九年级数学垂径定理练习题

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九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)

九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)

答案:B 解析:解答::∵AB 是⊙O 的弦,OD⊥AB 于 D, ∴AD=BD=
1 AB(垂径定理), 2
∴AB=2AD, 在 Rt△ADO 中,OD⊥AB 于 D,若 AO=10,OD=6, ∴AD= AO2 ‒ OD2 = 102 ‒ 62 = 8(勾股定理); ∴AB=16. 故选 B. 分析:先根据勾股定理求出 AD 的长,再根据垂径定理求出 AB 的长. 8、 如 图 , AB 是 ⊙O 的 直 径 , 弦 CD⊥AB 于 点 E, 连 接 OC, 若 OC=5, CD=8, 则 tan∠COE=( ) A.
11、 如 图 , ⊙O 过 点 B、 C, 圆 心 O 在 等 腰 Rt△ABC 的 内 部 , ∠BAC=90°, OA=1, BC=6.则⊙O 的半径为( ) A.6 B.13 C. 13 D.2 13
答案:B 解析:解答:如图:
过 O 作 OC⊥AB 于 C, ∵OC 过圆心 O,AB=24, ∴AC=BC=
1 AB=12, 2
AO2 ‒ AC2 = 132 ‒ 122=5.
在 Rt△AOC 中,由勾股定理得:OC= 故选:B.
分析:过 O 作 OC⊥AB 于 C,根据垂径定理求出 AC,根据勾股定理求出 OC 即可. 6、如图,⊙O 的半径为 2,弦 AB⊥OC 于 C,AB=2 3,则 OC 等于( ) A.2 2 B. 3 C.1 D.2− 3
答案:B 解析:解答:如图:
连接 OA, ∵⊙O 的直径为 10, ∴OA=5, ∵圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4, 由垂径定理知,点 M 是 AB 的中点,AM= 由勾股定理可得,AM=3,所以 AB=6. 故选 B. 分析:先根据垂径定理求出 AM=
1 AB, 2Байду номын сангаас

3.3垂径定理

3.3垂径定理

九年级数学第三章同步练习*3.3 垂径定理1.如图 ,DC 是⊙O 的直径,弦AB ⊥CD 于点F ,连接BC ,DB.则下列结论错误的是( )A .AD ︵=BD ︵B .AF =BFC .OF =CFD .AC ︵=BC ︵ 2.如图,⊙O 的半径为5,AB 为弦,半径OC ⊥AB ,垂足为E ,若OE =3,则AB 的长是( )A .4B .6C .8D .103.如图,已知⊙O 的半径为5,弦AB =6,M 是AB 上任意一点,则线段OM 的长可能是( )A .2.5B .3.5C .4.5D .5.5第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图4.在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面AB =160 cm ,则油的最大深度为( )A .40 cmB .60 cmC .80 cmD .100 cm5.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”此问题的实质就是解决下面的问题:如果CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD 于点E ,CE =1寸,AB =10寸,那么直径CD 为多少寸?请你求出CD 的长.6.如图所示,AB 是⊙O 的弦(非直径),C ,D 是AB 上的两点,且AC =BD.求证:OC =OD.7.要测量一个钢板上的小孔的直径,通常采用间接的测量方法.如果将一个直径为10 mm 的标准钢珠放在小孔上,测得钢珠顶端与小孔平面的距离h =8 mm (如图),求此小孔的直径d.8.如图,AB 是⊙O 的直径,CM =DM ,下列结论不成立的是( )A .AB ⊥CD B .CB =DBC .∠ACD =∠ADC D .OM =MD 9.如图,AB 是⊙O 的直径,∠BAC =42°,D 是弦AC 的中点,则∠DOC的度数是________°.10.图是某公园新建的圆形人工湖,为测量该湖的半径,小强和小丽沿湖边选取A ,B ,C 三根木桩,使得AB ︵=BC ︵,并测得点B 到AC 的距离为15米,AC 的长为60米,请你帮他们求出人工湖的半径.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,以点C 为圆心、CA 为半径的圆与AB 交于点D ,则AD 的长为( ) A .95 B .215 C .185 D .5212.已知⊙O 的直径CD =10 cm ,AB 是⊙O 的弦,AB =8 cm ,且AB ⊥CD ,垂足为M ,则AC 的长为( )A .2 5 cmB .4 5 cmC .2 5 cm 或4 5 cmD .2 3 cm 或4 3 cm13.如图 ,⊙O 过点B ,C ,圆心O 在等腰三角形ABC 的内部,∠BAC =90°,OA =1,BC =6,则⊙O 的半径为( ) A .6 B .13 C .13 D .213第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB =8,CD =6,MN 是⊙O 的直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA +PC 的最小值为________.15.如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE =6 cm ,BE =2 cm ,∠CEA =30°,求CD 的长. 16.如图所示,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12 m ,宽AB 为3 m ,隧道的顶端E(圆弧AED 的中点)高出道路(BC)7 m . (1)求圆弧AED 所在圆的半径;(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5 m ,宽2.3 m ,这辆货运卡车能否通过该隧道?详解1.C [解析] ∵CD 是⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为F ,∴AD ︵=BD ︵,AC ︵=BC ︵,∴F 为AB 的中点,即AF =BF ,故选项A ,B ,D 正确;而OF 与CF 不一定相等.故选C.2.C [解析] 连接OA ,如图.∵OC ⊥AB ,OA =5,OE =3, ∴AE =OA 2-OE 2=52-32=4, ∴AB =2AE =8.故选C.3.C [解析] 当M 是AB 的中点时,OM 的长最小.此时OM ⊥AB ,连接OA ,则OM =52-32=4.当M 与点A 或点B 重合时,OM 的长最大为5.因此4≤OM ≤5,只有C 项符合.4.A5.解:设CD =2x 寸,则半径OC =x 寸.∵CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD 于点E ,AB =10寸, ∴AE =BE =12AB =12×10=5(寸),连接OA ,则OA =x 寸,根据勾股定理,得x 2=52+(x -1)2, 解得x =13,∴CD =2x =2×13=26(寸).6.证明:过点O 作OE ⊥AB 于点E ,则AE =BE . 又∵AC =BD ,∴CE =DE , ∴OE 是CD 的中垂线, ∴OC =OD .7.解:如图,过点O 作OD ⊥AB 于点D ,延长DO 交⊙O 于点C ,连接OB .由垂径定理,得CD 垂直平分AB . ∴CD =h =8 mm ,OD =CD -CO =3 mm.在Rt △ODB 中,BD 2=OB 2-OD 2,即BD 2=52-32, ∴BD =4(mm),∴AB =2BD =8 mm. 答:此小孔的直径d 为8 mm.8.D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径,CM =DM ,∴CD ⊥AB ,CB ︵=DB ︵,∴CB =DB .∵AB 垂直平分CD ,∴AC =AD ,∴∠ACD =∠ADC ,而推不出OM 与MD 相等.故选D.9.48 [解析] ∵AD =CD ,∴OD ⊥AC ,∴∠CDO =90°,∴∠DOC +∠ACO =90°.∵OA =OC ,∴∠ACO =∠A =42°,∴∠DOC =90°-∠A =48°.10.解:设点O 为圆心,连接半径OA ,OB ,设OB 交AC 于点D . ∵AB ︵=BC ︵,∴OB ⊥AC ,AD =CD =30米. 设OA =x 米,则OD =(x -15)米. 在Rt △AOD 中,有x 2-(x -15)2=302, 解得x =37.5.故人工湖的半径为37.5米. 11.C12.C [解析] 连接AC ,AO .∵⊙O 的直径CD =10 cm ,AB ⊥CD ,AB =8 cm ,∴AM =12AB =12×8=4(cm),OD =OC =5 cm.当点C 的位置如图(1)所示时,∵OA =5 cm ,AM =4 cm ,CD ⊥AB ,∴OM =OA 2-AM 2=3 cm ,∴CM =OC +OM =5+3=8(cm),∴AC =AM 2+CM 2=42+82=4 5(cm).当点C 的位置如图(2)所示时,同理可得OM =3 cm ,∵OC =5 cm ,∴MC =5-3=2(cm).在Rt △AMC 中,AC =AM 2+MC 2=42+22=2 5(cm).故选C.13.C14.7 2 [解析] A ,B 两点关于MN 对称,因而P A +PC =PB +PC ,即当B ,C ,P 在一条直线上时,P A +PC 的值最小,即BC 的长就是P A +PC 的最小值.作BH ⊥CD 交CD 的延长线于点H .易求BH =EF =7,CH =7,则BC =7 2.15.解:如图,过点O 作OP ⊥CD 于点P ,连接OC ,则CD =2CP .∵AE =6 cm ,BE =2 cm ,∴AB =8 cm , ∴OB =OC =4 cm , ∴OE =4-2=2(cm). 在Rt △OPE 中,∵∠CEA =30°,∴OP =12OE =1 cm.在Rt △COP 中,CP =42-12=15(cm), ∴CD =2CP =215 cm.16.解:(1)设圆心为点O ,半径为R m ,连接OE 交AD 于点F ,连接OA ,OD ,由垂径定理的逆定理,得OF 垂直平分AD ,AF =6 m ,OF =R -(7-3)=(R -4)m. 由勾股定理,得 AF 2+OF 2=OA 2, 即62+(R -4)2=R 2,解得R=6.5,即圆弧AED所在圆的半径为6.5 m.(2)能通过.理由如下:GH=2.3 m,圆的半径OH=6.5 m,由勾股定理,得OG= 6.52-2.32≈6.08(m),点G与BC的距离约为7-6.5+6.08=6.58(m)>6.5 m,故这辆货运卡车能通过该隧道.。

