安徽省马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题(含答案)
安徽省马鞍山市第二中学高二数学上学期期中素质测试试题 理
马鞍山市第二中学2016—2017学年度第一学期期中素质测试高二数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线10x +=的倾斜角是（A ）30︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）150︒ （2）在空间直角坐标系中，点(2,1,4)P -关于xOy 平面对称点的坐标是（A ）(2,1,4)-- （B ）(2,1,4)--- （C ） (2,1,4)- （D ） (2,1,4)- （3）下列能得出平面α∥平面β的一个条件是（A ）存在一条直线,a βα//,//a a（B ）存在一条直线a a a αβ⊂，，∥（C ）存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （D ）存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （4）经过两点11(,)x y ,22(,)x y 的直线方程都可以表示为（A ）112121––––x x y y x x y y = （B ）221122––––x x y y x x y y =（C ）()()()()121121––––y y x x x x y y =（D ）()211121––––y y y y x x x x =（5）已知平面α，β及直线a 满足αβ⊥，AB αβ=，a α∥，a AB ⊥，则（A ）a β⊂ （B ）a β⊥ （C ）a β∥ （D ）a 与β相交但不垂直（6）圆22:68240C x y x y +-++=关于直线 :350l x y --=对称的圆的方程是（A ）22(1)(2)1x y +++= （B ）22(1)(2)1x y -+-= （C ）22(1)(2)1x y -++= （D ）22(1)(2)1x y ++-=（7）已知：空间四边形ABCD 如图所示，E F 、分别是AB AD 、的中点，G H 、分别是BC ，CD上的 点，且13CG BC =.13CH DC =，则直线FH 与直线EG（A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）垂直（8）过点()2, 1M 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P Q 、两点，O 为原点，且4OPQ S ∆=，则符合条件的直线l 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条（9）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠︒＝，1AB AC AA ＝＝，则异面直线1BA 与1AC 所成的角是（A ）30︒ （B ）120︒ （C ）60︒ （D ）45︒（10）过ABC ∆所在平面α外一点P ,作PO α⊥，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，若点O 是ABC ∆ 的内心，则（A ）PA PB PC == （B ）点P 到AB ，BC ，AC 的距离相等 （C ）PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥ （D ）PA ，PB ，PC 与平面α所成的角相等（11）Rt ABC ∆中，斜边4BC =，以BC 的中点O 为圆心，作半径为(2)r r <的圆，圆O 交BC 于,P Q 两点，则22||||AP AQ +=（A ） 28r + （B ）282r + （C ）216r + （D ）2162r + （12）设某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（A ）4π （B ）6π （C ）8π （D ）10π第7题图第Ⅱ卷二．填空题：本题共4小题，每小题5分。
安徽省马鞍山市第二中学高二下学期期中素质测试(数学理)
马鞍山二中 - 第二学期期中考试高二数学试卷（理科）一．选择题(3× 10＝30分)1、在复平面内，复数(12i )2对应的点位于A、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限D、第四象限2、下边几种推理过程是演绎推理的是A、某校高二共有 10 个班， 1 班有 51 人， 2 班有 53 人， 3 班有 52 人，由此推断各班都超出50 人．B、两条直线平行，同旁内角互补，假如A和 B 是两条平行直线的同旁内角，则A B 180．C、由平面三角形的性质，推断空间四周体性质．D、在数列a n中a11,a n 1a n 11n 2 ，由此概括出 a n的通项公式．2a n13、用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假定的内容是A、三角形中有两个内角是钝角B、三角形中有三个内角是钝角C、三角形中起码有两个内角是钝角D、三角形中没有一个内角是钝角4、用数学概括法证明等式 1 2 3(n 3)( n4)N )时，第一步考证n1时，左侧应取的(n 3)(n2项是A、 1B、1 2C、1 23D、12345、复数z知足z 2 z 3 i ，则 zＡ、 1i ；Ｂ、 1 i ；Ｃ、 3i ； D 、3 i．6、设函数f (x)在定义域内可导，y f ( x) 的图象如下图，则导函数y f ( x) 可能为y y y y y O x O x O x O x O xA B C D y f ( x)7、若 f ( x)x33ax 23( a2) x 1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围是A、1a2B、 a 2 或 a1 C 、a 2 或 a1D、a1或a28、已知函数f ( x) x 3bx2cx 的象如所示，22等于yx1x2A、2B、4C、8D、16x2 3333Ox112x9、f (x), g( x)分是定在R 上的奇函数和偶函数，当 x0， f (x)g(x) f ( x) g (x)0 且f (2)0 则不等式 f (x) g( x)0 的解集A、(2,0)(2,) B 、(2,0)(0,2) C 、(,2)(2,) D、(, 2)(0,2)10、a0, f (x) ax2b x c ，曲 y f (x) 在 P( x0, y0 ) 切的斜角的取范是[0, ]，P到曲 y f ( x) 称的距离的取范是4A、[0,1]B、 [0, 1 ]C、 [0,b]D、 [0, b 1 ] a2a2a2a二、填空(3×5＝ 15 分)11、a R，且 1ai 2ai （ i 虚数位）正数，；12、 f ( x)x2 , x [0,1]，02 f (x)dx =；2 x, x(1,2]13 、利用数学法明“ (n1)( n 2) (n n) 2 n 1 3(2n 1), n N *”，从“n k” 到“n k 1；” ，左增乘的因式是 _____________________14、函数 f ( x)x3 6 x 5 ( x R)，若对于 x 的方程 f ( x) a 有三个不一样根， a 的取范是.15、如 , 数表足； (1) 第n行首尾两数均n ;(2)1表中推关系似三角22( 即每一数是其上方相两数之和), 第n(n1) 行第2 个数 f (n) . 依据 3 434774表中上下两行数据关系, 能够求适当n⋯2 , f (n)．511 14 115⋯⋯ ⋯三．解答（8+8+8+9+10+12＝55分）16、已知： a b 0 ，求证：a b a b17、已知函数 f (x) x33x（Ⅰ）求曲线在x 2处的切线方程；（Ⅱ）过点 P(2, 6) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此切线的方程.18、直线y kx 分抛物线 y x x 2与 x 轴所围成图形为面积相等的两个部分, 求 k 的值 .19、当n N *时， S n111111， T n11112342n 1 2n n 1 n 2 n 32n （Ⅰ）求 S1， S2，T1，T2；（Ⅱ）猜想 S n与 T n的关系，并用数学概括法证明.计表示，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）对于行驶速度x（千米 / 小时）的函数分析式能够表示为： y1x33x 8(0 x 120) 已知甲、乙两地相距100千12800080米。
安徽省马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题(含答案)
马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题一、选择题 (每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分)1．若0<x<1，则x 2，x 1x这四个数中 （ ）A 、1x 最大，x 2最小 B 、x 最大，1x最小 C 、x 2 D 、x 最大，x 2最小 2．小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸．出一张福娃纪念卡，则摸．出的福娃都是贝贝的概率是 （ ） A 、125B 、25C 、15D 、183．方程(x 2+x-1)x+3=1的所有整数解的个数是 （ ）A 、5B 、4C 、3D 、24．钟表上12点15分时，时针与分针的夹角为（ ）A 、90ºB 、82.5ºC 、67.5ºD 、60º5．使方程2x 2-5mx+2m 2=5的二根为整数的整数m 的值共有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图09-1所示，记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则 （） A 、p>q B 、p=qC 、p<qD 、p 、q 的大小关系不能确定二、填空题 (每小题5分，满分30分)1．分解因式：x 4-x 2y 2+y 4= 2．已知x满足不等式| a x -1| > a x -1 (其中a ≠0)，那么x 的取值范围是 3．已知a 是整数，一次函数y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于 4．如图09-2，已知正方形ABCD ，其边长为1，以AB 为边在形内作正三角形ABE ，则⊿ACE 的面积为5．在⊿ABC 中，AB=25，AC=17，高AD=15，设能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径为R ，则R 的最小值是图09-26．已知：a 2+4a+1=0，且am a a m a a 2212324++++=3，则m 的值为三、解答题（本大题共7小题，1～5小题各12分；6、7小题各10分，共80分） 1．(本题12分) 解关于x 的不等式：x 2+3<4|x|。
