定直线的欧式2-斯坦纳树问题
图的steiner最小树问题及其求解
图的steiner最小树问题及其求解摘要:斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。
属于NP-难问题,即无法在多项式时间内得到最优解。
本文主要讨论了图的steiner最小树问题,并给出了近似算法,该算法是在破圈法的基础上进行了改进,并且引用了agent的思想。
最后对算法进行了分析。
关键词:Steiner最小树NP-难题破圈法中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)25-7312-02Graphical Steiner Minimum Tree Problem and SolusionYANG Ling-yun(College of Computer and Information Engineering, Henan University, Kaifeng 475001,China)Abstract: Steiner tree problem is one of the subject of combinatorial optimization problem. It belongs to NP-hard problems that cann’t find the optimal solution in polynomial time. This article discusses the minimum steiner tree problem in graphs, and gives the approximate algorithm, which is improved on loop damage method, and quoted the agent's thinking. Finally, an analysis of the algorithm.Key words: steiner minimum tree; NP-hard problem; loopdamage method现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
一种基于松弛算法改进的最小组播树生成方法
一种基于松弛算法改进的最小组播树生成方法向雄; 李羡童【期刊名称】《《现代计算机（专业版）》》【年(卷),期】2019(000)027【总页数】7页(P9-15)【关键词】组播; 斯坦纳树; 最短路径; 松弛算法【作者】向雄; 李羡童【作者单位】广州大学华软软件学院网络技术系广州 510990【正文语种】中文0 引言构建代价最小的组播树是计算机网络领域一个经典的问题，组播树问题一般化就成了斯坦纳树（Steiner Tree，ST）问题[1]。
假设R 是图G 的顶点子集，则ST 就是一个连通R 中所有顶点且代价最小的子图。
这类问题应用价值非常广泛，例如网络层RP 组播和单源组播、应用层的P2P 组播等。
组播技术常见于流媒体、文件传输以及订阅/发布的消息模型等各种网络应用，如视音频会议、网络直播、点播、多人游戏程序等。
近年来随着VLSI 的发展，ST 算法被用来优化集成电路设计，应用范围延伸到了芯片设计领域。
研究表明，ST 是一个NP 难问题[2]，其确定性算法都具有指数级的时间复杂度。
因此在应用性研究方面重点聚焦在寻找多项式时间内近似算法或者解决某些特殊情形，文献[3]对各类确定性算法和启发式算法进行了全面的分析和比较。
随着NFV 及5G 等技术的发展，近年来网络有向SDN 新型网络演进的趋势[4]。
相比传统路由器中的嵌入式控制系统，SDN 中执行算法的控制器部署在高性能的服务器集群上，并且可以利用全局信息对网络进行精确地编排，高性能的传输算法对充分利用网络基础设施的作用非常巨大。
为此，本文对组播传输算法展开了研究，提出了一种在松弛算法基础上进行环破除的组播树生成方式，后面简称RR（Relax based Ring）算法。
该方法在利用松弛算法生成传播树的同时发现可优化环，然后破除这些可优化环即可得到代价更小的传播树。
本文用到的符号及定义如下，参见图1，其中加粗的线条表示传播路径。
G：无向带权连通图。
斯坦纳定理的证明及应用
＝ ＰＢＡ ＝ ＰＤＥ．
以下 同证 法 １． （２）利 用对称性及 同一法证 明． 证法 ３ 如 图 １，设 Ｄ 关于 边 ＢＣ、ＡＣ的 对称点分别 为 Ｄ 、Ｄ”．
１ 定 理 证 明
Ｆ
（１）利用垂 心关 于各 边对 称 点在外 接 圆 上及 等腰梯形性 质 中位线定理证 明．
证 法 １ 易证 明 点 关 于 ＡＢ 的 对 称 点 Ｈ 在 圆 ， 上 ，设 Ｐ关 于 ＡＢ 的对 称 点 为 Ｆ ，则
收稿 日期 ：２０１７—１１—０６ 修 回时间 ：２０１８—０４—２２
＼
／‘
图 １
＋ ＋ … ｎ ２ ａ ３
＋
＋
ａ ｎ
ａ Ｉ
均为整数．证 明 ：存在 正 整数 ，使 得 对所 有
ＪＨ 堕 一 一
一
一
ＨＩ— ＢＥ — ＧＥ— ＣＩ
Ｐ”
２
由西姆松定理 ，知 Ｄ 、 、Ｆ 三点共线． 设边 ＡＣ上 的高 ＢＢ 与 Ｄ Ｅ 交 于点 日 ． 由对称知 ＢＰ＝ＢＤ ＝ＢＦ ，即 Ｂ为△ 加 Ｆ 的外 心 ． 类 似地 ，ｃ为△ 肋 Ｅ 的外 心． 故 Ｄ 日 Ｂ＝／ ＰＥ Ｈ ＝／ ＢＣＤ ｊ Ｂ、Ｄ 、Ｈ 、Ｃ四点共 圆
２０１８年第 ８期
５
同上 ，知 点 日、Ｅ关 于 ＢＣ对 称 ，则 直 线 ＨＤ 、肋 关 于 ＢＣ对称．
类似地 ，直线 ＨＤ”与 ＤＦ关 于 ＡＣ对称． 设 ＨＤ 与 ＡＣ交 于点 故 ＣＫＧ＝ ＡＣＢ一 ＫＧＣ
＝ ＡＣＢ ＋ ＡＥＤ 一９０。
＝ ／ ＡＦＢ ＋／ ＡＥＤ 一９０。 ＝ ９０ｏ一／ ＢＦＤ
四边形 ＨＥＰＦ为平行 四边形
图的steiner最小树问题及其求解
图的steiner最小树问题及其求解作者：杨凌云来源：《电脑知识与技术》2009年第25期摘要:斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。
属于NP-难问题,即无法在多项式时间内得到最优解。
本文主要讨论了图的steiner最小树问题,并给出了近似算法,该算法是在破圈法的基础上进行了改进,并且引用了agent的思想。
最后对算法进行了分析。
关键词:Steiner最小树 NP-难题破圈法中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)25-7312-02Graphical Steiner Minimum Tree Problem and SolusionYANG Ling-yun(College of Computer and Information Engineering, Henan University, Kaifeng 475001,China)Abstract: Steiner tree problem is one of the subject of combinatorial optimization problem. It belongs to NP-hard problems that cann’t find the optimal solution in polynomial time. This article discusses the minimum steiner tree problem in graphs, and gives the approximate algorithm, which is improved on loop damage method, and quoted the agent's thinking. Finally, an analysis of the algorithm.Key words: steiner minimum tree; NP-hard problem; loop damage method现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
斯坦纳树解法-概述说明以及解释
斯坦纳树解法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开篇部分，用于介绍主题和问题背景。
下面是一个示例：概述斯坦纳树（Steiner Tree）是图论中的一个经典问题，旨在找到一个具有最小总权重的联通子图，以连接给定一组节点。
斯坦纳树问题在实际生活中有着广泛的应用，例如通信网络设计、电力系统规划和生物信息学等领域。
本文将详细介绍斯坦纳树的概念、应用领域以及解法的基本原理。
首先，我们将给出斯坦纳树的定义和问题描述，以便读者对该问题有一个清晰的认识。
然后，我们将探讨斯坦纳树在不同领域中的应用，以展示它在实际问题中的重要性。
接下来，我们将介绍一些经典的斯坦纳树解法，包括近似算法和精确算法，并详细讨论它们的基本原理和优缺点。
通过本文的阅读，读者将能够了解斯坦纳树问题的背景和意义，掌握不同领域中的应用案例，并对斯坦纳树解法的基本原理有一定的了解。
此外，我们还将对斯坦纳树解法的优点和局限性进行讨论，并展望未来在这一领域的发展方向。
接下来，在第二节中，我们将开始具体介绍斯坦纳树的概念和应用领域。
1.2 文章结构【文章结构】本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分进行详细介绍。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面的内容。