人教版九年级上册数学《垂径定理》同步练习及答案

人教版九年级上册数学《垂径定理》同步练习及答案

24.1圆(第二课时)------垂径定理知识点1、垂径定理:垂直于弦的直径,而且均分弦所对的。

2、推论:均分弦(不是直径)的直径,而且均分弦所对的。

【特别注意: 1、垂径定理及其推论本质是指一条直线知足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶均分弦⑷均分弦所对的优弧⑸均分弦所对的劣弧五个条件中的两个,那么可推出此中三个,注意解题过程中的灵巧运用;2、圆中常作的协助线是过圆心作弦的垂线;3、垂径定理常用作计算,在半径 r 、弦 a、弦心 d、和拱高h 中已知两个可求此外两个】一、选择题1. 如图,在⊙O 中, OC⊥弦 AB于点 C, AB=4, OC=1,则 OB的长是()A.B.C.D.2. 如图,⊙O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不行能为().A.2B.3C.4D.5O·A M B3. 在半径为 5cm 的圆中,弦∥,=6cm,=8cm,则和的距离是().AB CD AB CD AB CDA.7cmB.1cmC.7cm或 4cmD.7cm或 1cm4. 如图, AB是⊙ O的弦,半径OA= 2,∠ AOB= 120°,则弦AB 的长是().B (A)22(B)23(C)5(D)35OA B5. 如图,AB是⊙ O的直径,弦CD⊥ AB,垂足为M,以下结论不建立的是()A. CM=DM B.CB DB C .∠ ACD=∠ ADC D . OM=MD6.如图,在半径为 5 的⊙ O 中, AB、 CD是相互垂直的两条弦,垂足为P,且 AB=CD=8,则OP的长为()A.3B.4 C.32D.427.如图,AB为⊙ O的直径,弦CD⊥ AB于E,已知CD=12, BE=2,则⊙ O的直径为()A. 8B. 10C. 16D. 208、如图是一圆柱形输水管的横截面,暗影部分为有水部分,假如水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为()A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 二、填空题1. 如图,是⊙O 的直径,是弦,⊥ ,垂足为,已知=5,则弦=.AB BC OD BC D OD AC CDA·BO2、如图 AB是⊙O的直径,∠ BAC=42°,点 D 是弦 AC的中点,则∠ DOC 的度数是度.3、如图, M是 CD的中点, EM⊥CD,若C D=4, EM=8,则所在圆的半径为.4、如图,在⊙O 中,弦 AB 垂直均分半径OC,垂足为D,若⊙O 的半径为2,则弦 AB的长为.5、如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P 在第一象限,P 与x 轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),P 的半径为13 ,则点P 的坐标为____________.6.如图, AB为⊙ O的直径, CD为⊙ O的一条弦, CD⊥AB,垂足为E,已知 CD=6, AE=1,则⊙0 的半径为.7.如图, AB是⊙ O的弦, OC⊥ AB于 C.若 AB=2 3, 0C=1,则半径 OB的长为.8.如图,⊙ O的半径为5,P 为圆内一点, P 到圆心 O的距离为4,则过 P 点的弦长的最小值是.PO︵︵9.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的 AB),点O是这段弧的圆心,C是 AB上一点,OC⊥ AB,垂足为D, AB=300m, CD=50m,则这段弯路的半径是m.D10. 如图,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰巧经过圆心O,则折痕 AB的长为cm .三、解答题1.如图, AB和 CD是⊙ O的弦,且AB=CD, E 、 F 分别为弦A B、 CD的中点,证明: OE=OF。