安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高二年级第一学期期末素质测试理科数学试题(原卷版)
安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题某班所有的男生都爱踢足球，则命题为A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球2.若向量与向量的夹角的余弦值为，则A. 0B. 1C.D. 23.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. B.C. D.4.是直线和直线平行且不重合的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.平面内一点到两定点，的距离之和为10，则的轨迹是A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段6.如图：在平行六面体中，为与的交点若，，，则下列向量中与相等的向量是A. B.C. D.7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 108.已知菱形边长为1，，将这个菱形沿折成的二面角，则两点的距离为A. B. C. D.9.试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B. C. D.10.在长方体中，如果，，那么到直线的距离为A. B. C. D.11.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）A.B.C. 三棱锥的体积为定值D. 异面直线所成的角为定值12.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知1，，0，，且与垂直，则的值为______．14.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是_________.15.如图所示，正方体中，分别是正方体和的中心，是的中点，设、与所成的角分别为、，则等于______．16.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直的直线分别交于两点，已知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题，，命题实数满足：方程表示双曲线．1若命题为真命题，求实数的取值范围；2若命题“或”为假命题，求实数的取值范围．18.如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，为两个顶点，已知椭圆上的点到、两点的距离之和为4.（Ⅰ）求椭圆的方程和焦点坐标；（Ⅱ）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于、两点，求的面积.19.如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点．求异面直线与所成角的余弦值；求直线和平面的所成角的正弦值．20.已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点．当时，证明：若，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．1证明：；2若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．求椭圆的标准方程；点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两侧的动点当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．。
2009年安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科数学2009.5
2009年安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）试题考生注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.1.设i 为虚数单位，则复数ii -12009在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M={}02>∈xR x ，N={}0log 2>∈x R x ,则M C R N 等于A. {}1≤∈x R xB. {}1>∈x R x C. {}10≤<∈x R xD. {}10≤≤∈x R x俯视图正视图侧视图2222223．由函数)(sin )(R x x x f ∈=的图象经过平移得到函数)(/x f y =的图象，下列说法正确的是A. 向左平移π个单位长度B.向左平移 2π个单位长度 C. 向右平移π个单位长度 D.向右平移 2π个单位长度 4. 下列说法正确的是A.做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率为nm ； B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法；D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.5.在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积S S MBC 21≤∆的概率为 A. 31B.21 C.32 D.436. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A －CDEF 外接球的表面积是A.π3B. π34C.π12D. π487． 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M ，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为A.12+ B. 3C. 2D.212+ 8.若n xx )3(3+的展开式中存在常数项，则n 的值可以是A.8B.9C. 10D. 12第6题图E FDCBA直观图9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y 的结果是0.5，则在计算框 中“？”处的关系式可以是A. 2x y =B. x y -=2C. x y 2=D. 21x y =10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线 给出下面条件：①a ∥α，b ⊂β； ②a ⊥α，b//β； ③a ⊥α，b ⊥β.其中是a ⊥b 的充分条件的有A.②B.③C.②③D.①②③11. 1sin )(+=x x x f ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 时，有)()(21x f x f >，则21,x x 应满足的关系一定是A ：021>>x x B.210x x << C.21x x > D. 21x x >12.过抛物线2x y =上一动点P(t,t 2) (0<t<1)作此抛物线的切线l ，抛物线2x y =与直线x=0、x=1及切线l 围成的图形的面积为S,则S 的最小值为A.121B. 101C. 61D. 41 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)20,0(cos 4,3cos πθρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2交点的极坐标为 ;14. 已知点P y x ,(）满足条件）k k y x xy x 为常数(020⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥，若x+3y 的最大值为8，则=k ;15. 如图，四边形ABCD 中，=a , =b ,对角线AC 与BD 交于点O ， 若点O 为BD 的中点，OC AO 2=，则=BC ;第15题图PABCDE F16.过点)1,2(的直线l 将圆4)2(22=-+y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于 ;三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数)4(sin )4tan(12cos 2cos 4)(24x x x x x f -+--=ππ（Ⅰ）求)1217(π-f 的值; （Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求x x f x g 2sin )(21)(+=的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求二面角C-PD-A 的余弦值.19. （本小题满分12分）某通道有三道门，在前两道门前的匣子里各有3把钥匙（第三道门前没有钥匙），其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门,若不能进入就终止；若能进入，继续用这两把钥匙开第三道门，记随机变量ξ为打开的门数. （Ⅰ）求0=ξ时的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足11=a ，S n 为其前n 项和，且2)1(4+=n n a S （n ≥1）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等比数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为T n ，且b 1b 2b 3=8,又33221,,b a b a b ++成等差数列，求T n .21．