在概述部分，将简要介绍斯坦纳树解法的背景和重要性。
2. 正文正文部分是文章的核心部分，主要包括斯坦纳树的概念、应用领域和解法的基本原理三个方面的内容。
2.1 斯坦纳树的概念在本小节中，将详细解释什么是斯坦纳树，斯坦纳树的定义和特点。
2.2 斯坦纳树的应用领域本小节将介绍斯坦纳树的应用领域，包括网络通信、电力系统、交通规划等方面的应用案例。
2.3 斯坦纳树解法的基本原理在本小节中，将详细介绍斯坦纳树解法的基本原理和算法，包括构建斯坦纳树的思路和具体步骤。
同时，可以提及一些经典的斯坦纳树解法算法和优化方法。
3. 结论结论部分对斯坦纳树解法的优点和局限性进行总结，并对未来的发展方向进行展望。
希尔伯特23个数学问题
希尔伯特23个数学问题希尔伯特的23个问题分为四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题是属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析问题．经过一个多世纪，希尔伯特提出的23个问题中，接近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要的进展．问题1康托尔的连续统基数问题(公理化集合论)1874年，康托尔猜测在可数集基数与实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设．1938年，奥地利数理逻辑学家哥德尔证明了连续统假设与策梅洛-弗伦克尔(Zermelo-Fraenkel，ZF)集合论公理系统的无矛盾性．1963年，美国数学家科恩证明了连续统假设与ZF集合论公理系统彼此独立．因而连续统假设不能用ZF集合论公理系统加以证明，即连续统假设的真伪不可能在ZF集合论公理系统内判定．在这个意义上，问题已经解决了．问题2算术公理的相容性(数学基础)欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性．希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明方法加以证明，后来发展为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但1931年，哥德尔发表“不完备性定理”做出否定．1936年，根茨(G.Gentaen，1909—1945)使用超限归纳法证明了算术公理系统的相容性，但数学的相容性问题至今未解决．问题3只根据合同公理证明等底等高的四面体有相等之体积是不可能的(几何基础)问题的含义是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等，这一问题很快于1900年由希尔伯特的学生德恩(M.Dehn，1878—1952)给出了肯定的解答．这是希尔伯特问题中最早获得解决的一个．问题4直线作为两点间最短距离问题(几何基础)这一问题提得过于一般，满足这一性质的几何例子很多，只需要加以某些限制条件．在构造特殊度量几何方面已有很大进展，但未完全解决．1973年，苏联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获得解决．问题5不要定义群的函数的可微性假设的李群概念(拓扑群论) 这一问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧式群都一定是李群．经过漫长的努力，这个问题于1952年，由美国格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montqomery)和齐宾(Zipping)共同解决．1953年，日本的山迈彦得到完全肯定的结果．问题6物理公理的数学处理(数学物理)希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理学．1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.Kolmogorov，1903—1987)将概率论公理化．后来在量子力学、量子场论和热力学等领域，公理化方法获得很大成功，但物理学各个分支能否全盘公理化，很多人对此表示怀疑．公理化的物理意味着什么，仍是需要探讨的问题．问题7某些数的无理性与超越性(超越数论)要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数．苏联数学家盖尔丰德(A.O.Gelfond)于1929年、德国数学家施奈德(T.Schneieder)及西格尔(C.L.Siegel，1896—1981)于1934年各自独立地解决了这问题的后半部分．1966年贝克等大大推广了此结果．但是，超越数理论还远远未完成．要确定所给的数是否超越数，还没有统一的方法，如欧拉常数的无理性至今未获得证明．问题8素数分布问题(数论)希尔伯特在此问题中提到黎曼猜想、哥德巴赫猜想以及孪生素数问题．一般情形的黎曼猜想至今未解决．哥德巴赫猜想和孪生素数问题也未最终解决，这两个问题的最佳结果均属于中国的数学家陈景润．问题9任意数域中最一般的互反律之证明(类域论)该问题于1921年由日本学者高木贞治(1875—1860)、1927年由德国学者阿廷(E.Artin)各自给以基本解决．类域理论至今仍在发展之中．问题10丢番图方程可解性的判别(不定分析)希尔伯特提出问题：能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解．1970年，由苏联数学家马蒂雅塞维奇证明希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系．问题11系数为任意代数数的二次型(二次型理论)德国数学家哈塞(H.Hasse，1898—1979)于1929年和西格尔于1951年在这个问题上获得了重要的结果．20世纪60年代，法国数学家魏依取得了新的重大进展，但未获最终解决．问题12阿贝尔(Abel)域上的克罗内克(L.Kroneker，1823—1891)定理推广到任意代数有理域(复乘法理论)尚未解决．问题13不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程(方程论与实函数论)连续函数情形于1957年由苏联数学家阿诺尔德(V.Arnold，1937—2010)否定解决．1964年，苏联数学家维图斯金(Vituskin)推广到连续可微情形．但若要求是解析函数，则问题仍未解决．问题14证明某类完全函数系的有限性(代数不变式理论)1958年，日本数学家永田雅宜举出反例给出了否定解决．问题15舒伯特(Schubert)记数演算的严格基础(代数几何学) 由于许多数学家的努力，舒伯特演算的基础的纯代数处理已有可能，但舒伯特演算的合理性仍待解决．至于代数几何的基础，已由荷兰数学家范·德·瓦尔登于1940年及法国数学家魏依于1950年各自独立建立．问题16代数曲线与曲面的拓扑(曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论)这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置．关于问题的前半部分，近年来不断有重要结果出现．关于问题的后半部分，1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出了至少有4个极限环的具体例子．1983年，中国的秦元勋进一步证明了二次系至多有4个极限环，从而最终解决了二次微分方程的解的结构问题，并且为希尔伯特第16问题的研究提供了新的途径．问题17半正定形式的平方表示式(实域论)一个实数n元多项式对任意数组都恒大于零或等于零，是否能写成平方和的形式？此问题于1927年，由阿廷给予肯定的解决．问题18用全等多面体构造空间(结晶体群理论)该问题由三部分组成．第一部分欧式空间仅有有限个不同类的带基本区域的运动群．第二部分包括是否存在不是运动群的基本区域但经适当毗连即可充满全空间的多面体？第一部分由德国数学家贝尔巴赫(Bieberbach)于1910年做出了肯定的回答．第二部分由德国数学家莱因哈特(Reinhart)于1928年、黑施于1935年做出了部分解决．第三部分至今未能解决．问题19正则变分问题的解是否一定解析(椭圆型偏微分方程理论)1929年，德国数学家伯恩斯坦(L.Bernstein，1918—1990)证明了一个变元的、解析的非线性椭圆方程，其解必定是解析的．这个结果后来又被伯恩斯坦和苏联数学家彼德罗夫斯基等推广到多变元和椭圆组的情形．在此意义下，问题已获解决．问题20一般边值问题(椭圆型偏微分方程理论)偏微分方程边值问题的研究正处于蓬勃发展的阶段，已成为一个很大的数学分支，目前还在继续发展，进展十分迅速．问题21具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性证明(线性常微分方程大范围理论)此问题属于线性常微分方程的大范围理论．希尔伯特于1905年、勒尔(H.Rohrl)于1957年分别得出重要结果．1970年，法国数学家德利涅(Deligne)做出了突出的贡献．