九年级数学垂径定理
垂径定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
●O
侧的两个半圆重合，点A与点B
AM
B C 重合，AM与BM重合，
D
线段：AM=BM
·O
⌒ AC和B⌒C重合, ⌒AD和B⌒D重合.
M A
B 等弧： A⌒C=B⌒C, A⌒D =B⌒D.
D
证明：
C
连接OA、 则OA=OB. ∵CODB⊥, AB ∴∠OMA=∠OMB
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
即CD所在直线是AA'的垂直平分线 ∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直 A 线CD的对称点A'，即:
'
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直 线都是圆的对称轴.
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
你能发现图中有那些相等的线 段和弧？为什么？理由.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两
｝ ｛ 题设
（1）直径 （2）垂直于弦
直径
结论
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
垂径定理:
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
题设
A
●O
M
由 ① CD是直径 B ② CD⊥AB
可推得
D
结论
①AM=BM,
②A⌒C=B⌒C, ③A⌒D=B⌒D.
定理辨析
CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，
则CD= 8 .
A
●O
CM
D
B
3、在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为 直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半
径是 13 .
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。
人教版九年级数学上册24.垂径定理课件
方法归纳：
解决有关弦的问题时，
经常连结半径；过圆心
作一条与弦垂直的线段
等辅助线，为应用垂径
E
定理创造条件。
2m
垂径定理经常和勾股定 理结合使用。
在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的
距离d、弦长a、弓形高h中，任意知道
两个量，可根据 垂径定理 构造直角
三角形求出其余两个量。
C
(a)2 d 2 r2
• 学习目标： 1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有 关的证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思 想和方法，在实验、视察、猜想、抽象、概括、 推理的过程中发展逻辑思维能力和识图能力．
• 学习重点： 垂径定理及其推论．
实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，
重复几次，你发现了什么？由此你能得到什 么结论？
r
2
O
或( a )2 （r h）2 r 2 2
rd A ha
B
D
例2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相 等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证： 四边形ADOE是正方形．
C
E
·O
A
D
B
小结评学
１、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都 是它的对称轴．
2、垂径定理及其推论：
直径平分弦
于点Ｅ，则AＥ=BＥ( √ )
４则、AＥ如=图BＥ(4，)，Ａ︵Ｄ⊙＝O中Ｂ︵，Ｄ弦(AB√⊥半) 径ＯD于点Ｅ，
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｏ
Ｏ
Ｅ Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
ＢＡ Ｅ
ＢＡ
Ｄ 如图（1）
Ｄ 如图（2）
Ｏ Ｅ ＢＡ
Ｄ如图（3）
28.4 垂径定理 课件(共20张PPT) 数学冀教版九年级上册
第二十八章 圆
1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程. (重点)2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题. (难点)
学习目标
问题 赵州桥的半径是多少？
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
情景导入
知识点一：垂径定理
问题1 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
新
线段：AE=BE
·
O
A
B
C
E
D
证明:如图所示,连接OA,OB.
在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.
解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r. ∴ CD为⊙O的直径，AB⊥CD， ∴ AE=BE. ∴AB=8，∴ AE=BE=4， 在 Rt△OAE 中，OA2=OE2+AE2， OE=OD－ED，即r2 = (r－2)2+42. 解得r=5，从而2r=10. 所以直径CD的长为10.