(本小题满分12分)如图，已知圆C ：8)1(22=++y x ,定点A(1,0),M 为圆 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足→AM =→AP 2,→AM ·→NP =0，点N 的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线l 交曲线E 于不同的两点G 、H ， 且满足∠GOH 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.22. (本小题满分14分)设函数),,)()()(()(R c b a c x b x a x x f ∈---=（Ⅰ）若c b a ,,互不相等，且)()(//b f a f =，求证c b a ,,成等差数列;（Ⅱ）若b a ≠，过两点)0,(),0,(b a 的中点作与x 轴垂直的直线，此直线与)(x f y =的图象交于点P ，求证：函数)(x f y =在点P 处的切线过点（c,0）;（Ⅲ）若c=0, b a =,]1,0[+∈a x 时，22)(a x f <恒成立，求a 的取值范围.第21题2009年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）参考答案二填空题 13.)6,32(π；14．－6 ； 15．43-； 16.2.三．解答题17．解：（Ⅰ）)4cos()4sin(2cos )4(cos )4tan(12cos )2cos 1()(222x x x x x x x x f ++=++--+=ππππx xx x x 2cos 22cos 2cos 2)22sin(2cos 222==+=π………………………………………………………………4分36cos 265cos 2617cos 2)617cos(2)1217(-=-===-=-πππππf …………………………6分 （Ⅱ）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x g …………………………………………………8分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈45,4422,0ππππx x∴28max ==）（时x g x π…………………………………………………………………………10分 12min -==）（时x g x π………………………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC 中，AB ＝1AC ＝2．在Rt△ACD 中，AC ＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝AD ＝4．∴ABCDS ＝1122AB BC AC CD⋅+⋅111222=⨯⨯⨯分则V ＝123 ……………………………………………………………… 4分（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． …………………………5分∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ．∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． …………………………7分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…………………………………………………………8分 （Ⅲ）以A 为坐标原点，AD,AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则平面PAD 的法向量为：=（1，0，0） 由（Ⅱ）知AF ⊥PC,AF ⊥CD ∴AF ⊥平面PCD ∴为平面PCD 的法向量. ∵P(0,0,2),C )0,1,3(∴=)1,21,23(461414323),cos(=++==,即二面角C-PD-A 的余弦值为46…………12分 19．解：设第一个匣子里的三把钥匙为A ，B ，C ，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a 能打开所有门，B 只能打开第一道门，b 只能打开第二道门，C,c 不能打开任何一道门)（Ⅰ）31)0(1311===C C P ξ…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）91)1(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分91)2(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分94)3(131********31311=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ(第一次拿A,第二次随便拿，或第一次拿B ，第二次拿a) …10分35943912911310=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………12分20.（Ⅰ）依题⎪⎩⎪⎨⎧+=+=≥--21121414,2）（）（时n n n n a S a S n 21221211114）（）（）（）（+=-⇒+-+=⇒--n n n n n a a a a a或111+=--n n a a 111--=--n n a a即或21=--n n a a 01=+-n n a a （舍去）,0>n a …………………………………………………3分 故{}n a 为等差数列，a 1=1，d=212-=n a n ………………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设公比为q ，则由b 1b 2b 3=8，b n >022=⇒b …………………………………………………6分 又q q25,5,2+成等差数列 02522=+-q q ………………………………………………………………………………………8分 ⎩⎨⎧==121b q 或⎪⎩⎪⎨⎧==4211b q …………………………………………………………………………………10分 12-=n n T 或)211(8n n T -=……………………………………………………………………12分21解：（Ⅰ）依题PN 为AM 的中垂线NM NA =22||==+⇒CM NC NA …………………………………………………………2分又C （-1，0），A （1，0）所以N 的轨迹E 为椭圆，C 、A 为其焦点…………………………………………………………4分a=2，c=1，所以1222=+y x 为所求………………………………………………………5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：y=k （x-1）代入椭圆方程：x 2+2y 2=2得 （1+2k 2）x 2-4k 2x+2k 2-2=0 (1)设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2），则x 1，x 2是（1）的两个根.2221222121)1(2,214k k x x k k x x +-=+=+…………………………………………………………7分依题0>⋅02121>+y y x x0)()1(2212212>++-+k x x k x x k021421)1(2)1(2222222>++-+-+k kk k k k k ………………………………………………………9分解得：22-<>k k 或………………………………………………………………………12分22.解：（Ⅰ）'()()()()()()()f x x b x c x a x c x b x a =--+--+--若'()'()f a f c =，则()()()()a b a c c a c b --=--a c ≠ ab bc ∴-=- 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列……………………3分（Ⅱ）依题意2()(2),28()a b a b c a b P +--- 2222222222()4'()a b a b a b c b a a b b a a b c a b k f +-+----+-⨯+⨯+⨯-=-== ∴切线22()()42()(2):8a b a bx a b c a b l y -+=------令0y =得222c a b a b x --+=-，即x c = ∴切线过点(,0)c .……………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）0,c a b ==，则2()()f x x x a =-∴2'()()2()()(3)f x x a x x a x a x a =-+-=-- ①0a >时：3(0,)a x ∈时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数； 3(,)ax a ∈时，'()0f x <，此时2()()f x x x a =-为减函数；(,1)x a a ∈+时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数.而34,(1)1327()a a f a a f +=+=，依题意有322422721a a a a ⎧>⎪⎨⎪>+⎩2721a ∴<<………………10分 ②0a <时：()x f 在(0,||1)a +时，2max 1(1)(12)()|()x a a a f f -=--=∴22(1)(12)2a a a >-- 即3265104a a a -+->……（☆）记32651()4a a U a a -+-=，则22112512()202'()12a a U a a -+=-+>=∴()U a 为R 上的增函数，而(0)1U =-，∴0a <时， 326510()4a a U a a -+-<=恒成立，（☆）无解. 综上，2721a <<为所求.…………………………………………………………………………14分。
安徽省马鞍山市第二中学_学年高二数学下学期入学考试试题文【含答案】.docx
安徽省马鞍山市第二中学 2015-2016 学年高二数学下学期入学考试试题 文满分 150 分，考试时间120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置） 1. 函数 f ( x) ax 3 3x 2 2 ，若 f ( 1) 4 ，则 a 的值等于 ()DA ． 19B 16 错误！未找到引用源。
C 13 103 ． ． D ．33 3 2．下列函数求导运算正确的个数为 ( )B① 3x3x log 3 e ；② log 2 x1 ③ e x e x ；④ 1 x ；1． 2x ln 23 D ． 4ln xA ．B 错误！未找到引用源。
