第二章树PPT课件
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樟树课件6
，提高学习效果。
04
学习方法
制定学习计划
制定具体、可行的学习计划，包括时间表和目标设定，有助于提 高学习效率。
主动学习
积极参与学习过程，发挥自己的主观能动性，主动思考、提问和解决问题。
多样化学习方式
结合不同的学习方式，如阅读、听讲、实践、讨论等，以获得更 全面的知识和技能。
创造学习环境
营造安静、舒适的学习环境，减少干扰和诱惑，集中注意力。
我检测。 • 内容丰富：樟树课件6涵盖了广泛的知识点，包括基础知识、进阶技巧和实际应用等，满足了学生的学习需
求。 • 专业性强：课件采用了专业的教育理念和教学方法，注重培养学生的思维能力和实践能力，有助于提高学
生的综合素质。 • 实用性强：樟树课件6紧密结合实际，将知识点与实际案例相结合，使学生能够更好地理解和应用所学知识
3
课件注重与实际生活的联系，引导学生探究樟 树的实用价值和生态意义。
02
樟树简介
樟树简介 樟树的特点
• 樟树是一种常绿乔木，属于樟科植物。 • 它的树冠呈广卵形或椭圆形，叶子为革质，表面光滑，背面有柔毛。 • 樟树的树皮为灰褐色或黄褐色，有明显的纵向裂纹。 • 樟树的花期在每年的4月至6月，花朵小而密集，呈黄色或淡绿色。 • 樟树的果实为浆果，呈黑色或紫黑色，直径约1厘米。 • 樟树原产于中国南方地区，喜欢温暖湿润的气候和肥沃的土壤。 • 樟树具有很高的观赏价值，常被用作城市绿化和园林造景。 • 樟树的木材纹理美观，耐腐蚀，不易变形，可以用于制作家具、建筑材料等。 • 樟树的叶子和树皮都可以提取樟脑，具有驱虫、防腐、抗菌等作用。
03
课件内容
课件内容 课件结构
• 课件结构：樟树课件6采用了总分总的结构，由引言、主体和总结三部分组成。 • 引言：引言部分通过简洁的语言和生动的图片，快速吸引学生的注意力，为后续内容打下基础。 • 主体：主体部分是课件的的核心，包含了多个段落，每个段落都围绕着一个主题进行详细阐述，涉及知识
04
学习方法
制定学习计划
制定具体、可行的学习计划，包括时间表和目标设定，有助于提 高学习效率。
主动学习
积极参与学习过程，发挥自己的主观能动性，主动思考、提问和解决问题。
多样化学习方式
结合不同的学习方式，如阅读、听讲、实践、讨论等，以获得更 全面的知识和技能。
创造学习环境
营造安静、舒适的学习环境，减少干扰和诱惑，集中注意力。
我检测。 • 内容丰富：樟树课件6涵盖了广泛的知识点，包括基础知识、进阶技巧和实际应用等，满足了学生的学习需
求。 • 专业性强：课件采用了专业的教育理念和教学方法，注重培养学生的思维能力和实践能力，有助于提高学
生的综合素质。 • 实用性强：樟树课件6紧密结合实际，将知识点与实际案例相结合，使学生能够更好地理解和应用所学知识
3
课件注重与实际生活的联系，引导学生探究樟 树的实用价值和生态意义。
02
樟树简介
樟树简介 樟树的特点
• 樟树是一种常绿乔木，属于樟科植物。 • 它的树冠呈广卵形或椭圆形，叶子为革质，表面光滑，背面有柔毛。 • 樟树的树皮为灰褐色或黄褐色，有明显的纵向裂纹。 • 樟树的花期在每年的4月至6月，花朵小而密集，呈黄色或淡绿色。 • 樟树的果实为浆果，呈黑色或紫黑色，直径约1厘米。 • 樟树原产于中国南方地区，喜欢温暖湿润的气候和肥沃的土壤。 • 樟树具有很高的观赏价值，常被用作城市绿化和园林造景。 • 樟树的木材纹理美观，耐腐蚀，不易变形，可以用于制作家具、建筑材料等。 • 樟树的叶子和树皮都可以提取樟脑，具有驱虫、防腐、抗菌等作用。