例2 解决求赵州桥拱半径的问题：
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论1
几何语言：
你还有其他的结论吗？你发现了什么？
∵ CD是直径，AE=BE，
初中数学常见的命题和定理垂径定理
初中数学中，垂径定理是一个常见且重要的命题和定理，它在解决相关几何问题中起到了关键的作用。
下文将从垂径定理的概念入手，深入解析其原理和应用，并列举一些相关的例题，以便读者更加深入地理解和掌握这一重要定理。
一、垂径定理的概念垂径定理是指：如果在一个圆上，直径的两端连接圆上任意一点，那么这两条线段所夹的角都是直角。
简而言之，垂径定理可以理解为描述直径和圆上一点所构成的角是直角的规律。
二、垂径定理的证明1. 引理：直径是任意一点的最短距离。
这是基本的几何定理，无需证明。
2. 证明：设在圆上有直径AB，圆上的一点C。
连接AC和BC两条线段。
假设∠ACB不是直角，而是锐角或钝角。
那么，以AC为直径作圆，由于ACB不是直角，必定有另一个点D在圆上，使得∠ADB是锐角或钝角。
根据引理，AD+DB要小于或等于AE+EB，而AE+EB等于AB，所以AD+DB小于或等于AB，这与AD+DB等于AB矛盾。
由此可知，∠ACB必须是直角。
三、垂径定理的应用垂径定理在实际问题中有着广泛的应用。
通过运用垂径定理，我们可以解决许多与圆相关的问题，如圆的切线问题、直线与圆的位置关系问题等。
1. 圆的切线问题由垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此连接切点和圆心的线段垂直于切线。
这一性质是圆的切线问题得以解决的基础。
2. 直线与圆的位置关系问题利用垂径定理，可以判断直线与圆的位置关系。
当直线与圆相切时，由于切点和圆心连线垂直于切线，可根据垂径定理得出直线与圆相切的结论。
四、垂径定理的例题1. 已知AB是⊙O的直径，C,D是圆周上的两点，AC与BD相交于E，割⊙O的弦AE与BE的关系为（）A. AE=BEB. AE>BEC. AE<BED. 无法确定解析：根据垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此以AE为直径的⊙O必定经过B点，以BE为直径的⊙O必定经过A 点，所以EA=EB。
2. 如图，在直径AB上取一点C，过点C作弦CD，与⊙O交于点E，连接AE、EB，若CD与AB垂直，求证：AC=CB。
浙教版数学九年级上册3.3垂径定理(共13张PPT)
复习
M
●
A
1、圆弧：圆上任意两点之间的部分
2、等弧：能够完全重合的圆弧
3、弦：连结圆上任意两点的线段
4、圆具有轴对称性
O
B
实验操作
1、取出课前准备的圆，折出这个圆的一条对称轴
2、请用折叠的方法在圆上找到两个对称点
你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
O
·
E
A
B
D
几何演绎
如图,理由是：
梳理
A
C
M
└
●
B
O
D
条件
由①CD是直径
②CD⊥AB
可推得
结论
③AM＝BM
⌒ ⌒
④AC＝BC
⌒ ⌒
⑤AD＝BD
归纳小结
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的弧.
如图∵ CD是直径，
CD⊥AB，
B
∴AM ＝ BM，
C
A
M└
O
●
⌒
⌒
AC ＝BC，
⌒
⌒
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
问题一：
⌒
例1、已知AB如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
E
⌒
分析:要平分AB,只要画垂
直于弦AB的直径.而这条直径应在弦A源自的垂直平分线上.A
作法:
1. 连结AB;
⌒
2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒
∴点E就是所求AB的中点.
B
问题二：
例2：如图已知在⊙ O 中 弦AB=16，半径0B=10，
连接OA,OB, 则OA＝OB.
人教版九年级数学上册课件：24.1.2垂径定理(共15张PPT)
船能过拱桥吗
AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
AD 1 AB 1 7.2 3.6,
2
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
A
D
E C
O
B
自学指导（二）
认真阅读课本8 2页赵州桥问题，并思考：
1、解决赵州桥求半径问题做了什么辅助过线圆？心作弦的垂线 2、由图24.1-8知主桥拱是__A_B____, 跨度是__弦_A_B__，拱 高是__C_D__，弦心距是__O_D___，半径是__O_A_，_O_B___ ， AD= _B_D___.
任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：
必做题：课本P83练习1、2题。 选做题：课本P89第2题。 思考题：课本P89第8题。
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥弦的垂直平分线一定经过圆心
2、如图，直径为10cm的圆中，圆心到弦 AB的距离OM为4cm，求弦AB的长。
O
A
M
B
相信自己，我能行
破镜重圆
自学指导（一）
认真阅读课本81页—82页“赵州桥问 题” 上面的内容: 1、圆是______图形， __________都是它 的对称轴，对称轴有____条.
