(完整)2017年马鞍山二中高一理科实验班招生考试数学试题及答案,推荐文档
【安徽省马鞍山二中】2017届高三上学年期期中(理科)数学年试题
（Ⅱ）∵ EA 平面ABCD
∴ EA CD ， EA AD
又∵ AD CD
∴ CD 平面EAD
∴ CD ED
△EAD中， EA AD ， EA AD 1
∴ ED 2 ，
∴ S△CDE
1 2
CD
ED
2
S△BCD
1 CD 2
AD 1 …………………………………………………………………（9 分）
3x 2, x 1, （Ⅱ）当 a 5 时， f (x) | x 5 | | 2x 2 | 5 x 2, 5 x 1,
3x 12, x 5,
可知函数 f (x) 的图象和 x 轴围成的图形是一个三角形，其中与 x 轴的两个交点分别为 A(2,0) ，B( 2 ,0) ， 3
t2 t2
4 5
12 5
，……………………………………（7
分）
所以 1 1 | FA | | FB | | t1 | | t2 | ， | FA | | FB | | FA | | FB | | t1 | | t2 |
因为 t1
t2
12 5
，所以 |
t1
|
|
4．【命题意图】考查双曲线的性质，简单题． 5．【命题意图】考查数学文化及解三角形，中等题． 6．【命题意图】考查程序框图，中等题． 7．【命题意图】考查三角函数的性质，中等题． 8．【命题意图】考查函数性质，中等题． 9．【命题意图】本题考查中点弦问题，中等题． 10．【命题意图】考查线性规划，中等题． 11．【命题意图】考查空间想象能力、运算能力，中等题． 12．【命题意图】考查分段函数的图象和性质，与方程的根，导数的几何意义，较难题．
【安徽省马鞍山二中】2017届高三上学期期中(理科)数学试卷-答案
安徽省马鞍山二中2017 届高三上学期期中（理科）数学试卷答 案1~5． BDCAB 6~10．CBDDD 11~12． AB13． 1 146 ． 1315． 65 16． 1p ：1x17．解：对于命题a 3 x0 知， a， x，0 ， a 1由 13对于命题 q ： ax 2 x a 0 在 R 上恒成立①若 a 0 ，则 - x0 在 R 上恒成立，明显不行能，舍去．②若 aa 0，解得： a10 ，则1 4a2 2命题 p 和 q 有且仅有一个正确，p 真 q 假或许 p 假 q 真，而由 p 真 q假，可得 a1 1；由 p假 q真，可得 a2综上可得，所求a 的取值范围为,11,2 18．解：（Ⅰ）a bc ．cosA 2cosB3cosCsinA sinBsinC ，cosA2cosB3cosC即 tanA11 2tanA ， tanC 3tanA ，tanBtanC ，tanB23tanAtan BC2tan A 3tan A ，1 tan B tan CtanA2tan A3tan A 2，1 6tan 2A ，整理求得tan A 1， tanA 1当 tanA 1时， tan B2 ，则 A ， B 均为钝角，与 A B C π矛盾，故舍去，π tanA 1, A．4（Ⅱ）tanA 1，tanB 2tanA ，tanC 3tanA ，tanB 2，tanC 3 ，sinB2,sin C 3 ，5 10 cosB1,cosC1510sinAsinBCsin B CsinBcosC2 1 13 1cosBsinC1051025ab，sinAsinBb sinB a 2 10，sinA5 aSABC1absinC1 a ?2 10 ?a3 3a 2 3 ，225105a 2 5， a5 ．19 1 ）证明：如图 1取 BD 中点 M ，连结 AM ，ME ． ．（ABAD2，AM BDDB2，DC 1， BC5 ，DB 2 DC 2BC 2 ，△BCD 是 BC 为斜边的直角三角形， BD DC ，E 是 BC 的中点，ME 为 △ BCD 的中位线1ME ∥ CD ，MECD ，1 MEBD ， ME，2AME 是二面角 A BD C 的平面角，AME 60AMBD ，MEBD 且 AM 、ME 是平面 AME 内两订交于 M 的直线，BD 平面 AEMAE 平面 AEM ，BDAE ABAD2，DB 2 ，△ ABD 为等腰直角三角形， AM1BD 1，2AE 2AM 2 ME 2 2AM ME cos AME3 ，4AE3 ，4AE 2ME21 AM2，AEME M ，BDME ，BD平面 BDC ，ME面BDC ，AE平面 BDC（2）解：如图 2， M 为原点 MB 为 x 轴， ME 为 y 轴，成立空间直角坐标系M xyz ，1B 1,0,0 , E1 1 31,1,0则由（ ）及已知条件可知0, ,0,A0,,, D 1,0,0 ,C22 2DA1,1 ,3,DC0,1,1 , AE0,0,3 ，2 22设平面 ACD 的法向量为 nx,y,z1 3则 x+ 2 y 2 z 0 ，n3,0, 2 ，y设直线 AE 与平面 ADC 所成角为，则sin3 2 73772直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为2 7 720．解：（ 1）当 x 0 时， sgn x 1 ，解方程 x 2 3x 11 ，得 x 3（ x 0 不合题意舍去） ；当 x 0 时， sgn x 0 ， 0 不是方程 x 2 3x 1 0 的解；当 x 0 时， sgn x1，解方程 x 23x1 1 ，得 x2 或 x 2 （均不合题意舍去） ．综上所述， x3是方程 x23x 1sgn x 的根．x22x, x2（2）因为函数f x x22x, 0x2，x22x, x0x23x, x2则原方程转变为：a x2x, 0x 2．x23x, x0数形联合可知：①当 a- 2 时，原方程有1个实根；②当 a- 2时，原方程有2个实根；③当 2a0 时，原方程有 3 个实根；④当 a0 时，原方程有 4 个实根；⑤当 0a 15 个实根；时，原方程有4⑥当 a 14 个实根；时，原方程有4⑦当1a9时，原方程有 3 个实根；44⑧当 a 92个实根；时，原方程有4⑨当 a 91个实根．时，原方程有4故当 a2,0 1 , 9时，对于 x 的方程 f x x a 有3个互异的实根．4421．解：（Ⅰ）设等比数列a n的公比为q，对于随意的n N 有 S n， S n 2， S n 1成等差，2 a1a1 q a1q 2a1 a1a1q ．整理得： 2 1q q2a12q．a10 ， 2 2q 2q2 2 q ．2q2q 0 ，又 q0 ，q 1 ．2又 a1a4 a1 1 q37 ，16把 q 1代入后可得 a1 1 ．22所以， a n a1q 11n 1n11；222nb n nn a1n（Ⅱ）n，n 2，b，n2a n1n2T n 1 21 2 22 3 23n 2n．2T n 1 22 2 23 3 24n 1 2n n 2n 1．2 22232n 212nn 2n 1T n n 2n +1 =12T n2-2n 1n 2n 1n 1 2n 1 2 ．12若 n2m T n n 1 对于n 2 恒成立，1则 n2m n 1 2n 1 2n 1 对于n 2 恒成立，12m n12n 1 1对于 n 2 恒成立，也就是n 1mn 1对于 n 2 恒成立，2n 1 1令 f n n 1 ，2n 11f n1f nn n12n 2n 112n 2 1 2n 112n 2 1 2n 10 1f n为减函数，f n f221 1 ．2317m 1．7所以， n12m T n n 1 对于 n 2 恒成立的实数m 的范围是1 ,．722．解：（Ⅰ）f x ln x bx a ，xf x bx x a ，x2在 x1时获得极值，f1b 1 a0∴a- b 1（Ⅱ） a2，b1，f x ln x x 2，xf x 121x2x2x2x1x0 ，x x2x2x2f x在0,1 上单一递减，在1,上单一递加，f x在0,内有独一极小值，也就是f x在 0,内的最小值，f x min f13（Ⅲ）由（Ⅱ）知f xmin f1 3 且f x在0,1上单一递减．n1，n1f n ln n 2 n1n f13n nn1n11lnn21， n n+1 lnn，00 n 2n 1 n（n n1）nn 1n 1n 11n 2e安徽省马鞍山二中2017 届高三上学期期中（理科）数学试卷解析1．【考点】会合的包括关系判断及应用．【剖析】依据会合的定义和会合间的并集定义，推出P 会合的状况，求出M ∪ N，而后判断选项．【解答】解：∵ P={ x| f （ x） g（ x） =0} ，∴P有三种可能即：P x f x0} ，或P x g x0P x f x0或g x0={|（） =={ |（）= }或={ |（） =（）= }，∵M={x f x0，N={x|g x）0 |（） = }（= } ，∵M∪N x f x0或g（x0} ，={ |（） =）=∴P? （M∪N），应选 B．2．【考点】复合命题的真假．【剖析】此题考察的知识点是复合命题的真假判断，解决的方法是先判断构成复合命题的简单命题的真假，再依据真值表进行判断．x x【解答】解：∵命题p： ?x∈（﹣∞， 0），3 ＜ 4 ，x x∵对于 x∈（﹣∞， 0）， 3 ＜ 4∴命题 P 是假命题又∵命题q： tanx＞ x， x∈（ 0，）∴命题 q 是真命题依据复合命题真假判断，（￢ p）∧ q 是真命题，故 D 正确p∧ q， p∨（￢ q）、 p∧（￢ q）是假命题，故 A 、 B、 C 错误应选 D3．【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】在R 上的单一连续函数f（ x）在区间（ 0，2）上存在零点，则 f （0） f（ 3）＜ 0，反之不行立，即可判断出结论．【解答】解：∵在 R 上的单一连续函数 f （ x）在区间（ 0， 2）上存在零点，则f（ 0） f （ 3）＜ 0，23），反之不行立，零点可能∈ [ ，所以定义在 R 上的单一连续函数 f （ x）在区间（ 0， 2）上存在零点的一个必需不充足条件是f（ 0） f （ 3）＜0．应选： C．4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，代入z?计算得答案．【解答】解：∵ z===，∴．则z．? =应选： A．5．【考点】等比数列的性质．