问题22用自守函数将解析函数单值比(黎曼曲面体)此问题涉及深奥的黎曼曲面理论，一个变数的情形已由德国数学家克贝(P.Koebe)于1907年解决，但一般情形尚未解决．问题23变分法的进一步发展(变分法)这是一个不明确的数学问题，只是谈了一些对变分法的一般看法．希尔伯特本人和许多数学家对变分法的发展做出了重要的贡献．20世纪变分法已有了很大的进展．希尔伯特的23个数学问题的影响及意义希尔伯特的23个数学问题绝大部分业已存在，并不是希尔伯特首先提出来的，但他站在更高的层面，用更尖锐、更简单的方式重新提出了这些问题，并指出了其中许多问题的解决方向．在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域．一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用．许多世界一流的数学家都深深为这23个问题着迷，并力图解决这些问题．希尔伯特所提出的问题清晰、易懂，其中一些有趣得令许多外行都跃跃欲试．解决其中任意一个，或者在任意一个问题上有重大突破，就自然地被公认为是世界一流水平的数学家．我国的数学家陈景润因在解决希尔伯特第8个问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大贡献而为世人所瞩目，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位．经过整整一个世纪，希尔伯特的23个数学问题中，将近一半已经解决或基本解决．有些问题虽未解决，但也取得了重要进展．希尔伯特提出的问题是极其深奥的，不少问题一般人连题目也看不懂．正因为困难，才吸引有志之士去做巨大的努力．但它又不是不可接近的，因而提供了使人们终有收获的科学猎场．一百多年来，人们始终注视着希尔伯特问题的研究，绝不是偶然的．希尔伯特问题的研究与解决大大推动了许多现代数学分支的发展，包括数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论和变分法等．第2问题和第10问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长．当然，预测不可能全部符合后来的发展，20世纪数学发展的广度和深度都远远超出20世纪初年的预料，像代数拓扑、抽象代数、泛函分析和多复变量函数等许多理论学科都未列入这23个问题，更不要说与应用有关的应用数学以及随计算机出现发展起来的计算数学和计算机科学了．。
高考数学专题非对称韦达定理问题
非对称韦达定理问题考点解密在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似y2-2x1y1+2x2为定值的情形，通过直线代换可得：y2-2x1 y1+2 x2=kx2+2x1kx1+6x2=kx1x2+2x1kx1x2+6x2，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：k PAk PB=y1−tx1y2−tx2=x2y1−tx2x1y2−tx1=kx1x2+(m−t)x2kx1x2+(m−t)x1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x1+x2和x1⋅x2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：①联立方程后得到韦达定理：x1+x2=f(t)x1x2=g(t)⇒m(t)(x1+x2)=n(t)x1x2代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】1已知双曲线C:x2a2-y23a2=1(a>0)的左顶点为A，右焦点为F，P是直线l:x=a2上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．(1)证明：∠APN=2∠NPF；(2)取a=1，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【跟踪训练】1已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A2,0，B1,3 2，M，N为椭圆E 上关于x轴对称的两点(不与点B重合)，Q1,0，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：(i)直线NC过定点，(ii)存在定点R，使PR为定值．2椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F1,0，且过点M1,32．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若过点23,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】2椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴长为4，且椭圆C 过点3,32 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M 、N ，直线AM 与直线x =4交于点P ，记PA 、PF 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1+k 3k 2是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P 1,32 为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1=2k 2，求直线l 斜率的值．【跟踪训练】3已知点F 为椭圆E :x 24+y 23=1的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M ，N 两点(不与A ，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2,证明k 1k 2为定值．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，点3,-1 在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若M -2,0 ，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点P -4,2 ，直线AP 交直线x =-2于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别k 1、k 2，求证：k 1-k 2为定值.题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】4已知B-1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之 ,C1,0和为6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点N-3,0，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于,F2,0,E-2,0点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.5已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.【跟踪训练】5已知圆C 1:(x +5)2+y 2=1，圆C 2:(x -5)2+y 2=25，动圆C 与圆C 1和圆C 2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程．(2)已知点A (0,-2),B (0,2)，过点(0,1)的直线l 与轨迹E 交于M ,N 两点，记直线AM 与直线BN 的交点为P ．试问：点P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．6已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，F 1到直线AF 2的距离为3，且AF 2 =2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过F 2且斜率为k k ≠0 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，证明：直线A 1D 与A 2E 的交点在定直线上.7已知椭圆W:x24m+y2m=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．考点过关练1已知椭圆E的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0c>0，点M在椭圆E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为4+23，面积为12c．(1)求椭圆E的方程．(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点1,0的直线l与椭圆E交于C，D两点(不同于左右顶点)，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，问是否存在实常数λ，使得k1=λk2，恒成立？