都表示平面.因此对于任给的三元一次方程，其 三个未知量的系数就是该方程所表示平面的一个方向量
第一章 曲线与曲面
第一节 空间形式概述 第二节 平面与空间直线的方程 第三节 曲面及其方程 第四节 曲线的表示形式
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高等数学：第九章 常微分方程1-2
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
28
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
7
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
其中c1, …,cn是n个独
立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.yBiblioteka x2 2C1x C2
是
方程y"=1的通解.
y
y=x2+C
独立：C1 C2 x C3 x 2 不独立：C1x C2 x (C1 C2 )x Cx
0
x
15
5. 特解： 不包含任何常数的解.
隐函数的形式Φ(x,y;c1, …,cn)=0,给出， 把Φ(x,y;c1, …,cn)=0称作方程的通积分。
求微分方程满足某些条件的特解。即
9. 初值问题：求出方程F(x, y, y‘, …, y (n) ) = 0满足
初始条件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是
已知常数。y(x0 ) y0,
高等数学(第五版)同济大学主编 1-2节数列极限
第二节 数列的极限
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
§2.1数列的极限
我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接 正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限 思想在几何学上的应用．
1
按照某一法则依次序排列的数，例如：
1 2 3 n , , ,, , ; 2 3 4 n 1
n xn n 1
2,4,8,,2 ,;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
| xn 0 |
得证 lim xn 0
n
11
例
1 证明： lim n 0. n 2
证 0,
1 1 1 1 2n 由 n 0 n n log 2 2 2
故取
N [log 2 ] 1
则 n > N 时,
1 0 n 2 1 由极限的定义, 得 lim n 0 . n 2
2 1 3 2 2 1 3 2 n 1 1
课堂练习P30。 1. 6
的极限存在，则极限值 定理 （唯一性）若数列 xn 1 唯一的。
的极限存在，则 xn 是有界的。 定理2 （有界性）若数列 xn
即M 0, n N , 有 xn M .
解
例5
1 2 n 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2
n
设 lim xn a, lim yn b, 则
(新)高等数学1-2定-PPT精选文档84页
2
lim
x 0
1 cos
x
1 1 1 1 21 2
高等数学
第一章 第二节
(2)lim(11)x e x x
幻灯片02-15
x
10
1000 10000000
(1 1 ) x x
2.59374
2.71692
2.71828
无穷小与无穷大
定理1 limf(x)Af(x)A(x), xx0 其 中 (x)是x当 x0时的无 . 穷小 设 f(x ) A (x ),
其中A是常数, (x)是当 xx0时的无,穷小
于是 |f(x)A | | (x)|
0, 0,当 0|xx0|,恒有
(2)零是可以作为无穷小的唯一常数。
定义 1.11 如果对于任意给定的正数
(不论它多么小),总存在正数 (或正数 X ),
使得对于适合不等式0 xx0 (或 x X ) 的一切x,对应的函数值 f (x)都满足不等式
f (x) ,
则称函数 f (x)是当 xx0(或 x)时的无穷 小,记作 xlimx f (x)0 (或xlim f (x)0).
sinx 0.995 0.99995 x
0.9999995
1
高等数学
第一章 第二节
幻灯片02-12
准则1(夹逼原理)
若在 x0 的某一邻域内有
g(x)f(x)h(x)
成立，且 limg(x)A，limh(x) A， 则 f(x) 的极x限x0存在，并且xx0
limf (x) A
推论（1） lim[Cf(x)]Climf(x) （2） lim[f(x)]n[limf(x)]n
高等数学
第一章 第二节
高等数学1-2
2. N的取法与预先任意给定 的正数 ε有关 .
ε N定义: lim xn = a n→∞
ε > 0, N > 0, 使n > N时, 恒有xn a < ε.
其中 : 每一个或任给的 ; : 至少有一个或存在 . 几何解释: 几何解释
aε
x 2 x1 x N + 1
2ε
a
a+ } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
播放
通过上面演示实验的观察得知: 通过上面演示实验的观察得知 n1 (1) (1) 当n 无限增大时 xn = 1+ , 1 无限接近于 . n 上述“ 无限增大时” 上述“当n无限增大时”指的是“当n→∞ 无限增大时 指的是“ →∞ 时”. 问题: 无限接近1”意味着什么 意味着什么? 问题 “xn无限接近 意味着什么 如何用数学 语言刻划它? 语言刻划它 “xn无限接近 是指 n-1|可以小于预先任意给 无限接近1”是指 是指|x 可以小于预先任意给 定的很小的正数. 定的很小的正数
2、数列 如果对每一个正整数n， 如果对每一个正整数 ，按照某一个法则都能 得到唯一确定的数x 得到唯一确定的数 n, 那么将这些数有次序地排列 起来(x 排在第n个位置上 个位置上). 起来 n排在第 个位置上 这样有次序排列的一 列数： 列数：
x1 , x 2 , L , x n , L
(1)
1 1 = n n
1 1 1 , 即 < 要想 x n 1 < , 只要 n > 100即可； 即可； 100 n 100
1 , 要想 x n 1 < 1000
即可； 只要 n > 1000即可；
1
高等数学1-2
注意： 注意：
显然， 而 xnk 在原数列 {xn }中却是第 nk 项，显然， nk ≥ k .
在子数列 {xnk }中，一般项 xnk 是第 k 项，
定理4 定理4
收敛数列与其子数列间的关系） （收敛数列与其子数列间的关系）
如果数列{ xn }收敛于 a , 那么它的 任一子数列也 收敛 , 且极限也是 a .
n→ ∞
得当n > N时,以下不等式成立
| xn − a |< ε
即
a − ε < xn < a + ε
a −ε
x 2 x1 x N + 1
2ε
a+ε
x N + 2 x3
x
a
当n > N时, 所有的点 xn都落在 (a − ε , a + ε )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.