C ．3．设函数y f (x) 的图像如右图，则导函数 y f '( x) 的图像可能是下图中的 ()D4．如图， 在长方体 ABCD -A 1B 1 C 1D 1 中， AB =BC =2, AA 1=1, 则 BC 1 与平面 BB 1D 1D 所成角的正弦值为（） DA.6 B.26C.15 D.10 3555D1C1 A1B1D C AB5. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为 2 的直角三角形，俯视图是半径为 1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ） AA ．3 B． 3C ．3D3 1264．x3．．．．36．原命题“若，则 x） C”的逆否命题 是（A ．若 x3 ，则 x 0 B．若 x3 ，则 x 0C ．若 x 0 ，则 x 3D ．若 x 0 ，则 x 37． “ x 2 1 0 ”是“ x 1 ”的（）BA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件8 已知点 P 是椭圆x 2 y 2 1上任 意一点，则点 P 到直线 xy 7 0 的距离最大值为169（） AA ．6 2B ．4 2C ．6 3D ． 69． 已知F,F 是 的两个焦点,F 且与 垂直的直 交 于A, B 两点 , 若121△ ABF 2 是正三角形 , 个 的离心率 （ ） CA ．2B ．2C ．3D ．323323 与抛物 y 210．直 yx 4x 交于 A 、B 两点， A 、B 两点向抛物 的准 l 作垂 ，垂足分 P 、Q ， 梯形 APQB 的面 （） AA ． 48 B． 36C． 56 D． 6411. 已知定 在 R 上的可 函数 f x 的 函数 f (x) ， 足 f xf x ，且 f ( x 2)偶函数，f (4) 1 ， 不等式 f (x)e x 的解集 ( )BA ． ( 2, )B ． (0, )C ． (1, )D ． (4,)12． ： x2y 2 1 上的一点 A 关于原点的 称点B ， F 2 它的右焦点，y25 16A 若 A F 2 ⊥B F 2 ， 三角形△ A F 2 B 的面 是（） CoA ． 15B．32 C．16 D． 18xF 2B第Ⅱ卷（非 共90 分）二、填空 （本大 共 4 小 ，每小 4 分，共 16 分．把答案填在答 卡相 位置）[13．命 p : xR, sin x 1的否定p 是.p : xR, sin x 114．如 ，直三棱柱- 1 11的六个 点都在半径2 的半球面上，＝ ， 面1 1ABCA B CAB AC BCCB是半球底面 的内接正方形， 面 ABB 1A 1 的面4 215．函数 f ( x)x 3 ax 2 bx a 2 在 x 1 有极10，求 ab 的-7 .16．已知 M ( 5,0) ， N (5,0)是平面上的两点，若曲C 上至少存在一点 P ，使|PM | | PN|6 ， 称曲 C “黄金曲 ” ．下列五条曲 ：① y 2 x 21；② y 24 x ；③ x 2 y 21 ；16 94 9④ x 2y 2 1；⑤ x 2y 2 2x 3 049其中 “黄金曲 ”的是.三、解答 （本大 共 6 小 ，共17．（ 12 分）抛物 的 点在原点，（Ⅰ）求抛物 的 准方程；②⑤.（写出所有 “黄金曲 ”的序号）．．76 分．解答 写出文字 明、 明 程或演算步 ）焦点在 y 的正半 的抛物 的焦点到准 的距离 2.（Ⅱ）若直 l : y 2x 1与抛物 相交于 A ， B 两点，求 AB 的 度． 17. 解（ 1）由 意可知p=2。
马鞍山市二中2009年理科实验班招生英语试卷
马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生英语素质测试题注意事项：1．先将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。
考试结束后，应将试卷和答题卷一并交回。
2．本试卷共8页，满分100分，答题时间90分钟。
3．所有选择题的答案都必须在所给的四个选项中进行选择，选对给分；不选、错选或多选，均不给分。
4．所有答案用钢笔或圆珠笔写在答题卷上，注意字迹清楚，卷面整洁。
一、单项选择 (每小题1分,共20分)1. —— How often do you and your family eat out?—— _____, but usually once a week.A. Have no ideaB. It dependsC. As usualD. Generally speaking2. This is an independent local factory to produce iron and steel, _________ no foreign ownership.A. byB. inC. underD. with3. The weather here in Nanjing is much the same as __________ in my hometown.A. oneB. itC. suchD. that4. ——So you have met Linda ?——Yes, it was last week______ we attended John’s party.A. whereB. whenC. thatD. why5. ——You look troubled.——The director asked me to finish this task by Sunday. How can I________ to?A. attemptB. manageC. decideD. happen6. ——How about the concert last night?——Well, at least it’s_________ the one I attended last time.A. not as good asB. no better thanC. as bad asD. no worse than7. You will find the map of great________ in helping you to travel around London.A. priceB. costC. valueD. usefulness8. The hospital nearby has just got a, _______ you’d call it, er…a scanner.A. thatB. whichC. whatD. how9. When it was his turn to deliver his speech, _______, he walked towards the microphone.A. nervously and excitinglyB. nervously and excitedlyC. nervous and excitingD. nervous and excited10. ——Have you ever seen that movie?——Yes. When I was in Ma’anshan, I _________ it three times.A. sawB. had seenC. have seenD. would see11. The computer programs are a puzzle to me. The more I think of them, the more questions Ithink of_____.A. askB. askedC. being askedD. to ask12. ________, and then we were taken to see the gym.A. We had been shown the classroomB. Being shown the classroomC. having been shown the classroomD. Having shown the classroom13. With proper measures, the economy in China is beginning to______.A. rise upB. hold onC. pick upD. take on14. ——May I take your order now?——We’d like three black____________.A. coffeeB. coffeesC. cups of coffeesD. cup of coffees15. ——Why______ you be talking so loudly while others are studying?——I am terribly sorry.A. shallB. mustC. willD. may16. In_______ city of Paris, _____ most ancient one, stands______ famous Eiffel Tower.A. /, the, aB. the, the, theC. the, a, theD. the, the, /17. The war and the suffering_______ caused affected Einstein greatly.A. thatB. whichC. itD. who18. Nobody knows_______ his situation then was, but he succeeded____________.A. how difficult, after allB. however difficult, at allC. what difficult, at lastD. no matter how, in the end19. Tom as well as two other boys_______ for having broken the rules of the school.A. was punishedB. punishedC. were punishedD. are being punished20. There______ a church behind the cemetery, didn’t there?A. wasB. used to haveC. used toD. used to be二、完形填空(每小题1分，共20分)阅读下列短文, 从每小题所给的A、B、C、D四个选项中选出最佳选项。
{高中试卷}安徽省马鞍山市第二中学第一学期期末素质测试高二级理科数学试题(解析版)[仅供参考]