2、垂径定理的内容是_________________.
3、对照24.1-6用符号语言表示垂径定理 ？ 4、垂径定理的推论是什么？
人教版九年级上册数学课件24.2.2垂径定理
答：⊙O的半径为5cm.
2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
与你一起分享！！！ 答：⊙O的半径为5cm.
即
R2=18.
4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
O E A 9 0 E A D 9 0 O D A 9 0
∴四边形ADOE为矩形，
AE1AC， AD1AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７、2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2、4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的 货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
②平分弦的直线必垂直弦
你（能2）①发现线③图段中：有A②哪E=些④B等E量⑤关系平?与同分伴弦说说(你不的是想法直和理径由).的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两D 条弧.
垂弧就直：可①于 Ａ 推弦Ｃ出④的＝其直Ｂ余径Ｃ三②平个分结，③弦论Ａ,Ｄ.⑤并＝且Ｂ平Ｄ平分弦分所的弦两所条弧对. 的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 平直分径①弦 Ｃ所Ｄ⑤对平的分两弦②条Ａ弧Ｂ③的，直并④线且经过另圆一心,并条且弧垂直. 平分弦.
过点M作直径CD.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
C
A
┗●
B 由 CD是直径
M
●O
九年级数学圆第三节垂径定理知识梳理及典例分析
第三节垂径定理知识点梳理【知识点一】垂径定理1.圆的轴对称：圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
3.弧的中点：分一条弦成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点。
4.弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。
【知识点二】垂径定理的逆定理1.定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
2.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。
典例分析【题型一】利用垂径定理进行计算【例1】如图,在⊙O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD丄AB ,0E丄AC,垂足分别为D,E.若 AC=AB=2 cm,求⊙O的半径.【变式1】如图⊙O的直径AB =16 cm,P是0B的中点,∠APD=30°,求CD的长.【题型二】在直角坐标系中利用垂径定理求点的坐标【例1】如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2) ,点A的坐标为(2,0) ,则点B的坐标为_______【变式1】如图在平面直角坐标系中，点O为坐标原点,点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A 两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为13,则点P的坐标为_________【题型三】应用垂径定理等分弧【例1】如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友做玩具？【变式1】小云出黑板报时遇到了一个难题,在版面设计过程中需要将一个半圆面三等分.如图,请帮她设计一个合理的等分方案,要求尺规作图,保留作图痕迹。
【题型四】垂径定理的实际应用【例1】某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问:修理人员应准备内径多大的管道?【变式1】如图是一条水平铺设的直径为2 m的通水管道横截面,其水面宽1.6 m,则这条管道中此时最深为__________m【题型五】利用垂径定理求最值【例1】如图 , ⊙O的半径为5 ,弦AB 的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段0M长的最小值为( ).A.2B.3C.4D.5【变式1】如图,在⊙O 中,AB 是⊙O 的直径,AB = 8 cm,AC =CD =BD ,M 是AB 上一动点,CM十DM 的最小值为______cm【题型六】与垂径定理有关的分类讨论问题【例1】已知点 A,B,C 都在⊙O 上,且 AB=AC,圆心O 到BC 的距离为6 cm,圆的半径为l4 cm,求AB 的长.【变式1】已知⊙O 的直径CD=10 cm ，AB 是⊙O 的弦,AB= 8 cm,且AB 丄CD,垂足为点 M,则 AC 的长为( ). A.52cm B.54cm C.52cm 或54cm D.32cm 或34cm【变式2】已知,⊙O 的半径是5,AB, CD 为⊙O 的两条弦,且 AB ∥CD, AB=6, CD = 8,求 AB, CD 间的距离。
垂径定理九年级知识点
垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。
下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。
1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。
其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。
2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。
首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。
根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。
3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。
下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。
首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。
b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。
根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。
c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。
根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。
垂径定理课件(26张PPT)冀教版数学九年级上册
知识点 2 垂径定理的推论
如图所示，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. C
【思考】
(1)若AE=BE，能判断CD与AB垂直吗？
O
AD 与 BD (或 AC 与 BC )相等吗？说明你的理由. A
EB
D
(2)若 AD = BD (或 AC =BC )，能判断CD与AB垂直吗？
AE与BE相等吗？说明你的理由.