数列极限的定义未给出求极限的方法. 数列极限的定义未给出求极限的方法 注意： 注意：
如果能够的话， 个常数的值等于多少？ 如果能够的话，这 个常数的值等于多少？ 因为
| xn − 1 |=| ( −1)
n −1
1 可见， 越来越大时， 越来越小， 可见，当n 越来越大时， 越来越小，从而 x n 就 n 越来越接近于1. 1 | xn − 1 | 即 足够大， 因为只要n 足够大， 可以小于 n 任意给定的正数
子数列的收敛性
定义： 定义：在数列 {xn }中任意抽取无限多项并 保持 中的先后次序， 这些项在原数列 {xn }中的先后次序，这样得 到
的子数列（或子列）． 的一个数列称为原数列 {xn }的子数列（或子列）．
例如， 例如，
x1 , x2 ,L , xi ,L xn ,L
高数1_2初等函数
⑶ 反正切函数
定义：正切函数 y = tanx 在
, 2 2
上的反函数，称为反正切
函数.记作 y = arctanx. (反正切函数的主值)
定义域：
x ,
y 值 域： , 2 2 y = arctanx是有界函数
例1
分析函数 y ln sin x 的复合结构.
解 函数 y ln sin x 是由 y ln u , u sin v , v x 复合而成.
例2
设 f ( x) x 2 , g ( x) 2x , 求 f [ g ( x)] , g[ f ( x)].
解 f ( x) x2 f [ g ( x)] [ g ( x)]2 (2 x ) 2 4 x
x 1 x
f { f [ f ( x)]}
1 1 f [ f ( x)]
1 x x 1 1 x
例4 解
设 f(x) 的定义域是（0，1），求f(lgx)的定义域. 令u = x，则0< u <1
当u = lgx时，0< lgx <1，所以1< x <10
即
函数的定义域为x ∈(1，10)
例如 函数 y sin 2 x 由 y u 2 , u sin x复合而成;
函数 y 1 x 2 是由y u , u 1 x 2复合而成的.
说明： ⑴ 并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数； 例如 y arcsin u, u 2 x 2就不能复合成一个函数. 因为u=2+x2的值域u>2，全部落在y=arcsinu的定义域之外. ⑵ 复合函数的中间变量可以不只一个 (两个以上函数也可构成复合函 数) 例： y 2u ，u cos v，v x 复合得到 y 2cos x ； ⑶ 分解复合函数时，每一步必须都是基本初等函数或基本初等函 数的四则运算.
高等数学第一讲1-2
2013-8-21 8
例3. 设
q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 . 证: xn 0
欲使
只要
即
ln . 亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q
q
2013-8-21
n 1
0
2013-8-21 11
2. 收敛数列一定有界 证: 设 取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
取
则有
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
xn a a 1 a
2013-8-21 10
例4. 证明数列
证: 用反证法.
是发散的.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取
1 ,则存在 N , 使当 n > N 2
a 1 xn a 1 2 2
时,有
但因
xn 交替取值 1 与－1 ,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间 ( a 1 , a 1 )内, 因此该数列发散。 2 2
2013-8-21
5
1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n1 n 1 (n ) xn n1
收 敛
n ( 1)n1 xn 1 (n ) n
2 , 4 , 8 , , 2 ,
n
演示
xn 2 n ( n ) xn ( 1)n1
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
例3. 设
q 1 , 证明等比数列
的极限为 0 . 证: xn 0
欲使
只要
即
ln . 亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q
q
2013-8-21
n 1
0
2013-8-21 11
2. 收敛数列一定有界 证: 设 取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a 1, 从而有
取
则有
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .
xn a a 1 a
2013-8-21 10
例4. 证明数列
证: 用反证法.
是发散的.
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取
1 ,则存在 N , 使当 n > N 2
a 1 xn a 1 2 2
时,有
但因
xn 交替取值 1 与－1 ,
而此二数不可能同时落在
长度为 1 的开区间 ( a 1 , a 1 )内, 因此该数列发散。 2 2
2013-8-21
5
1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n1 n 1 (n ) xn n1
收 敛
n ( 1)n1 xn 1 (n ) n
2 , 4 , 8 , , 2 ,
n
演示
xn 2 n ( n ) xn ( 1)n1
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
高数A课件PPT1-2
练 习 题
一、 利用数列极限的定义证明: 3n 1 3 lim 1、 n 2n 1 2 ； 2、 lim 0.999....9 1 二、 设数列 x n 有界，又 lim y n 0 ，
n
n
证明： lim x n y n 0 .
n
R
正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
如图所示,由正弦定理可知
n
r
当n无限增大时, 无限逼近S. 如何用数学语言来描述这一逼近过程呢？ 回答：需要引入数列极限的概念，用它来刻画 这个过程。
二、数列的定义
定义:按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
引入 (不论多么小的正数)来刻画接近程度，即
1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
定义 : 如果对于任意给定的正数 ( 不论它多么 小), 总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立, 那末就称常数 a 是数列
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M 0, 使得 | x n
3.保号性
n { }有界, {2n }无界. | M . 例如, n 1
若 lim x n a，且a 0(或a 0)，则必
n
N 0，当n N时，都有x n 0(或x n 0).
注意：由性质2可知，无界数列必发散；且有界 数列未必是收敛的。
x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 前面的例子中，从图像中可以看出： ①发散(至无穷大) ③发散(在1与-1间振荡) ②收敛于0 ④收敛于1