若成立，求出λ的值，若不成立，说明理由．2椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，过左焦点F (-1,0)的直线与椭圆交于C ，D 两点(其中C 点位于x 轴上方)，当CD 垂直于x 轴时，CD =3.(1)求椭圆的方程；(2)记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，问；k 1k 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．3已知圆C 1:(x +5)2+y 2=1，圆C 2:(x -5)2+y 2=25，动圆C 与圆C 1和圆C 2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程．(2)已知点A (0,-2),B (0,2)，过点(0,1)的直线l 与轨迹E 交于M ,N 两点，记直线AM 与直线BN 的交点为P ．试问：点P 是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．4已知椭圆W :x 24m +y 2m=1m >0 的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点P (1，0)的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D (不与点A ，B 重合)．(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)若直线CB 与直线AD 相交于点M ，判断点M 是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．5已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P -1,32 在椭圆C 上，且PF 2 =52，直线l 过点F 1且与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知OF 1 =F 1M ，OF 2 =F 2N ，若直线AM ，BN 交于点D ，探究：点D 是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．6已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，F 22,0 为椭圆E 的右焦点，三点332,12 ，-332,12 ，2,13中恰有两点在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点A ,B 为椭圆E 的左右端点，过点M 2,0 作直线交椭圆E 于P ，Q 两点(不同于A ,B )，求证：直线AP 与直线BQ 的交点N 在定直线上运动，并求出该直线的方程.7已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点，椭圆的离心率为32，△MOF 的面积的最大值为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 1,0 ，当M 不与A ，B 重合时，射线MP 交椭圆C 于点N ，直线AM ，BN 交于点T ，求∠ATB 的最大值.8已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为32，右焦点为F 3,0 ，A ，B 分别为椭圆C的左、右顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D 1,0 作斜率不为0的直线l ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，记直线AP 的斜率为k 1，直线BQ 的斜率为k 2，求证：k1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证：点M 在定直线上.非对称韦达定理问题考点解密在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似y 2-2 x 1y 1+2 x 2为定值的情形，通过直线代换可得：y 2-2 x 1y 1+2 x 2=kx 2+2 x 1kx 1+6 x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：k PAk PB=y 1−t x 1y 2−t x 2=x 2y 1−tx 2x 1y 2−tx 1=kx 1x 2+(m −t )x 2kx 1x 2+(m −t )x 1我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到x 1+x 2和x 1⋅x 2之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法：①联立方程后得到韦达定理：x 1+x 2=f (t )x 1x 2=g (t ) ⇒m (t )(x 1+x 2)=n (t )x 1x 2代入之后进行代换消元解题.②利用点在椭圆方程上代换题型解密题型一：利用非对称韦达定理思想解决定点问题【精选例题】1已知双曲线C:x 2a 2-y 23a 2=1(a >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，P 是直线l :x =a2上一点，且P 不在x 轴上，以点P 为圆心，线段PF 的长为半径的圆弧AF 交C 的右支于点N ．(1)证明：∠APN =2∠NPF ；(2)取a =1，若直线PF 与C 的左、右两支分别交于E ，D 两点，过E 作l 的垂线，垂足为R ，试判断直线DR 是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析【分析】(1)过N 作l 的垂线，垂足为H ，且与圆弧AF 交于点M ，则MN ∥AF ，结合圆的知识可得AM =NF ，MH =HN ，设点N x 0,y 0 ，则x 20a2-y 203a 2=1，由NF HN =2，可得NF =2HN ，即得AM =NF =MN (用双曲线的第二定义来说明，也可以)，由相等弦长所对的圆心角相等，得∠APM =∠MPN =∠NPF ，进而求解；(2)设直线PF 的方程为x =my +2，由题意可得m ∈-∞,-33 ∪33,+∞ ，联立方程组，结合韦达定理可得y 1+y 2，y 1y 2，由题知，直线DR 的方程为y -y 2=y 2-y 112-x 1x -12，令y =0，化简即可求解.【详解】(1)证明：过N 作l 的垂线，垂足为H ，且与圆弧AF 交于点M ，则MN ∥AF ，连接AM ，PM ，NF ．因为在圆P 中，PH ⊥AF ，PH ⊥MN ，所以|AM |=|NF |，|MH |=|HN |．由题易知右焦点F (2a ,0)，设点N x 0,y 0 ，则x 20a 2-y 203a 2=1，整理得y 20=3x 20-3a 2．因为|NF ||HN |=x 0-2a 2+y 2x 0-a 2=x 0-2a2+3x 20-3a2x 0-a 2=2x 0-a2x 0-a 2=2x 0-a x 0-a 2=2，所以|NF |=2|HN |，所以|AM |=|NF |=|MN |．【这里若学生用双曲线的第二定义来说明，也可以．见下：因为直线l :x =a 2为双曲线C :x 2a 2-y 23a 2=1(a >0)的准线，根据双曲线的第二定义，可知|NF ||HN |=ca =2，即|NF |=2|HN |，即得|AM |=|NF |=|MN |．】在圆P 中，由相等弦长所对的圆心角相等，得∠APM =∠MPN =∠NPF ，所以∠APN =2∠NPE ．(2)由题知双曲线C :x 2-y 23=1，渐近线为：y =±33x ，右焦点为F 2,0 ，直线PF 的斜率不为0，设直线PF 的方程为x =my +2因为直线PF 与C 的左，右两支分别交于E ，D 两点，则m ∈-∞,-33 ∪33,+∞ ．设D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，R 12,y 2y 1≠y 2 ，联立方程组x=my+2x2-y23=1，得3m2-1y2+12my+9=0，则y1+y2=12m3m2-1,y1y2=-93m2-1．由题知，直线DR的方程为y-y2=y2-y112-x1x-12，令y=0，得x=x1y2-12y1y2-y1=my1+2y2-12y1y2-y1=my1y2+2y2-12y1y2-y1=-34y1+y2+2y2-12y1y2-y1=54y2-y1y2-y1=54，所以直线DR过定点54,0 .【跟踪训练】1已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点A2,0，B1,3 2，M，N为椭圆E 上关于x轴对称的两点(不与点B重合)，Q1,0，直线MQ与椭圆E交于另一点C，直线QP垂直于直线NC，P为垂足．(1)求E的方程；(2)证明：(i)直线NC过定点，(ii)存在定点R，使PR为定值．