【剖析】依据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n之间的关系，联合基本不等式获得最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（ q＞ 0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣ 2=0，∴q=2，∵存在两项a m， a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m 1 n 5时，=；m 2n 4时，=．= ， ==， =∴的最小值为，应选 B．6．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】三视图还原的几何体，下部是放倒的四棱柱，上部是正方体，依据三视图的数据，求出几何体的表面积．【解答】解：三视图还原的几何体，下部是放倒的四棱柱，底面是直角梯形，边长分别为：3，2，1，；高为： 1；上部是正方体，也能够看作是三个正方体和半个正方体的组合体，所以几何体的体积为：3×13+=，应选 C．7．【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】利用向量数目积的几何意义和三角形外心的性质即可得出．【解答】解：联合向量数目积的几何意义及点O 在线段 AB ， AC 上的射影为相应线段的中点，可得，∴，应选： B，8．【考点】函数零点的判断定理；根的存在性及根的个数判断．【剖析】由题意结构函数y1=sin| x| ，y2=kx ，而后分别做出两个函数的图象，利用图象和导数求出切点的坐标以及斜率，即可获得选项．【解答】解：依题意可知x 不可以等于0．令 y1=sin| x| ， y2=kx ，明显函数y1为偶函数，y2=kx 为奇函数，故θ，φ为绝对值最小的两个非零零点．而后分别做出两个函数的图象．由题意可得y2与 y1仅有两个交点，且φ是 y1和 y2相切的点的横坐标，即点（φ， sin| φ| ）为切点，φ∈（﹣，﹣π），故sin|φ|=﹣sinφ．因为（﹣ sin φ）′ =﹣ cosφ，所以切线的斜率k=﹣ cosφ．再依据切线的斜率为k==，∴﹣cosφ，即sin θ θcosφ==﹣，应选： D．9．【考点】函数的定义域及其求法．【剖析】求出函数的定义域，依据随意m，n∈ D，点 P（ m， f （ n））构成的图形为正方形，获得函数的最大值为 2，解方程即可获得结论．【解答】解：要使函数存心义，则a（ x﹣1）（ x﹣ 3）≥ 0，∵a＜ 0，∴不等式等价为（x﹣ 1）（ x﹣3）≤ 0，即 1≤ x≤3，∴定义域 D =[ 1，3] ，∵随意 m， n∈D ，点 P（ m，f （ n））构成的图形为正方形，∴正方形的边长为2，∵f（1） =f （ 3） =0，∴函数的最大值为 2，即 a（ x﹣ 1）（ x﹣ 3）的最大值为4，设 f （x） =a（ x﹣ 1）（ x﹣3） =ax2﹣4ax+3a，∴当 x=2 时， f （ 2） =﹣a=4，即 a=﹣ 4，应选： D．10．【考点】数列的乞降．【剖析】由数列的通项公式求出数列前几项，获得数列的奇数项均为1，每两个偶数项的和为6，由此能够求得 S120的值．【解答】解：由a n=（﹣1）n（ 2n﹣ 1） cos+1，a=﹣cos 1 1a3cosπ12，得1+ =，2=+ =﹣a3=﹣ 5cos+1=1， a4=7cos2π+1=8，a5=﹣ 9cos+1=1， a6=11cos3π+1=﹣ 10，a7=﹣ 13cos+1=1， a8=15cos4π+1=16，由上可知，数列 { a n} 的奇数项为1，每两个偶数项的和为6，∴S120=（ a1+a3+ +a119）+（ a2+a4 + +a58+a120） =60+30× 6=240．应选： D．11．【考点】直线与平面所成的角．【剖析】连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA 1OC 2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△= ，=A ′ BD ，当 A′ C 与以 O 为圆心， OA ′为半径的圆相切时，直线 A ′ C 与平面 BCD 所成角最大，由此能求出结果．【解答】解：如图，平面四边形ABCD 中，连结 AC ， BD ，交于点 O，∵AD =AB =，CD=CB=，且 AD ⊥AB ，∴BD=2，AC⊥BD，=∴BO =OD=1，∴OA ==1，OC==2．将△ ABD 沿着对角线BD 翻折成△ A ′ BD ，当 A ′C 与以 O 为圆心， OA ′为半径的圆相切时，直线 A ′C 与平面 BCD 所成角最大，此时， Rt△OA ′ C 中， OA ′=OA =1， OC=2，∴∠ OCA ′=30°，∴A ′C 与平面 BCD 所成的最大角为 30°．应选： A．12．【考点】几何概型．【剖析】 f（ x） =a x?g（ x），g（ x）≠ 0，结构 h（ x）=a x=，又f′（x）?g（x）＜f（x）?g′（x），利用导数可得：函数h（ x）单一递减，0＜ a＜ 1．利用+=，解得a，再求概率．【解答】解：∵ f （ x） =a x?g（ x）， g（x）≠ 0，h x） =a x=，又f′（xg x f x gx），∴（）? （）＜（）?′（h′（x）=0h x）单一递减，∴0 a 1∴＜，∴函数（＜＜．+=，∴ a+a﹣1=，解得 a=．对于x的方程abx2+x 2 0，即bx2+x 2 0，，∴，+ =+ =∴对于 x 的方程 abx2+x+2=0（b∈（ 0， 1））有两个不一样实根的概率为=，应选 B．13．【考点】定积分．【剖析】dx =，由此能求出结果．【解答】解：dx===（lnx）21= ．故答案为： 1．14．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【剖析】把平面 BMD 及平面 AMD 以 DM 为折线展平，三角形 DAM 是正三角形的一半，故在平面 BMAD 中，连结 BA ，与 MD 订交于 P 点，则 AP+BP 为最短距离，再利用余弦定理即可得出．【解答】解：因为各棱长均为 1 的四周体是正四周体把平面 BMD 及平面 AMD 以 DM 为折线展平，三角形DAM 是正三角形的一半DM =，AM =，AD =1，BM =，BD=1故在平面 BMAD中，连结BA ，与 MD 订交于 P 点，则 AP+BP 为最短距离，在三角形 BMD 中，依据余弦定理，cos BMD== ，∴sin∠BMD=，∠cos DMB cos 90°+∠BMC） =﹣sin∠BMC=﹣，∠= （∴BA 2 =BM 2+AM 2﹣ 2BM ?AM ?cos∠ AMB =+ ﹣2???（﹣） =．故答案为：．15．【考点】程序框图．【剖析】第一判断程序框图的功能，依据退出循环的条件即可求得n 的值．【解答】解：模拟履行程序框图，可得程序框图的功能是计算S123的值，且当S2016时，=+++ =＞输出 n 的值，因为，当n 64时，S=2080＜2016，==当n 65时，S2145＞2016，===故输出 n 的值为 65．故答案为： 65．16．【考点】简单线性规划．【剖析】作出不等式对应的平面地区，利用线性规划的知识，利用z 的几何意义即可获得结论． ．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：由 z=x+4y 得 y=﹣x+ z ，平移直线 y=﹣ x+ z ，由图象可知当直线y=﹣ x+ z 经过点 A （ 1， 0）时，直线的截距最小，此时z 最小．此时 z min =1+4× 0=1， 故答案为： 1．17．【考点】命题的真假判断与应用．【剖析】求出命题 p 真、命题 q 真时 a 的取值范围，由命题p 和 q 有且仅有一个正确，求 a 的取值范围．p ：由 11 x【解答】解：对于命题a 3x 0 知， a， x ﹣ ，0 ， a 13对于命题 16q ： ax 2xa 0在 R 上恒成立3① 若 a 0 ，则 - x0 在 R 上恒成立，明显不行能，舍去． ② 若 aa 01，则1 4a 2，解得： a2∵命题 p 和 q 有且仅有一个正确，∴ p 真q假或许 p 假 q真，而由 p 真 q假，可得 a1 1；由 p假 q真，可得 a2综上可得，所求 a 的取值范围为18．【考点】正弦定理；余弦定理．【剖析】（ Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转变成角的正弦， 化简整理可用 tanA 分别表示出 tanB 和 tanC ，从而利用两角和公式求得tanA ，从而求得 A ．（Ⅱ）利用 tanA ，求得 tanB 和 tanC 的值，利用同角三角函数关系获得 sinB 和 sinC ，从而依据正弦定理求得 b 和 a 的关系式，代入面积公式求得 a ．【解答】解：（Ⅰ）∵ab c．∴sinA sinBsinC ，cosA 2cosB3cosC即 tanA 112tanA ， tanC3tanA ，tanBtanC ，tanB2 3∵ tanAtan BC2tan A 3tan A ，1 tan B tan C∴ tanA2tan A 3tan A ，整理求得 2A 1， tanA1，1 6tan2 Atan当tanA时，tanB 2 ，则A ，B 均为钝角，与A 矛盾，故舍去，1B C π∴ tanA 1, Aπ4 ．（Ⅱ）∵ tanA 1，tanB 2tanA ， tanC 3tanA ，∴ tanB 2，tanC 3 ，∴ sinB2 ,sin C3 ，510 ∴ cosB1,cosC1510sinA sinB Csin B CsinBcosC cosBsinC2 1 13 15105102ab，∵sinA sinBsinB a 2 10a ，∴ bsinA5∵SABC1absinC 1 a ? 2 10 ?a3 3a 2 3 ，225105∴ a 25， a5 ．19．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判断．【剖析】（ 1）先依据条件获得 BD ⊥平面 AEM ；从而经过求边长获得AE ⊥ ME ；即可获得结论；（ 2）先成立空间直角坐标系，求出平面 ADC 的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．