概率期末试题
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
概率论期末复习试题
复习试题第一章 概率的计算1、袋中有4个白球，7个黑球，从中任意取一个球．则取出白球的概率为114． 2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，求()AB P ＝ ．3 假设()0.4,P A =()0.7P A B = ，若A 与B 互斥，则()________P B =； 4.已知0403().,().,P A P B ==06().P B A ⋃=。
则()P A B -= 0.3 .5、甲、乙两人相约8—12点在预定地点会面。
先到的人等候另一人30分钟后离去，则甲、乙两人能会面的概率为______15646.有两批同类型的产品各有12件和10件，在每一批产品中有一件次品，无意之中将第一批产品中（12件）的一件产品混入了第二批产品中，现在从第二批产品中随机抽取一件，问取出的产品为次品的概率是多少？7．在第一台机器上生产一级品零件的概率是0.4，二在第二台机器上生产一级品零件的概率是0.9．试求在第一台机器上生产两个零件，在第二台机器生产三个零件，所有零件全是一级品的概率？8、商店销售一批空调共10 台，其中有3台次品，但是已经售出两台。
试求从剩下的空调中，任取一台是正品的概率？9、有两批产品：第一批20件，其中有5件特级品：第二批12件，其中有2件特级品，现从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第二批中抽取2件.试求所抽2件都是特级品的概率。
第二章 随机变量及其概率分布1、设离散型随机变量X 的分布律为{},(1,2,,)(1)aP X k k N k k ===+ ，则a =__________1N N+ 2. 设随机变量X 的分布率为{}4a P X k ==，（1, 2, 3, 4k =），则常数a =__________.3.随机变量2(,)X N μσ ，随σ增大，概率{}P X μσ-<的值将会 不变 . 5已知离散型随机变量X 的分布律为:(0)0.2,(1)0.3,P X P X ====(2)0.3P X ==，(3)0.1,P X a ==+则a ＝ 0.1 ．6、设随机变量X 的分布率为求||1W X =-的分布律和分布函数．第三章 两个随机变量及其联合分布1. 设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从(0,1)N ，则{}P X Y ≤=______________________.2已知随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1(,)2N μ，如果1{1}2P X Y +≤=，则μ=12．已知01{}P XY ==，求（1）max(,)Z X Y =的分布律．（2）求1X 和2X 的联合分布律；（3）问1X 和2X 是否独立？并说明理由。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率统计期末考试试题及答案
概率统计期末考试试题及答案试题一：随机变量的概率分布某工厂生产的产品合格率为0.9，不合格率为0.1。
假设每天生产的产品数量为100件，求下列事件的概率：1. 至少有80件产品是合格的。
2. 至多有5件产品是不合格的。
试题二：连续型随机变量的概率密度函数设随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，0 ≤ x ≤ 1，0 其他，求：1. X的期望E(X)。
2. X的方差Var(X)。
试题三：大数定律与中心极限定理假设某银行每天的交易量服从均值为100万元，标准差为20万元的正态分布。
求：1. 该银行连续5天的总交易量超过500万元的概率。
2. 根据中心极限定理，该银行连续20天的总交易量的平均值落在90万元至110万元之间的概率。
试题四：统计推断某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本数据如下：95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104求：1. 零件长度的平均值和标准差。
2. 零件长度的95%置信区间。
试题五：假设检验某公司对两种不同品牌的打印机进行了效率测试，测试结果如下：品牌A：平均打印速度为每分钟60页，标准差为5页。
品牌B：平均打印速度为每分钟55页，标准差为4页。
样本量均为30台打印机。
假设两种打印机的平均打印速度没有显著差异，检验假设是否成立。
答案一：1. 至少有80件产品是合格的，即不合格的产品数少于或等于20件。
根据二项分布，P(X ≤ 20) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k *(0.9)^(100-k)]，k=0至20。
2. 至多有5件产品是不合格的，即不合格的产品数不超过5件。
根据二项分布，P(X ≤ 5) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k * (0.9)^(100-k)]，k=0至5。
答案二：1. E(X) = ∫[2x * x dx]，从0到1，计算得 E(X) = 2/3。
2. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫[2x^2 * x dx] - (2/3)^2，从0到1，计算得 Var(X) = 1/18。
概率期末试题及答案
概率期末试题及答案一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 设A、B、C为三个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(C)=0.5，P(A∩B)=0.2，P(B∩C)=0.3，P(A∩C)=0.1，P(A∩B∩C)=0.08，则P(A∪B∪C)等于：a) 0.3b) 0.4c) 0.5d) 0.58【答案】d) 0.582. 掷骰子，事件A为出现奇数点数，事件B为出现小于等于3的点数，事件C为出现6的点数。
若P(A)=2/3，P(B)=1/2，P(B∩C)=1/6，则P(A'∪B'∩C')等于：a) 1/4b) 2/3c) 5/6d) 3/8【答案】b) 2/33. 设事件A与事件B独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∩B)等于：a) 0.12b) 0.2c) 0.3d) 0.7【答案】b) 0.24. 甲、乙交替投掷一枚硬币，甲先投掷，连续投掷两次出现正面的概率为：a) 1/4b) 1/2c) 3/4d) 1/8【答案】d) 1/85. 一批产品共有100个，其中10个有缺陷。
