离散数学中的图的树与生成树的计数
离散数学 组合计数
离散数学组合计数
离散数学中的组合计数是指研究一定范围内的元素选取，计算选
取方式总数的方法。
它主要包括排列、组合、二项式定理、斯特林数、欧拉数、生成函数等内容。
其中，排列是指从一组元素中选取若干个不同的元素，然后按一
定的顺序排列的方法数；组合是指从一组元素中选取若干个不同的元素，不考虑其顺序的选取方式总数。
二项式定理是组合计数中的基本
公式，它描述了任意两个数的幂与二项式系数之间的关系。
斯特林数
和欧拉数则是描述排列和组合问题中的一些性质和规律的重要工具，
而生成函数则是描述组合计数问题的一种通用方法。
组合计数在离散数学中起着重要的作用，它不仅在数学理论研究
中具有广泛的应用，还在计算机科学、统计学、物理学等学科中发挥
着重要的作用。
离散数学 求生成树的个数
在离散数学中，生成树（Spanning Tree）是一个图（Graph）的子图，它包含图中的所有顶点，并且是一个树（Tree）。
生成树的一个重要性质是它不包含任何环（Cycle）。
求一个给定图的生成树个数是一个经典问题，通常使用矩阵树定理（Matrix Tree Theorem）来解决。
矩阵树定理给出了一个图的生成树个数的计算公式，它基于图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的行列式。
拉普拉斯矩阵是一个方阵，其大小为图的顶点数，矩阵的元素定义如下：•如果i和j是不同的顶点，则矩阵的第i行第j列的元素是顶点i和j之间的边的权重（如果存在边的话），否则是0。
•对于每个顶点i，矩阵的第i行第i列的元素是顶点i的度（即与顶点i相邻的边的数量）的负值。
矩阵树定理指出，图的生成树个数等于其拉普拉斯矩阵的任何一个n-1阶主子式的行列式值的绝对值。
n是图的顶点数，n-1阶主子式意味着去掉矩阵中的一行和一列后得到的矩阵。
下面是一个简单的例子，说明如何使用矩阵树定理计算生成树的个数：假设有一个包含4个顶点的简单图，其边和权重如下：A -- 2 -- B| |1 3 1| |C -- 4 -- D1 -3 1 00 1 -3 40 0 1 -4主子式的行列式值。
去掉第一行和第一列后，我们得到：1 01 -3 40 1 -4x3矩阵的行列式，我们得到：1 * 1) - (0 * 0) = 12 - 1 = 11过程可能涉及复杂的行列式计算，特别是对于大型图来说。
在实际应用中，通常会使用专门的数学软件或库（如Python中的NumPy或SciPy）来进行这些计算。
此外，还有一些算法（如Kruskal算法和Prim算法）可以用来构造生成树，但它们并不直接计算生成树的总数。
这些算法通常用于找到图的一个生成树，而不是计算所有可能的生成树的数量。
《离散数学》课件-第16章树
18
16.3 根树及其应用
19
定义（有向树）设D是有向图，如果D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在有向树中最重要的是根树。 定义16.6（根树）一棵非平凡的有向树，如果恰有 一个顶点的入度为O，其余所有顶点的入度均为1,则称该 树为根树。 入度为0的顶点称为树根，入度为1出度为0的顶点称 为树叶，入度为1出度不为0的点称为内点，内点和树根统 称为分支点。 树根到一个顶点的有向通路的长度称为该顶点的层数。 层数最大顶点的层数称为树高。 平凡树也称为根树。
2
16.1 树及其性质
3
定义16.1（树和森林） 连通且无回路的无向图称为无向树，简称为树，常用
T表示树。 平凡图为树，称为平凡树。 非连通且每个连通分支是树的无向图称为森林。 T中度数为1的顶点（悬挂顶点）称为树叶，度数大于
1的顶点称为分支点。 称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的n（n≥3）
定义16.8（子树）设T为一棵根树，则其任一顶点v 及其后代导若将层数相同的顶点都 标定次序，则称T为有序树。
根据每个分支点的儿子数以及是否有序，可将根树 分成如下若干类：
定义（跟树分类）设T为一棵根树 （1）若T的每个分支点至多有r个儿子，则称T为r叉 树。又若r叉树是有序的，则称它为r叉有序树。 （2）若T的每个分支点恰好有r个儿子，则称T为r叉 正则树。又若r叉正则树是有序的，则称它为r叉正则有 序树。 （3）若T为r叉正则树，且每个树叶的层数均为树高， 则称T为r叉完全正则树。又若r叉完全正则树是有序的， 则称它为r叉完全正则有序树。
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平均编码长度为：L = ∑ P( i )× l( i ) = 2.53bit i=1
离散树知识点总结
离散树知识点总结一、基本概念1. 什么是树树是一种特殊的图，它是一种没有回路的无向图。
树是由 n 个节点和 n-1 条边组成的连通图。
2. 树的特点树是一个具有以下特点的无向图：- 无环。
树中不存在回路，即不存在从一个节点出发经过若干条边再回到出发点的路径。
- 连通。
树是一个连通图，即从树的任意一个节点出发，都可以到达树的所有其他节点。
- n 个顶点和 n-1 条边。
树由 n 个顶点和 n-1 条边组成。
3. 树的术语- 节点（Node）：树中的每一个元素都称为节点。
