沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(2)垂径定理
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 垂径定理 教案 (1)
27.3垂径定理教学目标：（1） 经历利用圆的轴对称性探究垂直于弦的直径的性质的过程，掌握垂径定理（2） 掌握垂径定理的推论，在推导与由一直线经过圆心、垂直于弦、平分弦所对的弧这四组关系构成的定理的过程中，体会分类讨论思想。
（3） 能初步运用垂径定理及其推论解决有关数学问题。
重点：（1）导出垂径定理，并进行初步的运用（2）学生知道“圆是轴对称图形”，在此通过复习帮助学生加深认识教学过程：一、 引入：将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，由此说明：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形（对称轴是直径所在的直线）问题1在含有一条直径AB 的圆上再增加一条直径CD ，两条直径的位置关系？问题2把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，弦AB 是否一定被直径CD 平分？ OD猜想：弦AB 在什么情况下会被直径CD 平分？在圆⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，当CD ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分 证明猜想：已知CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E 。
求证：AE=BE 。
D AOB CE垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，且平分这条弦所对的弧。
例1：看下列图形，是否能使用垂径定理？例2 已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB=6cm ， 则弦心距OC= ________cm C OA B例3 例3：已知在⊙O 中，半径OB ⊥弦CD ，BE=1，CD=2√(5) ，求半径OB E OC D例4：如图，在以O 为圆心的两个同心圆，大圆的弦交小圆于C 、D 两点，AB=32cm ，CD=18cm ，大圆的半径为20cm ，求小圆的半径 E D C OA B例5：已知在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，且AC=BD 求证：△OCD为等腰三角形C D巩固练习：(1)已知⊙O半径为4，则圆心角为120度的角所对的弦长为____________(2)已知⊙O半径为1，则弦AB、AC的长分别为1、√(2) ，则∠BAC=______(3)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=8，以BC为直径作⊙O，求AD的长(3)已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=8，CB(4)如图，AB是⊙O的直径，AB与CD交于点M，已知∠AMC=30°，AM=6cm,MB=2cm，求CD的长A(5)已知⊙O的直径为10cm，⊙O的两条平行弦AB=8cm，CD=6cm，那么这两条平行线之间的距离小结：垂径定理作业：练习册27.3（1）校本作业。
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1
沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》教学设计1一. 教材分析沪科版数学九年级下册《垂径定理的逆定理》是本节课的主要内容。
该定理是几何中的一个重要定理，它对于解决与圆有关的问题具有重要意义。
教材通过引入实例，引导学生探究并证明垂径定理的逆定理，培养学生的几何思维和证明能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了垂径定理的相关知识，具备了一定的几何思维和证明能力。
但部分学生对于抽象的几何证明还存在一定的困难，需要教师在教学中给予引导和帮助。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的逆定理，并能运用其解决相关问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳、证明等方法，培养学生的几何思维和证明能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的逆定理的证明及其应用。
2.难点：对于抽象几何图形的证明和解决问题的方法。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生建立几何模型。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
3.实践操作法：学生动手操作，观察实验现象，归纳总结定理。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、多媒体课件、几何模型等。
2.学生准备：课本、笔记本、作图工具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，引导学生思考如何运用几何知识解决问题。
2.呈现（10分钟）教师展示垂径定理的逆定理，引导学生观察并分析定理的内涵。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同完成一些与垂径定理逆定理相关的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）教师针对学生的练习情况，进行讲解和辅导，帮助学生掌握垂径定理的逆定理。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生运用垂径定理的逆定理解决更复杂的问题。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的主要内容，巩固所学知识。
沪教课标版九年级下册数学：27.3 垂径定理
一、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件
CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
ห้องสมุดไป่ตู้
垂径定理的几何语言:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
• 定理中的直径可以是直径、半径、弦心距 等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定 理的变式：
∴MC=MA
∵∠A=∠C,AB=CG C∴△MBA≌△MCG(SAS)
截长法
∴MB=MG
在△MBG中，MD⊥BG
∴BD=GD
∴CD=CG+GD=AB+BD
M
O N
B DG A
“垂线法” 证明：延长AB，过M点作MN⊥NB,垂 足为N点.