03
课件内容
课件内容 课件结构
• 课件结构：樟树课件6采用了总分总的结构，由引言、主体和总结三部分组成。 • 引言：引言部分通过简洁的语言和生动的图片，快速吸引学生的注意力，为后续内容打下基础。 • 主体：主体部分是课件的的核心，包含了多个段落，每个段落都围绕着一个主题进行详细阐述，涉及知识
园林树木种类PPT课件
第6页/共27页
品种（Cultivar）：这类由人工培育而
成的植物，当达到一定数量成为生产资料时 即可称为该种植物的“品种”。品种原来并 不存在于自然界中而纯属人为创造出来的。 所以植物分类学家均不把此作为自然分类系 统的研究对象。
第7页/共27页
植物命名法
每一种植物，各国有不同的名称，即使在同一个国家内各 地的叫法也常不同，例如北京的玉兰，在湖南叫应春花，河南 叫白玉兰，浙江叫望春花，四川叫木花树。由于植物种类极其 繁多，叫法不一，所以经常发生同名异物或同物异名的混乱现 象。为科学上的交流和生产上利用的方便。1867年规定以双名 法作为植物学名的命名。
A2植物体有根、茎、叶的分化------------------------------------高等植物 B1植物体有茎、叶，而无真根---------------------------------苔藓植物门 B2植物体有茎、叶，也有真根 C1不产生种子，用孢子繁殖----------------------------------蕨类植物门 C2产生种子-------------------------------------------------------种子植物门
等性状属于较进化的性状。
第13页/共27页
哈钦松（J.Hutchinson）系统
④ 认为在具有萼片和花瓣的植物中，如果它的雄蕊和雌 蕊在解剖上属于原始性状时，则比无萼片与花瓣的植物为 原始，例如杨柳科等的无花被特征是属于退化的现象。
⑤ 单叶和叶呈互生排列现象属于原始性状，复叶或叶呈 对生或轮生排列现象属于较进化的现象。
2. 变种的学名：在种名之后加上Var.(varietas)符
号再加上变种词
如：樟子松是欧洲松的变种
品种（Cultivar）：这类由人工培育而
成的植物，当达到一定数量成为生产资料时 即可称为该种植物的“品种”。品种原来并 不存在于自然界中而纯属人为创造出来的。 所以植物分类学家均不把此作为自然分类系 统的研究对象。
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植物命名法
每一种植物，各国有不同的名称，即使在同一个国家内各 地的叫法也常不同，例如北京的玉兰，在湖南叫应春花，河南 叫白玉兰，浙江叫望春花，四川叫木花树。由于植物种类极其 繁多，叫法不一，所以经常发生同名异物或同物异名的混乱现 象。为科学上的交流和生产上利用的方便。1867年规定以双名 法作为植物学名的命名。
A2植物体有根、茎、叶的分化------------------------------------高等植物 B1植物体有茎、叶，而无真根---------------------------------苔藓植物门 B2植物体有茎、叶，也有真根 C1不产生种子，用孢子繁殖----------------------------------蕨类植物门 C2产生种子-------------------------------------------------------种子植物门