【解答】（ 1）证明：如图 1 取 BD 中点 M ，连结 AM ，ME ．∵ABAD 2，∴ AM BD∵ DB 2， DC 1， BC5 ，DB 2 DC 2 BC 2 ，∴ BCD 是 BC 为斜边的直角三角形， BD DC ，∵ E 是 BC 的中点，∴ ME 为 BCD 的中位线 ∴ ME / /CD ，ME1CD ，2∴ ME BD ， ME1 ，2∴ AME 是二面角 A BD C 的平面角，∴ AME 60∵ AM BD ，ME BD 且 AM 、ME 是平面 AME 内两订交于 M 的直线，∴ BD 平面 AEM ∵ AE平面 AEM ，∴ BDAE ∵ AB AD2，DB 2，∴ ABD 为等腰直角三角形， ∴ AM1BD 1，2∴ AE 2AM 2 ME 2 2 AM ME cos AME3 ，4∴ AE3 ，4∴ AE 2 ME 2 1 AM 2，∴ AE ME M ， ∴ BD ME ， BD平面 BDC ， ME 面 BDC ，∴ AE平面 B DC（2）解：如图 2， M 为原点 MB 为 x 轴， ME 为 y 轴，成立空间直角坐标系 M xyz ，则由（ 1）及已知条件可知B 1,0,0 , E 0,1,0 ,A 0,1, 3 , D 1,0,0 ,C1,1,02 2 2∴ DA1,1 ,3,DC0,1,1 , AE0,0, 3，2 22设平面 ACD 的法向量为 nx,y,z则 x+ 13 0，∴ n2y2z3,0, 2 ，y 0设直线 AE 与平面 ADC 所成角为，则 sin32 73772∴直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为2 7720．【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象；根的存在性及根的个数判断．【剖析】（ 1）利用已知条件，列出方程，逐个求解即可．（2）求出函数的分析式，获得 a 的表达式，画出图象，经过 a 的范围议论函数零点个数即可．【解答】解：（ 1）当x＞0时， sgn x 1 ，解方程x23x 1 1，得 x 3（ x 0 不合题意舍去）；当 x 0时， sgn x0 ，0不是方程 x23x 1 0的解；当 x＜0 时，sgn x1，解方程x23x1 1 ，得x 2 或 x 2 （均不合题意舍去）．综上所述， x 3 是方程x23x 1sgn x 的根．x 22x,x2（2）因为函数f x x22x,0x2，x2 2 x,x0x23x,x2则原方程转变为：a x2x,0x 2 ．x23x,x0数形联合可知：①当 a＜- 2 时，原方程有1个实根；②当 a- 2 时，原方程有 2 个实根；③ 当2＜a＜0 时，原方程有 3 个实根；④当 a 0 时，原方程有 4 个实根；⑤当 0＜ a＜1时，原方程有 5 个实根；4⑥ 当1时，原方程有 4 个实根；4⑦当1＜ a＜9时，原方程有 3 个实根；44⑧当 a 92 个实根；时，原方程有4⑧当 a 91 个实根．时，原方程有4故当 a2,019x a 有3个互异的实根．4, 时，对于x的方程 f x421．【考点】等比数列的通项公式；数列的乞降；数列与函数的综合．【剖析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于随意的n∈ N+有 S n， S n+2， S n+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列 { a n} 的通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n和已知 b n=n 代入整理，而后利用错位相减法求T n，把 T n代入（ n﹣ 1）2≤m（ T n﹣ n﹣ 1）后分别变量m，使问题转变为求函数的最大值问题，剖析函数的单一性时可用作差法．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列a n的公比为q，∵对于随意的n N 有 S n， S n 2， S n 1成等差，∴ 2 a1a1 q a1 q2a1a1a1q ．整理得： 2 1 q q2a2q．1∵ a10，∴， 22q2q22q ．∴ 2q2q 0，又 q0 ，∴ q 1 ．2又 a1a4a1 1 q37 ，16把 q 1代入后可得 a11．22所以，；1n b n n n （Ⅱ）∵ b n n 2，n ， a n，∴n2a n12∴ T n 1 21 2 22 3 23n 2n．2T n 1 22 2 23 3 24n 1 2n n 2n 1．∴T n 2 22232n -n 2n +1=21 2n n 2n 1 12∴ T n 2-2n 1n 2n1n1n12．122若 n2m T n n 1 对于n 2 恒成立，1则 n2m n 1 2n12n1对于 n 2 恒成立，1也就是n12m n12n1 1 对于n 2 恒成立，∴mn1对于 n 2 恒成立，2n 11令 f n n1，2n11∵ f n 1 f nn n12n 2n 110 n 21 2n 112n 2 1 2n 112∴ f n为减函数，∴f n f221 1 ．2317∴ m 1．7所以， n12m T n 1 对于 n 2 恒成立的实数m 的范围是1,．n7 22．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【剖析】（Ⅰ）求导数，利用函数在x 1a b的值；=时获得极值，可务实数﹣（Ⅱ）确立f x）在（，1上单一递减，在1f x）在（， +∞）内有独一极（][ ， +∞）上单一递加，可得（小值，也就是f（ x）在（0， +∞）内的最小值；（Ⅲ）由（II）知f（x f（1）3且f（x）在（，1] 上单一递减，证明ln+，可得结） min==﹣＞论．【解答】解：（ I）∵f x ln x bx a，x∴ f x bx x a，x2∵在 x1时获得极值，∴ f 1 b 1 a 0 ∴a- b1 4 分（II ）a2，b1，∴ f x ln x x 2，x∴ f x 121x2x2x2x1x0 ，x x2x2x2∴ f x在0，1 上单一递减，在1，上单一递加，∴ f x在0，内有独一极小值，也就是f x 在0，内的最小值，∴ f x min f138 分（III）由（ II ）知 f xmin f 1 3 且f x在0，1 上单一递减．∵ 0n1 ，n1∴ f n ln n 2 n1n f13 n11n n 1n∴ ln n211n n1n（）n n 11n∴ n1与e0 ，∴ n n+1 lnn2 ，0 nn1n2。
【安徽省马鞍山】2017学年高考一模数学年(文科)试题
n
1 2
n
n 2n ，
Tn 1 21 2 22 3 23 n 2n ．
2Tn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n1 ．
Tn 2 22 23
2 1 2n
2n n 2n+1=
73 7 2
直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为 2 7 7
20．解：（1）当 x 0 时， sgn x 1 ，解方程 x2 3x 1 1，得 x 3 （ x 0 不合题意舍去）； 当 x 0 时， sgn x 0 ，0 不是方程 x2 3x 1 0 的解； 当 x 0 时， sgn x 1，解方程 x2 3x 1 1，得 x 2 或 x 2 （均不合题意舍去）．
∵存在两项 am，an 使得
，
∴aman=16a12， ∴qm+n﹣2=16， ∴m+n=6
∴
= （m+n）（
）= （10+
）
，写出 m，n 之间的关系，
m=1，n=5 时，
又 a1 a4 a1 1 q3
7 ， 16
- 4 - / 19
把
q
1 2
代入后可得
a1
1 2
．
所以，
an
a1q1
1 2
1 2
n1
1 2
n
；
（Ⅱ）
bn
n
，
an
安徽省马鞍山市2017届高中毕业班第二次教学质量检测【理数试题+答案】模板
马鞍山市2017届高中毕业班第二次教学质量检测高三理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）集合2{|230}A x x x =-->，{||2|3}B x x =-≤，则A B =（ ▲ ）（A ）(1,5] （B ）(3,5] （C ）R （D ）(,1)(1,)-∞--+∞ 【答案】C【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．（2）已知复数z 满足34i z i ⋅=+(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为（ ▲ ）（A ）3- （B ）3 （C ）3i - （D ）3i 【答案】A【命题意图】考查复数的基本概念和运算，难度：简单题．（3）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为01(2A ，12秒旋转一周． 则动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数解析式为（ ▲ ）（A ）sin()36y t ππ=+（B ）cos()63y t ππ=+（C ）sin()63y t ππ=+ （D ）cos()36y t ππ=+【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的定义，难度：简单题．（4）已知函数1()2mx f x x n+=+的图象关于点(1,2)对称，则（ ▲ ）（A ）42m n =-=， （B ）42m n ==-，（C ）42m n =-=-， （D ）42m n ==， 【答案】B【命题意图】本题考查函数图象与性质，难度：中等题．（5）执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝4，那么判断框内应填入的条件是（ ▲ ）（A ）k ≤ 14? （B ）k ≤ 15? （C ）k ≤ 16? （D ）k ≤ 17?【答案】B【命题意图】本题考查程序框图，难度：中等题．（6）已知2cos sin αα=，则41+cos sin αα=（ ▲ ）（A（B（C ）12（D ）2【答案】D【命题意图】本题考查三角恒等变换，难度：中等题．