- 父节点（Parent）：在树中，每个节点都有一个父节点，除了根节点没有父节点。
- 子节点（Children）：一个节点的子节点是指它的相邻节点。
- 根节点（Root）：树中从哪个节点开始，就是根节点。
- 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点称为叶子节点。
- 度（Degree）：一个节点的子节点的个数称为该节点的度。
- 高度（Height）：树中的最长路径的边数。
4. 树的表示树可以用多种方式表示，最常用的方式有：孩子表示法、双亲表示法、孩子兄弟表示法和层次表示法。
5. 树的应用树在计算机科学中有广泛的应用，例如用于构建数据结构，构建层次化的目录结构等。
常见的树结构有二叉树、二叉搜索树（BST）、平衡二叉树（AVL）、红黑树、B树、B+树等。
二、树的遍历1. 深度优先遍历（DFS）深度优先遍历是一种递归的遍历方式，它分为先序遍历、中序遍历和后序遍历三种方式。
- 先序遍历（Preorder）先序遍历的顺序是先遍历根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。
- 中序遍历（Inorder）中序遍历的顺序是先递归地遍历左子树，然后遍历根节点，最后递归地遍历右子树。
- 后序遍历（Postorder）后序遍历的顺序是先递归地遍历左子树和右子树，然后遍历根节点。
2. 广度优先遍历（BFS）广度优先遍历是一种逐层遍历的方式，它从根节点开始，按照层次遍历树的节点。
离散数学——树ppt课件
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
12
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
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例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
9
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
u,v∈V，且u≠v，则u与v之间存在唯一的路径Г，
则Г∪(u,v)（(u,v)为加的新边）为G中的圈， 显然圈是唯一的。
10
(6)(1)
如果G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边， 在所得图中得到唯一的一个含新边的圈，则G是树。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
【离散数学讲义】8.树与生成树53
2.弦:图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,
称为该生成树的补.
v1
定理2 :连通图G中至少有一棵生成树.
v2
v3
证明:如果G中无回路, 则G本身就是树. v4
v5
如果G中有回路,可以通过反复删去回路
中的边,使之既无回路,又连通.就得到生成树.
思考题:设G是有n个结点,m条边的连通图, 问要删去多少
为该结点的层次. 同一层次的结点称为兄弟结点.
7.树高:从树根到各个叶结点的路径中, 最长路径的长度,
称为该树的高度(树高).
三.举例: a)语法树
主语
句子
谓语短语
冠词 形容词 名词 动词
宾语
The little
b)算术表达式树 ((a+b)÷c)×(d－e)
19
42,58 24,34,42 19,23,24,34
17,17,19,23,24
11,13,17,17,19,23
7,10,11,13,17,19,23 5,5,7,11,13,17,19,23
2,3,5,7,11,13,17,19,23
23 24
34
11 13 17 17
7 10
55
23
5. 最优树的应用举例
34 6 6 v6
Kruskal算法: 设G是有n个结点,m条边(m≥n-1)的连通图. S=Φ i=0 j=1
将所有边按照权升序排序: e1, e2, e3,… ,em
S=S∪{ai} j=j+1
|S|=n-1 Y 输出S 停 N
N
取ej使得
ai=ej i=i+1
离散数学 第12章 树
在图12.2.1所示图中，e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e9 ，为T 的树枝，
设它们对应的基本割集分别为
(S1, S2 , S3 , S4 , S。5 , 以S6 )树
枝为集合中第一个元素的方式写出它们（当然集合中
的元素是不讲顺序的，这里为了区分树枝和弦）。
S1 {e1, e7 , e8}、S2 、 {e2 , e7 , e8 , e10 , e11} S3 {e3 , e10 , e11} 、S4 {e4 , e6}
的割集是不同的也是显然的。
27
12.2.1 生成树
• 定义12.2.4 设T 是n阶连通图G 的一棵生成树，e1,e2 , ,en1
为G T的对的应树生枝成，S树i 是TG由的树只枝含e树i生枝成e的i 的基割本集割，则称 S i 为
集，i 1,2, , n 1。并称 {S1, S2 , , Sn1} 为G 对应T 的基本 割集系统，称n-1为G 的割集秩，记作 (G)。.