等性状属于较进化的性状。
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哈钦松（J.Hutchinson）系统
④ 认为在具有萼片和花瓣的植物中，如果它的雄蕊和雌 蕊在解剖上属于原始性状时，则比无萼片与花瓣的植物为 原始，例如杨柳科等的无花被特征是属于退化的现象。
⑤ 单叶和叶呈互生排列现象属于原始性状，复叶或叶呈 对生或轮生排列现象属于较进化的现象。
2. 变种的学名：在种名之后加上Var.(varietas)符
号再加上变种词
如：樟子松是欧洲松的变种
《宋庆龄故居的樟树》PPT-完美版
•
2、交流体会含义深刻的句子。
•
（ 1）学生读教材中的内容，谈理解 。
•
师：含义深刻的句子表面是一层意思 ，却暗 含着更 深的意 义。那 么本组 课文中 有哪些 类似的 句子， 我们都 是用什 么方法 去理解 这些句 子的？
•
（2）学生找句子，交流体会方法。
•
（3）教师归纳总结体会含义深刻的句 子方法 ：
•
联系上下文；联系生活实际；结合时 代背景 ；展开 丰富联 想。……
•
师：希望同学们在以后的学习过程中 ，继续 运用我 们总结 的这些 体会句 子的方 法去学 习课文 ，一定 会有更 多的收 获。
•
日积月累
•Байду номын сангаас
过渡：鲁迅先生的文章无疑是人类文 化宝库 中的一 笔财富 ，这节 课我们 一起细 细品读 鲁迅先 生文章 中的脍 炙人口 、发人 深省的 名言警 句。
•
1、学生自读。指名读。
•
2、理解重点词语：
•
3、有感情地朗读、背诵。
•
课外再搜集一些鲁迅先生的名言。
•
趣味语文
•
1、过渡：鲁迅先生的童年发生过许多 故事， 这节课 我们就 来读一 个鲁迅 巧对先 生的故 事。
•
2、学生自读。指名读。
•
周樟寿的对子妙在哪里？他为什么对 得好？
•
文人巧对对联的故事还有很多，课后 搜集此 类故事 ，与同 学们交 流。
•
（2）提出要求：可以就课文来谈，可 以结合 课外学 习的收 获来谈 ；可以 讲同鲁 迅有关 的人和 事，也 可以说 说读鲁 迅作品 的体会 。
•
（3）小组讨论，合作学习。
•
（4）汇报交流，师生评议。
第三章阔叶树木.樟树pptx
二、形态特征：
• 常绿乔木，树冠广卵形。树皮灰褐色，纵 列。叶卵状椭圆形长5-8cm，薄质，离基三 出脉，脉腋有腺体，两面无毛，背灰绿色。 圆锥花腋生于新枝，核果球形，熟时紫色， 果托盘状。花期5月，果9—11月成熟。
三、地理分布
• 我国长江流域以南有分布，以江西、浙江、 台湾最多。多生于低山平原的向阳山坡、 谷地，垂直分布多在海拔500~600m以下， 台湾中北部海拔1800m高山有樟树天然林。 以1500m以下生长最旺盛，是我国亚热带常 绿阔叶林的重要树种。
第三章阔叶树木
第一节常绿阔叶树木 ------樟树
教学目标
• • • • • • 了解樟树科别。 掌握樟树的形态特征。 了解樟树的分布。 掌握樟树的生长习性。 了解樟树的繁殖方法。 熟悉樟树的观赏特性、园林用途、经济用 途。 • 熟悉樟树的养护管理。
教学难点
• 樟树的养护管理
教学重点
• 樟树的生长习性。 • 樟树形态特点。
• 播种繁殖。
• 栽培方法：大树移栽时应重剪树冠，带大 土球且用草绳卷干保湿，充分灌水和喷洒 枝叶，方可保证成活。移植时间以在芽刚 开始萌发时为佳。 • 主要栽培技术：