从中随机抽取4个，不放回，抽到2个有缺陷的概率为：a) 0.009b) 0.018c) 0.090【答案】b) 0.0186. 一袋中有5个红球，3个蓝球，2个绿球。
从中任取3个球，其中至少有一个红球的概率为：a) 13/14b) 10/14c) 6/14d) 5/14【答案】a) 13/147. 甲、乙、丙三人轮流掷硬币，直到有两个人出现正面为止。
如果甲先掷，丙第二掷，则甲胜的概率为：a) 4/9b) 5/9c) 1/3d) 2/3【答案】a) 4/98. 一次选择题考试，每道题有4个选项，若考生瞎猜答题，且每题只答一次，则至少答对一半问题的概率为：a) 3/16c) 11/16d) 13/16【答案】d) 13/169. 一批产品中有10%的次品。
从中连续抽取10个，完好品占多于8个的概率为：a) 0.135b) 0.650c) 0.900d) 0.945【答案】d) 0.94510. 某镇犯罪率为0.1%，警察部门外聘一位顾问，他说某人是罪犯的概率为99%。
大学概率论期末复习题七套
试题（一）一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。
试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。
则P(B )A ＝3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(AB)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为二、选择题1. 设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是 （A ）P (A+B) = P (A); （B ）()P(A);P AB =（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为 （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销” （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。
3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到黄球的概率是（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5 4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
5. 若()1P B A =，那么下列命题中正确的是（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂ （C ）A B -=∅ （D ）()0P A B -=三、计算题1． 10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。
概率论期末试题及解析答案
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
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级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： -------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 -------------------------------------------------（答题不能超出密封线）试题A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中） （本大题共 10 小题，每小题2分，总计 20 分 ）1、设A 、B 为两个独立事件，()0,()0P A P B >>，则（ A ）一定成立。
（A ）(|)1()P A B P A =- （B ）(|)0P A B =（C ） ()1()P A P B =- （D ）(|)()P A B P B =2、如果()F x 是（ D ），则()F x 一定不可以是连续型随机变量的分布函数。
（A ）非负函数 （B ）连续函数 （C ）有界函数 （D ）单调减少函数3、若221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ,且X,Y 相互独立,则( C ).A.21212~(,())X Y N μμσσ+++B.221212~(,)X Y N μμσσ---C.2212122~(2,4)X Y N μμσσ--+D.2212122~(2,2)X Y N μμσσ--+4、已知11()()(),()0,()(),416P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发生的概率为( B ). A.18B.38C.58D.785、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{1}{2},P X P X ===则{2}P X >的值为( B ）.A.2-eB.251e -C.241e -D.221e -. 6、设12,,,n X X X 为来自总体2(,)XN u σ的样本，u 已知，2σ未知，不能作为统计量的是（ C ）。
（A ）11ni i X X n ==∑ （B ）122U X X u =+-（C ）2211()ni i U X X σ==-∑ （D ）211()ni i U X X n ==-∑7、设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他，则1{}4P X >为( A ).A.78B.14⎰C.141-⎰D.238、设（X ，Y ）的联合分布为则p ，q 为何值时X 与Y 相互独立 （ C ） 。
21(),1015A p q == 12(),1510B p q == 12(),1015C p q == 21(),1010D p q == 9、下列叙述中错误的是( D ).A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 10、.设12,,,n x x x 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，若222123456789(2)()()Y a X X b X X X c X X X X =++++++++服从2x 分布，则,,a b c 的值分别为（ B ）.A. 111,,81216B.111,,201216 C. 111,,333 D. 111,,234二、填空题（将正确答案填在横线上 本大题共5小题，每空 3分，总计18分） 1、若,A B 为随机事件，且()0.6P A =,()0.2P B A -=.当A 与B 相互独立时,()P B = ；A 与B 互不相容时,()P B = 。
