1正弦定理导学案
正弦定理1导学案
1.1．1 正弦定理（1）1.通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握正弦定理及其证明；2.掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形问题。
预习教材P2~4一、公式：1．如图，在直角三角形，设BC=a ，AC=b ，AB=c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有=A s i n ________=B sin ________,=C sin _______ 从而在直角三角形ABC 中，=c ________________．2. 正弦定理：______________________________二．预习检测1.在ABC ∆中，已知 30,7,14===B b a ,则=A _____________2.在ABC ∆中，已知 75,45,6====B A a ，则=c ____________3.一个三角形的两个内角分别为 30和 45，如果 45角所对的边长为8，那么30角所对的边长是_____________考点一：已知两角和一边解三角形例1已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。
导拨：在该题中，已知C 及c,可以利用正弦定理列出方程进行求解。
练习1：在ABC ∆中，已知 45=A ， 75=B ，8=b ，解此三角形考点一：已知两边和一角解三角形例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。
导拨：已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情况练习2：已知：在ABC ∆中，100,9,7===A b a ，解此三角形。
1.在ABC ∆中，已知2,3,6===a C c π，解此三角形。
2.在ABC ∆中，10,135,30===a C A ,求c b ,1. 已知ABC ∆中，3,30,60===a B A ,求边=b （ ） A.3 B.2 C.3 D.22. 在ABC ∆中，下列等式中总能成立的是（ ）A.B b A a sin sin =B.A b B a sin sin =C.B b A a cos cos =D.A b B a cos cos =3. 在ABC ∆中，若B A 2=，则a 等于（ ）A.A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 24. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定5. 在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c= ．6. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．7.在ABC ∆中，若bB a A cos sin =，则B 的值为 8.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边，若B C A b a 2,3,1=+==,解此三角形。
高中数学正弦定理导学案（一）
⾼中数学正弦定理导学案（⼀）正弦定理（⼀）导学案年级：⾼⼀学科：数学【学习⽬标】通过已学过的直⾓三⾓形的边⾓关系，特别是在直⾓三⾓形中正弦与边之间的关系，探讨⼀般三⾓形中⾓的正弦与边的关系，发现并掌握正弦定理及其证明⽅法；理解正弦定理在讨论三⾓形边⾓关系时的作⽤，理解⽤正弦定理讨论三⾓形解的情形，能根据正弦定理解斜三⾓形。
【学习重点】正弦定理的猜想与证明；正弦定理的简单运⽤【学习难点】正弦定理的猜想与提出过程．学习过程：⼀、知识链接(1)在我国古代就有嫦娥奔⽉的神话故事.明⽉⾼悬,我们仰望夜空,会有⽆限遐想,不禁会问,⽉亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你⽶尺和量⾓设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?我们这⼀节所学习的内容就是解决这些问题的有⼒⼯具.⼆、学习内容【定理的推导】1.回忆⼀下直⾓三⾓形的边⾓关系?2.猜想⼀般三⾓形的边⾓关系：3.证明猜想的结论：思考：还有其它的证明⽅法吗？ABAB Cc baB ACa bcB ACbca【典例剖析】例1. 在ABC ?中，已知3=a ，2=b ，045=B ，求C A ,和c .跟踪练习：在ABC ?中，已知334=b ，22=c ，060=C ，求A .例2. 在ABC ?中，已知10=c ，045=A ，030=C ，解三⾓形.变式练习：若上题中把030=C 改为030=B ，结果⼜如何呢？跟踪练习：在ABC ?中，已知22=c ，1010cos = A ，55cos =B ，求b a ,三、课堂巩固1. 在ABC ?中，已知3π=A ，3=a ，1=b ，则=c2. 在ABC ?中，已知3=b ，33=c ，030=B ，则=a3. 在ABC ?中，若bBa A cos sin =，则B 的度数为四、学习反思：正弦定理（⼀）达标检测。
必修五导学案1(正弦定理)
【能力提升】可供学生课外做作业
1、已知 则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2、在 中， B=120 C=30 a=5 ,则此三角形的最大边长为
3、已知在 中，AB=6，A=30 ，B= ,解此三角形。
作 ，根据三角函数的定义，
sinA=，sinB=
两式分别化得CD=和CD=即可得到=
化作比式得
=
同理可得
==
小结：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
典例分析：
例1、在 中， ，解三角形。
例2、在
例3、
注意：一般地，已知三角形的任意两边与其中一边的对角解三角形，有可能有两解或一解或无解。（有能力的学生可以试着将各种情形分类总结一下）
【自我评价】你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟满分：10分）分：
1、已知ΔABC已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）。
A 8 B 4 C 4 -3 D 8 -8
2、在 中，三个内角之比 ，那么 等于
3、在△ABC中，若 ， ， ，则 ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。
2、一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作（solving triangles)。
【预习自测】
1、已知ΔABC中已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）。
A、3 B、2 C、 D、
正弦定理导学案(1)
第1章 解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→⎭⎬⎫ 【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.1 正弦定理第1课时 【学习导航】知识网络 直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题3.利用正弦定理判断解的情况（画图） 【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===Cc B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________（解的情况唯一吗）；（2）_________________________________（解的情况唯一吗）【精典范例】【例1】在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边的解三角形问题，直接运用定理。