• • • • • • • •
• • • • •
香樟适应海拔高度：1800m以下 。 香樟树[2] 光照反应：喜光 。 水分反应：喜湿 。 对特殊土壤条件的适应能力：不耐瘠薄， 耐盐碱 。 忍受大气污染种类：多的地形条件：丘陵VS平原 。 土壤类型：砂壤土 。 树种分布区：浙江 、福建 、江西 、台湾 、湖北 、湖 南 、广东 、云南、广西、安徽、江苏 。 花期：第一次4月～ 5月，初夏开花，黄绿色，圆锥花序 。 香樟树[2] 果期：第一次8月～ 11月 。 树高：可达55米。 树高年生长量：100cm 。 胸径年生长量：2.40cm 。 繁殖方法：种子繁殖。[贵州燎炬村有两棵很大的香樟娣 妺树]
四旁绿化樟树大苗移植—樟树大树栽后养护管理(森林营造课件)
2、促发新根
• 2.1控水：新移植大树，根系吸水功能减弱，对土壤水分需 求量较小。因此，只要保持土壤适当湿润即可。土壤含水 量过大，反而会影响土壤的透气性能，抑制根系的呼吸， 对发根不利，严重的会导致烂根死亡。
• 一方面，要严格控制土壤浇水理。移植时第一次浇透水， 以后谨慎浇水。
• 第二，要防止树池积水。种植时留下的浇水穴，在第一次 浇透水后即应填平或略高于周围地面，以防下雨或浇水时 积水。
• 一方面，入秋后，要控制氮肥，增施磷、钾肥，并逐步延 长光照时间，提高光照强度，以提高树体的木质化程度， 提高自身抗寒能力。
• 第二，在入冬寒潮来临之前，做好树体保温工作。可采用 覆土、地面覆盖、设立风障、搭制塑料大棚等方法加以保 护。
4、输液促活技术
• 为了维持大树移植后水分供应与消耗的平衡，常采用外部 给水（土壤浇水和树体喷水）措施，但是往往效果不佳， 甚至造成渍水烂根。如果采用树体内给水的输液新技术， 就可解决移植大树桩水分供需矛盾，从而促其成活。
• 二可贮存一定量的水分，使枝干经常保持湿润；
• 三可调节枝干温度，减少高温和低温对枝干的伤害，效果 较好。
• 或采用塑料薄膜包干，此法在树体休眠阶段效果是好的， 但在树体萌芽后应及时撤换。
• 塑料薄膜透气性能差，不利于被包裹枝干的呼吸作用，尤 其是高温季节，内部热量难以及时散发会引起高温，灼伤 枝干、嫩芽或隐芽，对树体造成伤害。
• 1.3遮荫：大树移植初期或高温干燥季节，要搭制荫棚遮荫， 以降低棚内温度，减少树体的水分蒸发。在成行、成片种 植，密度较大的区域，宜搭制大棚，省材又方便管理，孤 植树宜按株搭制。
• 要求全冠遮荫，荫棚上方及四周与树冠保持50厘米左右距 离，以保证棚内有一定的空气流动空间，防止树冠日灼危 害。遮荫度为70%左右，让树体接受一定的散射光，以保 证树体光合作用的进行。以后视树木生长情况和季节变化， 逐步去掉遮荫物。
粤科粤教版科学二年级上册2樟树与彩叶草课件(共17张PPT)
樟树和彩叶草的茎
樟树的树干又高又粗。彩叶草的茎比较柔软。
观察更多植物的茎
观察校园里各种植物的茎，说说它们的特征。
散尾葵
观察更多植物的茎
含笑
观察更多植物的茎
马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ丹
观察更多植物的茎
波斯菊
观察更多植物的茎
三角梅
观察更多植物的茎
观察更多植物的茎
杉树
竹子
向日葵
观察更多植物的茎
匍匐茎
攀援茎
缠绕茎
直立茎
观察更多植物的茎
姜
bíqi 荸荠
藕
有些植物的茎是长在地下的哦！
做手环
如果用植物的茎做手环，你会选择哪种植物？
学科学 爱科学
Thanks!
