图论中的树与森林的性质
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
9.1-无向树
条基本通路，这与题设条件矛盾。所以，图是连通 的且无回路，是树。
二、无向树的性质（续）
定理9.2 设T=<V,E>为n（n2）阶树，则T中至少有2个叶结点。 证明： (思路) 关键是应用 |E|=|V|-1
练习
已知树T中有度数为4、3和2的分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。
定理 9.1 对于树T=<V,E>，|V|=n，|E|=m，下列性质 成立且相互等价： ① T中无回路且边数m=n-1； ② T是连通图且边数m=n-1； ③ T中无回路，但在T的任何不相邻结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条基本回路。 ④ T是连通图，但删去任何一条边后，所得到的图 不连通。 ⑤ T中每对结点之间有唯一的一条基本通路。
二、无向树的性质（续）
（4） 由性质③来推证性质④。
如果T 不是连通图，则存在两个结点vi和vj，在结点vi 和vj之间没有通路，如果增加边(vi, vj)，不产生回路 ，这与性质③矛盾，因此，T 是连通图。
因为T 中没有回路，所以删除任意一条边，所得到的 图必定不是连通图。
二、无向树的性质（续）
§9.1 无向树
一、基本概念 无向树（简称树）：连通且不含有回路的无向图，常
用T表示。 森林：每个连通分支都是树的无向图。 叶结点（简称叶）：在树T中，度数为1的结点。 内部结点（或分支结点，简称分支点）：在树T中，
度数大于1的结点。
树？ 森林？ 叶？ 内部结点？
二、无向树的性质
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之
图论——树
森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
集合论与图论第十章 树
间添加一边，恰得一条回路（称T为最大无回路图）； （5） T是连通图，但删去任一边后，便不连通（称T为
最小连通图）。
（6） T的每一对不同的顶点之间有唯一的一条路。
(n1-1)+(n2-1)+ ……+(n -1) =(n1+n2+……+n )= n-
10.1 树及其性质
定理10.2 在任一棵非平凡树T中，至少有两片树
叶。
证明方法：分而治之/反证法。
证明：
若T中只有一片树叶，则 d(vi)≥2(n1)+1=2n-1。
若T中没有树叶，则d(vi)≥2n。 均与d(vi)=2e=2(n-1)矛盾，所以在任
路与生成树的补必有一公共边，所以在r中
必存在一条边fT’; 对于树T(边集至少为
{ e1 ,…..., ei , f })，若用ei+1 代换f，得一棵新 树T1(边集至少为{e1 ,…..., ei , ei+1 }) 。则T1 的权W(T1)=W(T1)+W(ei+1)-W(f) 。
因为T为最小生成树，所以W(T)≤W(T1)， 则W(ei+1)≥W(f)；又根据T’生成法，自
给出图和生成树，求基本割集组和基本 回路组。
10.2 生成树与割集
四、树的基本变换 图10.4 1 定义10.8（树的基本变换）
设连通图G的生成树T，通过上述加一 弦，再删去一枝得到另一棵生成树，这 种变换称为树的基本变换。
2 定义10.9（距离）
而 记不为设d出连(T现通i, 在T图j)T。Gj的的边生数成称树为Ti和Ti和Tj，Tj的出距现离在，Ti
图论 第二章 树(tree)
定义2.2.2 如果在图G中去掉一个顶点（自然同 时去掉与该顶点相关联的所有边）后图的分 支数增加，则称该顶点为G的割点。
定理2.2.1 当且仅当G的一条边e不包含在G 的 圈中时，e才是割边。
u x
e
v
Hale Waihona Puke yCG推论2.2.1 当且仅当连通图G的每一条边均为 割边时，G才是一棵树。
对割边有下面的等价命题：
推论2.1.3 设G的边数为q，顶点数为p,如果 G无圈且q=p-1，则G是一棵树。
推论2.1.4 在树中至少存在两个度为1的顶点。
关于树有下列的等价命题：
（1）G是一棵树 （2）G的任意两个顶点由唯一道路联结 （3）G是连通的，且q=p-1 （4）G是无圈的，且q=p-1 （5）G无圈，且若G的任意两个不邻接的顶点 联一条边e，则G+e中恰有一个圈。
A directed graph is Eulerian if it is connected and can be decomposed into arc-disjoint directed cycles.