九年级数学:-垂径定理课堂测试卷(含答案)

九年级数学:-垂径定理课堂测试卷(含答案)

2020 九级数学上册圆圆的基本性质-垂径定理课堂测试卷一、选择题:1、如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于()A.8B.4C.10D.52、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,下列结论不成立的是()A.CM=DMB.CB=DBC.∠ACD=∠ADCD.OM=MD3、如图,⊙O的半径为5,AB为弦,OC⊥AB,垂足为C,如果OC=3,那么弦AB的长为()A.4B.6C.8D.104、下列判断正确的是( )A.平分弦的直径垂直于弦B.平分弦的直径必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D.平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦5、如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5°,OC=4,CD的长为()A.2B.4C.4D.86、一个隧道的横截面如图所示,它的形状是以点O为圆心,5为半径的圆的一部分,M是⊙O中弦CD的中点,EM经过圆心O交⊙O于点E.若CD=6,则隧道的高(ME的长)为()A.4B.6C.8D.97、如图,一圆弧过方格的格点A、B、C,在方格中建立平面直角坐标系,使点A的坐标为(﹣3,2),则该圆弧所在圆心坐标是()A.(0,0)B.(﹣2,1)C.(﹣2,﹣1)D.(0,﹣1)8、如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则OM的长的取值范围()A.3≤OM≤5B.4≤OM≤5C.3<OM<5D.4<OM<59、如图,⊙O的半径为2,弦AB=,点C在弦AB上,AC=AB,则OC的长为()A. B. C. D.10、如图,AB是⊙O的直径,半径OC⊥AB,点D是弧ACB上的动点(不与A、B、C重合),DE⊥OC,DF⊥AB,垂足分别是E、F,则EF长度()A. 变大B. 变小C. 不变D. 无法确定二、填空题:11、如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,DC=2cm,则OC= cm.12、如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,已知AB=5,BC=3,则圆心O到弦BC的距离是.13、如图,AB为⊙O的直径,CD⊥AB,若AB=10,CD=8,则圆心O到弦CD的距离为.14、如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,求AB长是.15、一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽0.8米,最深处水深0.2米,则此输水管道的半径是米.16、如图,AB是⊙O的弦,AB=10,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M、N分别是AB、BC的中点,则MN长的最大值是 .三、解答题:17、如图,⊙O的半径为5,AB为弦,OC⊥AB,交AB于点D,交⊙O于点C,CD=2,求弦AB的长.18、如图,在以点O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB交小圆于点C、D,求证:AC=BD.19、如图,已知AB是⊙O的弦,点C在线段AB上,OC=AC=4,CB=8.求⊙O的半径.20、每位同学都能感受到日出时美丽的景色.右图是一位同学从照片上剪切下来的画面,“图上”太阳与海平线交于A﹑B两点,他测得“图上”圆的半径为5厘米,AB=8厘米,若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟,求“图上”太阳升起的速度.参考答案1、D2、D3、C4、C5、C6、D.7、C8、A9、D10、C11、512、213、答案为:3;14、答案为:10.15、答案为:0.516、答案为:5.17、解:∵OC是⊙O的半径,OC⊥AB于点D,∴AD=BD=AB.∵OC=5,CD=2,∴OD=OC-CD=3.在Rt△AOD中,OA=5,OD=3,∴AD===4,∴AB=2AD=8.18、证明:过圆心O作OE⊥AB于点E,在大圆O中,OE⊥AB,∴AE=BE.在小圆O中,OE⊥CD,∴CE=DE.∴AE﹣CE=BE﹣DE.∴AC=BD.19、连接OA,过点O作OD⊥AB于点D.∵AC=4,CB=8,∴AB=12.∵OD⊥AB,∴AD=DB=6,∴CD=2.在Rt△CDO中,∠CDO=90°,∴OD=2.在Rt△ADO中,∠ADO=90°,由勾股定理,得OA=4,即⊙O的半径是4.20、解:连接OA,过点O作OD⊥AB,∵AB=8厘米,∴AD=AB=4厘米,∵OA=5厘米,∴OD==3厘米,∴海平线以下部分的高度=OA+OD=5+3=8(厘米),∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟,∴“图上”太阳升起的速度==0.5厘米/分钟.。

九年级数学《垂径定理及其应用》专题练习

九年级数学《垂径定理及其应用》专题练习

《垂径定理及其应用》小节基础练习知识点1、垂径定理的辨析垂径定理:垂直于弦的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧.换言之:(1)平分弦(不是直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧;(2)平分弦所对的两条弧的直径,垂直平分弦;(3)弦的垂直平分线,必过圆心且平分弦所对的两条弧.例1、看下列图形,是否能使用垂径定理?知识点2、垂径定理的应用例2、如图,1 400 多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)是 37 m ,拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m ,求赵州桥主桥拱的半径(精确到 0.1 m ).C D OA B变式训练1、如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为()A.2 B.4 C.6 D.82、已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图).(1)求证:AC=BD;(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆O到直线AB的距离为6,求AC的长.基础练习1.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,连接BC、BD,下列结论中不一定正确的是( )A.AE=BE B.=C.OE=DE D.∠DEB=90°2.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160cm,则油的最大深度为( )(A)40cm (B)60cm (C)80cm (D)100cm3.下列命题中,正确的是( )A、经过两点只能作一个圆B、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧C、圆是轴对称图形,任意一条直径是它的对称轴D、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧4.在半径为2的圆中,弦AC长为1,M为AC中点,过M点最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为 .5.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是12mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为9 mm,如图所示,则这个小孔的直径AB= mm.6.如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,点E是的中点,OE交BC于点D.连接AC,若BC=6,DE=1,则AC 的长为 .7.如图,点A,B,C在圆O上,OC⊥AB,垂足为D,若⊙O的半径是10cm,AB=16cm,则CD= cm.8.将一张半径为4的圆形纸片(如图①)连续对折两次后展开得折痕AB、CD,且AB⊥CD,垂足为M(如图②),之后将纸片如图③翻折,使点B与点M重合,折痕EF与AB相交于点N,连接AE、AF(如图④),则△AEF的面积是__________.9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P,则点P的坐标为__________.10.已知:如图,∠PAQ=30°,在边AP上顺次截取AB=3cm,BC=10cm,以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F 两点,求:(1)圆心O到AQ的距离;(2)线段EF的长.11.已知⊙O的半径为12cm,弦AB=16cm.(1)求圆心O到弦AB的距离;(2)如果弦AB的长度保持不变,两个端点在圆周上滑动,那么弦AB的中点形成什么样的图形?。