粤科粤教版 二年级上册
樟树和彩叶草的茎
植物一般都有茎。比较樟树和彩叶 草的茎，观察它们有什么不同。
樟树的茎
樟树和彩叶草的茎
植物一般都有茎。比较樟树和彩叶草的茎，观察它们有什么不同。
彩叶草的茎
樟树和彩叶草的茎
观察的方法
• 运用多种感官进行观察； • 先比较樟树和彩叶草的茎的粗细与颜色； • 再从质感和软硬程度等方面进行观察和比较； • 用合适的词汇进行描述。
四旁绿化樟树大苗移植—围根缩坨、整地、返穴与施肥(森林营造课件)
• 4、能适应栽植地点的环境条件，做到适地适树，就近采 苗。
• 5、苗木原环境条件适宜挖掘、吊装和运输操作，土壤不 易松散，能成形。选定的大树，用油漆或绳子在树干胸径 处做出明显的标记。以利识别选定的单株和栽植朝向；同 时，要建立登记卡，记录树种、高度、干径、分枝点高度、 树冠形状和主要观赏面，以便进行分类和确定栽植顺序。
三、切根处理
• 通过提前切根处理，促进侧须根生长，使大树在移植前即 形成大量可带走的吸收根。这是提高移植成活率的技术关 键。
• 树木移植经过掘起、搬运、再种植，其根系大量受损，树 木的水分和有机物质大量消耗，这就打破了地上部分和地 下部分的平衡，因为维持树木地上部分枝叶平衡主要依靠 地下部分的根系来供给养分，而根系则主要通过大量的毛 根和须根来完成，所以须根的数量和生理质量起着至关重 要的作用。为此，在移植大树前可采取断根缩坨的措施。
二、移植时间
• 选择适宜的种植时期是提高樟树大树移植成活率的关键之 一，通常树木的移植时期是晚秋（10月中旬至11月下旬） 落叶后至第二年早春（2月上旬至4月下旬）发芽前。
• 樟树大树的移植以3月上旬为佳，因为3月上旬雨水充足， 湿度较大，温度开始回升，既能保证大树木樟树体内水分 平衡，又促进了代谢，有利发芽生根。因此，樟树大树早 春移植可提高其成活率。
• 其后，用伴着肥料的泥土填入并夯实，定期浇水。到翌年 的春季或秋季，再分批挖掘其余的沟段，仍按上述方法操 作。正常情况下，（南方地区）气温较高时在第一次断根 数月后，即可进行移植。
图1 大树断根缩坨法
四、整枝
• 挖掘前，根据树形及设计要求，将树冠中病、枯枝、重叠 枝进行疏除，弱枝强剪、强枝弱剪，以利恢复树势，同时， 根据园林树木修剪造型原则，对树冠，进行适当修剪，去 掉树干、基部萌条。修剪造成的伤口应涂以保护剂，如含 有0.01%-0.1%的Байду номын сангаас乙酸膏。
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• 定理2-3、每个非平凡树至少有2个端点（叶 子）
证明： 设T是一个非平凡树，并且在T的所有路中，设P是一条最长 的路，不妨设P：u=u0,u1,u2, …uk=v为一条u-v路，其中k≥1， 现在我们来证明u和v是T的端点。 显然，u和v都不会邻接到不在P上的任何一个顶点，否则将 产生一条更长的路，当然u邻接到u1，v邻接到uk-1，另外， 由于T不含圈，所以u和v都不会邻接到P上的其它任何顶点， 因此，deg u=deg v=1。
13
• 定理2-6、若G无回路，而且在不相邻的两顶点 间增加一条边，则有且仅有一条回路，则G是树。
证明： G无圈（无回路），现在只需证明G连通即可。 假设G非连通，在G的两个分支中各取一个顶点u和v， 明显地G+uv仍然无回路，与已知条件相矛盾，故G连通，从 而，G是树。
14
下面五个命题是等价的 （1）G是一棵树； （2）G的任意两顶点间仅有一条道路； （3）G是连通的且m＝n－1； （4）G不包含回路且m＝n－1； （5）G不含回路而且在不相邻的两顶点间增加
图论及其应用
第一章 图的基本概念 第三章 图的算法 第六章 网络流图问题 第七章 匹配理论、色数问题及其他
1
第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
2
§1 树的概念和基本性质
3
§1-1 树的概念
在图论中：
一条边，则有且仅有一条回路。
15
思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全 图有几棵生成树？4个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？n个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