=)(B P 0.5 ； =)(B P 0.2 。
2、设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则 61 。
3则随机变量Z=X+Y 的分布律为。
4、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X的数学期望E（2X）= 。
E（2X）= DX+（EX）2=18.4..5、将n个小球随机放到()N n N≤个盒子中去,不限定盒子的容量,则每个盒子中至多有１个球的概率是。
nnNNnC!⋅。
三、解答下列各题（本大题共5小题，每题8分，总计40分）1. 设某工厂有CBA,,三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它是车间A生产的概率。
解记事件CBA,,为CBA,,车间生产的产品，事件=D{次品}，因此)|()()|()()|()()(CDPCPBDPBPADPAPDP++=…….2分02.04.004.035.005.025.0⨯+⨯+⨯=0345.0008.0014.00125.0=++=……………….4分362.00345.005.025.0)()|()()|(=⨯==DPADPAPDAP………….8分2.、如图，设有6个元件,每个元件的可靠性均为p(元件能正常工作的概率), 按如下方式组成系统, 试系统的可靠性。
解：用A,B,C,D,E,F表示如图中诸元件能正常工作的事件,G,表示系统可靠的事件。
……………2分则有G=(ABC)∪(EFG)………………5分于是P(G)=P(ABC)+P(DEF)-P(ABCDEF) =33633(2)p p p p p+-=-…….8分3、设随机变量Ｘ服从(02)上的均匀分布，求：随机变量Ｙ＝2X在(04)内的概率密度为()Yf y.解：(){}{4)2YF y P Y y P X dx y=<=<==<<………..4分故()()4)Y Yf y F y y'==<<. ………8分4.设,X Y是两个随机变量，且P{X≥0，Y≥0}=3/7，P{X≥0}=P{Y≥0}=4/7,求P{max（X，Y）≥0} ..解：P{max（X，Y）≥0}=P{X≥0或Y≥0}……..3分=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0，Y≥0}……..6分=8/7-3/7=5/7…………8分5、,X Y设随机变量和相互独立X且在(01)上服从均匀分布，Y的概率密度为210()200yY ey f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，设含有a 的二次方程为220a aX Y ++=，试求关于a 的二次方程有实根的概率。
解:因为,X Y 随机变量和相互独立X 且在(01)上服从均匀分布，所以(,)X Y 的概率密度为2101,0(,)()()20yX Y ex y f x y f x f y -⎧<<>⎪==⎨⎪⎩其他，………….3分二次方程为220a aX Y ++=有实根的充要条件是22=40,X Y X Y ∆-≥≥即，设G 为曲线2,0,1y x y x ===所围成，…….5分则所求概率为]2221112222001()(,)(1)121(1)(0)0.1445...........8y x x x GP X Y f x y dxdy dx e dy edx edx---≥===-=-=-Φ-Φ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰分四、综合题（本大题共2小题，每小题8分总计16分）1、（8分）．一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次波浪的冲击, 纵摇角大于30的概率p=1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有29500~30500次纵摇角大于30概率是多少?0k90000-k: , 900003X X X~b(90000, 1/3)9000012P{X k}, k 0,1,,90000.....2 k 33:P{29500X 30500}⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<≤解将船舶每遭受一次波浪冲击看成是一次试验并假定各次试验是独立的。
在次波浪冲击中纵摇角度大于的次数记为，则是一个随机变量，且，其分布律为分所求概率为 k 90000-k30500295019000012 k 33 P{29500X 30500}P (4)k =⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭<≤⎧⎫=<≤≈Φ∑。
由中心极限定理即有分- ............6n 90000, p 1/3.P{29500X 30500}0.999594⎛⎫⎛⎫Φ==<≤≈ΦΦ=分其中即有。
.......8分2.（8分）一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，其概率密度为410()4x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定，售出的设备若在一年内损坏可应予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
解：设Y 表示售出一台设备的获利，………………………….1分 则Y 的分布为：4则114400114411()1001...........644100)33.64..................8x xE Y e dx e dx ee----==⎰⎰（－）－200分＝－200(1-分五、证明题（6分）设0()1P A <<，证明：A B 与相互独立⇔(|)(|)P B A P B A =证明：因为(|)(|)P B A P B A = ⇔()()()()P AB P A P AB P A = …………2分()[1()][()()]()P AB P A P B P AB P A ⇔-=- ……………….4分 ()()()P AB P B P A ⇔= ………………6分⇔ A B 与相互独立附表： 标准正态分布数值表2χ分布数值表 t 分布数值表(1)0.8431(3.536)0.999797Φ=Φ=20.0520.05(16)7.9616(15)7.2609χχ==()0.9750.9756 2.4467(7) 2.3646t t ==(1..645)0.95(1.96)0.975Φ=Φ= 20.9920.99(16)31.9999(15)30.5779χχ== 0.950.95(9) 1.8331(8) 1.8595t t ==。