九年级数学垂径定理练习题

九年级数学垂径定理练习题

精品字里行间精品文档成功是必须的垂径定理练习题一一.选择题1、如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为( ) A 、10 B 、8 C 、6 D 、42.如图,已知⊙O 的半径为5,弦AB =6,M 是AB 上任意一点,则线段OM 的长可能是( )A .2.5B .3.5C .4.5D .5.53.高速公路的隧道和桥梁最多.图3是一个隧道的横截面,若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分,路面AB =10米,净高CD =7米,则此圆的半径OA =( )A .5B .7C .375D .3774.如图,圆弧形桥拱的跨度AB =12米,拱高CD =4米,则拱桥的半径为( )A .6.5米C .13米D .15米二.填空题1.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是10mm ,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ,如图所示,则这个小孔的直径AB是 mm .2.如图,⊙O 的半径OA =10cm ,弦AB=16cm ,P 为AB 上一动点,则点P 到圆心O 的最短距离为 cm . 3.如图,⊙O 的半径为5,弦8AB =,OC AB ⊥于C ,则OC 的长等于 .4.如图,某花园小区一圆形管道破裂,修理工准备更换一段新管道,现在量得污水水面宽度为80cm ,水面到管道顶部距离为20cm ,则修理工应准备内直径是 cm 的管道.5.如图5,点A B ,是⊙O 上两点,10AB =,点P 是⊙O 上的动点(P 与A B ,不重合)连结AP PB ,,过点O分别作OE AP ⊥于点E ,OF PB ⊥于点F ,则EF = .三.解答题已知:如图1,30PAC ∠=︒,在射线AC 上顺次截取AD =3cm ,DB =10cm ,以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点,求圆心O 到AP 的距离及EF 的长.垂径定理练习题二1、已知:AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点P ,CD =10cm ,AP:PB =1:5,则⊙O 的半径为_______。