【解】【例2】根据下列条件解三角形（难点）：（1）60,1b B c ==︒=；（2）45,2c A a ==︒=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角的解三角形问题。
技巧理解：注重分析解的情况，经常使用大边对大角。
如果解的情况不唯一，分类讨论即可。
【例3】根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？有解，解的个数？（画图判断）分析：本题的知识点理解即可（1）5a =，4b =，120A =︒，求B ；（2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）a =b =45A =︒，求B ；（4）a =b =45A =︒，求B ；（5）4a =，3b =，60A =︒，求B ．追踪训练：1．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin =B ，则A sin = （ ） A 43 B 61C 21D 12．在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，解三角形（2）13=b ，26=a ，030=B ，解三角形3.在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．。
陆娜必修五导学案1(正弦定理)
1.1.1正弦定理(1) 编制人：陆娜班级 姓名 小组【学习目标】：1、能简单证明正弦定理2、掌握正弦定理的简单应用，能用正弦定理解三角形3、用数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题【知识链接】1. 三角形的内角和定理：=++C B A ____2. 在B A, b a,∠∠∆分别为中，已知ABC 所对的边， 若a>b ， 则 即 。
【生活中的数学问题】如图，设A,B 两点在龙江河的两岸, 给你米尺和量角设备,不过河你可以 测出它们之间的距离吗？【学习探究】 首先独立思考探究，然后合作交流展示： 探究一：1、在Rt ABC 中，=ca=cb那么=A a s i n =Bbs i n 又=C s i n所以 =Aas i n = （想一想：是否能将它推广到锐角、钝角三角形中？）探究二：当A B C ∆是锐角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。
作AB CD ⊥于D ，根据三角函数的定义， sinA= ，sinB= 两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 =化作比式得 = 同理作BC AE ⊥于E 可得： =所以 = =探究三：当A B C ∆是钝角三角形时，分别用a ，b ，c 表示BC ，AC 和AB 。
AB CD ⊥于D ，根据三角函数的定义，AB CcabBACB CAsinA= ，sinB=两式分别化得CD= 和CD= 即可得到 = 化作比式得 = 同理作BC AE ⊥于E 可得 ： =所以 = =【知识生成】1、 正弦定理（law of sines ） 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC即正弦定理包含三个等式，每个等式相当于一个方程，已知其中三个量，可求另一个量（知三求一），所以正弦定理的基本作用为：（1）已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。
最新正弦定理导学案
§1.1.1 正弦定理(一)导学案学习目标:1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题；3、通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法解决实际问题的能力，激发学生对数学学习的热情。
教学重点:正弦定理的证明及基本运用。
教学难点:正弦定理的探索和证明及灵活应用。
一、预习案: “我学习，我主动，我参与，我收获！”1、预习教材P45---482、基础知识梳理：(1)正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的_______________的比相等，即在ABC ∆中,___________=__________=____________=2R. ，(其中2R 为外接圆直径)（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可以得到哪些变形公式？（3）三角形常用面积公式：对于任意ABC ∆，若a ，b ，c 为三角形的三边，且A,B,C 为三边的对角，则三角形的面积为：①1_____(2ABC a a S h h ∆=表示a 边上的高）.②11sin sin ____________22ABC S ab C ac B ∆===. 3、预习自测：（1）有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在ABC ∆中，sin :sin :sin ::A B C a b c =。
其中正确的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4（2）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ． a sin A = b sinB B . a cos A = b cos BC . a sin B = b sin AD . a cos B = b cos A（3）在ABC ∆中,sin sin A C =,则ABC ∆是（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形(4) 在ABC ∆中，三个内角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A:B:C=1:2:3,则a ：b ：c=_____________________.我的疑惑:__________________________________________二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”探究一、叙述并证明正弦定理。
正弦定理导学案1
正弦定理 (1)导学案【学习目标】1.了解正弦定理的推理过程；2.掌握正弦定理的内容；3.能运用正弦定理解决一些简单的三角形问题。