16
思考题参考答案
1、答：不唯一，如下图：
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
5
• 5、如果一棵树T是图G的生成子图，则树T称为图G
的生成树或支撑树； • 6、G－E(T)称为树T的余树，记作：T’； 余树 • 7、T’中的边称为图G的弦，也是树T的弦。
1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
弦 6
8、树——（1）不具明显层次的树 (a图) （2）具有层次的树 (b图)
根
互为兄弟
判定树是图论中最常见的模型之一， 判定树把做出判决的逻辑关系用树的形 式表现出来，使得条理清晰，一目了然。
往往最后的结果都集中在叶子顶点上。
20
例2.1 设有4个银币，已知其中3个一定是真的， 真假的区别在于银币的重量，现用一天平设 法找出假币。
解：用a、b、c、d分别表示银币，a:b表示在天 平上作比较。
3
4
2、答：对于求无向完全图的生成树的数目，有 Cayley定理，1889：τ(Kn)=nn-2。
17
第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
18
§2 几类常用树
19
§2-1 判定树(decision tree)
a:b
a:c
＜ ＝
a轻 b重
＜
＝
＞
a:c
＜
＞
c重
＝
a:d c轻
＜
＝＞
a:c
＝＞
b轻 a重
d重 全真 d轻
21
容易看出，上例中方法并不唯一。
a:c ＜
a:b ＜
＜
a:b ＝
＝
＝＜
a,b:c,d
＝
a轻 c重
d重 b轻 全真
＞
a:c
＜
＞
＝ d:c
＜
＞
＝
d轻 b重
d:c
＝＞
a重 c轻
22
课后思考题
1、已知有12个金币，其中有一个是假的， 且不知道假币和金币的重量关系，现在 要求用一个天平，只称3次，把假币找出 来。
23
例2.2
右表中表示10个
A
B
C
D cla
对象的4种属性， 1
a0
b0
c0
d0
每种属性取值分
12
• 定理2-5、设G是阶为n，边数为m的图，若G满足 如下性质中的任意两个，则G为树。 （1）G是连通的，（2）G是无圈的，（3）m=n-1
证明： 若G满足(1)和(2)，则根据树的定义即可知G是树。因此，我 们只需要假设G满足(1)和(3)或满足(2)和(3)即可。 情形1：满足(1)和(3) ，由于G是连通的，只需证明G是无圈 的，假设G含有一个圈C，设e是C的一条边，故G-e是一个连 通图，其阶为n，边数为n-2，而每一个n阶连通图的边数至 少为n-1，因此G是无圈的，从而G是树。 情形2：满足(2)和(3) ，由于G是无圈的，只需证明G是连通 的，因为无圈，所以G是一个森林，且其阶为n，边数为n-1。 由定理2-4知，G的边数为n-k，其中k是G的连通分支个数， 因此，n-1=n-k，可知k=1，所以G是连通的，从而G是树。
10
• 举例：设T为某个13阶树（13个顶点），其顶 点的度为1，2，5。如果T恰有3个度为2的顶 点，那么T有多少个端点。
解： 设端点数为x,则 x+3*2+5*(10-x)=2*12 x+6+50-5x=24 x=8
11
• 定理2-4：阶为n且有k个连通分支的每一个森 林有n-k条边。
证明比较简单，请同学们自己完成
1
2
3
4
5
6
7
8
a图
互为父
b图
子
7
§1-2 树的基本性质
• 定理2-1：若连通图G=(V,E)，n=|V|，则 图的生成树有n－1条边。
用归纳法易证明。见教材P45。
8
• 定理2-2、图G是树当且仅当G的任何两个顶 点都被唯一的路连接。
证明：（反证法证明） 必要性，设G是一个树，则由树的定义可知G是连通的，因此 G的两个顶点之间都会连接一条路，假设G的某两个顶点之间 连接了2条不同的路，这可由这两条路的全部或部分边产生 一个圈（回路），导致矛盾（树无圈）。 充分性：设G的每两个不同顶点之间都被唯一的路相连接， 显然G是连通的。假设G含有一个圈C，设u,v是C的两个不同 的顶点，因此C就确定了两条不同的u-v路，导致矛盾。所以 G是无圈的，即G是无圈连通图，从而G是树。
• 1、没有回路的图称为无圈图， 连通的无圈图称为树，即连通