（7）将正方形ABCD 沿对角线AC 折成120︒的二面角，则折后的直线BD 与平面ABC 所成角的正弦值为（ ▲ ）（A ）12（B（C（D【答案】A【命题意图】本题考查立体几何，二面角以及线面角的有关计算，难度：中等题．（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值为（ ▲ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C【命题意图】本题考查线性规划思想与等差数列的基本运算，难度：中等题．（9）已知P ､Q 为ABC ∆中不同的两点，且32PA PB PC ++=0，QA QB QC ++=0，则:PAB QAB S S ∆∆ 为（ ▲ ） （A ）1:2 （B ）2:1 （C ）2:3 （D ）3:2 【答案】A【命题意图】考查平面向量，难度：中等题．（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ▲ ） （A ）25π （B ）26π （C ）32π （D ）36π 【答案】C【命题意图】本题考查三视图，球的计算，难度：中等题． （11）已知函数2()ln 1f x x x =+，()g x kx =，若存在0x 使得00()()f x g x =，则k 的取值范围是（ ▲ ） （A ）(,1]-∞ （B ）[1,)+∞ （C ）(,]e -∞ （D ）[,)e +∞ 【答案】B【命题意图】本题考查函数图象与性质，难度：中等题．（12）已知(0,7)A ，(0,7)B -，(12,2)C ，以C 为一个焦点作过 A 、B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是（ ▲ ）（A ）22148x y -= （B ）22148y x -=（C ）22148x y -=（1y ≤-） （D ）22148y x -=（1y ≥）【答案】C【命题意图】本题考查椭圆、双曲线的基本概念与运算，难度：中等题．俯视图侧视图正视图第10题图第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2017年马鞍山二中高一理科实验班招生考试数学试题及标准答案
2017年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试数 学【注意事项】1.本试卷共4页，总分150分，答题时长120分钟，请掌握好时间。
2.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。
3.考生务必在答题卷上答题，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将试卷 和答题卷一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．．．．．．．．．．．） 1．将一些棱长为1的正方体摆放在33⨯的平面上（如图1所示），其正视图和侧视图分别如图2、图3，记摆放的正方体个数的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 72.多项式2234(1)(1)(3)(1)x x x x +++-+-等于下列哪个选项（ ）A ．22(1)x x - B ． 2(1)(1)x x x +- C ． (1)(1)x x x +- D ． 22(1)(1)x x --3.甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有40张.每张纸牌上有1至10中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，每人有20张牌，每人将各自牌中相差为5的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为4和a ，乙也还有两张牌，牌上的数分别为7和b ，则b a -的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 7 4.已知x 为实数，且|31||41||171|x x x -+-++-的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（ ）： A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 755.[]x 表示不超过实数x 的最大整数4ππ-(如[]=3,[-]=-4,[]=-4),记x x x M=[]+[2]+[3]. 将不能表示成M 形式的正整数称为“隐形数”.则不超过2014的“隐形数”的个数是( ) A ． 335 B ． 336 C ． 670 D ． 6716.如图，点O 为锐角ABC ∆的外心，点D 为劣弧AB 的中点， 若,BAC α∠=,ABC β∠=,βα>且则DCO ∠=( ) A ．2βα- B ．3αβ- C ．3βα+ D ．4βα+第6题图C第1题图图1图2图3二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．将答案填在答题卷中相应横线上．．．．．．．．．．．．） 7.如果不等式||||2x a x -+<没有实数解，则实数a 的取值范围 ； 8.已知实数xx =，则x 的取值范围是 ； 9.函数y =的最大值为 ；10.设a b 、为实数，已知坐标平面上的抛物线2y x ax b =++与x 轴交于P Q 、两点，且线段7PQ =.若抛物线28y x ax b =++-与x 轴交于R S 、两点，则线段=RS ；11.正方形ABCD 中，两个顶点到直线l 的距离相等，且均为另两个顶点到直线l 的距离的两倍，则这样的直线有 条；12.使二次方程222510x px p p -+--=的两根均为整数的质数p 的所有可能值为 ；13.在平面直角坐标系中,不管实数a 取什么实数,抛物线223y ax x =++的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是 ；14.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b cb c ac a b++=+-+-+-，则abc = ；15.如图，P 为等边ABC ∆内一点，2,1,PA PB PC ===则ABC ∆的面积为 ；16.如图，在AOB ∠的边OA 上过到点O 的距离为1,3,5,7,…的点作互相平行的直线，分别与OB 相交，得到如图中所示的阴影梯形，它们的面积依次记为123,,,S S S …． 则20142013S S = ．三、解答题（本大题共5小题，共60分．将答案填在答题卷中相应．．．．．．．．位置处．．．，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10+O第16题图第15题图CB18.（本题满分12分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点A 出发，沿同方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两辆车都必须沿原路返回出发点A ，但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点A ，并求这辆车一共行驶了多少千米？19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且2.DC CE CA =⋅ （1）求证：BC CD =（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ，若,22,PB OB CD ==求DF 的长．20.（本题满分13分）如图，已知抛物线(2)(4)8k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于,A B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以,,A B P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；第19题图（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？第20题图21.（本题满分13分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”.例如，22=-就是一个“好数”.1653（1）2014是不是“好数”？说明理由.（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？数学试题答案及评分标准．．．．．．．．．．．．．．．．．．17.解：原式+=+=+………………………………………………5分77=--14=-………………………………………………………………10分18.解:设尽可能远离出发点A 的甲汽车行驶了xkm ,乙汽车行驶了ykm ,则24012224012x y x y +≤⨯⨯⎧⎨-≤⨯⎩而11()()432022x x y x y =++-≤,即甲车一共行驶了4320km .………………………6分 具体的方案是:两辆汽车行驶了720km 后,乙车借给甲车60L 汽油,并在此地等着,甲车继续前进1440km 后返回,碰到乙车时再借60L 汽油,然后两车回到出发点A .………………12分19.（1）证明：2,DC CE CA =⋅∴CDE ∆∽CAD ∆∴CDB DBC ∠=∠， ∵四边形ABCD 内接于O ，∴BC CD =………………………………………………3分 （2）解：如图，连接OC ， ∵BC CD =，∴DAC CAB ∠=∠，又∵AO CO =，∴CAB ACO ∠=∠，∴DAC ACO ∠=∠， ∴AD ∥OC ，∴,PC POPD PA= ∵,22,PB OB CD ==∴2,4 2.322PC PC PC =∴=+又∵PC PD PB PA ⋅=⋅∴4PA =也就是半径4OB =，……………………6分在RT ACB ∆中，22228(22)214,AC AB BC =-=-=∵AB 是直径，∴90ADB ACB ︒∠=∠=∴90FDA BDC ︒∠+∠=,90CBA CAB ︒∠+= ∵BDC CAB ∠=∠∴FDA CBA ∠=∠ 又∵90AFD ACB ︒∠=∠=,∠AFD =∠ACB =90° ∴AFD ∆∽ACB ∆∴2147,22AF AC FD CB ===………………………………9分 在RT APF ∆，设FD x =，则7AF x =，∴222(7)(62)12,x x ++=求得322DF =.