图论中的树与森林
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
图论 (5)
定理10.2.3
任意一个无向连通图G至少存在一棵生成子树。
证明1.若G是无回路的，则G本身就是一棵生成子树； 2.若G至少存在一个回路，在此回路中删去其中任 意一条边得G1，此时不会影响图G的连通性；若G1仍然有 回路，再在任意一个回路中删去其中任意一条边得G2， 此时不会影响图G1的连通性。重复上述步骤，直至得到 一个连通图T，且T是无回路的，但T与G有同样的结点集， 所以，T是G的生成子树。■
2013-7-10 数学学院 49--6
证明3)4)
①、首先证明G中无回路。用第一数学归纳法证明，对n作归纳。 当n＝1时，m＝n-1＝0，显然无回路；假设当n＝k-1时，命题成立， 即图无回路；当n＝k时，因G是连通的，故G中每一个结点的度数均 大于等于1。可以证明至少有一个结点v0 ，使得deg(v0)＝1，因若k 个结点的度数都大于等于2，则有： 2m＝deg(v0)+deg(v1)+deg(v2)+……+deg(vk) 2+2+2+……+2＝2k (其中：v0 ，v1 ，v2 ，……，vk 是G中的所有k个结点)。从而有:mk， 即至少有k条边，但这与m＝n-1发生矛盾。在G中删去v0及其关联的 边得到一个新图G1 ，根据归纳假设知G1 无回路。由于deg(v0)＝1， 所以再将结点v0及其关联的边加回得到原图G，则G也无回路。 ②、其次证明在G中任意二结点vi，vj之间增加一条边(vi，vj)， 得到一条且仅一条基本回路。由于G是连通的，从vi到vj有一条通路 L，再在L中增加一条边(vi ，vj)，就构成了一条回路。若此回路不 是唯一的和基本的，则删去此新边，G中必有回路，得出矛盾。
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
图论中的树与森林的性质
图论中的树与森林的性质树和森林是图论中常见的概念，它们作为图的特殊结构，在许多实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍树和森林的性质和特点。
一、树的性质树是一种无环连通图，它具有以下特点：1.1 无向树的性质在无向树中，任意两个顶点之间都存在唯一的路径。
换句话说，无向树是连通且无回路的图。
1.2 有向树的性质有向树是有向图中的一种特殊结构，它满足以下条件：- 有向树是连通的，任意两个顶点之间存在有向路径。
- 有向树中不存在自环，即不存在从一个顶点出发经过若干个顶点再回到该顶点的路径。
- 对于任意一个顶点，存在唯一的入度为0的顶点，称之为根节点。
二、森林的性质森林是由若干棵互不相交的树组成的图。
它具有以下特点：2.1 无向森林的性质无向森林是由若干互不相交的无向树组成的，每棵无向树称为无向森林的一棵子树。
2.2 有向森林的性质有向森林是由若干互不相交的有向树组成的，每棵有向树称为有向森林的一棵子树。
三、树和森林的性质3.1 无向树的性质和应用在无向树中，任意两个顶点之间存在唯一的路径，可以用来描述家族关系、计算机网络、组织结构等。
无向树有以下性质：- 无向树的边数等于顶点数减1。
- 对于有n个顶点的无向树，如果度数为1的顶点有k个，那么度数为2的顶点有n-k-1个。
3.2 有向树的性质和应用有向树是有向图中的一种特殊结构，它具有以下性质：- 有向树的边数等于顶点数减1。
- 对于有n个顶点的有向树，如果出度为0的顶点有k个，那么出度为1的顶点有n-k-1个。
有向树可以用来描述有向关系，如亲属关系、流程控制等。
3.3 森林的性质和应用森林是由若干互不相交的树组成的图，它具有以下性质：- 森林的边数等于顶点数减去树的数量。
- 对于有n个顶点的森林，树的数量为s，那么边的数量为n-s。
森林可以用来表示多个无关联子问题的集合，常用于分组、拓扑排序等算法中。
总结：树和森林是图论中重要的概念，它们在许多实际问题中具有广泛的应用。
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系
二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。
而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。
本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。
二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以为空，也可以是一棵空树。
2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。
在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。
3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。
掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。
三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。
树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。
树中最顶层的节点称为根节点。
2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。
在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。
3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。
树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。
四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。
每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。
2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。
3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。
《离散数学》课件-第16章树
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16.3 根树及其应用
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定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
8
平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
图论——树
森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
集合论与图论第十章 树
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
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图论中的树与森林
在图论中，树和森林是两个重要的概念，它们是有机连通且无圈的图。
接下来将分别介绍树和森林的定义与性质。
1. 树
树是一种无圈的连通图，且任意两个顶点之间只有一条简单路径。
换句话说，树是一个极小连通图。
树有以下性质：
- 任意一棵树有n个顶点和n-1条边。
- 任意一棵树的任意两个顶点之间有唯一路径。
- 任意一棵树都是连通的，去掉任意一条边就不再连通。
- 任意一棵树没有回路。
- 任意一棵树中加入一条边都会形成回路。
- 一棵含有n个顶点的图是树当且仅当它有n-1条边且连通。
树是一种重要的数据结构，常用于解决树/图相关的问题，比如最小生成树、拓扑排序等算法。
2. 森林
森林是由若干棵不相交的树构成的连通图。
换句话说，森林是多个树的集合。
森林有以下性质：
- 森林中每个连通分支都是一棵树。
- 森林中各棵树之间没有边相连。
在实际问题中，森林通常用于表示一组有关系但不完全联通的数据
集合，比如多个家族的家谱关系等。
在计算机科学领域，树和森林被广泛运用于算法设计和数据结构中。
它们是图论中的重要概念，深入了解树和森林的性质有助于理解和解
决相关问题。
图论中的树与森林是一门深奥的数学学科，通过不断学
习和实践，我们可以更好地运用它们来解决实际问题。