【答案】(1)x24+y2=1；(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.【分析】(1)设方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，代入A,B点的坐标，得出方程组，求解即得.(2)(i)设MQ的方程为x=ty+1t≠0，与椭圆方程联立，根据韦达定理表示出坐标关系，得出NC的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1 ，令y=0，整理可得x=4，即可得出定点；(ii)由已知可得QP⊥PH，即可得出P的轨迹，得出答案.【详解】(1)设E的方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，则4m=1m+34n=1，解得m=14n=1，所以E的方程为x24+y2=1.(2)(i)依题意，直线MQ的斜率存在且不为0，设MQ的方程为x=ty+1t≠0，设点C x1,y1，M x2,y2，则N x2,-y2，由x=ty+1x2+4y2=4消去x并整理得t2+4y2+2ty-3=0，则Δ=16t2+48>0，y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4，显然2ty1y2=3(y1+y2)，直线NC的斜率k NC=y1+y2x1-x2，直线NC的方程为y-y1=y1+y2x1-x2x-x1 ，令y=0，则x=x1-y1x1-x2y1+y2=y2x1+x2y1y1+y2=y2ty1+1+ty2+1y1y1+y2=2ty1y2+y1+y2y1+y2=4，所以直线NC恒过定点4,0.(ii)令直线NC过的定点4,0为点H，由QP⋅NC=0，P在NC上，得QP⊥PH，则点P在以QH为直径的圆上，从而QH的中点R52,0为定点，使PR 为定值32.【点睛】思路点睛：设MQ的方程为x=ty+1t≠0，与椭圆联立得出方程，根据韦达定理得出坐标关系.进而整理化简，即可得出定点坐标.2椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F1,0，且过点M1,32．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)若过点23,0且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．【答案】(1)标准方程为C：x24+y23=1，离心率为12；(2)103,0【分析】(1)法一：由题意可得c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，解方程即可求出a,b,c，可求出椭圆C的标准方程和离心率；法二：由椭圆的定义求出a=1，再结合b2=a2-c2求出b，可求出椭圆C的标准方程和离心率；(2)设方程为x=my+23，M x1,y1，N x2,y2，联立直线MN方程和椭圆的方程可得my1y2=83y1+y2，表示出直线MP方程，对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，令y=0，将my1y2=83y1+y2代入化简即可得出答案.【详解】(1)法一：由题意c=11a2+94b2=1a2=b2+c2，可得a2=4b2=3c2=1，则椭圆C的标准方程为C：x24+y23=1，离心率为e=ca=12；法二：设椭圆的左焦点为F -1,0 ，则由椭圆的定义知2a =MF +MF =1+12+322+1-12+322=52+32=4，所以a =2，又c =1，得b 2=a 2-c 2=3，则椭圆C 的标准方程为C ：x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12；(2)因为直线MN 过点23,0且斜率不为0，所以设直线MN 方程为x =my +23，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则P 6,y 2 ，联立x =my +23x 24+y 23=1，消去x 得，3m 2+4 y 2+4my -323=0，所以Δ>0y 1+y 2=-4m 3m 2+4y 1y 2=-3233m 2+4，所以my 1y 2=83y 1+y 2 ，直线MP 方程为y -y 2=y 1-y 2x 1-6x -6 ，由对称性可知直线MP 恒过的定点在x 轴上，所以令y =0，得x -6=y 2x 1-6 y 2-y 1，且x 1=my 1+23，所以x -6=y 2my 1+23-6 y 2-y 1=my 1y 2-163y 2y 2-y 1=83y 1+y 2 -163y 2y 2-y 1=-83，可得x =103，直线MP 恒过的定点103,0 ．【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；(3)求证直线过定点x 0,y 0 ，常利用直线的点斜式方程或截距式y =kx +b 来证明.题型二：利用非对称韦达定理思想解决斜率定值问题【精选例题】2椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，且椭圆C 过点3,32 .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 、B 为椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M 、N ，直线AM 与直线x =4交于点P ，记PA 、PF 、BN 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1+k 3k 2是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由.【答案】(1)C :x 24+y 23=1；(2)k 1+k 3k 2是定值2，理由见解析【分析】(1)先求出a =2，将3,32代入求出b 2=3，得到椭圆方程；(2)设直线MN ：x =my +1，联立椭圆方程，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，得到两根之和，两根之积，表达出k 1=y 1x 1+2，k 2=2y 1x 1+2，k 3=y 2x 2-2，计算出k 1+k 3k 2=12+my 1y 2+3y 22my 1y 2-2y 1，将两根之积代入，化简得到k 1+k 3k 2=3m 2+4 -3y 1+y 2 +4y 1 +18m23m 2+4 y 1+18m，再代入两根之和，得到k 1+k 3k 2是定值2.【详解】(1)由题意得2a =4，解得a =2，将3,32代入椭圆方程C :x 24+y 2b 2=1中得，34+34b2=1，解得b 2=3，故椭圆方程为C :x 24+y 23=1(2)因为a =2，c =4-3=1，所以F 1,0 ，A -2,0 ，B 2,0 ，设直线MN ：x =my +1，联立x =my +1与C :x 24+y 23=1可得，3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ=36m 2+363m 2+4 >0恒成立，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，直线AM ：y y 1=x +2x 1+2，令x =4得y =6y 1x 1+2，故P 4,6y 1x 1+2，k 1=y 1x 1+2，k 2=6y 1x 1+2-04-1=2y 1x 1+2，k 3=y 2x 2-2，则k 1+k 3k 2=y 1x 1+2+y 2x 2-22y 1x 1+2=12+y 2x 2-2⋅x 1+22y 1=12+y 2my 1+3 2y 1my 2-1=12+my 1y 2+3y 22my 1y 2-2y 1=12+-9m3m 2+4+3y 2-18m 3m 2+4-2y 1=12-33m 2+4 y 2-9m 23m 2+4 y 1+18m =3m 2+4 y 1-3y 2 +18m23m 2+4 y 1+18m=3m 2+4 -3y 1+y 2 +4y 1 +18m23m 2+4 y 1+18m =3m 2+4 18m3m 2+4+4y 1+18m23m 2+4 y 1+18m=43m 2+4 y 1+36m 23m 2+4 y 1+18m=2.k 1+k 3k 2为定值2.【点睛】定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，点P 1,32 为椭圆上一点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点C (0，1)且斜率大于1的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为k 1，直线BN 的斜率为k 2，若k 1=2k 2，求直线l 斜率的值．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)32.