………………………………12分 20.解：（1）抛物线(2)(4)8k y x x =+-，令0y =，解得2x =-或4x =，∴(2,0)A -，(4,0)B ．∵直线33y x b =-+经过点(4,0)B ，∴解得433b =， ∴直线BD 解析式为：33334y x =-+．当5x =-时，33y =，∴(5,33)D -在抛物线(2)(4)8k y x x =+-上，解得839b =．………………………………………………………………………3分 （2）由抛物线解析式，令0x =，得y k =-，∴(0,)C k -，OC k =．点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC ∆∽APB ∆或ABC ∆∽ABP ∆．第19题图①若ABC ∆∽APB ∆，则有BAC PAB ∠=∠，如答图2﹣1所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则,ON x PN y ==．tan tan BAC PAB ∠=∠，即：,.222k y k y x k x =∴=++ ∴(,)2kP x x k +，代入抛物线解析式整理得：26160x x --=， 解得：8x =或2x =（与点A 重合，舍去），∴(8,5)P k ． ∵ABC ∆∽APB ∆，∴AC ABAB AP=， 即2246625100k k +=+，解得：455k =．……………………………………7分 ②若ABC ∆∽ABP ∆，则有ABC PAB ∠=∠，如答图2﹣2所示．同理，可求得2k =．综上所述，455k =或2k =．………………………9分 则33DN =，（3）由（1）知：(5,33)D -，如答图3，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，5,9,ON BN ==∴tan 3,3DBA DN BN ∠==∴30,DBA ︒∠= 过点D 作DKx 轴，则30,KDF DBA ︒∠=∠=过点F 作FG DK ⊥于点G ，则12FG DF =．由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF AF FG =+=+．由垂线段最短可知，折线AF FG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH DK ⊥于点H ，则min t AH =，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．∵A 点横坐标为2-，直线BD 解析式为：33y x =+∴(F -.………………………………………………………13分21、（1）2014不是“好数”.如果2014是“好数”，不妨设222014()m n m n =-、为自然数，则()()m n m n +-⨯=21007，而m n m n +-、的奇、偶性相同，即()()m n m n +-要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是“好数”.…………………………………………4分(2)设k 为自然数，由（1）类似可得如42k +的自然数都不是“好数”22221)(1)4,(1)21k k k k k k +--=+-=+（，故4,k 21k +的自然数都是“好数”，……………………………………………………10分所以从小到大的“好数”为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第n 个“好数”为1[]3n n -+，所以第2014个“好数”为2684.…………………………………………………………13分。
安徽省马鞍山二中、安师大附中2017届高三12月阶段性测试理数试题 Word版含答案
数学（理）试卷 第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数)5z i i i =-（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i +2.“2a =-”是“直线1:30l ax y -+=与()2:2140l x a y -++=互相平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5C ． 45D ． 904. 将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个6点”，则条件概率()()|,|P A B P B A 分别是（ ） A ．601,912 B ．160,291 C ．560,1891 D ．911,21625. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．306. 已知点,,P A B 在双曲线22221x y a b-=上，直线AB 过坐标原点，且直线PA PB 、的斜率之积为13，则双曲线的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．2 D ．27.在边长为1的正ABC ∆中，,D E 是边BC 的两个三等分点（D 靠近于点B ），则AD AE 等于（ ） A ．16 B ．29 C ．1318 D ．138. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将()f x 图象上的所有点向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A ．,,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．2,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,2,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 已知数列{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1nn na b a +=，若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()8,7--B ．[)8,7--C ．(]8,7--D ．[]8,7--10.函数4cos xy x e =-（e 为自然对数的底数）的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 当,x y 满足不等式组22472x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩时，22kx y -≤-≤恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[]1,1--B ．[]2,0-C ．13,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12. 已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，P 是面1111A B C D 上的动点．给出以下四个结论中，则正确的个数是（ ）①与点D P 形成一条曲线 ，且该曲线的长度是2；②若//DP 平面1ACB ，则DP 与平面11ACC A 所成角的正切值取值范围是3⎫+∞⎪⎪⎣⎭；③若DP ，则DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第Ⅱ卷（非选择题 ）二、填空题（本大题 共4小题 ，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f =____________．14.若0,,cos 224ππααα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α= ____________． 15.在数列{}n a 及{}n b 中，1111b 1,1n n n n n n a a b a b a b ++=+=+==．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2017项和为 ____________．16.已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈，有72OA OP =，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为____________．三、解答题 （本大题共6小题，第17题 至21题每题 12分，在第22、23题中任选一题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，12,cos 3AB B ==，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2,BD DC ACD =∆sin sin BAD CAD∠∠的值． 18.（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（1）请完成关于商品和服务评价的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列： ②求X 的数学期望和方差． 附临界值表：2K 的观测值：()()()()()2n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）关于商品和服务评价的22⨯列联表：19.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，且1,2AB BC AD ===，顶点P 在平面ABCD 内的射影H 在AD 上，PA PD ⊥．