的无环图称为树。
根
• 2、除根之外，
度＝1的顶点称为叶子（端点）， 度＞1的顶点称为分支点或者 内点。
叶子
分支点
4
• 3、多个树称为森林（无圈图称为森林）； • 4、孤立顶点叫做平凡树 。
1
9
15
2
3
4
10
11
平凡树
5
6
7
ห้องสมุดไป่ตู้
8 12
13
14
• 定理2-3、每个非平凡树至少有2个端点（叶 子）
证明： 设T是一个非平凡树，并且在T的所有路中，设P是一条最长 的路，不妨设P：u=u0,u1,u2, …uk=v为一条u-v路，其中k≥1， 现在我们来证明u和v是T的端点。 显然，u和v都不会邻接到不在P上的任何一个顶点，否则将 产生一条更长的路，当然u邻接到u1，v邻接到uk-1，另外， 由于T不含圈，所以u和v都不会邻接到P上的其它任何顶点， 因此，deg u=deg v=1。
13
• 定理2-6、若G无回路，而且在不相邻的两顶点 间增加一条边，则有且仅有一条回路，则G是树。
证明： G无圈（无回路），现在只需证明G连通即可。 假设G非连通，在G的两个分支中各取一个顶点u和v， 明显地G+uv仍然无回路，与已知条件相矛盾，故G连通，从 而，G是树。
14
下面五个命题是等价的 （1）G是一棵树； （2）G的任意两顶点间仅有一条道路； （3）G是连通的且m＝n－1； （4）G不包含回路且m＝n－1； （5）G不含回路而且在不相邻的两顶点间增加
图论及其应用
第一章 图的基本概念 第三章 图的算法 第六章 网络流图问题 第七章 匹配理论、色数问题及其他
1
第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
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§1 树的概念和基本性质
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§1-1 树的概念
在图论中：
一条边，则有且仅有一条回路。
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思考题
1、一个图的生成树是不是唯一的呢？
2、如果不是唯一的，3个顶点的无向完全 图有几棵生成树？4个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？n个顶点的无向完全图 又有几棵生成树？
完全图是边数最 多的简单无向图
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思考题参考答案
1、答：不唯一，如下图：
1
2
1
2
1
2
3
4
3
4
5
• 5、如果一棵树T是图G的生成子图，则树T称为图G
的生成树或支撑树； • 6、G－E(T)称为树T的余树，记作：T’； 余树 • 7、T’中的边称为图G的弦，也是树T的弦。
1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
8
5
6
7
8
弦 6
8、树——（1）不具明显层次的树 (a图) （2）具有层次的树 (b图)
根
互为兄弟
判定树是图论中最常见的模型之一， 判定树把做出判决的逻辑关系用树的形 式表现出来，使得条理清晰，一目了然。
往往最后的结果都集中在叶子顶点上。
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例2.1 设有4个银币，已知其中3个一定是真的， 真假的区别在于银币的重量，现用一天平设 法找出假币。
解：用a、b、c、d分别表示银币，a:b表示在天 平上作比较。
3
4
2、答：对于求无向完全图的生成树的数目，有 Cayley定理，1889：τ(Kn)=nn-2。
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第二章 树
§1 树的概念和基本性质 §2 几类常用树
§2-1 判定树 §2-2 有序二元树 §2-3 Huffman树 §3 最小生成树
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§2 几类常用树