C
O EB D
结论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的两条弧.
能不能用所学过的知识证明你的结论？
C
O
A
EB
D
已知：如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且
CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=BE，AD BD，AC BC.
证明：如图，连接OA，OB.
C
在△OAB中，∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴ AD BD . ∵∠AOC=180°－∠AOE，∠BOC=180°－∠BOE，
解：(1)CD⊥AB，AD BD (或 AC BC ). C
理由：连接OA，OB，如图所示，则△OAB是等 腰三角形，
∵AE得 AD BD， AC BC .
A
EB
(2)CD⊥AB，AE=BE. 理由： ∵ AD BD，∴∠AOD=∠BOD， 又∵OA=OB，OE=OE， ∴△AEO≌△BEO，
A
E C
O
D
B
拓宽视野： 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个， 那么一定具备其他三个： （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
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圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个
问题.
垂径定理
▪ AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
垂径定理
▪ 如图,小明的理由是: ▪ 连接OA,OB,则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
C
∴AM=BM.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M
●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
垂径定理的逆定理
▪ 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 A
OA2 AD2 OD 2 ,
37.4
C
D
B
即R2 18.72 (R 7.2)2.
R
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
O
讲解 垂径定理的应用
例2 已知：如图１，在以O为 圆心的两个同心圆中，大圆的
O.
弦AB交小圆于C，D两点。
垂直于弦的直径
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
问题的?
圆的对称性
▪ 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无
。
C
.
O
A
E
B
变式4：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．
若OE =9， DE =6则，AO =
，AB =
。
C
.
O
A
E
B
变式5：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若AB=40，DE=10，则OE=
，AO=
。
小结：在圆的半径，弦长， 弦心距及拱高四个量中，只 要已知两个量，我们就可以 借助勾股定理求出另外的两 个量。
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
C
A
B
E
O
O
A
B
E
图形分析：D
1、△ABC是等腰三角形
D
（OE是△ABC的AB边上的高， AB边上的中线， ∠AOB的角平分线。）
2、Rt △AOE≌ Rt △BOE（勾股定理）
A CBAD来自.OB.O
C
D
作业
谢谢各位
E AC
DB
求证：AC＝BD。
方法归纳：
图１
解决有关弦的问题时，经常连结半径；过
圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为
应用垂径定理创造条件。
变式1：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O.
AC
DB
图２
变式2：如图：OA=OB， AC=BD吗？为什么？
O
CA
BD
图３
提高练习: 已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12， CD=16，则AB和CD的距离为 2或14 ．
C
.
O
A
例1、
E
B
如图，AB是⊙O的一条弦，做D 直径CD，使CD⊥AB，
垂足为E．若AB=8，AO=5则，OE= ，DE=
。
思路指导：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定 理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.
C
.
O
A
E
B
变式1：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
▪ 老师提示:
▪ 垂径定理是圆 中一个重要的
结论,三种语言 要相互转化,形 成整体,才能运 用自如.
垂径定理的逆定理
▪ AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
▪ 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
A M└ ●O
D
B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
垂径定理三种语言
▪ 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
若AB=16，OE=6则，AO=
，DE=
。
C
.
O
A
E
B
变式2：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若OE =5，AO=13则，AB=
，DE=
。
CC
.
O
A
E
B
变式3：
D
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使
CD⊥AB，垂足为E．
若DE =8，AO=20则，OE=
，AB=
赵州石拱桥
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
11
AD AB 37.4 18.7,
22
OD OC DC R 7.2.