【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P 1,32在椭圆上求出椭圆的标准方程;(2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +1, 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2), 联立方程组消去y ,再将k 1=2k 2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l 的斜率.【详解】(1)因为椭圆的离心率为12，所以a =2c .又因为a 2=b 2+c 2，所以b =3c .所以椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c2=1.又因为点P 1,32 为椭圆上一点，所以14c 2+943c2=1，解得c =1.所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y =kx +1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立方程组消去y 可得(3+4k 2)x 2+8kx -8=0.所以由根与系数关系可知x 1+x 2=-8k 3+4k 2，x 1x 2=-83+4k 2.因为k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 2-2，且k 1=2k 2，所以y 1x 1+2=2y 2x 2-2.即y 12x 1+2 2=4y 22x 2-22. ①又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆上，所以y 21=34(4-x 21)，y 22=34(4-x 22)． ②将②代入①可得：2-x 12+x 1=42+x 2 2-x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12=0.所以3-83+4k 2 +10-8k 3+4k 2+12=0，即12k 2-20k +3=0.解得k =16或k =32，又因为k >1，所以k =32.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【跟踪训练】3已知点F 为椭圆E :x 24+y 23=1的右焦点，A ，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M ，N 两点(不与A ，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2,证明k1k 2为定值．解析：方法1.先联x 24+y 23=1x =ty +1 ，消x 得(4+3t 2)y 2+6ty -9=0，易知△>0，则y 1+y 2=-6t 4+3t 2y 1y 2=-94+3t2．ty 1y 2=32(y 1+y 2)，代入目标信息得，k 1k 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=32(y 1+y 2)-y 132(y 1+y 2)+3y 2稍作整理，即可得k 1k 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13，为定值，得证．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的离心率为2，点3,-1 在双曲线C 上.过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若M -2,0 ，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由.(3)点P -4,2 ，直线AP 交直线x =-2于点Q .设直线QA 、QB 的斜率分别k 1、k 2，求证：k 1-k 2为定值.【答案】(1)x 28-y 28=1；(2)不存在，理由见解析；(3)证明见解析【分析】(1)根据题意列式求a ,b ,c ，进而可得双曲线方程；(2)设l :x =my -4，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立方程，利用韦达定理可得MA ⋅MB=-4，结合圆的性质分析判断；(3)用A ,B 两点坐标表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出k 1,k 2，结合韦达定理，证明k 1-k 2为定值.【详解】(1)由题意，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，且M 3,-1 在双曲线C 上，可得9a 2-1b 2=1e =c a =2c 2=a 2+b 2，解得a 2=8，b 2=8，所以双曲线的方程为x 28-y 28=1.(2)双曲线C 的左焦点为F -4,0 ，当直线l 的斜率为0时，此时直线为y =0，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设l :x =my -4，联立方程组x =my -4x 2-y 2=8，消x 得m 2-1 y 2-8my +8=0，易得Δ>0，由于过点F 作直线l 交C 的左支于A ,B 两点，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=8m m 2-1，y 1y 2=8m 2-1<0，可得-1<m <1，因为MA =x 1+2,y 1 ，MB =x 2+2,y 2 ，则MA ⋅MB=x 2+2 x 1+2 +y 1y 2=my 1-2 my 2-2 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=8m 2+1 m 2-1-16m 2m 2-1+4=-4，即MA ⋅MB≠0，可得MA 与MB 不相互垂直，所以不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上.(3)由直线AP :y -2=k 1x +4 ，得Q -2,2+2k 1，所以k 2=y 2-2-2k 1x 2+2=y 2-2-2k 1my 2-2，又k 1=k PA =y 1-2x 1+4=y 1-2my 1，所以k1-k2=y1-2my1-y2-2-2k1my2-2=y1-2my2-2-my1y2-2-2k1my1my2-2=-2my2-2y1+4+2my1+2mk1y1my1my2-2，因为k1=y1-2my1，所以k1my1=y1-2，且y1+y2=my1y2，所以k1-k2=2m y1-y2my1my2-2=2y1-y2y1+y2-2y1=-2，即k1-k2为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．题型三：利用非对称韦达定理思想解决定直线问题【精选例题】4已知B-1,0,C1,0为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC,AB上的两条中线长度之和为6.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)已知点N-3,0,E-2,0,F2,0，直线PN与曲线T的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，试问：当点P变化时，点M是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)x24+y23=1x≠±2(2)是，证明见解析【分析】(1)依题意PB+PC=4，根据椭圆的定义可知P的轨迹T是以B、C为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，从而求出椭圆方程；(2)设直线PQ的方程为：x=my-3，P x1,y1，Q x2,y2，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到2my1y2=53y1+y2，再求出直线PE、QF的方程，联立求出交点的横坐标，整理可得求出定直线方程.(1)解：因为P为△ABC的重心，且边AC,AB上的两条中线长度之和为6，所以PB+PC=23×6=4>BC，故由椭圆的定义可知P的轨迹T是以B-1,0,C1,0为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且a=2,c=1，所以b=3，所以P的轨迹T的方程为x24+y23=1x≠±2；(2)解：设直线PQ的方程为：x=my-3，P x1,y1，Q x2,y2，联立方程x=my-3x24+y23=1得：3m2+4y2-18my+15=0，则y1+y2=18m3m2+4，y1y2=153m2+4，所以2my1y2=53y1+y2，又直线PE的方程为：y=y1x1+2x+2=y1my1-1x+2，又直线QF的方程为：y=y2x2-2x-2=y2my2-5x-2，联立方程y=y1my1-1x+2y=y2my2-5x-2，解得x=22my1y2-y2-5y1-y2+5y1，把2my1y2=53y1+y2代入上式得：x=223y2-103y1-y2+5y1=43y2-5y1-y2+5y1=-43，所以当点P运动时，点M恒在定直线x=-43上5已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为-25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上.