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§2-1 判定树(decision tree)
a:b
a:c
＜ ＝
a轻 b重
＜
＝
＞
a:c
＜
＞
c重
＝
a:d c轻
＜
＝＞
a:c
＝＞
b轻 a重
d重 全真 d轻
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容易看出，上例中方法并不唯一。
a:c ＜
a:b ＜
＜
a:b ＝
＝
＝＜
a,b:c,d
＝
a轻 c重
d重 b轻 全真
＞
a:c
＜
＞
＝ d:c
＜
＞
＝
d轻 b重
d:c
＝＞
a重 c轻
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课后思考题
1、已知有12个金币，其中有一个是假的， 且不知道假币和金币的重量关系，现在 要求用一个天平，只称3次，把假币找出 来。
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例2.2
右表中表示10个
A
B
C
D cla
对象的4种属性， 1
a0
b0
c0
d0
每种属性取值分
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• 定理2-5、设G是阶为n，边数为m的图，若G满足 如下性质中的任意两个，则G为树。 （1）G是连通的，（2）G是无圈的，（3）m=n-1
证明： 若G满足(1)和(2)，则根据树的定义即可知G是树。因此，我 们只需要假设G满足(1)和(3)或满足(2)和(3)即可。 情形1：满足(1)和(3) ，由于G是连通的，只需证明G是无圈 的，假设G含有一个圈C，设e是C的一条边，故G-e是一个连 通图，其阶为n，边数为n-2，而每一个n阶连通图的边数至 少为n-1，因此G是无圈的，从而G是树。 情形2：满足(2)和(3) ，由于G是无圈的，只需证明G是连通 的，因为无圈，所以G是一个森林，且其阶为n，边数为n-1。 由定理2-4知，G的边数为n-k，其中k是G的连通分支个数， 因此，n-1=n-k，可知k=1，所以G是连通的，从而G是树。
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• 举例：设T为某个13阶树（13个顶点），其顶 点的度为1，2，5。如果T恰有3个度为2的顶 点，那么T有多少个端点。
解： 设端点数为x,则 x+3*2+5*(10-x)=2*12 x+6+50-5x=24 x=8
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• 定理2-4：阶为n且有k个连通分支的每一个森 林有n-k条边。
证明比较简单，请同学们自己完成
1
2
3
4
5
6
7
8
a图
互为父
b图
子
7
§1-2 树的基本性质
• 定理2-1：若连通图G=(V,E)，n=|V|，则 图的生成树有n－1条边。
用归纳法易证明。见教材P45。
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• 定理2-2、图G是树当且仅当G的任何两个顶 点都被唯一的路连接。
证明：（反证法证明） 必要性，设G是一个树，则由树的定义可知G是连通的，因此 G的两个顶点之间都会连接一条路，假设G的某两个顶点之间 连接了2条不同的路，这可由这两条路的全部或部分边产生 一个圈（回路），导致矛盾（树无圈）。 充分性：设G的每两个不同顶点之间都被唯一的路相连接， 显然G是连通的。假设G含有一个圈C，设u,v是C的两个不同 的顶点，因此C就确定了两条不同的u-v路，导致矛盾。所以 G是无圈的，即G是无圈连通图，从而G是树。
• 1、没有回路的图称为无圈图， 连通的无圈图称为树，即连通
的无环图称为树。
根
• 2、除根之外，
度＝1的顶点称为叶子（端点）， 度＞1的顶点称为分支点或者 内点。
叶子
分支点
4
• 3、多个树称为森林（无圈图称为森林）； • 4、孤立顶点叫做平凡树 。
1
9
15
2
3
4
10
11
平凡树
5
6
7
ห้องสมุดไป่ตู้
8 12
13
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