An undirected graph is traversable if it is connected and at most two vertices in the graph are of odd degree
条包含G的所有边的闭链； ❖ （4）两个欧拉图的环和仍是欧拉图。
理定3.1.2和推论3.1.1反映了图的一 个重要性质，即图的连绘性。一个连 绘的图是指这个图可以用一笔画成而 没有重复的笔划。换句话说就是在这 个图中存在一条能过每条边的链。
3.3 哈密顿图
1856 年 hamilton 周游世界的游戏，十 二面体，有20个顶点，三十条边，十二 个面
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是研究图及其性质的数学分支。
在图论中，树是一种特殊的无环连通图，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍图论中树以及树的性质的相关内容。
一、树的定义与基本性质树是一个连通且无环的无向图。
具体定义如下：1. 一个只有一个顶点的图是一个树。
2. 一个连通的图，如果删除任意一条边，则图不再连通，那么该图就是一个树。
树具有以下基本性质：1. 一棵树有且只有一个连通分量。
2. 在一棵树中，任意两个顶点之间存在唯一路径。
3. 一棵树的边数比顶点数少1。
树的性质使得其在各个领域有着广泛的应用。
下面将介绍树的一些重要性质。
二、树的性质1. 最小生成树最小生成树是指在一个带权图中，找到一个树，使得该树的边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树在网络设计、电力传输等领域有着重要的应用。
2. 无向树与有向树的转化无向树可以通过给每条边赋予方向而转化为有向树，同样，有向树也可以通过移除边的方向而转化为无向树。
3. 树的直径树的直径是指树中任意两个顶点之间的最长路径。
求树的直径的算法可以通过两次BFS或DFS来实现。
树的直径问题在网络拓扑、动态规划等领域有重要应用。
4. 中心与半径树的中心定义为树中顶点到其他所有顶点的距离之和最小的顶点。
树的半径定义为树中顶点到离其最远的顶点的距离。
中心和半径是树中的重要概念，它们在设计网络、发现故障等方面有着重要应用。
5. 树的遍历树的遍历是指按照一定规则来访问树的所有顶点。
常用的树的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
树的遍历在路径搜索、关系分析等方面有广泛应用。
6. 散射树散射树是一种特殊的树结构，它是由无向图中一棵以散射点为根的最小生成树与散射关键路径组成。
散射树在光纤传输等领域有着广泛的应用。
以上是图论中树的一些性质的简要介绍，树作为图论中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。
从最小生成树到树的遍历，树的性质在各个领域都有着广泛的应用。
图论及其应用--树与林
定理 设有完全m叉树，其树叶的数目为t,分支 数为i, 则(m-1)×i=t-1。
证明思路： m位选手,单淘汰赛,每局淘汰(m-1)位,
共比赛i局,最后剩1位选手。因此有：
(m-1)×i+1=t
定义 在根树中，一个结点的通路长度，就是从树 根到该结点的通路中的边数。分支点的通路长度称为 内部通路长度，树叶的通路长度称为外部通路长度。
定理2：任一棵树中至少存在两个叶。
证明： 因T连通则u∈T，deg(u)≥1。设T有k个一
度点，其它点均大于等于2，则 2e=∑deg(vi)≥k+2(v-k)=2v-k。 因e=v-1， 故2(v-1)≥2v-k，则k≥2。
2.2支撑树与支撑林
设F是图D的支撑子图，并且ω(F)=ω(D)。 若F是林，则称F为D的支撑林；若F是树， 则称F为D的支撑树。
例如:
a 19
b5
14 12
18
7
c
16 e 8
3
g
d
27
21
f
求最小生成树的克鲁斯卡尔(Kruskal)算法(避圈法)： a)在G中选取最小权的边，记作e1，置i=1。 b)当i=n-1时结束，否则转c)。 c)设已选择边为e1，e2，……ei，此时无回路。在G 中选取不同于这i条边的边ei+1，该边使得{e1，…， ei+1}生成的子图中无回路，并ei+1是满足该条件中权 最小的一条边。
定理2.4 每个连通图都含支撑树。 推论2.4.1每个图都含支撑林或者支撑树。 推论2.4.2每个图均有ε≥ν- ω。 定理2.5设F是G的支撑林。若E(G)\E(F)