【答案】(1)x24-y216=1；(2)证明见解析.【分析】(1)由题意求得a,b的值即可确定双曲线方程；(2)设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线MA1与NA2的方程，联立直线方程，消去y，结合韦达定理计算可得x+2x-2=-13，即交点的横坐标为定值，据此可证得点P在定直线x=-1上.【详解】(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1.(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.【跟踪训练】5已知圆C1:(x+5)2+y2=1，圆C2:(x-5)2+y2=25，动圆C与圆C1和圆C2均相切，且一个内切、一个外切．(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程．(2)已知点A(0,-2),B(0,2)，过点(0,1)的直线l与轨迹E交于M,N两点，记直线AM与直线BN的交点为P．试问：点P是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．【答案】(1)x29+y24=1x≠-655；(2)点P恒在定直线y=4上【分析】(1)设动圆的圆心为C(x,y)，利用两圆外切和内切的关系得到CC1+CC2=6>C1C2，由椭圆的定义即可得到动点的轨迹，利用待定系数法求出方程即可；(2)设直线l的方程为y=kx+1，直曲联立，结合韦达定理得到2kx1x2=3x1+x2，求出直线AM与直线BN的方程，进而得到点P满足的关系式，整理化简可得点P恒在定直线y=4上．【详解】(1)设点C的坐标为(x,y)，圆C的半径为R．由已知条件，得C1C2=25．①当动圆C与圆C1外切，与圆C2内切时，CC1=1+R,CC2=5-R，从而CC1+CC2=6>C1C2．②当动圆C与圆C1内切，与圆C2外切时，CC1=1-R,CC2=5+R，从而CC 1 +CC 2 =6>C 1C 2 ．综上可知，圆心C 的轨迹E 是以C 1,C 2为焦点，6为长轴长的椭圆．易得圆C 1与圆C 2交于点-655,255 与-655,-255，所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为x 29+y 24=1x ≠-655．(2)设直线l 的方程为y =kx +1，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．联立直线l 与轨迹E 的方程，得y =kx +1x 29+y 24=1x ≠-655消去y 并整理，得9k 2+4 x 2+18kx -27=0x ≠-655 ．所以x 1+x 2=-18k 9k 2+4，x 1x 2=-279k 2+4，则有2kx 1x 2=3x 1+x 2 ．由已知条件，得直线AM 的方程为x =x 1y 1+2(y +2)，直线BN 的方程为x =x 2y 2-2(y -2)，则点P 的坐标(x ,y )满足x 1y 2-2 (y +2)=x 2y 1+2 (y -2)．又y 2=kx 2+1,y 1=kx 1+1，所以y =4kx 1x 2+6x 2-2x 13x 2+x 1．把2kx 1x 2=3x 1+x 2 代入上式，得y =6x 1+6x 2+6x 2-2x 13x 2+x 1=12x 2+4x 13x 2+x 1=4．故点P 恒在定直线y =4上．6已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，F 1到直线AF 2的距离为3，且AF 2 =2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过F 2且斜率为k k ≠0 的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，证明：直线A 1D 与A 2E 的交点在定直线上.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析【分析】(1)首先求出直线AF 2的方程，利用点到直线的距离公式得到2bc a=3，再由AF 2 =a =2，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆方程，设D x 1,y 1 ，E x 2,y 2 ，消元，列出韦达定理，即可得到直线A 1D 、A 2E 的方程，设直线A 1D 与A 2E 的交点坐标为x 0,y 0 ，求出x 0，即可得解.【详解】(1)依题意可得直线AF2的方程为xc+yb=1，即bx+cy-bc=0，则F1到直线AF2的距离为-2bcb2+c2=2bca= 3.又AF2=b2+c2=a=2，a2=c2+b2，故b=3，c=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)由(1)得F21,0，所以直线l的方程为y=k x-1k≠0，由y=k x-1x24+y23=1可得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0，设D x1,y1，E x2,y2，显然Δ>0，所以x1+x2=8k23+4k2=2-64k2+3，x1x2=4k2-123+4k2=1-154k2+3，故x1x2=52x1+x2-4.由(1)可得A1-2,0，A22,0，则直线A1D的方程为y=y1x1+2x+2，直线A2E的方程为y=y2x2-2x-2，设直线A1D与A2E的交点坐标为x0,y0，则y1x1+2x0+2=y2x2-2x0-2，故x0+2x0-2=y2x1+2y1x2-2=k x2-1x1+2k x1-1x2-2=x1x2-x1+2x2-2x1x2-2x1-x2+2=52x1+x2-4-x1+2x2-252x1+x2-4-2x1-x2+2=3x1+9x2-12x1+3x2-4=3，解得x0=4，故直线A1D与A2E的交点在直线x=4上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x1,y1、x2,y2；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；(5)代入韦达定理求解.7已知椭圆W:x24m+y2m=1m>0的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合)．(1)求椭圆W的方程及离心率；(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．【答案】(1)椭圆方程为x24+y2=1，离心率为32；(2)P点在定直线x=4上．【分析】(1)由长轴长求得m得椭圆方程，然后由离心率公式离心率；(2)设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得y1+y2,y1 y2，写出直线AC,BD方程，联立求得P点横坐标x，利用直线方程，及韦达定理的结果代入后可得x= 4，即为定直线方程．【详解】(1)由题意24m=4，m=1，所以椭圆方程为x24+y2=1，a=2，b=1，则c=3，离心率为e=ca =32；(2)由题意设动直线方程为x=ty+1，设C(x1,y1),D(x2,y2)，A(-2,0),B(2,0)，由x=ty+1x24+y2=1得(t2+4)y2+2ty-3=0，显然Δ>0，y1+y2=-2tt2+4，y1·y2=-3t2+4，直线AC方程为y=y1x1+2(x+2)，直线BD方程为y=y2x2-2(x-2)，联立方程组y=y1x1+2(x+2)y=y2x2-2(x-2)，得x=2(x1y2+x2y1+2y2-2y1)x1y2-x2y1+2y1+2y2又x1=ty1+1x2=ty2+1，代入得x=2(2ty1y2+3y2-y1)3y2+y1，由y1+y2=-2tt2+4，y1y2=-3t2+4得y1+y2y1y2=2t3，即2ty1y2=3(y1+y2)，所以x=2[3(y1+y2)+3y2-y1]3y2+y1=4，所以P点在定直线x=4上．【点睛】方法点睛：椭圆中的定直线问题，可设出交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)，设出动直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理，然后由直线与椭圆的交点坐标求出相关的交点坐标，对这个坐标进行分析得出定直线方程，本题中对横坐标进行分析，代入交点坐标的关系及韦达定理的结果即得出结论，实际上本题可从对称性确定定直线与x 轴垂直，再坐标特殊值(如动直线与x 轴垂直)求得定直线方程，然后只要验证一般情形即可(这个寻找过程在解题中还不必反映出来)．考点过关练1已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 c >0 ，点M 在椭圆E 上，MF 2⊥F 1F 2，△MF 1F 2的周长为4+23，面积为12c ．