人教版九年级数学--《垂径定理》教学设计
2024版人教版九年级上册《垂径定理》教案
人教版九年级上册《垂径定理》教案目录•课程介绍与目标•知识回顾与铺垫•垂径定理的引入与证明•垂径定理在几何问题中的应用•垂径定理在生活中的实际应用•课堂练习与巩固提高•总结回顾与拓展延伸01课程介绍与目标教材版本及内容概述教材版本人教版九年级上册内容概述本节课主要学习垂径定理及其推论，包括圆的性质、直径与弦的关系等。
垂径定理是圆的重要性质之一，在解决与圆有关的问题时具有广泛的应用。
知识与技能过程与方法情感态度与价值观教学目标与要求掌握垂径定理及其推论，理解圆的性质，能够运用垂径定理解决与圆有关的问题。
通过观察、实验、推理等活动，培养学生的探究能力和数学思维能力。
感受数学之美，体会数学在解决实际问题中的应用价值，培养学生的数学兴趣和自信心。
教学方法与手段教学方法采用启发式教学法，引导学生通过观察、实验、推理等活动主动探究垂径定理及其推论。
教学手段利用多媒体课件、几何画板等辅助教学工具，帮助学生更好地理解垂径定理及其推论。
同时，鼓励学生动手实践，通过实验操作验证垂径定理的正确性。
02知识回顾与铺垫圆的性质及定义圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是最长的弦，且一个圆有无数条直径。
直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
在同一个圆中，所有的半径都相等。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
弦的长度可能等于直径，也可能小于直径。
030201直径、半径、弦等概念顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
圆心角圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧的长度与圆心角的度数成正比。
弧在同一个圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。
弦与弧的关系圆心角、弧、弦之间的关系03垂径定理的引入与证明垂径定理的表述垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
九年级数学上册《垂径定理》教案、教学设计
4.通过解决实际问题，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，能运用这些知识解决一些简单问题。但在垂径定理这一部分，学生可能会在理解与应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，要注意以下几点：
-在复杂问题中，如何识别和应用垂径定理，以及如何将垂径定理与圆的其他性质相结合解决综合问题。
（二）教学设想
1.教学策略：
-采用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证、总结的学习过程，自主发现垂径定理。
-利用多媒体和实物模型辅助教学，增强学生的直观体验，帮助学生建立起对圆的几何直觉。
-设计梯度性问题，由浅入深，逐步引导学生掌握垂径定理的运用，提高学生的解题技巧。
-总结反思：引导学生总结垂径定理的特点和应用方法，反思学习过程中的困惑和收获。
3.教学评价：
-采用形成性评价和终结性评价相结合的方式，关注学生的学习过程和结果。
-通过课堂问答、小组讨论、课后作业、阶段测试等多种形式，全面评估学生对垂径定理的理解和应用水平。
-鼓励学生自我评价和同伴评价，培养学生的自我反思能力和批判性思维。
3.关注学生的情感态度，激发学习兴趣，培养克服困难的意志。
4.突出数学与生活的联系，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要性。
在此基础上，教师应制定针对性的教学策略，帮助学生在掌握垂径定理的基础上，提高解决实际问题的能力，培养他们热爱数学、勇于探索的精神。
五、作业布置
为了巩固学生对垂径定理的理解和应用，以及提高他们的解题技能，特此布置以下作业：
1.学生在理解垂径定理时，可能会对定理的证明过程感到困惑决问题时，可能会对如何找出垂径和弦的关系感到迷茫。教师应通过典型例题，帮助学生总结解题方法，提高解题能力。
垂径定理教学设计人教版数学九年级上册
垂径定理三、证明猜想，归纳定理四、新知强化，巩固定理问题：问题：在圆形纸片上画一条直径CD，在直径CD上取一点E（点E与O不重合），过点E画一条弦AB，然后沿CD对折，观察线段AE是否等于BE？如何才能使得直径CD平分弦AB？你发现了什么结论？提出猜想：根据以上的研究和图，我们可以大胆提出这样的猜想（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．验证猜想：教师用电脑课件演示图中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
1．证明猜想：猜想是否正确，还有待于证明。
引导学生从等腰三角形和圆的对称性两方面寻找证明思路.2．归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.尝试练习1.下列图形中能否得到AE=BE，为什么？回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图形.在对圆是轴对称图形证明的基础上，通过折纸，体验垂径定理的形成过程，帮助学生分析垂径定理的条件和结论。