非空，则对其中的任何边e，F+e含有且 仅含有一条圈。
图论中的树与树的性质
图论中的树与树的性质图论是数学中的一个分支，研究各种图形的结构和性质。
其中，树是图论中非常重要的一个概念。
本文将介绍树的定义和性质，并探讨它在图论中的应用。
一、树的定义在图论中，树是一种特殊的无向图，它是一个连通的无环图。
这意味着树中的任意两个顶点之间都存在唯一的路径，并且不存在回路。
在树中，有一个特殊的顶点被称为“根”，其他顶点都与根有一条直接的路径相连。
根据根与其他顶点之间的距离可以将树分为不同的层次。
二、树的性质1. 顶点数与边数关系在一个树中，边的数量等于顶点数减1。
这可以通过归纳证明来证明。
2. 树的层次关系在树中，从根开始，每一层的顶点都与上一层的顶点相连。
树的层次关系可以用来刻画树中的信息流动或者依赖关系。
3. 叶子节点在树中，没有子节点的顶点被称为叶子节点。
树的叶子节点是最末端的节点，它们没有子节点与之相连。
4. 子树在一个树中，任意一个顶点都可以看作是一个树的根。
以某个顶点为根的子树包含了该顶点以及与之直接相连的所有顶点。
5. 树的深度树的深度是指树中从根到最深的叶子节点的层数。
树的深度也可以看作是树的高度，表示树的层数。
三、图论中树的应用图论中的树在很多问题中起到了重要的作用，下面列举几个常见的应用。
1. 最小生成树最小生成树是指在一个连通的带权无向图中选择一棵边的子集，使得这棵子树包含了图中的所有顶点，并且权重之和最小。
最小生成树常被用于网络设计、电路布局等问题中。
2. 网络路由在一个网络中，通过树的结构可以确定数据的传输路径，有效地避免了数据的冗余和混乱。
树结构的拓扑设计对于确定最短路径、避免环路等问题非常有帮助。
3. 数据压缩树结构可以用于数据的压缩和解压缩。
通过构建哈夫曼树，可以实现对数据的高效压缩，去除冗余信息，提高存储和传输效率。
4. 优先级队列优先级队列常通过堆这种数据结构来实现，而堆可以看作是一种特殊的树。
通过构建堆结构，可以高效地实现插入和删除操作，常被用于任务调度、最短路径算法等场景。
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图论中的树与森林的性质
树和森林是图论中常见的概念，它们作为图的特殊结构，在许多实
际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍树和森林的性质和特点。
一、树的性质
树是一种无环连通图，它具有以下特点：
1.1 无向树的性质
在无向树中，任意两个顶点之间都存在唯一的路径。
换句话说，无
向树是连通且无回路的图。
1.2 有向树的性质
有向树是有向图中的一种特殊结构，它满足以下条件：
- 有向树是连通的，任意两个顶点之间存在有向路径。
- 有向树中不存在自环，即不存在从一个顶点出发经过若干个顶点
再回到该顶点的路径。
- 对于任意一个顶点，存在唯一的入度为0的顶点，称之为根节点。
二、森林的性质
森林是由若干棵互不相交的树组成的图。
它具有以下特点：
2.1 无向森林的性质
无向森林是由若干互不相交的无向树组成的，每棵无向树称为无向森林的一棵子树。
2.2 有向森林的性质
有向森林是由若干互不相交的有向树组成的，每棵有向树称为有向森林的一棵子树。
三、树和森林的性质
3.1 无向树的性质和应用
在无向树中，任意两个顶点之间存在唯一的路径，可以用来描述家族关系、计算机网络、组织结构等。
无向树有以下性质：- 无向树的边数等于顶点数减1。
- 对于有n个顶点的无向树，如果度数为1的顶点有k个，那么度数为2的顶点有n-k-1个。
3.2 有向树的性质和应用
有向树是有向图中的一种特殊结构，它具有以下性质：
- 有向树的边数等于顶点数减1。
- 对于有n个顶点的有向树，如果出度为0的顶点有k个，那么出度为1的顶点有n-k-1个。
有向树可以用来描述有向关系，如亲属关系、流程控制等。
3.3 森林的性质和应用
森林是由若干互不相交的树组成的图，它具有以下性质：
- 森林的边数等于顶点数减去树的数量。
- 对于有n个顶点的森林，树的数量为s，那么边的数量为n-s。
森林可以用来表示多个无关联子问题的集合，常用于分组、拓扑排序等算法中。
总结：树和森林是图论中重要的概念，它们在许多实际问题中具有广泛的应用。
无向树和有向树是连通且无回路的图结构，而无向森林和有向森林是由互不相交的树组成。
它们的性质和应用不同，可以根据具体问题的需求选择使用。
熟练掌握树和森林的性质，对于解决实际问题具有重要意义。