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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：安徽省马鞍山市第二中学20XX-20XX 学年度第一学期期末素质测试高二年级理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知命题p ：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p 为()A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，(3)“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B ．命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2. 若向量a ⃗ =(1,0，z)与向量b ⃗ =(2,1，2)的夹角的余弦值为23，则z 等于()A. 0B. 1C. −1D. 2【答案】A【解析】解：∵向量a ⃗ =(1,0，z)与向量b ⃗ =(2,1，2)的夹角的余弦值为23，∴cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=√1+z 2⋅4+1+4=23，解得z =0．故选：A ．利用空间向量夹角余弦公式直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3. 以双曲线x 24−y 212=−1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为()A. x 216+y 212=1B. x 212+y 216=1C. x 216+y 24=1D. x 24+y216=1【答案】D【解析】解：双曲线x 24−y 212=−1的顶点为(0,−2√3)和(0,2√3)，焦点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆的焦点坐标是为(0,−2√3)和(0,2√3)，顶点为(0,−4)和(0,4)．∴椭圆方程为x 24+y 216=1．故选：D ．先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．4. a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a −1)y =a −7平行且不重合的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：当a =3时，两直线分别为：3x +2y +9=0，3x +2y +4=0，∴两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则a3=2a−1≠3a−7−a ∴a =3综上所述，a =3是两直线平行且不重合的充要条件．故选：C ．两个方面分析本题，分别当a =3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a 的范围．本题以直线为载体，考查四种条件.判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式． 5. 平面内一点M 到两定点F 1(0,−5)，F 2(0,5)的距离之和为10，则M 的轨迹是()A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段【答案】D【解析】解：根据题意，两定点F 1(0,−5)，F 2(0,5)则|F 1F 2|=10，而动点M 到两定点F 1(0,−5)和F 2(0,5)的距离之和为10，则M 的轨迹为线段F 1F 2，故选：D ．根据题意，由定点F 1和F 2的坐标可得|F 1F 2|的长，结合椭圆的定义分析可得M 的轨迹为线段F 1F 2，即可得答案．本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析． 6. 如图：在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则下列向量中与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是()A. −12a⃗ +12b ⃗ +c B. 12a ⃗ +12b ⃗ +c C. −12a ⃗ −12b ⃗ +c D. 12a −12b +c【答案】A【解析】解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(−a ⃗ +b ⃗ )=−12a ⃗ +12b ⃗ +c 故选：A ．利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点，如果x 1+x 2=6，那么|AB|=()A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】解：由题意，p =2，故抛物线的准线方程是x =−1，∵抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点∴|AB|=x 1+x 2+2，又x 1+x 2=6∴∴|AB|=x 1+x 2+2=8故选：B ．抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点，故|AB|=x 1+x 2+2，由此易得弦长值．本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．8. 已知菱形ABCD 边长为1，∠DAB =60∘，将这个菱形沿AC 折成600的二面角，则B ，D 两点的距离为()A. √32B. 12C. 32D. 34【答案】B【解析】解：菱形ABCD 边长为1，∠DAB =60∘，将这个菱形沿AC 折成600的二面角，取AC 中点O ，连结DO ，BO ，BD ，则AO =BO =12AB =12，DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∴∠DOB 是将这个菱形沿AC 折成600的二面角的平面角，∴∠DOB =60∘，∴B ，D 两点的距离为BD =12．故选：B ．取AC 中点O ，连结DO ，BO ，BD ，则AO =BO =12AB =12，DO ⊥AC ，BO ⊥AC ，∠DOB 是将这个菱形沿AC 折成600的二面角的平面角，由此能求出B ，D 两点的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 试在抛物线y 2=−4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A(−2,1)的距离之和最小，则该点坐标为()A. (−14,1)B. (14,1)C. (−2,−2√2)D. (−2,2√2)【答案】A【解析】解：∵y 2=−4x ∴p =2，焦点坐标为(−1,0)依题意可知当A 、P 及P 到准线的垂足Q 三点共线时，距离之和最小如图，故P 的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x =−14，则该点坐标为：(−14,1)．故选：A ．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P ，A 和焦点三点共线且点P 在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．10. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，如果AB =BC =1，AA 1=2，那么A 到直线A 1C 的距离为()A. 2√63B. 3√62C. 2√33D. √63【答案】C【解析】解：由题意可得：连接A 1C ，AC ，过A 作AE ⊥A 1C ，如图所示：根据长方体得性质可得：A 1A ⊥平面ABCD ．因为AB =BC =1，AA 1=2，所以AC =√2，A 1C =√6，根据等面积可得：AE =A 1A⋅AC A 1C=2√33．故选：C ．由题意可得：连接A 1C ，AC ，过A作AE ⊥A 1C ，根据长方体得性质可得：A 1C ⊥平面ABCD ，即可得到AC =√2，A 1C =√6，再根据等面积可得答案．本题主要考查了点、线、面间的距离计算，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．11. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22，则下列结论中错误的是()A. AC ⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A −BEF 的体积为定值D. 异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D【解析】解：∵在正方体中，AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面B 1D 1DB ，BE ⊂平面B 1D 1DB ，∴AC ⊥BE ，故A 正确；∵平面ABCD//平面A 1B 1C 1D 1，EF ⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴EF//平面ABCD ，故B 正确；∵EF =√22，∴△BEF 的面积为定值12×EF ×1=√24，又AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AO 为棱锥A −BEF 的高，∴三棱锥A −BEF 的体积为定值，故C 正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E 与D 1重合时sinα=12，α=30∘；当F 与B 1重合时tanα=√22，∴异面直线AE 、BF 所成的角不是定值，故D 错误；故选：D ．利用证线面垂直，可证AC⊥BE ；判断A 正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B 正确；根据三棱锥的底面面积与EF 的位置无关，高也与EF 的位置无关，可判断C 正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D 错误．本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．12. 