同时又为学习推论作好准备.用两个简单的练习题来进一步加深学生对垂径定理的理解.对运用垂径定理来解决赵州桥的问题打下基础.多媒体投影OCD AB EAE BDCDAC BCAD BD=⎧⎫⎪⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩是圆的直径于⌒⌒⌒⌒EODCBAABDCEO图1 图2 图3 图4 2．如图,已知⊙O 的半径OB=5，OP ⊥AB ，垂足为P ，且OP=3，则AB=______ . 探究3：在圆上任意作一条弦AB ，你能否找到平分弦AB 的直径CD? 思考：此时AB 与CD 的位置关系？ 想一想： 如果弦AB 是过圆心的弦呢?平分弦AB 的直径CD 一定会垂直弦AB 吗？ 思考：已知CD 是直径，且平分弦AB,能否得到 CD ⊥AB ，且平分弧ACB 及弧AB? 猜想： CD 是圆O 的直径 AE=BE A BD CE O A B E O C DP OB A垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问题 ：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥, 距今有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？方法总结：1、作辅助线：作垂直、连半径2、构造直角三角形1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=20，CD=16，那么线段OE 的长为（ ）. A.4 B.6 2．已知⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到弦AB 的距离（弦心距）为3cm ，求⊙O 的半径。
《垂径定理》教学设计教案
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。
1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。
1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。
2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。
第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。
3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。
3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。
3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。
第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。
4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。
第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。
5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。
第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。
6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。
第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。
7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。
7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。
7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。
7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。
第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。
8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。
《垂径定理》教学设计
垂径定理教学设计教学目标：（1）理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进展计算和证明；（2）进一步培育学生观看问题、分析问题和解决问题的力气；（3）通过圆的对称性，培育学生对数学的审美观，并激发学生对数学的宠爱．教学重点、难点：重点：垂径定理及其应用于计算和证明；难点：由圆的轴对称性进展垂径定理的探究．教学具体过程：学生已学过圆的根本概念和直角三角形勾股定理，本节的主要内容是圆的轴对称性和垂径定理.在教学活动中，不管那个层次的学生，都通过学生动手试验、观看、理解圆的轴对称性，并进一步组织学生试验、观看、觉察问题，探究和解决问题，完成对垂径定理的学习。
教学内容学生活动教师活动设计目的一、引入课题：引导学生按以以下图在圆形的纸片上折叠C COO 1、学生用折叠的方法探究圆的对称性。
1、教师引导学生觉察圆的轴对称性。
通过“演示试验——观察——感性——理性”引出垂径定理EA B2、在教师的D D 引导下，学生2、教师提问：图中有哪些对折再折叠通过折叠，得到圆的轴对称性：1、是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、猜测：图中有相等的线段和弧：AE=EB，= ，= 观看、分析、觉察和提出问题。
相等的线段和弧？二、垂径定理的证明：1、：在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为 E ． 求证：AE=EB ，=， = ．1、学生在教师的引导下进展口头推理论证。
1、教师在学生论证的根底上，进展主要论证步骤的板书。
1、通过对垂径定理的证明，论证了定理的正确性。
C 学生在学习 到了利用圆 O的 轴 对 称E性，用对折AB法进展证明 D证明：连结OA 、OB ，则OA=OB ． 又∵CD ⊥AB ，∴直线CD 是等腰△OAB 的对称轴，又是⊙O 的对称轴． ∴沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，A 点和B点重合，AE 和 BE 重合， 、 分别和 、 重合．∴AE=BE ，= ， = ．的方法。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对垂径定理的理解普遍较好，他们能够通过观察和实验操作，发现直径与弦的关系。但在定理的证明部分，有些学生显得有些吃力，需要我通过图示和步骤分解来逐步引导。这让我意识到，在今后的教学中，我应该更加注重培养学生的逻辑推理能力和几何直观。