部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图,有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度AB为12m,拱高CD为4m.(1)求拱桥的半径;(2)有一艘宽为5m的货船,船舱顶部为长方形,并高出水面3.4m,则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥,并说明理由.(1)根据垂径定理和勾股定理求解;(2)连接ON,OB,根据勾股定理即可得到结论.解:(1)如图,连接ON,OB.∵OC⊥AB,∴D为AB中点,∵AB=12m,∴BD=12AB=6m.又∵CD=4m,设OB=OC=ON=r,则OD=(r﹣4)m.在Rt△BOD中,根据勾股定理得:r2=(r﹣4)2+62,解得r=6.5.∴拱桥的半径为6.5m.(2)∵CD=4m,船舱顶部为长方形并高出水面3.4m,∴CE=4﹣3.4=0.6(m),∴OE=r﹣CE=6.5﹣0.6=5.9(m),在Rt△OEN中,EN2=ON2﹣OE2=6.52﹣5.92=7.44,∴EN m).∴MN=2EN=2×≈5.4m>5m.∴此货船能顺利通过这座拱桥.1.(2022•南海区校级一模)如图,武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧,桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连,其正下方的路面AB长度为300m,那么这些钢索中最长的一根为( )A.50m B.45m C.40m D.60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O,过O作OC⊥AB于C,交AB于D,连接OA,先由垂径定理得AC=BC=12AB=150,再由勾股定理求出OC=200,然后求出CD的长即可.【解题过程】解:设圆弧的圆心为O,过O作OC⊥AB于C,交AB于D,连接OA,如图所示:则OA=OD=250,AC=BC=12AB=150,∴OC=200,∴CD=OD﹣OC=250﹣200=50(m),即这些钢索中最长的一根为50m ,故选:A .2.(2022•旌阳区二模)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆,如图2,已知圆心O 在水面上方,且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米,⊙O 半径长为3米.若点C 为运行轨道的最低点,则点C 到弦AB 所在直线的距离是( )A .1米B .2米C .米D .(3+米【思路点拨】连接OC ,OC 交AB 于D ,由垂径定理得AD =BD =12AB =2(米),再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可.【解题过程】解:连接OC ,OC 交AB 于D ,由题意得:OA =OC =3米,OC ⊥AB ,∴AD =BD =12AB =2(米),∠ADO =90°,∴OD ==∴CD=OC﹣OD=(3即点C到弦AB所在直线的距离是(3故选:C.3.(2022•宣州区二模)如图所示的是一圆弧形拱门,其中路面AB=2m,拱高CD=3m,则该拱门的半径为( )A.53m B.2m C.83m D.3m【思路点拨】取圆心为O,连接OA,由垂径定理设⊙O的半径为rm,则OC=OA=rm,由拱高CD=3m,OD=(3﹣r)m,OD⊥AB,由垂径定理得出AD=1m,由勾股定理得出方程r2=12+(3﹣r)2,解得:r=53,得出该拱门的半径为53m,即可得出答案.【解题过程】解:如图,取圆心为O,连接OA,设⊙O的半径为rm,则OC=OA=rm,∵拱高CD=3m,∴OD=(3﹣r)m,OD⊥AB,∵AB=2m,∴AD=BD=12AB=1m,∵OA2=AD2+OD2,∴r2=12+(3﹣r)2,解得:r=5 3,∴该拱门的半径为53 m,故选:A.4.(2021秋•海淀区校级期中)数学活动课上,同学们想测出一个残损轮子的半径,小的解决方案如下:如图,在轮子圆弧上任取两点A,B,连接AB,再作出AB的垂直平分线,交AB于点C,交AB于点D,测出AB,CD的长度,即可计算得出轮子的半径.现测出AB=40cm,CD=10cm,则轮子的半径为( )A.50cm B.35cm C.25cm D.20cm【思路点拨】由垂径定理,可得出BC的长;连接OB,在Rt△OBC中,可用半径OB表示出OC的长,进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径,即可得出轮子的直径长.【解题过程】解:设圆心为O,连接OB.Rt△OBC中,BC=12AB=20cm,根据勾股定理得:OC2+BC2=OB2,即:(OB﹣10)2+202=OB2,解得:OB=25;故轮子的半径为25cm.故选:C.5.(2021秋•曾都区期中)在圆柱形油槽内装有一些油,油槽直径MN为10分米.截面如图,油面宽AB 为6分米,如果再注入一些油后,当油面宽变为8分米,油面AB上升( )A.1分米B.4分米C.3分米D.1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离.根据勾股定理求弦心距,作和或差分别求解.【解题过程】解:连接OA.作OG⊥AB于G,则在直角△OAG中,AG=3分米,因为OA=5cm,根据勾股定理得到:OG=4分米,即弦AB的弦心距是4分米,同理当油面宽AB为8分米时,弦心距是3分米,当油面没超过圆心O时,油上升了1分米;当油面超过圆心O时,油上升了7分米.因而油上升了1分米或7分米.故选:D.6.(2021秋•宁波期末)把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知EF=CD=6cm,则球的半径为( )A.3cm B.134cm C.154cm D.174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O,过点O作ON⊥AD于点N,延长NO交BC于点M,连接OF,由垂径定理得:NF=EN=12EF=3(cm),设OF=xcm,则OM=(4﹣x)cm,再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可.【解题过程】解:设球的平面投影圆心为O,过点O作ON⊥AD于点N,延长NO交BC于点M,连接OF,如图所示:则NF=EN=12EF=3(cm),∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴四边形CDNM是矩形,∴MN=CD=6cm,设OF=xcm,则OM=OF,∴ON=MN﹣OM=(6﹣x)cm,在Rt△ONF中,由勾股定理得:ON2+NF2=OF2,即:(6﹣x)2+32=x2,解得:x=15 4,即球的半径长是154cm,故选:C.7.(2022•鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求,设计了一个如图(1)所示的工件槽,其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点,该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图,已知⊙O的直径就是铁球的直径,AB是⊙O的弦,CD切⊙O于点E,AC⊥CD、BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为( )A .10cmB .15cmC .20cmD .24cm【思路点拨】连接OE ,交AB 于点F ,连接OA ,∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ,由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形,得出AB ∥CD ,AB =CD =16cm ,由切线的性质得出OE ⊥CD ,得出OE ⊥AB ,得出四边形EFBD 是矩形,AF =12AB =12×16=8(cm ),进而得出EF =BD =4cm ,设⊙O 的半径为rcm ,则OA =rcm ,OF =OE ﹣EF =(r ﹣4)cm ,由勾股定理得出方程r 2=82+(r ﹣4)2,解方程即可求出半径,继而求出这种铁球的直径.【解题过程】解:如图,连接OE ,交AB 于点F ,连接OA ,∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ,∴AC ∥BD ,∵AC =BD =4cm ,∴四边形ACDB 是平行四边形,∴四边形ACDB 是矩形,∴AB ∥CD ,AB =CD =16cm ,∵CD 切⊙O 于点E ,∴OE ⊥CD ,∴OE ⊥AB ,∴四边形EFBD 是矩形,AF =12AB =12×16=8(cm ),∴EF =BD =4cm ,设⊙O 的半径为rcm ,则OA =rcm ,OF =OE ﹣EF =(r ﹣4)cm ,在Rt△AOF中,OA2=AF2+OF2,∴r2=82+(r﹣4)2,解得:r=10,∴这种铁球的直径为20cm,故选:C.8.(2022•上海)如图所示,小区内有个圆形花坛O,点C在弦AB上,AC=11,BC=21,OC=13,则这个花坛的面积为 400π .(结果保留π)【思路点拨】根据垂径定理,勾股定理求出OB2,再根据圆面积的计算方法进行计算即可.【解题过程】解:如图,连接OB,过点O作OD⊥AB于D,∵OD⊥AB,OD过圆心,AB是弦,∴AD=BD=12AB=12(AC+BC)=12×(11+21)=16,∴CD=BC﹣BD=21﹣16=5,在Rt△COD中,OD2=OC2﹣CD2=132﹣52=144,在Rt△BOD中,OB2=OD2+BD2=144+256=400,∴S⊙O=π×OB2=400π,故答案为:400π.9.(2021秋•溧水区期末)在一个残缺的圆形工件上量得弦BC=8cm,BC的中点D到弦BC的距离DE=2cm,则这个圆形工件的半径是 5 cm.【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上,设圆心为0,连接OB,半径为R,再由垂径定理得BE=CE=12 BC=4(cm),然后由勾股定理得出方程,解方程即可.【解题过程】解:∵DE⊥BC,DE平分弧BC,∴圆心在直线DE上,设圆心为O,半径为Rcm,如图,连接OB,则OD⊥BC,OE=R﹣DE=(R﹣2)cm,∴BE=CE=12BC=4(cm),在Rt△OEB中,OB2=BE2+OE2,即R2=42+(R﹣2)2,解得:R=5,即这个圆形工件的半径是5cm,故答案为:5.10.(2022•柯桥区一模)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.其中卷九中记载了一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其意思是:如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,BE=1寸,CD=1尺,那么直径AB的长为多少寸?(注:1尺=10寸)根据题意,该圆的直径为 26 寸.【思路点拨】连接OC,由直径AB与弦CD垂直,根据垂径定理得到E为CD的中点,由CD的长求出DE的长,设OC =OA=x寸,则AB=2x寸,OE=(x﹣1)寸,由勾股定理得出方程,解方程求出半径,即可得出直径AB 的长.【解题过程】解:连接OC,∵弦CD⊥AB,AB为圆O的直径,∴E为CD的中点,又∵CD=10寸,∴CE=DE=12CD=5寸,设OC=OA=x寸,则AB=2x寸,OE=(x﹣1)寸,由勾股定理得:OE2+CE2=OC2,即(x﹣1)2+52=x2,解得x=13,∴AB=26寸,即直径AB的长为26寸,故答案为:26.11.(2021秋•瑞安市期末)某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为24m,AB离地面的高度AE=10 m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18m,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等都等于17m,则MN= 10 m.【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG=8m,AG=12m,CH=1m,根据勾股定理求得半径,进而利用勾股定理求得MH,即可求得MN.