C
例2 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为
弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，求△ABC
的周长？
A
A
O
D
B
E
C
O D
B FE C
一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
垂径定理的推论: 合作探究
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
条件
CD为直径
AE=BE
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒ AC=BC
⌒⌒
AD=BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
沪科版初中数学九年级下册【说课稿】-垂径定理
最新沪科版初中数学九年级下册【说课稿】-垂径定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1垂直于弦的直径性质一．教学背景分析1、学习任务分析“垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（沪科版）九年级下册第24章《圆》第2节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。
“垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。
“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。
2、学生情况分析学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。
对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。
但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。
3、重点难点的定位教学垂点：垂径定理及其推论。
教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理，（2）领悟垂径定理中的对称美。
二．教学目标设计:1.知识与技能目标：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
培养学生观察能力、分析能力及联想能力。
2.过程与方法目标：教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。
3.情感、态度与价值观：对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。
从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。
三．课堂结构设计：《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。
因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节：1、欣赏美——营造问题情境2、探究美——揭秘核心问题3、徜徉美——问题变式发散4、品味美——重建知识体系课堂教学应以学生为主体，教师为主导。
沪教版(上海)九年级数学第二学期导学案设计：27.3(3)垂径定理
BABA BACA P27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ， 求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结 、 ）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥ ，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥ ，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）课堂小结POBACDFOE B A C D P ON M B A C DO B CBCE DOA四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。
四、课后练习1、已知：如图，O e 中的弦AB 、CD 交于点P ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，»».AC BD = 求证：PMN V 是等腰三角形.2、如图，已知点A 、B 、C 分别在O e 上，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，求O e 的半径长.3、已知ABC V 是直径长为10厘米的O e 的内接等腰三角形，且底边BC=8厘米，求ABC S V .4、如图，已知O e 中，直径CD 与弦AB 垂直，垂足为E ，10,2CD DE == ，求AB 的长.5、已知：如图，1O e 与2O e 相交于点P 、Q ，点C 是线段12O O 的中点，AB 过点P 且与CP 垂直，点A 、B 分别是AB 与1O e 、2O e 的交点. 求证：.AP BP =。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 垂径定理及其推论 课件
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB
是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，
求证：AE=BE，
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ， ＡＣ ＝ ＢＣ
证明：连接OA、OB
∵OA、OB是⊙O的半径
A
∴OA=OB
∴△OAB是等腰三角形
∵AB⊥DC
∴AE=BE，∠AEO=∠BEO=90o
CD垂直平分AB ∴ A与B关于CD对
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 思考1 ： AD 与 BD有何关系？ AC 与 BC有何关系？
2：CD与AB有何位置关系？
3：AE与BE有何数量关系？
探究一：若CD是圆O的直径，CD 垂直于弦AB，你会发现哪些结论？
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，
即ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ ＢＣ
C
·O
E
A
B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理及其推论
小红家有一张圆形的餐桌，由于不
小心把上面的转盘打碎了，现有残
余碎片如图所示，小红测量一条弦
AB 长80cm，弦中点和弧中点距离
CD为20cm，小红要去购买同样的
转盘，则半径应多大？
A
C
D
B
（一）、把一个圆沿着它的任意一条 直径对折，重复几次，你发现了什么？ 由此你能得到什么结论？
请同学们回顾今天所学的内容：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧．
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直 于这条弦,并且平分这条弦所对的 两段弧。
作业：课内 P21 3 . 4 课外 同步练习。
·O
可以发现：圆是轴对称图形，经过 圆心的任意一条直线都是它的对称 轴．
沪科版九年级数学下册24.2《垂径定理》教学设计
（1）请学生回顾本节课所学内容，总结自己在学习垂径定理过程中的收获和困惑。
（2）针对自己的困惑，提出改进措施，为下一节课的学习做好准备。
注意事项：
1.要求学生在作业过程中，注重解题步骤的规范性和逻辑性。
2.鼓励学生积极参与思考题，培养他们的探究意识和创新能力。
3.课后总结要认真对待，发现问题并及时解决，提高学习效率。
沪科版九年级数学下册24.2《垂径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ理》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握垂径定理的内容，能够准确判断圆的直径所对的圆周角是直角。