（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若直线AC 与PD 所成角为60°，求二面角A PC D --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知焦点为F 的抛物线()21:20C x py p =>，圆222:1C x y +=，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q ．（1）当直线l的方程为0x y -=时，求抛物线1C 的方程； （2）记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求12S S 的最小值． 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值，且有两个零点记为12,x x ．（1）求实数a 的值，以及实数m 的取值范围； （2）证明: 12ln ln 2x x +>．选做题 （在第22、23两题中任选一题作答，若两题都做，按第22题 记分.）22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，点P 是圆C 上任一点，求,A B 两点的极坐标和PAB ∆面积的最小值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-．（1）解不等式：()()12f x f x ++≤；（2）若0a <，求证：()()()2f ax af x f a -≥．参考答案一、选择题二、填空题 13. 13-14. 151615. 4034 16. 15 三、解答题17.（1）在三角形中，∵1cos 3B =，∴sin B =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又ADC S ∆=ADC S ∆=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵1sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵11sin ,sin 22ABD ADC S AB AD BAD S AC AD CAD ∆∆=∠=∠，2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2sin BAD ACCAD AB∠=∠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠，∴AC =sin 242sin BAD ACCAD AB∠==∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分18.解：（1）由题 意可得关于商品和服务评价的22⨯列联表如下：()222008010407011.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0，1，2，3．其中()()()32211233327235423360;1;25125551255512P X P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫========= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②由于23,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2622183,31555525E X D X ⎛⎫=⨯==⨯⨯-=⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．12分19.解析：（1）∵PH ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，∴PH AB ⊥， ∵,,,AB AD ADPH H AD PH ⊥=⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）以A 为原点，如图建立空间直角坐标系A xyz -，∵PH ⊥平面ABCD ， ∴x 轴//PH ．则()()()0,0,0,1,1,0,0,2,0A C D ，设(),02,0AH a PH h a h ==<<>， ∴()0,,P a b ，()()()0,,,0,2,,1,1,0AP a h DP a h AC ==-=， ∵PA PD ⊥，∴()220AP DP a a h =-+=， ∵AC 与BD 所成角为60°． ∴()21cos ,222AC DP a ==-， ∴()222a h -=，∴()()210a a --=，∵02a <<，∴1a =，∵0h >，∴1h =，∴()0,1,1P ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ∴()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1,1,1,0AP AC PC DC ===-=-，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =，由n AP y z n AC x y ⎧=+=⎨=+=⎩，得平面APC 的一个法向量为()1,1,1n =-，设平面DPC 的法向量为(),,m x y z =，由00m PC x z m DC x y ⎧=-=⎨=-=⎩，得平面DPC 的一个法向量为()1,1,1， ∴1cos ,3m nm n m n ==． ∵二面角A PC D --的平面角为钝角，∴二面角A PC D --的余弦值为13-．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）设点200,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()220x py p =>得，22x y p =，求导x y p '=， 因为直线PQ 的斜率为1，所以01x p =且2002x x p-=，解得p = 所以抛物线1C的方程为2x =．（2）因为点P 处的切线方程为：()20002x x y x x p p-=-，即200220x x py x --=，根据切线与圆切，得d r =1=，化简得4220044x x p =+，由方程组20022422002201440x x py x x y x x p ⎧--=⎪+=⎨⎪--=⎩，解得20042,2x Q x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以002P Q PQ x x =-=-=，点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到切线PQ的距离是d ==所以2220010211224p x p x S PQ d p x +-==⨯=，20122Q pS OF x x ==， 而由4220044x x p =+知，24200440p x x =->，得02x >，所以()()()()()() ()222242222 222000000000012422 20000 222442222422424443324x p x x x x x x xxx p xSS p x p p x x xxx+-+---+-=⨯===---=++≥-当且仅当224424xx-=-时取“=”号，即24x=+p=所以12SS的最小值为3．21.（1）()()21ln1lnax x a a xxf xx x--+-'==，由()10af x x e+'=⇒=，且当1ax e+<时，()0f x'>，当1ax e+>时，()0f x'<，所以()f x在1ax e+=时取得极值，所以10ae e a+=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以()()()2ln1ln,0,x xf x m x f xx x-'=->=，函数()f x在()0,e上递增，在(),e+∞上递减，()1f e me'=-，()00x x→>时，();f x x→-∞→+∞时，()(),f x m f x→-有两个零点12,x x，故101,0mmeem⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）不妨设12x x<，由题意知1122lnlnx mxx mx=⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln,lnxx xx x m x x m x x mx x x=+=-⇒=-．需证12ln ln2x x+>，只需证明212x x e>，只需证明：()12ln2x x >，只需证明：()122m x x+>，即证：()122211ln2x x xx x x+>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211xt x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+．也就是证明：1ln 201t t t -->+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++，∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >，则12ln ln 2x x +>得证．．．．．．．．．．．．12分22.（1）由53x ty t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去参数t ，得()()22532x y ++-=，所以圆C 的普通方程为()()22532x y ++-=， 由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ-=-， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）直线l 与x 轴，y 轴的交点为()()2,0,0,2A B -，化为极坐标为()2,,2,2A B ππ⎛⎫⎪⎝⎭，设P 点的坐标为()5,3t t -++，则P 点到直线l的距离为d==∴min d ==AB = 所以PAB ∆面积的最小值是1222242S '==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23.（1）由题意，得()()112f x f x x x ++=-+-， 因此只须解不等式122x x -+-≤，当1x ≤时，原不等式等价于232x -+≤，即112x ≤≤； 当12x <≤时，原不等式等价于12≤，即12x <≤； 当2x >时，原不等式等价于232x -≤，即522x <≤． 综上，原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得()()()222222222f ax af x ax a x ax a ax ax a ax a f a -=---=-+-≥-+-=-=，所以()()()2f ax af x f a -≥成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