在讲授垂径定理的应用时，我尽量用生活中的实例来说明，让学生感受到数学知识在实际生活中的重要性。这一点从学生的反馈来看，效果还是不错的，他们能够主动思考定理在生活中的应用。但我也注意到，部分学生在解决综合性较强的题目时，还是显得有些力不从心。这说明在今后的教学中，我需要进一步加强学生对知识综合运用能力的培养。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画圆或者观察圆的时候，有没有注意过直径与弦的关系？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定的证明，我会通过图示和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际画圆和测量，学生可以直观地看到直径和弦的关系。
数学人教版九年级上册垂径定理教学设计
D 垂直于弦的直径（第一课时）教学目标：知识与技能：1、研究圆的对称性,掌握垂径定理及其推论.2、学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题 过程与方法：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。
情感态度与价值观：在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。
教学重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明。
教学难点；垂径定理及其推论的运用。
教 具：圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件教学过程：问题与情境一、 创设情境导入新颗将你手中的圆沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？将你手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心吗？赵州桥是我国古代桥梁史的骄傲，我们能求出主桥拱的半径吗？二、合作交流探究新 圆的对称性（探究）圆是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？垂径定理（思考）如图 ：AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使C D⊥AB ，垂足E 。
这个图形是对称图形吗你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。
你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
你能用几何方法证明这些结论吗？你能用符号语言表达这个结论吗？垂径定理的推论如上图，若直径CD 平分弦AB 则直径CD 是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）如果弦AB 是直径，以上结论还成立吗？简单应用 如图，在⊙O 中，直径M N ⊥AB 于C ，则下列结论错误的是（ ） A 、AC=BC B、AN=BN C 、OC=CN D 、AM=BM典型应用如上图。
在⊙O中弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离OD=3cm，则⊙O 的半径为cm，连结什么可得到一个直角三形？利用什么知识可以解得半径。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
垂直于弦的直径（1）
难
点
教
具
圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件
教学过程
问题与情境师生行为备注与
修改
创
设
情
境
导
入
新
课
（赵州桥桥拱问题）1300 多年前，我国隋代建造的
赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的
弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也
叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1
米）你能帮助解决这个问题吗？
2.将你
手中
的圆
沿圆
心对折，你会发现圆是一个什么图形？
3.将手中的圆沿直径向上折，你会发现折痕是
圆的一条弦，这条弦被直径怎样了？
4.一个残缺的圆形物件，你能找到它的圆心
吗？
前一个问题作为
问题情境，激发
学生学习兴趣，
引导学生进一步
的学习。
后三个问题可以
由学生动手操
作，并观察结果，
得到初步结论。
拓展练习
已知⊙O中弦AB∥CD 求证：
AC＝BD
解决引入问题：
如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主
桥拱半径吗?
提示：此中直角三角形
AOD中只有AD是已知
量，但可以通过弦心距、
半径、拱高的关系来设
未知数，利用勾股定理
列出方程。
小结升华与作业●小结升华
（1）本节课你学到了哪些数学知识？
（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了
哪些数学方法？
（3）这些方法中你又用到了哪些数学思
想？
●作业布置
分层作业
如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半
径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD
＝l，则弦AB的长是多少？
教师提出问题，
学生回顾本节课
所学知识，自己
进行小结，养成
梳理知识的习
惯。
D
C
B
O
A
．
M
C D
A B
O
N
。