2.能够运用垂径定理解决实际问题，如求圆的直径、半径等。
3.掌握垂径定理的证明方法，提高演绎推理能力。
4.能够运用垂径定理推导出圆的相关性质，如圆周角定理、弦切角定理等。
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让他们讨论以下问题：“垂径定理在生活中的应用有哪些？”、“如何证明垂径定理？”等。
2.交流分享：各小组汇报自己的讨论成果，其他小组进行评价和补充，教师适时给予指导和点拨。
3.深入探讨：引导学生探讨垂径定理与其他几何定理的联系，如圆周角定理、弦切角定理等。
（四）课堂练习
4.组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对几何学产生浓厚的兴趣。
2.培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，树立自信心。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，养成良好的学习习惯。
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
1.设计具有层次性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：判断题、选择题、填空题和解答题，涵盖垂径定理的发现、证明和应用等方面。
沪教版(上海)数学九年级第二学期-26.3垂径定理 教案
26.3垂径定理一、教学目标：（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理的结论进行证明，并能通过构造直角三角形解决一些简单的计算问题；（2）进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；（3）通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．教学重点：垂径定理及运用教学难点：运用垂径定理解决实际问题的能力二、知识点整理：请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【学生答】：这些图形都是轴对称图形。
（那么，你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。
）【学生答】：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆。
（圆是不是轴对称图形我们还没有研究过，它不算学过的轴对称图形。
刚才**同学提出了圆也是轴对称图形，他的说法对吗？让我们来共同研究一下。
下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。
首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？）【学生答】：圆是轴对称图形。
师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？【学生答】：它的直径经过圆心的直线（有同学说是直径，有同学说是经过圆心的直线，谁说的对呢？同学们讨论一下。
）【学生答】：对称轴是直线而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线。
（现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。
那么看图，AB是⊙O的直径，而CD是垂直AB的弦，在图中，你猜想一下会有那些等量关系。
CE=DE，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD（学生答）这些等量关系如果用语言来叙述的话，我们可以说成什么？）【学生答】：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。
首先我们分析一下这个定理的题设和结论。
题设：垂直于弦的直径。
结论：平分弦和弦所对的弧。
（学生完成） 根据题设和结论，结合图形，我们找出已知、求证，并进行证明。
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D
B
A
27.3 垂径定理（2）
[学习目标]
1、掌握垂径定理推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题；
2、在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想. [学习重难点]
能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
一、课前预习
1、垂径定理： .
2、如图，CD 是O e 的直径，AB 是弦（不是直径），CD 与AB 交于点M ，
且AM=BM ，问CD 垂直于AB 吗？为什么？
提问：如果AB 是直径结论还成立吗？为什么？
3、如果把第（2）题中的条件“AM=BM ”改成“»»AD BD =”，结论还成立吗？为什么？
4、我们知道过A 、B 两点的圆的圆心一定在线段AB 的 上， 所以，弦AB 的垂直平分线必经过 .
5、如图，在O e 中，弦CD 与弦AB 交于点M.
（1）如果AM =BM ，»
»AD BD =，那么CD 与AB 垂直吗？
（2）如果CD AB ⊥，垂足为点M ，»
»AD BD =，那么AM 与BM 相等吗？
二、课堂学习
1、由课前预习2可以归纳得到：
如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧.
2、由课前预习3可以归纳得到：
如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦.
3、在圆中，圆心到弦的两个端点的距离都等于圆的半径. 由线段垂直平分线定理的逆定理，可知圆心一定在弦的垂直平分线上. 于是得到：
如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.
4、由课前预习5可以归纳得到：
如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦.
如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦.
4、总结上面的讨论，可以概括为：
在圆中，对于某一条自线“经过圆心”、“垂直于弦”、 “平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中， 如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立.
5、例题1 如图，已知O e 中，C 是»
AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ，
120AOB ∠=o ， AD=8，求OA 的长.
（提示：已经有OC “经过圆心”、“平分弦所对的弧”，
所以由垂径定理推论可以得到“垂直于弦”、“平分弦”）
6、例题2 已知»
AB ，用直尺和圆规平分这条弧. （提示：弦的垂直平分线经过圆心并且平分这条弦所对的弧.）
课堂小结
B
A
三、课堂练习 1、如图，已知AD 是O e 的直径，»
»»AB BC CD ==. （1) 求»BD
所对的圆心角的大小； （2）OC 与BD 垂直吗？为什么？
2、如图是一块残缺的圆形砂轮片，试画出这块砂轮片原来的图形，
3，如图，已知O e 的半径长为3厘米，半径OB 与弦AC 垂直，垂足是点D ，AC 长为3厘米. 求：
(1)AOB ∠的大小； （2）CD 的长.
四、课后练习
1、如图，已知O e 的半径OC 过弦AB 的中点D ，如果»
AC 的长是20厘米，那么»
AB 的长是 厘米.
2、如图，已知C 是»
AB 的中点，半径OC 与弦AB 相交于点D ， 如果60,6OAB AB ∠==o
厘米，那么AOD ∠= 度， CD= 厘米.
3、已知：如图， AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点.
求证：.
AMN CNM ∠=∠
4、（提高题）已知：如图，MN 是O e 的弦，AB 是O e 的直径，AB MN ⊥，垂足为点P ，半径OC 、OD 分别交MN 于点E 、F ，且OE=OF.
求证：（1）ME=NF ；（2）¼».MC
ND =。