【解题过程】解:设CD于AB交于G,与MN交于H,∵CD=18m,AE=10m,AB=24m,HD=17m,∴CG=8m,AG=12m,CH=1m,设圆拱的半径为r,在Rt△AOG中,OA2=OG2+AG2,∴r2=(r﹣8)2+122,解得r=13,∴OC=13m,∴OH=13﹣1=12m,在Rt△MOH中,OM2=OH2+MH2,∴132=122+MH2,解得MH2=25,∴MH=5m,∴MN=10m,故答案为10.12.(2022•荆州)如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20cm,底面直径BC=12cm,球的最高点到瓶底面的距离为32cm,则球的半径为 7.5 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).【思路点拨】设球心为O,过O作OM⊥AD于M,连接OA,设球的半径为rcm,由垂径定理得AM=DM=12AD=6(cm)然后在Rt△OAM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解题过程】解:如图,设球心为O,过O作OM⊥AD于M,连接OA,设球的半径为rcm,由题意得:AD=12cm,OM=32﹣20﹣r=(12﹣r)(cm),由垂径定理得:AM=DM=12AD=6(cm),在Rt△OAM中,由勾股定理得:AM2+OM2=OA2,即62+(12﹣r)2=r2,解得:r=7.5,即球的半径为7.5cm,故答案为:7.5.13.(2021秋•温州校级月考)如图是郑州圆形“戒指桥”,其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB=20米,D为圆上一点,DC⊥AB于点C,且CD=BC=14米,则该圆的半径长为 26 米.【思路点拨】过O作ON⊥AB于N,过D作DM⊥ON于M,由垂径定理得AN=BN=12AB=10(米),再证四边形DCNM是矩形,则MN=CD=14米,DM=CN=BC+BN=24(米),设该圆的半径长为r米,然后由题意列出方程组,解方程组即可.【解题过程】解:过O作ON⊥AB于N,过D作DM⊥ON于M,如图所示:则AN=BN=12AB=10(米),∠ONC=∠DMN=90°,∵DC⊥AB,∴∠DCN=90°,∴四边形DCNM是矩形,∴MN=CD=14米,DM=CN=BC+BN=24(米),设该圆的半径长为r米,由题意得:ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14,解得:r=26ON=24 OM=10,即该圆的半径长为26米,故答案为:26.14.(2021秋•金安区校级期末)往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度.【思路点拨】连接OB,过点O作OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,先由垂径定理求出BD的长,再根据勾股定理求出OD 的长,进而可得出CD的长.【解题过程】解:过点O作OC⊥AB于点D,交弧AB于点C.∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600=300mm,∵⊙O的直径为680mm∴OB=340mm…(5分)∵在Rt△ODB中,OD=160(mm),∴DC=OC﹣OD=340﹣160=180(mm);答:油的最大深度为180mm.15.(2021秋•惠城区校级期中)如图,⊙O为水管横截面,水面宽AB=24cm,水的最大深度为18cm,求⊙O的半径.【思路点拨】由垂径定理可知AD=12cm,设⊙O的半径为rcm,则OD=(18﹣r)cm,在Rt△AOd中,再利用勾股定理即可求出r的值.【解题过程】解:作OD⊥AB于D,交⊙O于E,连接OA,∴AD=12AB=12×24=12cm,设⊙O的半径为rcm,则OD=ED﹣OE=(18﹣r)cm,在Rt△AOD中,由勾股定理得:OA2=OD2+AD2,即r2=(18﹣r)2+122,解得:r=13,即⊙O的半径为13cm.16.(2021秋•奈曼旗期中)如图所示,测得AB是8mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,求这个圆的直径.【思路点拨】过O作OC⊥AB于C,交优弧AB于D,连接AO,由垂径定理得AC=BC=12AB=4(mm),设⊙O的半径为rmm,则OC=CD﹣OD=(8﹣r)mm,然后在Rt△AOC中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解题过程】解:如图,过O作OC⊥AB于C,交优弧AB于D,连接AO,则AC=BC=12AB=4(mm),CD=8mm,设⊙O的半径为rmm,则OC=CD﹣OD=(8﹣r)mm,在Rt△AOC中,由勾股定理得:42+(8﹣r)2=r2,解得:r=5,即⊙O的半径为5mm,∴⊙O的直径为10mm.17.(2021秋•阜阳月考)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载:“今有圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”译为:“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深1寸(ED=1寸),锯道长1尺(AB=1尺=10寸).问这块圆形木材的直径(AC)是多少?”如图所示,请根据所学的知识解答上述问题.【思路点拨】设⊙O的半径为x寸.在Rt△ADO中,AD=5寸,OD=(x﹣1)寸,OA=x寸,则有x2=(x﹣1)2+52,解方程即可.【解题过程】解:设⊙O的半径为x寸,∵OE⊥AB,AB=10寸,∴AD=BD=12AB=5寸,在Rt△AOD中,OA=x,OD=x﹣1,由勾股定理得x2=(x﹣1)2+52,解得x=13,∴⊙O的直径AC=2x=26(寸),答:这块圆形木材的直径(AC)是26寸.18.(2021秋•高新区期中)某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需要确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面图;(要求尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=32cm,水最深处的地方高度为8cm,求这个圆形截面的半径.【思路点拨】(1)根据尺规作图的步骤和方法做出图即可;(2)先过圆心O作半径OD⊥AB,交AB于点D,设半径为r,得出AD、OD的长,在Rt△AOD中,根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.【解题过程】解:(1)如图所示;(2)作OD⊥AB于D,并延长交⊙O于C,则D为AB的中点,∵AB=32cm,∴AD=12AB=16.设这个圆形截面的半径为xcm,又∵CD=8cm,∴OC=x﹣8,在Rt△OAD中,∵OD2+AD2=OA2,即(x﹣8)2+162=x2,解得,x=20.∴圆形截面的半径为20cm.19.(2021秋•黔西南州期末)如图,在一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为60m,拱高PM为18m,当洪水泛滥到跨度只有30m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有4m,即PN=4m时,试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【思路点拨】由垂径定理可知AM=BM、A′N=B′N,利用AB=60,PM=18,可先求得圆弧所在圆的半径,再计算当PN =4时A′B′的长度,与30米进行比较大小即可.【解题过程】解:设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA、OA′,设半径为x米,则OA=OA′=OP,由垂径定理可知AM=BM,A′N=B′N,∵AB=60米,∴AM=30米,且OM=OP﹣PM=(x﹣18)米,在Rt△AOM中,由勾股定理可得AO2=OM2+AM2,即x2=(x﹣18)2+302,解得x=34,∴ON=OP﹣PN=34﹣4=30(米),在Rt△A′ON中,由勾股定理可得A′N=16(米),∴A′B′=32米>30米,∴不需要采取紧急措施.20.(2021秋•余干县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚,跨度AB=3.2米,拱高CD=0.8米(C为AB的中点,D为弧AB的中点).(1)求该圆弧所在圆的半径;(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF,求支撑杆EF的高度.【思路点拨】(1)设弧AB所在的圆心为O,D为弧AB的中点,CD⊥AB于C,延长DC至O点,设⊙O的半径为R,利用勾股定理求出即可;(2)利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长,再求出EF的长即可.【解题过程】解:(1)设弧AB所在的圆心为O,D为弧AB的中点,CD⊥AB于C,延长DC经过O点,则BC=12AB=1.6(米),设⊙O的半径为R,在Rt△OBC中,OB2=OC2+CB2,∴R2=(R﹣0.8)2+1.62,解得R=2,即该圆弧所在圆的半径为2米;(2)过O作OH⊥FE于H,则OH=CE=1.6﹣0.4=1.2=65(米),OF=2米,在Rt△OHF中,HF== 1.6(米),∵HE=OC=OD﹣CD=2﹣0.8=1.2(米),∴EF=HF﹣HE=1.6﹣1.2=0.4(米),即支撑杆EF的高度为0.4米.21.如图①,圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素的韵味.图②是一款拱门的示意图,其中C为AB中点,D为拱门最高点,线段CD经过圆心,已知拱门的半径为1.5m,拱门最下端AB=1.8m.(1)求拱门最高点D到地面的距离;(2)现需要给房间内搬进一个长和宽为2m,高为1.2m的桌子,已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同,且高度为0.5m 2.236)【思路点拨】(1)如图②中,连接AO.利用勾股定理求出OC即可;(2)如图②﹣1,弦EF=2m,且EF⊥CD,连接OE.求出CJ即可.【解题过程】解:(1)如图②中,连接AO.∵CD⊥AB,CD经过圆心O,∴AC=CB=0.9m,∴OC= 1.2(m),∴CD=OD+PC=1.5+1.2=2.7(m),∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m;(2)如图②﹣1,弦EF=2m,且EF⊥CD,连接OE.∵CD⊥EF,CD经过圆心,∴EJ=JF=1m,≈1.118,∴OJ=2∴CJ=1.2﹣1.118=0.082(m),∵0.5>0.082,∴搬运该桌子时能够通过拱门.22.(2021秋•姑苏区校级月考)诗句“君到姑苏见,人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州.小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥,现测得桥下水面AB宽度16m时,拱顶高出水平面4m,货船宽12m,船舱顶部为矩形并高出水面3m.(1)请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径;(2)小勇在解决这个问题时遇到困难,请你判断一下,此货船能顺利通过这座拱桥吗?说说你的理由.【思路点拨】(1)根据垂径定理和勾股定理求解;(2)连接ON,利用勾股定理求出EN,得出MN的长,即可得到结论.【解题过程】解:(1)如图,连接OB.∵OC⊥AB,∴D为AB中点,∵AB=16m,∴BD=12AB=8(m),又∵CD=4m,设OB=OC=r,则OD=(r﹣4)m.在Rt△BOD中,根据勾股定理得:r2=(r﹣4)2+82,解得r=10.答:此圆弧形拱桥的半径为10m.(2)此货船不能顺利通过这座拱桥,理由如下:连接ON,∵CD=4m,船舱顶部为长方形并高出水面3m,∴CE=4﹣3=1(m),∴OE=r﹣CE=10﹣1=9(m),在Rt△OEN中,由勾股定理得:EN∴MN=2EN=<12m.∴此货船B不能顺利通过这座拱桥.。