4.激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐【学习重点】正弦定理的证明和应用【学习难点】正弦定理在解三角形时的应用思路.【学习过程】一、预习案1、知识链接：1）关于ABC∆几个常见的结论：设ABC∆中角,,A B C的对边分别为,,a b c，则有：①A+B+C＝②若A为最小角，则060A<≤；若A为最大角，则60180A≤<③BABAba sin____sin___⇔⇔>2）一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边,,a b c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形．2、预习检测：在直角三角形中，如右图，在Rt∆ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc=，sinbBc=，又sin1cCc==，从而在直角三角形ABC中，边=c_________=_________=_________．二、探究案探究1：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？如右图，锐角三角形中，上述关系式是否成立？如右图，钝角三角形中，上述关系式是否成立？从上面的探究过程中，可得到以下定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即sinaA sinbB sincC．思考：正弦定理有哪些基本变形？试写下来：探究2：分析正弦定理的结构，你能得出正弦定理可解决哪两类解三角形问题？1、C Abc2、三、课堂检测题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角1． 已知在,30,45,10 ===∆︒C A c ABC 中，求a【随堂记录】：题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角2． 在23,30,6,===∆a A b ABC 中,求B（要注意可能有两解） 【随堂记录】：3． C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【随堂记录】：四、巩固训练（一）当堂练习1.在ABC ∆中，5,15,135===a C B ,则此三角形的最大边长为_____.____,6,3,60.2=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，3.已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B .（二）课后作业：P 18 1、2、3五、反思总结1．知识小结：2．我的收获：3．我的疑惑：。
正弦定理(导学案)
正弦定理班级： 姓名： 小组：【教学目标】1. 让学生了解并证明正弦定理；2. 引导学生从已有知识出发，探究在任意三角形中边与对角比值的关系；3. 通过学生与学生，师生之间的交流合作，调动学生的主动性和积极性，激发学生学习的兴趣。
【研学流程】一、【学】1、正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin ===的证明 2、正弦定理的变形边：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===角：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 二【交】交流以下问题：1、有哪些方法可以证明正弦定理2、什么情况下可以利用正弦定理3、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，情况有几种三【展】1、学生通过讨论用三种方式证明的正弦定理；2、通过正弦定理解决相关的练习题四【导】1、创设情境，引入课题现实生活中有许多测绘问题，如：测量楼高、隧道长等，往往由于地形条件的制约，有一些量不易被直接测量。
这时就需要能够根据其它易测量的数据来计算。
如下面一例：如图在河岸一侧有B A ,两点，现要测量这两点距河对岸点C 处的距离。
现可以测量AB 的长以及图中角A 和角B 的大小，如何利用这三个条件去求BC AC ,间的长度呢？上述问题实际上是：利用边和角去求另外的边和角的解三角形问题。
若上述条件放在什么样的三角形中可以解决。
3、正弦定理的证明现在我们来研究三角形边与角之间的关系：在初中我们学过解直角三角形．在ABC Rt ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,， 90=C ，A c b B c a sin ,sin ==，所以c Bb A a ==sin sin 又因1sin =C ，所以C c B b A a sin sin sin == 当ABC ∆是锐角三角形时，设BC 边上的高是AD ，根据三角函数的定义：B c AD sin =，C b AD sin =所以C b B c sin sin =，得到C c B b sin sin = 同理可得Aa Bb sin sin = 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：Cc B b A a sin sin sin == 正弦定理还可以利用三角形的外接圆的性质进行证明：已知☉O 是ABC ∆的外接圆，过O 点连接BO 并延长交☉O 于A '，连接A C A B '',B AC？？则C A B BAC '∠=∠ 90='∠CB AR B A BAC BC C A B BC 2sin sin ='=∠='∠（R 为三角形外接圆半径）即：R Aa 2sin = 同理：R Cc B b 2sin sin == 可得正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin === 注：（1）正弦定理可以解决下列三角问题：①已知两角和任一边，求另两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（2）正弦定理变形：边：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===角：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们的对边c b a ,,叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
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姓名：
教学过程
一、引入新课 1．如右图，ABC Rt ∆中的边角关系：
=A sin ______ _______； =B sin ______________；
=C sin _________ ___；
边=c _________=_________=_________．
2．任意ABC ∆中的边角关系是否也可以如此？如何证明？
3．正弦定理（内容）：
4．练习：
（1）在ABC ∆中，已知14=a ，7=b ，︒=30B ，则=A _________；
（2）在ABC ∆中，已知6=
a ，︒=45A ，︒=75B ，则=c _________；
（3）一个三角形的两个内角分别为︒30和︒45，如果︒45角所对的边长为8，那么︒30角所对的边长是_________；
二、典例赏析
例1 尝试用其他方法证明正弦定理．
C A B b c a
例2 在ABC ∆中，︒=30A ，︒=135C ，10=a ，求b ，c ．
例3 根据下列条件解三角形：
（1）26=a ，326=b ，︒=30A ；
（2）26=a ，13=b ，︒=30A ．
归纳小结：
利用正弦定理解以下两类斜三角形：
（1）已知两角与任一边,求其他 和 ；
（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的 （从而进一步求出其他的 和 ）．
仿照正弦定理的证法一，证明C ab S ABC sin 2
1=
∆，并运用此结论解决下面问题： （1）在ABC ∆中，已知2=a ，3=b ，︒=150C ，求ABC S ∆；
（2）在ABC ∆中，已知10=c ，︒=45A ，︒=30C ，求b 和ABC S ∆；
三、针对训练：
1．在ABC ∆中，
（1）已知︒=75A ，︒=45B ，23=c ，求a ，b ；
（2）已知︒=30A ，︒=120B ，12=b ，求a ，c ．
2．根据下列条件解三角形：
（1）40=b ，20=c ，︒=45C ；
（2）67=b ，14=a ，︒=60B ．
例4。