【安徽省马鞍山二中】2017届高三上学期期中(理科)数学试卷
安徽省马鞍山二中2017届高三上学期期中（理科）数学试卷一、选择题（每小题5分，计60分）：1．设非空集合M N 、满足：(){}|0M x f x =，(){}|0N x g x =，()(){}P |0x f x g x ==，则集合P 恒满足的关系为（ ） A ．P M N =UB ．()P M N ⊆UC ．P ≠∅D ．P =∅2．已知命题():,0,34x xP x ∃∈-∞<；命题π:0,,tan 2q x x x ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∧3．已知定义在R 上的单调连续函数()f x 在区间()0,2上存在零点的一个必要不充分条件是（ ） A ．()()020f f < B ．()()120f f <C ．()()030f f <D ．()()010f f <4．已知复数1z =-，z 是z 的共轭复数，则z z =g （ ）A ．14B ．12C 1i 4D 1i 4-5．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+．若存在两项m n a a ，14a ，则19m n+的最小值为（ ）A ．83B ．114C ．145D ．1766．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为（ ）A ．373mB ．392mC ．372mD ．394m7．已知ABC △中，24AB AC O ==，，为△ABC 的外心，则AO BC u u u r u u u rg 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．108．函数sin ()x f x k x=-0k （＞）有且仅有两个不同的零点θ，()ϕθϕ>，则以下有关两零点关系的结论正确的是（ ）A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．sin cos θθϕ=D ．sin cos θθϕ=-9．已知()0＜）f x a =，定义域为D ，任意m n D ∈，，点(())P m f n ，组成的图形为正方形，则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-10．设数列{}n a 的通项公式为()π(1)(21)cos 12n n n a n n =--+∈*N g ，其前n 项和为n S ，则120S =（ ） A ．60﹣B ．120﹣C ．180D ．24011．在平面四边形ABCD 中，ADAB ==，CD CB ==AD AB ⊥，现将△ABD 沿着对角线BD 翻折成△A BD '，则在△A BD '折起至转到平面BCD 内的过程中，直线A C '与平面BCD 所成的最大角为（ ） A ．30oB ．45oC ．60︒D ．90o12．已知()()f x g x 、都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''<，()()xf x ag x =，()()()()115112f fg g -+=-，则关于x 的方程()()22001abx b +=∈,有两个不同实根的概率为（ ） A ．15 B ．12C ．35D ．45二、填空题（每小题5分，计20分）：13．2e 1ln x dx x=⎰____． 14．已知正四面体ABCD 的棱长为1，M 为AC 的中点，P 在线段DM 上，则()2AP BP +的最小值为____． 15．阅读如图的程序框图，输出的结果为____．16．已知x y ，满足约束条件：010x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则4x y +的最小值为____．三、解答题（共6大题计70分）：17．已知命题()p f x ：(]0x ∈-∞，上有意义，命题q ：函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围．18．在ABC △中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对的边，且 cos cos cosCa b cA B ==． （1）求角A 的大小；（2）ABC △的面积为3，求a 的值．19．如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC的中点，21,,DB DC BC AB AD ====将（图1）沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为60o （如图2） （1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求直线AE 与平面ADC 所成角的正弦值．20．对x ∈R ，定义函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）求方程()231sgn x x x +=-的根；（2）设函数()()()2sgn 22f x x x x =⎡⎤⎣⎦-g ﹣，若关于x 的方程()f x x a =+有3个互异的实根，求实数a 的取值范围．21．已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知14716a a +=-，且对于任意的n *∈N 有21n n n S S S ++，，成等差数列；（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知()n b n n +=∈N ，记312123n n nb b b b T a a a a =++++K ，若()()211n n m T n ≤﹣﹣﹣对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围．22．已知函数()ln af x x bx x=--（a b 、为常数），在1x =时取得极值． （Ⅰ）求实数a b -的值；（Ⅱ）当2a =-时，求函数()f x 的最小值；（Ⅲ）当*N n ∈时，试比较()11n n n n +⎛⎫⎪+⎝⎭与21e n +⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小并证明．。
【安徽省马鞍山二中】2017届高三上学年期期中(理科)数学年试题答案
-4-/4
1．已知集合 A x | (x 3)(x 1) 0 ， B x | 2 x 2 ，则 A B （ ）
A．[2, 1]
B．[1, 2]
2．设 i 为虚数单位，则复数 z 1 i 的模为（ 1 i
A．1
B． 2
C． [1,1] ）
C． 3
D．[1, 2] D． 2
21．（本小题满分 12 分） 已知函数 f (x) (x 1)ln x (x a)2(a R) ．
-3-/4
（Ⅰ）若 f (x) 在 (0, ) 上单调递减，求 a 的取值范围；
（Ⅱ）若
f
(x)
有两个极值点
x1,
x2
，求证：
x1
x2
5 4
．
请考生在第（22）和第（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（Ⅰ）请将上述列联表补充完整； （Ⅱ）判断是否有 99.9% 的把握认为喜欢游泳与性别有关？
附： K 2
n(ad bc)2
(a b)(c d )(a c)(b d )
p(K 2 k0 )
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
k0
2.706 3.841 5.024 6.635
17．（本小题满分 12 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn 4a 1．
（Ⅰ）求an 的通项公式
（Ⅱ）设 bn an an1 2 ，求数列bn 的前 n 项和 Tn ．
18．（本小题满分 12 分）
2017 年 3 月 27 日，一则“清华大学要求从 2017 级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在
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2017年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试数 学【注意事项】1.本试卷共4页，总分150分，答题时长120分钟，请掌握好时间。