若直线y =kx +2与双曲线x 2−y 2=6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是()A. (−√153,√153)B. (0,√153)C. (−√153,0)D. (−√153,−1)【答案】D【解析】解：渐近线方程为y =±x ，由{x 2−y 2=6y=kx+2消去y ，整理得(k 2−1)x 2+4kx +10=0设(k 2−1)x 2+4kx +10=0的两根为x 1，x 2，∵直线y =kx +2与双曲线x 2−y 2=6的右支交于不同的两点，∴{x 1+x 2=−4k k 2−1>0x 1x 2=10k 2−1>0，∴k <−1，∴{△=(4k)2−40(k 2−1)>0k<−1⇒−√153<k <−1故选：D ．根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y ，利用判别式大于0和k <−1联立求得k 的范围．本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系.考查了函数思想的应用，圆锥曲线与不等式知识的综合． 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,1，0)，b ⃗ =(−1,0，2)，且k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 垂直，则k 的值为______． 【答案】75【解析】解：∵a ⃗ =(1,1，0)，b ⃗ =(−1,0，2)，∴k a ⃗ +b ⃗ =k(1,1，0)+(−1，0，2)=(k −1，k ，2)2a ⃗ −b ⃗ =2(1,1，0)−(−1，0，2)=(3，2，−2)，∵k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 垂直，∴3(k −1)+2k −4=0，∴k =75，故答案为：75根据所给的两个向量的坐标，写出k a ⃗ +b ⃗ 与2a ⃗ −b ⃗ 的坐标，根据两个向量垂直，写出两个向量的数量积等于0，解出关于k 的方程，得到结果．本题考查两个向量垂直的充要条件，考查利用方程思想解决向量问题，这种题目的运算量不大，若出现是一个送分题目． 14. 已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点，则l 的方程是______．【答案】x +2y −8=0【解析】解：设直线l 与椭圆交于P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x24(y 1+y 2)=−x 1+x 224⋅y 1+y 22=−44×2=−12．由点斜式可得l 的方程为x +2y −8=0．设直线l 与椭圆交于P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，由“点差法”可求出直线l 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=−x 1+x 224⋅y 1+y 22=−44×2=−12.再由由点斜式可得l 的方程．本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．15. 如图所示，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方体ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是C 1C 的中点，设GF 、C 1F 与AB 所成的角分别为α、β，则α+β等于______．【答案】π2【解析】解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(0,2，0)，A(2,2，0)，G(0,0，1)，F(1,1，0)，C 1(0,0，2)，E(2,1，1)，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，GF ⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−1)，∴cos(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,GF ⃗⃗⃗⃗ )=√3cos(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=√2√3∴cosα=√3cosβ=√63，∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=√63×√63+√33×√33=1，又0<α+β<π，∴α+β=π2．故答案是π2．本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF 、C 1E 与AB 的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．本题考查用空间向量为工具解决空间几何问题，本题的关键是求出异面直线所成的角的余弦值后，利用两角和的正弦求解．16. 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点，已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，且BF ⃗⃗⃗⃗ 与FA ⃗⃗⃗⃗ 同向，则双曲线的离心率______． 【答案】√52【解析】解：设双曲线方程为x 2a 2−y2b 2=1,c 2=a 2+b 2由BF ⃗⃗⃗⃗ ，FA ⃗⃗⃗⃗ 同向，∴渐近线的倾斜角为(0,π4)，∴渐近线斜率为：k 1=b a <1∴b 2a 2=c 2−a 2a2=e 2−1<1，∴1<e 2<2∴|AB|2=(|OB|−|OA|)(|OB|+|OA|)=(|OB|−|OA|)2|AB|，∴|AB|=2(|OB|−|OA|)∴{|OB|−|OA|=12|AB |OA|+|OB|=2|AB∴|OA|=34|AB|∴|OA|2=916|AB|2可得：|AB||OA|=43，而在直角三角形OAB 中，注意到三角形OAF 也为直角三角形，即tan∠AOB =43而由对称性可知：OA 的斜率为k =tan(π2−12∠AOB)∴2k1−k 2=43，∴2k 2+3k −2=0，∴k =12(k =−2舍去)；∴ba =12∴b 2a 2=c 2−a 2a =14，∴e 2=54∴e =√52故答案为√52．由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据|AB||OA|=43，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x −m ≥0，命题q ：实数m 满足：方程x 2m−1+y 24−m =1表示双曲线．(Ⅰ)若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若命题“p 或q ”为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)∵∀x ∈R ，x 2+x −m ≥0恒成立，∴△=1+4m ≤0，解得m ≤−14，∴实数m 的取值范围是(−∞,−14]；(Ⅱ)∵“p 或q ”为假命题，∴p ，q 均为假命题，当q 为真命题时，则(m −1)(4−m)<0，解得m >4或m <1．∴q 为假命题时，1≤m ≤4．由(1)知，p 为假命题时m >−14．从而{m >−141≤m ≤4，即1≤m ≤4．∴实数m 的取值范围为1≤m ≤4．【解析】(Ⅰ)∀x ∈R ，x 2+x −m ≥0恒成立，可得△=1+4m ≤0，从而求得m 的范围；(Ⅱ)由“p 或q ”为假命题，可得p ，q 均为假命题，求出当q 为真命题时m 的范围，再由交集与补集的运算求解．本题考查复合命题的真假判断，考查恒成立问题的求解方法，考查双曲线的方程，是基础题．18. 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，(a >b >0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点(1,32)到焦点F 1，F 2两点的距离之和为4．(1)求椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积．【答案】解：(1)由题设知：2a =4，即a =2，将点(1,32)代入椭圆方程得 122+(32)2b 2=1，得b 2=3∴c 2=a 2−b 2=4−3=1，故椭圆方程为x 24+y 23=1，焦点F 1、F 2的坐标分别为(−1,0)和(1,0)．(2)由(1)知A(−2,0), B(0,√3)，∴k PQ =k AB =√32，∴PQ 所在直线方程为y =√32(x −1)，由{y =√32(x −1)x 24+y 23=1得 8y 2+4√3y −9=0设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则y 1+y 2=−√32, y 1⋅y 2=−98，∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√34+4×98=√212，∴S △F 1PQ =12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|=12×2×√212=√212． 【解析】(1)由椭圆定义可得a =2，将点(1,32)代入椭圆方程求得b 2=3，从而得到c =1，写出椭圆方程和焦点坐标；(2)由条件求出直线PQ 的方程，联立椭圆方程，消去x ，得到y 的二次方程，运用韦达定理，可求|y 1−y 2|，再由面积公式12|F 1F 2|⋅|y 1−y 2|计算即得．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数，运用韦达定理求解的方法，考查运算能力，属于中档题．19. 如图，已知三棱锥O −ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA =1，OB =OC =2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；(2)求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．【答案】解：(1)以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴建立空间直角坐标系．