(1)求椭圆E 的方程．(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过点1,0 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点(不同于左右顶点)，记直线AC 的斜率为k 1，直线BD 的斜率为k 2，问是否存在实常数λ，使得k 1=λk 2，恒成立？若成立，求出λ的值，若不成立，说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)存在实数λ=13【分析】(1)根据焦点三角形面积及周长列方程求出a ,b ,即可写出椭圆方程；(2)先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2化简求解即可.【详解】(1)依题意，得2a +2c =4+2312⋅2c ⋅b 2a =b 2a ⋅c =14c ，即a +c =2+3b 2a =12 ，解得a 2=4b 2=1 ，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)依题意，可设直线l 的方程为x =ty +1，联立方程x 24+y 2=1x =ty +1 ，化简整理，得t 2+4 y 2+2ty -3=0，易得Δ>0恒成立，设C x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，由韦达定理，得y 1+y 2=-2t t 2+4y 1y 2=-3t 2+4 ，可得ty 1y 2=32y 1+y 2，于是k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2=x 2-2 y 1x 1+2 y 2=ty 2-1 y 1ty 1+3 y 2=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=12y 1+3y 2 32y 1+3y 2 =13，故存在实数λ=13，使得k 1=λk 2恒成立．2椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，过左焦点F (-1,0)的直线与椭圆交于C ，D 两点(其中C 点位于x 轴上方)，当CD 垂直于x 轴时，CD =3.(1)求椭圆的方程；(2)记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，问；k 1k 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)是定值，定值为3．【分析】(1)根据题意结合通径长即可求出椭圆的标准方程.(2)设出直线方程，与椭圆方程联立，得到根与系数关系，将k 1k 2表示出化简即可.【详解】(1)因为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F (-1,0)，所以a 2-b 2=1，将x =-1代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y =±b 2a ，故CD =2b 2a =3，所以a 2-32a =1 解得a 2=4，所以b 2=3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)因为直线CD 过点F (-1,0)，且点C 位于x 轴上方，所以直线CD 斜率不为0，设直线CD 的方程为x =my -1，联立x 24+y 23=1x =my -1 消去x 得，3m 2+4 y 2-6my -9=0.方程(3m 2+4)y 2-6my -9=0的判别式Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+144>0，设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，由已知y 1>0，于是y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4<0，所以my 1y 2=-32y 1+y 2 ,y 2<0，。
定直线的欧式2-斯坦纳树问题
定直线的欧式2-斯坦纳树问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧式2-斯坦纳树问题是图论中的一个经典问题，也是计算机科学领域中的一个重要研究课题。
该问题的目标是找到一个连接给定点集合中所有点的最小生成树，且这个生成树中只包含给定的点和连接这些点的边。
欧式2-斯坦纳树问题是在斯坦纳树问题的基础上进行了扩展和优化。
在斯坦纳树问题中，给定一组点和一个连接这些点的权重边集合，需要找到一个包含所有给定点的生成树，使得生成树的总权重最小。
而在欧式2-斯坦纳树问题中，不仅需要考虑点之间的欧式距离，还需要考虑连接这些点的边的长度，以及生成树的总长度。
欧式2-斯坦纳树问题在实际应用中有着广泛的应用场景，比如在通信网络中优化网络拓扑结构、在城市规划中设计最优交通路线、在社交网络中提高信息传播效率等。
研究和解决这个问题对于优化现实生活中的各种问题具有重要意义。
在解决欧式2-斯坦纳树问题时，可以采用多种算法和方法。
其中最常用的算法之一就是最小生成树算法，比如Prim算法和Kruskal算法。
这些算法可以在给定点和边的情况下找到一个最小生成树，保证了生成树的总长度最小。
在解决欧式2-斯坦纳树问题时，还可以考虑使用近似算法或者启发式算法来求解。
这些算法虽然不能保证找到最优解，但可以在较短的时间内找到一个接近最优解的解。
可以使用贪心算法、遗传算法、模拟退火算法等来求解欧式2-斯坦纳树问题。
除了算法和方法的选择，还需要考虑如何设计合适的数据结构来表示图、点和边。
在欧式2-斯坦纳树问题中，图可以用邻接矩阵或邻接链表来表示，点可以用坐标表示，边可以用权重表示。
通过合理设计数据结构，可以简化算法的实现，提高算法的效率。
欧式2-斯坦纳树问题是一个复杂且具有挑战性的问题，但是通过合理选择算法和数据结构，可以有效地解决这个问题。
在实际应用中，可以根据具体的需求和场景来选择合适的算法和方法，从而优化解决方案。
希望通过不断地研究和探索，可以进一步提高欧式2-斯坦纳树问题的求解效率和准确度，为实际问题的优化提供更好的方案。
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定直线的欧式2-斯坦纳树问题
欧式2-斯坦纳树问题（Euclidean 2-Steiner Tree Problem）是
一个经典的图论问题，其主要目标是找到一棵最小的树，使得给定的
一组点集上的两两点之间的欧式距离之和最小。
为了更好地理解和解释这个问题，我将分为以下几个部分进行论述：问题定义、问题分析、解决方法、应用领域和总结。
一、问题定义：
在给定的欧式空间中，有一组点集P={p1,p2,……，pn}，其中n
为点集P的大小。
我们的目标是找到一棵树，使得这棵树上的所有节
点都属于点集P，并且这棵树的边权之和最小。
换句话说，我们要找到一个子集S，其中S⊆P，使得S中的节点之间的欧式距离之和最小。
二、问题分析：
在问题定义中，我们要求找到一个子集S，其中S⊆P。
换句话说，我们要找到一些额外的节点，将它们和点集P中的节点连接起来，形
成一棵树。
这些额外的节点称为Steiner节点，在问题分析中，我们
可以看到，Steiner节点的主要作用是连接其他节点，而非直接参与到最终计算的距离之和中。
三、解决方法：
为了解决欧式2-斯坦纳树问题，我们可以采用贪心算法或者动态
规划算法。
在贪心算法中，我们从点集P中选择两个点，然后找到一
个Steiner节点将这两个点连接起来，接着再从点集P中选择另外一
个点，继续进行连接，直到所有的点都被连接起来为止。
在每一步中，我们选择连接两个点之间的最短边。
由于这是一个NP-hard问题，我
们无法保证贪心算法能够得到最优解。
因此，在实际应用中，我们可
以采用启发式算法，比如模拟退火算法、遗传算法等，以求得近似最
优解。
四、应用领域：
欧式2-斯坦纳树问题在实际应用中有着广泛的应用领域。
它被广
泛应用于计算机网络、通信系统、电力系统、交通规划等领域。
在计
算机网络中，欧式2-斯坦纳树问题可以用来优化网络的拓扑结构，提
高通信效率。
在通信系统中，欧式2-斯坦纳树问题可以用来优化信号
传输路径，提高信号质量。
在电力系统中，欧式2-斯坦纳树问题可以
用来优化电力线路，提高供电可靠性。
在交通规划中，欧式2-斯坦纳树问题可以用来优化交通网络，缓解交通拥堵。
五、总结：
通过以上的论述，我们可以清晰地了解和理解欧式2-斯坦纳树问题。
这个问题主要目标是找到一棵最小的树，使得给定的一组点集上的两两点之间的欧式距离之和最小。
我们可以采用贪心算法或者动态规划算法来解决这个问题，但是由于这是一个NP-hard问题，我们无法保证得到最优解。
在实际应用中，我们通常采用启发式算法来求得近似最优解。
欧式2-斯坦纳树问题在计算机网络、通信系统、电力系统、交通规划等领域有着广泛的应用。
通过对该问题的研究和解决，有助于优化各种系统的性能和效率，提高资源利用率和运行效果。
在解决欧式2-斯坦纳树问题时，需要充分考虑问题的实际背景和应用要求，结合具体的情况灵活运用算法和技巧，以求得满足实际需求的最佳解决方案。