• 例题12.2.1 求图12.2.2所示两个图中的最
小生成树。
1
1
2
2
3
1
53
1
4
5
7
3
2
6
1
4
30
12.2.2 最小代价生成树
• 解 用避圈法算法，求出的(a)中最小生成树
为图T1 12.2.3中（a）中实线边所示的生成 树，W(T1) 6 。（b）中的最小生成树（b）为图 12.2.3中实边所示的生成树T2 ，W (T2 ) 12 。
环（否则，可以将所有的环先删去），将m 条边按权从小到大
顺序排列，设为 e1, e2 ,。,em
中取的e边1在不T能中构，成然回后路依，次则检取查e
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在离散数学中，图是一个由点和边组成的抽象数学模型。
其中，树是一种特殊
的图，它是一个无环连通图。
在图论中，树扮演了重要的角色，它具有许多有
趣的性质和应用。
而生成树则是树的一个特殊子集，它由给定图中的所有顶点
和部分边构成。
本文将介绍图的树的基本概念，并探讨生成树的计数方法。
首先，让我们来看看图的树。
树是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间存
在唯一一条路径。
它具有以下性质：
1.n个顶点的树有n-1条边。
这可以通过归纳法证明：当n=1时，结论成
立；假设n=k时成立，那么n=k+1时，只需要添加一个顶点和一条边，
即可构成n=k+1个顶点的树。
因此，结论成立。
2.连接树上任意两个顶点的边都是桥。
即如果一条边被删除，那么树就会
变成两个或更多个不相连的子树。
3.树是一个高度平衡的结构。
对于一个n个顶点的树，任意两个叶子结点
之间的路径长度至多相差1。
4.树的任意两个顶点之间有唯一一条路径，路径长度为顶点之间的边数。
接下来，让我们来讨论生成树的计数方法。
生成树是树的一个特殊子集，它是
由给定图中的所有顶点和部分边构成。
生成树的计数在图论中具有重要的意义
和应用。
对于一个具有n个顶点的连通图来说，其生成树的个数可以通过Cayley公式计算得到。
Cayley公式是由亚瑟·凯利于1889年提出的，它给出了完全图的生
成树数目。
据此，我们可以得到生成树的计数公式为：T = n^(n-2)，其中T表示生成树的个数。
此外，还有一种常见的计数方法是基于度数矩阵和邻接矩阵的矩阵树定理。
矩
阵树定理由高斯于1847年提出，它提供了一种计算图的生成树个数的方法。
根据矩阵树定理，一个无向图G的生成树数目等于该图度数矩阵的任意一个(n-1)阶主子式的行列式的值。
其中，度数矩阵是一个对角矩阵，它的对角线上的元
素为各个顶点的度数。
邻接矩阵则是一个关于顶点间连接关系的矩阵，其中1
表示相邻顶点之间存在边，0表示不存在边。
除了数学方法，还存在一种基于图的遍历的计数方法，称为Kirchhoff矩阵树
定理。
该定理是由Kirchhoff于1847年提出的，用于计算连通图的生成树个数。
根据Kirchhoff矩阵树定理，一个连通图G的生成树数目等于其基尔霍夫矩阵
K的任意一个(n-1)阶代数余子式的值。
基尔霍夫矩阵K是一个对称矩阵，它的
任意一个元素等于对应顶点间相连接边的数量之差。
综上所述，离散数学中的图的树与生成树的计数是一个非常重要且有趣的领域。
图的树是一个无环连通图，具有许多有意义的性质。
生成树则是树的一个特殊
子集，其计数方法可以通过Cayley公式、矩阵树定理和Kirchhoff矩阵树定理等多种方法实现。
这些计数方法不仅在理论研究中有重要应用，也在实际问题
的处理中发挥着重要作用。
通过研究图的树与生成树的计数，可以帮助我们更
好地理解图论，并且推动离散数学领域的发展。