则有A(0,0，1)、B(2,0，0)、C(0,2，0)、E(0,1，0)…(3分)∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−1)∴COS <<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >>=√5⋅ √5=−25…(5分)所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为25…(6分)(2)设平面ABC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z) 则n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 知n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −z =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −z =0取n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)，…(8分)则sin <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1⃗⃗⃗⃗ >=√320XX…(10分)故BE 和平面ABC 的所成角的正弦值为√320XX 0…(12分)【解析】根据题中的条件可建立以O 为原点，OB 、OC 、OA 分别为X 、Y 、Z 轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求解：(1)根据建立的空间直角坐标系求出EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 然后再利用向量的夹角公式cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |求出cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >然后根据cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >≥0则异面直线BE 与AC 所成角即为<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >，若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ><0则异面直线BE 与AC 所成角即为π−<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >进而可求出异面直线BE 与AC 所成角的余弦值．(2)由(1)求出EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面ABC 的一个法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 然后再利用向量的夹角公式cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |求出cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >再根据若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >≥0则直线BE 和平面ABC 的所成角为π2−<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >，若cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ ><0则直线BE 和平面ABC 的所成角为<EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >−π2然后再根据诱导公式和cos <EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 1⃗⃗⃗⃗ >的值即可求出直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值．本题主要考察了空间中异面直线所成的角和直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难.解题的关键是首先正确的建立空间直角坐标系然后可将异面直线所成的角转化为所对应的向量的夹角或其补角而对于利用向量法求线面角关键是正确求解平面的一个法向量！20. 已知直线y =x −m 与抛物线y 2=2x 相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，O 为坐标原点．(1)当m =2时，证明：OA ⊥OB(2)若y 1y 2=−2m ，是否存在实数m ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)m =2时，联立{y 2=2x y=x−2得x 2−6x +4=0，则x 1+x 2=6，x 1x 2=4，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1−2)(x 2−2)=2x 1x 2−2(x 1+x 2+4=2×4−2×6+4=0,∴OA ⊥OB ．(2)假设存在m 使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则x 1x 2+y 1y 2=y 122⋅y 222+y 1y 2=(−2m)24−2m =m 2−2m =−1，解得m =1．故存在m =1符合题意．【解析】(1)问题转化为证明OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，联立直线与抛物线，根据韦达定理和向量数量积可证；(2)假设存在m ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1⇔x 1x 2+y 1y 2=−1⇔y 122⋅y 222+y 1y 2=−1，代入y 1y 2=−2m 即可．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 21. 如图，已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =60∘，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．(Ⅰ)证明：AE ⊥PD ；(Ⅱ)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为√62，求二面角E −AF −C 的余弦值．【答案】证明：(Ⅰ)证明：由四边形ABCD 为菱形，∠ABC =60∘，可得△ABC 为正三角形．因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ．又BC//AD ，因此AE ⊥AD ．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE ．而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD =A ，所以AE ⊥平面PAD.又PD ⊂平面PAD ，所以AE ⊥PD ．解：(Ⅱ)设AB =2，H 为PD 上任意一点，连接AH ，EH ．由(Ⅰ)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt △EAH中，AE =√3，所以当AH 最短时，∠EHA 最大，即当AH ⊥PD 时，∠EHA 最大．此时tan∠EHA =AEAH=√3AH =√62，因此AH =√2.又AD =2，所以∠ADH =45∘，所以PA =2．因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO =AE ⋅sin30∘=√32，AO =AE ⋅cos30∘=32，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO =AO ⋅sin45∘=3√24，又SE =√EO 2+SO 2=√34+98=√320XX，在Rt △ESO 中，cos∠ESO =SOSE =3√24√320XX=√155，即所求二面角的余弦值为√155．高中时间 仅供参考11 / 11【解析】(1)要证明AE ⊥PD ，我们可能证明AE ⊥面PAD ，由已知易得AE ⊥PA ，我们只要能证明AE ⊥AD 即可，由于底面ABCD 为菱形，故我们可以转化为证明AE ⊥BC ，由已知易我们不难得到结论．(2)由EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为√62，我们分析后可得PA 的值，由(1)的结论，我们进而可以证明平面PAC ⊥平面ABCD ，则过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS ⊥AF 于S ，连接ES ，则∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，然后我们解三角形ASO ，即可求出二面角E −AF −C 的余弦值．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角.此题是利用二面角的平面角的定义作出∠ESO 为二面角E −AF −C 的平面角，通过解∠AOC 所在的三角形求得∠ESO.其解题过程为：作∠ESO →证∠ESO 是二面角的平面角→计算∠ESO ，简记为“作、证、算”．22. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于√32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P(2,√3)，Q(2,−√3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.当A ，B 运动时，满足∠APQ =∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由． 【答案】解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =−2上，∴−b =−2，解得b =2．又ca =√32，a 2=b 2+c 2，∴a =4，c =2√3，可得椭圆C 的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵∠APQ =∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相互数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ，直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)，联立{y −√3=k(x −2)x 2+4y 2=16，化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0，∴x 1+2=8k(2k−√3)1+4k 2，同理可得：x 2+2=−8k(−2k−√3)1+4k 2=8k(2k+√3)1+4k 2，∴x 1+x 2=16k 2−41+4k 2，x 1−x 2=−16√3k1+4k 2，k AB=y 1−y 2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2=√36．∴直线AB 的斜率为定值√36．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2=8y 的准线y =−2上，可得−b =−2，解得b.又ca=√32，a 2=b 2+c 2，联立解得即可．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由∠APQ =∠BPQ ，则PA ，PB 的斜率互为相互数，可设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ，直线PA 的方程为：y −√3=k(x −2)，与椭圆的方程联立化为(1+4k 2)x 2+8k(√3−2k)x +4(√3−2k)2−16=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