九年级数学:垂径定理练习(第2课时)(含答案)

九年级数学:垂径定理练习(第2课时)(含答案)

九年级数学:垂径定理练习(第2课时)(含答案)1.平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.2.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.3.垂径定理解读:(1)过圆心;(2)平分弦(不是直径);(3)垂直于弦;(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项,则必具备另外三项.A组基础训练1.下列命题正确的有( )①垂直于弦的直径平分弦②平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧③平分弦的直线必过圆心④弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图,⊙O的弦AB=8,M是AB的中点,且OM=3,则⊙O的半径等于( )A.8 B.2 C.10 D.5第2题图3.如图,已知⊙O的半径为2cm,弦AB长23cm,则这条弦的中点C到弦所对劣弧的中点D 的距离为( )第3题图A .1cmB .2cm C.2cm D.3cm4.如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB ︵,点O 是这条弧所在圆的圆心,C 是AB ︵的中点,OC 与AB 相交于点D.已知AB =120m ,CD =20m ,那么这段弯道的半径为( )第4题图A .200mB .2003mC .100mD .1003m5.如图,AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB 与CD 相交于点E.若要得到结论AB⊥CD ,还需添加的条件是________________________________.(不添加其他辅助线)第5题图6.如图,AB ,CD 是⊙O 的直径,D 是AE ︵的中点,AE 与CD 交于点F ,若OF =3,则BE 的长为________.第6题图7.如图所示,AB 是半圆的直径,O 是圆心,C 是半圆上一点,E 是AC ︵的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC =8cm ,DE =2cm ,则OD 的长为________.第7题图8.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(10,0),点B 的坐标为(8,0),点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形,则点C 的坐标为________.第8题图9.如图,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC=13,BC=24,求⊙O的半径.第9题图10.(绍兴中考)如图1,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图2是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=40cm,脸盆的最低点C到AB的距离为10cm,求该脸盆的半径.第10题图B组自主提高11.如图所示,某游乐场的摩天轮⊙P的最高处A到地面l的距离是23m,最低处B到地面l的距离是3m,从B处乘摩天轮绕一周需3分钟,小明从B处乘摩天轮一周的过程中,当他到地面l的距离恰好是18m的时候应为第________分钟.第11题图11.如图,AB ,CD 是半径为5的⊙O 的两条弦,AB =8,CD =6,MN 是直径,AB ⊥MN 于点E ,CD ⊥MN 于点F ,P 为EF 上的任意一点,则PA +PC 的最小值为________.第12题图13.已知:如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点,点D 、E 分别为AB ︵、AC ︵的中点,连结DE ,分别交AB 、AC 于点F 、G ,求证:AF =AG.第13题图C 组 综合运用14.如图,隧道的截面由圆弧AED 和矩形ABCD 构成,矩形的长BC 为12m ,宽AB 为3m ,隧道的顶端E (圆弧AED 的中点)高出道路(BC )7m.(1)求圆弧AED 所在圆的半径;(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆超高货运卡车高6.5m ,宽2.3m ,问这辆货运卡车能否通过该隧道.第14题图3.3 垂径定理(第2课时)【课堂笔记】1.不是直径【课时训练】1-4.BDAC5.CE =DE 或AC ︵=AD ︵或BC ︵=BD ︵6.67.3cm8.(1,3)9.连结OA 交BC 于点D,连结OC,OB,∵AB =AC =13,∴AB ︵=AC ︵,∴∠AOB =∠AOC ,∵OB =OC,∴AO ⊥BC,CD =12BC =12.在Rt △ACD 中,AC =13,CD =12,所以AD =132-122=5,设⊙O 的半径为r,则在Rt △OCD 中,OD =r -5,CD =12,OC =r,所以(r -5)2+122=r 2,计算得出r =16.9.答:⊙O 的半径为16.9.第10题图10.如图,设圆的圆心为O,连结OA,OC,OC 与AB 交于点D,设⊙O 半径为R,∵OC ⊥AB,∴AD =DB =12AB =20,∠ADO =90°,在Rt △AOD 中,∵OA 2=OD 2+AD 2,∴R 2=202+(R -10)2,∴R =25,即该脸盆的半径为25cm.11.1或212.7 2第13题图13.连OD、OE,交AB、AC于M、N,∵OD=OE=r,∴∠ODE=∠OED,而D,E分别为弧AB,弧AC的中点,∴OD、OE分别垂直于AB、AC,则有∠DFB=∠EGC,∴∠AFG=∠AGF,∴AF=AG.14.(1)设圆心为点O,半径为R,连结OE交AD于F点,连结OA,OD,由垂径定理,得OF垂直平分AD,AF=6,OF=R-(7-3)=R-4,由勾股定理,得AF2+OF2=OA2,即:62+(R-4)2=R2,解得R=6.5米;(2)能通过,但要小心.车宽GH=2.3,圆的半径OH=6.5,由勾股定理,得OG= 6.52-2.32≈6.08,G点与BC的距离为7-6.5+6.08=6.58>6.5;能通过.第14题图。