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷相应表格中．．．．．．．．．．．） 1．将一些棱长为1的正方体摆放在33⨯的平面上（如图1所示），其正视图和侧视图分别如图2、图3，记摆放的正方体个数的最大值为m ，最小值为n ，则m n -=（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 72.多项式2234(1)(1)(3)(1)x x x x +++-+-等于下列哪个选项（ ）A ．22(1)x x - B ． 2(1)(1)x x x +- C ． (1)(1)x x x +- D ． 22(1)(1)x x --3.甲、乙两人在玩一种纸牌，纸牌共有40张.每张纸牌上有1至10中的一个数，每个数有四种不同的花色.开始时，每人有20张牌，每人将各自牌中相差为5的两张牌拿掉，最后甲还有两张牌，牌上的数分别为4和a ，乙也还有两张牌，牌上的数分别为7和b ，则b a -的值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 6D ． 74.已知x 为实数，且|31||41||171|x x x -+-++-L 的值是一个确定的常数，则这个常数的值是（ ）： A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 755.[]x 表示不超过实数x 的最大整数4ππ-(如[]=3,[-]=-4,[]=-4),记x x x M=[]+[2]+[3]. 将不能表示成M 形式的正整数称为“隐形数”.则不超过2014的“隐形数”的个数是( ) A ． 335 B ． 336 C ． 670 D ． 6716.如图，点O 为锐角ABC ∆的外心，点D 为劣弧AB 的中点， 若,BAC α∠=,ABC β∠=,βα>且则DCO ∠=( )A ．2βα- B ． 3αβ- C ． 3βα+ D ． 4βα+ 二、填空题（本大题共10小题，每小题6分，共60分．将答案填在答题卷中．．．．．．相应横线．．．．上．．） 第6题图C第1题图图1图2图37.如果不等式||||2x a x -+<没有实数解，则实数a 的取值范围 ； 8.已知实数xx =，则x 的取值范围是 ； 9.函数y =的最大值为 ；10.设a b 、为实数，已知坐标平面上的抛物线2y x ax b =++与x 轴交于P Q 、两点，且线段7PQ =.若抛物线28y x ax b =++-与x 轴交于R S 、两点，则线段=RS ；11.正方形ABCD 中，两个顶点到直线l 的距离相等，且均为另两个顶点到直线l 的距离的两倍，则这样的直线有 条；12.使二次方程222510x px p p -+--=的两根均为整数的质数p 的所有可能值为 ；13.在平面直角坐标系中,不管实数a 取什么实数,抛物线223y ax x =++的顶点都在同一条直线上,这条直线的函数关系式是 ；14.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b cb c ac a b++=+-+-+-，则abc = ；15.如图，P 为等边ABC ∆内一点，2,1,PA PB PC ===则ABC ∆的面积为 ；16.如图，在AOB ∠的边OA 上过到点O 的距离为1,3,5,7,…的点作互相平行的直线，分别与OB 相交，得到如图中所示的阴影梯形，它们的面积依次记为123,,,S S S …． 则20142013S S = ．三、解答题（本大题共5小题，共60分．将答案填在答题卷中相应．．．．．．．．位置处．．．，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题满分10+O第16题图第15题图CB18.（本题满分12分）甲、乙两辆汽车同时从同一地点A 出发，沿同方向直线行驶，每辆车最多只能带240L 汽油（含油箱中的油），途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km ，两辆车都必须沿原路返回出发点A ，但是两车相互可借用对方的油.请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发点A ，并求这辆车一共行驶了多少千米？19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径，AC 和BD 相交于点E ，且2.DC CE CA =⋅ （1）求证：BC CD =（2）分别延长AB ，DC 交于点P ，过点A 作AF CD ⊥交CD 的延长线于点F ，若,22,PB OB CD ==求DF 的长．20.（本题满分13分）如图，已知抛物线(2)(4)8k y x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于,A B两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P ，使得以,,A B P 为顶点的三角形与ABC ∆相似，求k 的值；第19题图（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？第20题图21.（本题满分13分）一个自然数(即非负整数)若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”.例如，22=-就是一个“好数”.1653（1）2014是不是“好数”？说明理由.（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？数学试题答案及评分标准．．．．．．．．．．．．．．．．．．17.解：原式+=+=+………………………………………………5分77=--14=-………………………………………………………………10分18.解:设尽可能远离出发点A 的甲汽车行驶了xkm ,乙汽车行驶了ykm ,则24012224012x y x y +≤⨯⨯⎧⎨-≤⨯⎩而11()()432022x x y x y =++-≤,即甲车一共行驶了4320km .………………………6分 具体的方案是:两辆汽车行驶了720km 后,乙车借给甲车60L 汽油,并在此地等着,甲车继续前进1440km 后返回,碰到乙车时再借60L 汽油,然后两车回到出发点A .………………12分19.（1）证明：2,DC CE CA =⋅Q∴CDE ∆∽CAD ∆∴CDB DBC ∠=∠， ∵四边形ABCD 内接于O e ，∴BC CD =………………………………………………3分 （2）解：如图，连接OC ， ∵BC CD =，∴DAC CAB ∠=∠，又∵AO CO =，∴CAB ACO ∠=∠，∴DAC ACO ∠=∠， ∴AD ∥OC ，∴,PC POPD PA= ∵,22,PB OB CD ==∴2,4 2.322PC PC =∴=+又∵PC PD PB PA ⋅=⋅∴4PA =也就是半径4OB =，……………………6分在RT ACB ∆中，22228(22)214,AC AB BC =-=-=∵AB 是直径，∴90ADB ACB ︒∠=∠=∴90FDA BDC ︒∠+∠=,90CBA CAB ︒∠+= ∵BDC CAB ∠=∠∴FDA CBA ∠=∠ 又∵90AFD ACB ︒∠=∠=,∠AFD =∠ACB =90° ∴AFD ∆∽ACB ∆∴2147,22AF AC FD CB ===………………………………9分 在RT APF ∆，设FD x =，则7AF x =，∴222(7)(62)12,x x ++=求得322DF =.………………………………12分 20.解：（1）抛物线(2)(4)8k y x x =+-，令0y =，解得2x =-或4x =，∴(2,0)A -，(4,0)B ．∵直线33y x b =-+经过点(4,0)B ，∴解得43b =， ∴直线BD 解析式为：33334y x =-+．当5x =-时，33y =，∴(5,33)D -在抛物线(2)(4)8k y x x =+-上，解得83b =．………………………………………………………………………3分 （2）由抛物线解析式，令0x =，得y k =-，∴(0,)C k -，OC k =．点P 在第一象限内的抛物线上，所以ABP ∠为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是ABC ∆∽APB ∆或ABC ∆∽ABP ∆．第19题图①若ABC ∆∽APB ∆，则有BAC PAB ∠=∠，如答图2﹣1所示．设(,)P x y ，过点P 作PN x ⊥轴于点N ，则,ON x PN y ==．tan tan BAC PAB ∠=∠，即：,.222k y k y x k x =∴=++ ∴(,)2kP x x k +，代入抛物线解析式整理得：26160x x --=， 解得：8x =或2x =（与点A 重合，舍去），∴(8,5)P k ． ∵ABC ∆∽APB ∆，∴AC ABAB AP=， 即224625100k k +=+，解得：455k =．……………………………………7分 ②若ABC ∆∽ABP ∆，则有ABC PAB ∠=∠，如答图2﹣2所示．同理，可求得2k =．综上所述，45k =或2k =．………………………9分 则33DN =，（3）由（1）知：(5,33)D -，如答图3，过点D 作DN x ⊥轴于点N ，5,9,ON BN ==∴tan 3,DBA DN BN ∠==∴30,DBA ︒∠= 过点D 作DK x P 轴，则30,KDF DBA ︒∠=∠= 过点F 作FG DK ⊥于点G ，则12FG DF =．由题意，动点M 运动的路径为折线AF DF +，运动时间：12t AF DF AF FG =+=+．由垂线段最短可知，折线AF FG +的长度的最小值为DK 与x 轴之间的垂线段．过点A 作AH DK ⊥于点H ，则min t AH =，AH 与直线BD 的交点，即为所求之F 点．∵A 点横坐标为2-，直线BD 解析式为：33y x =+∴(F -.………………………………………………………13分21、（1）2014不是“好数”.如果2014是“好数”，不妨设222014()m n m n =-、为自然数，则()()m n m n +-⨯=21007，而m n m n +-、的奇、偶性相同，即()()m n m n +-要么是奇数要么能被4整除.所以2014不是“好数”.…………………………………………4分(2)设k 为自然数，由（1）类似可得如42k +的自然数都不是“好数”22221)(1)4,(1)21k k k k k k +--=+-=+（，故4,k 21k +的自然数都是“好数”，……………………………………………………10分所以从小到大的“好数”为：0,1,3,4,5,7,8,9,11,12,13,……所以第n 个“好数”为1[]3n n -+，所以第2014个“好数”为2684.…………………………………………………………13分。