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马鞍山市第二中学2009年理科实验班招生数学素质测试题一、选择题 (每小题5分，满分30分。
以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分)1．若0<x<1，则x 2，x 1x这四个数中 （ ）A 、1x 最大，x 2最小 B 、x 最大，1x最小 C 、x 2 D 、x 最大，x 2最小 2．小明和小亮的口袋里面都放有五张不同的2008年北京奥运会福娃纪念卡，他们分别从自己口袋里摸．出一张福娃纪念卡，则摸．出的福娃都是贝贝的概率是 （ ） A 、125B 、25C 、15D 、183．方程(x 2+x-1)x+3=1的所有整数解的个数是 （ ）A 、5B 、4C 、3D 、24．钟表上12点15分时，时针与分针的夹角为（ ）A 、90ºB 、82.5ºC 、67.5ºD 、60º5．使方程2x 2-5mx+2m 2=5的二根为整数的整数m 的值共有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图09-1所示，记p ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，q ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，则 （） A 、p>q B 、p=qC 、p<qD 、p 、q 的大小关系不能确定二、填空题 (每小题5分，满分30分)1．分解因式：x 4-x 2y 2+y 4= 2．已知x满足不等式| a x -1| > a x -1 (其中a ≠0)，那么x 的取值范围是 3．已知a 是整数，一次函数y=10x+a 的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积数为质数，则这个质数等于 4．如图09-2，已知正方形ABCD ，其边长为1，以AB 为边在形内作正三角形ABE ，则⊿ACE 的面积为5．在⊿ABC 中，AB=25，AC=17，高AD=15，设能完全覆盖⊿ABC 的圆的半径为R ，则R 的最小值是图09-26．已知：a 2+4a+1=0，且am a a m a a 2212324++++=3，则m 的值为三、解答题（本大题共7小题，1～5小题各12分；6、7小题各10分，共80分） 1．(本题12分) 解关于x 的不等式：x 2+3<4|x|。
2．(本题12分)如图09-3，直线y = -x +2与x ，y 轴分别交于A 、B 点，另一条直线y =kx+b (k ≠0)过点C (1,0)且把⊿AOB 分成两部分。
（1）若⊿AOB 被分成的两部分面积相等，求k ，b 的值； （2）若⊿AOB 被分成的两部分面积之比为1:5，求k ，b 的值。
3．(本题12分)如图09-4，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于C点，BC和AD的延长线相交于E，且AD⊥PD。
（1）求证：AB=AE；（2）问：当AB:BP为何值时，⊿ABE为等边三角形？请说明理由。
4．(本题12分)已知19x2+123xy+19y2=1985。
试求正整数n。
5．(本题12分) 已知二次函数y1= ax2+4ax+4a-1的图象是M。
（1）求M关于点R(1,0)中心对称的图象N的解析式y2；（2）当2≤ x ≤5时，y2a的值。
6．(本题10分)对a>b>c>0，作二次方程x2– (a+b+c)x+ab+bc+ca=0。
（1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长；（2）若方程有实根x0，求证：a>x0>b+c；（3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b，c。
7．(本题10分)证明：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍。
参考答案（本卷满分140分，答题时间120分钟）一、选择题 AABBDC 二、填空题1．(x 22)( x 22)2．若a<0，则x>1/a ，若a>0，则x<1/a3．5 45．2585或 6．19三、解答题 1．解：法一、原不等式化为 ①20430x x x ≥⎧⎨-+<⎩ 或 ②20430x x x <⎧⎨++<⎩……6分由①得，1<x<3由②得，-3<x<-1 ……10分 所以，原不等式的解为：1<x<3或-3<x<-1……12分法二、原不等式化为：|x|2+3<4|x|，即 (|x|-1)(|x|-3)<0 ∴1<|x|<3，从而可知原不等式的解为 -3<x<-1或1<x<3 2． 解：（1）依题有A(2,0)、B(0,2)，所以点C 为线段OA 的中点，故直线y=kx+b 过点B ，从而可得：k=-2，b=2； ……4分（2）k=-23，b=23或k=2，b=-2。
设y=kx+b 与OB 交于M(0,h)，且S ⊿OMC =16S ⊿OAB ，可以解得h=23，所以有M(0,23)。
……7分过M 作直线MN ∥OA ，交AB 于N(a,23)，则S ⊿OMC =S ⊿CAN 。
因为N(a,23)在直线y=-x+2上，所以a=43，N(43,23)……10分所以直线y=kx+b 过M(0,23)，C(1,0)或N(43,23)，C(1,0)。
代入求解即可。
……12分3．解：（1）方法一：连结AC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=∠ACE =90º， 又∵AD ⊥PD ， ∴⊿ACD ∽⊿AEC ，∴∠E=∠1， ∵PD 切⊙O 于C 点，∴∠1=∠2， ∴∠E=∠2，∴AB=AE 。
……6分方法二：连结OC，∵PD切⊙O于C点，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠E=∠3，而∵∠3=∠2，∴∠E=∠2，∴AB=AE。
（2）当AB:BP=2:1时，⊿ABE为等边三角形。
设BP=1，AB=k，∵PD切⊙O于C点，∴PC2=PB•PA=k+1，∴∴∠PCB=∠PAC，又∵∠P=∠P，∴⊿PBC∽⊿PCA，∴，……10分而⊿ABE为等边三角形，∴在Rt⊿ABC中，∵CA:BC = tan∠k=2，即AB:BP=2:1。
……12分4．解：∵xy=1，代入方程，得x2+y2=98。
于是(x+y)2=100，∴x+y=10。
……6分又∵x=2，y= 2，故x+y=4n+2由4n+2=10，解得n=2。
……12分5．解：（1）y2=-ax2+8ax-16a+1；（2）a=14。
（1）依题，a≠0，且y1= ax2+4ax+4a-1= a (x+2)2-1，故图象M的顶点为A(-2,-1)，由对称性可知，图象N的顶点为B(4,1)，且其开口方向与M的相反，∴y2= -a (x-4)2 +1即y2= -ax2+8ax-16a+1 ……6分（2）当a<0时，抛物线N的开口向上，对称轴为x=4，若2≤ x ≤5，则当x=2时，y2取得最大值1-4a，由……12分6．解：（1）由方程有实根得，△= (a+b+c)2-4(ab+bc+ca)≥0即0≤a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca= a(a-b-c)-b(a+c-b)-c(a+b-c)<a(a-b-c)，由a>0，得a-b-c>0，即a>b+c。
所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边。
……4分（2）设f (x)= x2– (a+b+c)x+ab+bc+ca，则f (b+c)=bc>0，f (b+c)= bc>0，且f (2a b c++)=2()4()4a b c ab bc ca-+++++<0 由（1）知b+c<2a b c++<a，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a>x0>b+c ……7分（3）由根与系数关系有a+b+c=15，ab+bc+ca=54，得a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab-bc-ca)=225-108=117<112。
由（2）知a>9，故得92< a2< 112，∴a=10。
∴b+c=5，bc=4，由b>c，解得b=4，c=1，∴a=10，b=4，c=1。
……10分7．解：（1）如图，在⊿ABC 中，设∠A=2∠B ，且三边长分别为a ，b ，c延长CA 到点D ，使AD=AB=c ，则CD=b+c ，由∠A=2∠B ，知∠ABC=∠D 。
从而，⊿ABC ∽⊿BDC ，故BC AC =，即a b=于是，a 2=b(b+c)①……4分（2）依题a>b ，当a>c>b 时，设a=n+1，c=n ，b=n-1，代入①式，解得，n=5。
此时，a=6，b=5，c=4；……6分当c>a>b 时，设c=n+1，a=n ，b=n-1， 解得，n=2。
此时，a=2，b=1，c=3，不能构成三角形； ……8分同理，当a>b>c 时，可得，n 2-3n-1=0，无解。
综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4，5，6。
……10分ABCDacb。