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1
垂径定理练习题一
一.选择题
1、如图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为( ) A 、10 B 、8 C 、6 D 、4
2.如图,已知⊙O 的半径为5,弦AB =6,M 是AB 上任意一点,则线段OM 的长可能是( )
A .2.5
B .3.5
C .4.5
D .5.5
3.高速公路的隧道和桥梁最多.图3是一个隧道的横截面,若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分,路面AB =10
米,净高CD =7米,则此圆的半径OA =( )
A .5
B .7
C .375
D .37
7
4.如图,圆弧形桥拱的跨度AB =12米,拱高CD =4米,则拱桥的半径为( )
A .6.5米
B .9米
C .13米
D .15米
二.填空题
1.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径,假设钢珠的直径是10mm ,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ,如图所示,则这个小孔的直径AB 是 mm .
2.如图,⊙O 的半径OA =10cm ,弦AB=16cm ,P 为AB 上一动点,则点P 到圆心O 的最短距离为 cm . 3.如图,⊙O 的半径为5,弦8AB =,OC AB ⊥于C ,则OC 的长等于 .
4.如图,某花园小区一圆形管道破裂,修理工准备更换一段新管道,现在量得污水水面宽度为80cm ,水面到管道顶部距离为20cm ,则修理工应准备内直径是 cm 的管道. 5.如图5,点A B ,是⊙O 上两点,10AB =,点P 是⊙O 上的动点(P 与A B ,不重合)连结AP PB ,,过点O
分别作OE AP ⊥于点E ,OF PB ⊥
于点F ,则EF = .
三.解答题
已知:如图1,30PAC ∠=︒,在射线AC 上顺次截取AD =3cm ,DB =10cm ,以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两
点,求圆心O 到AP 的距离及EF 的长.
垂径定理练习题二
1、已知:AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点P ,CD =10cm ,AP:PB =1:5,则⊙O 的半径为_______。

2、在⊙O 中,P 为其内一点,过点P 的最长的弦为8cm ,最短的弦长为4cm ,则OP =____ _。

3、已知圆的半径为5cm ,一弦长为8cm ,则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3,则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8cm ,另一条弦长为 6cm ,则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图所示,在Rt △ABC 中,∠C =900,AC =3,BC =4,以点C 为圆心,CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ,求AB 和AD 的长。

7、如图,一条公路的转弯处是一段圆弧
,点O 是
的圆心,E 为
上一点,OE ⊥CD ,垂足为F .已
知CD = 600m ,EF = 100m ,求这段弯路的半径.
8、我市某居民区一处圆形地下水管道破裂,修理工人准备更换一段新管
道,经测量得到如图所示的数据,修理工人应准备内径多大的管道?若此题只知下面弓形的高和AB 的长,你仍然会做吗?
C A
B
D E
O
A
B 60cm
10cm
C
O D
E F
A B O
M
第2题图3
O D A B C 第4题图
O A D B C E F
P 图1
2
垂径定理练习题三
1、如图,在⊙O 中,OA 是半径,弦AB =310cm ,D 是弧AB 的中点,OD 交AB 于点C ,若∠OAB =300
,则⊙O 的半径____cm 。

2、在⊙O 中,半径OA =10cm ,AB 是弦,C 是AB 弦的中点,且OC:AC=3:4,则AB=_____。

3、在弓形ABC 中,弦AB=24,高CD=6,则弓形所在圆的半径等于 。

4、半径为4cm 的⊙O 中,弦AB=4cm,那么圆心O 到弦AB 的距离是 。

5、⊙O 的直径为10cm ,圆心O 到弦AB 的 距离为3cm ,则弦AB 的长是 。

6、半径为2cm 的圆中,过半径中点且垂直于这条半径的弦长是 。

7、如图,在⊙O 中,弦AB 的长为8cm ,圆心O 到AB 的距离为3cm , 求⊙O 的半径.
8、如图所示,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知,AE =6cm ,EB =2cm ,∠CEA =300,求CD 的长。

9、工厂的厂门是由一个半圆与矩形组成的。

如图所示,AD =2.3米, CD =2米,现有一辆集装箱卡车要开进工厂,卡车高2.5米,宽1.6米, 请你通过计算说明这辆卡车能否通过厂门?
垂径定理练习题四
1.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点,AB =10cm ,CD =6cm ,则AC 的长为_____。

2、如图,AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB 于E ,CD=10,BE=1,则AB= 。

3、如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,CD ⊥AB 于E ,则下列结论中不一定成立的是( ) A .∠COE =∠DOE B .CE =DE C .OE =BE D .BD =BC
4、已知:如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C ,D 两点。

求证:AC =BD 。

5、某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米。

现有一艘宽3米、船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?
6.如图是“明清影视城”的圆弧形门,黄红同学到影视城游玩,很想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,20AB CD ==cm ,200BD =cm ,且AB CD ,与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形

A
B
M
N
E
F
C
D
O
A
B
C
D
E O A
B
D
C 1题图
5题图
6题图
C
D
A
O
B
E
O
A B
C
D 4题图
·
O
A
B
E
E
O
.
A
C
D
B
A
B
C
D
的最高点离地面的高度是多少?3。

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