初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1
人教版数学九年级上册《24.1.2垂直于弦的直径》教学设计1一. 教材分析《24.1.2垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册的一节重要内容。
本节内容主要介绍了垂径定理及其应用。
教材通过实例引导学生探究圆中垂直于弦的直径的性质，并运用这一性质解决一些实际问题。
本节内容既是前面所学知识的延续，也为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。
但是，他们对圆的性质和应用的理解还不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，逐步引导学生理解和掌握垂径定理，并能够运用这一定理解决实际问题。
三. 教学目标1.让学生理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决一些实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。
四. 教学重难点1.重难点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中发现垂径定理的规律，并能够一般性地表述这一规律。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论、总结等方式发现和理解垂径定理。
2.运用多媒体辅助教学，通过动画演示和实例分析，帮助学生直观地理解垂径定理。
3.采用分组合作学习的方式，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养他们的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学多媒体课件和教学素材。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用垂径定理解决实际问题。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考圆中垂直于弦的直径的性质。
例如，在一个圆形水池中，有一根绳子绕着水面漂浮，绳子的两端分别固定在圆形水池的两侧，求绳子的中点与水池中心的距离。
2.呈现（10分钟）通过多媒体展示垂径定理的证明过程，让学生直观地理解垂径定理。
同时，引导学生观察和思考垂径定理的适用范围和条件。
初中数学九年级24.1.2垂径定理导学案(一)
C BD O A 垂径定理导学案(一)【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.2.利用垂径定理解决一些实际问题．【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。
【导学过程】一．创设情景 引入新课如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题）二、新知导学'（一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）探究二：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．（1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么（2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。
垂径定理：|文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
（题设，结论）符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E∴____=_____，_____=______，_____=______。
(三) 探究三：用垂径定理解决问题已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。
|(四) 探究四：垂径定理的推论文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。
符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______∴____=_____，_____=______，_____=______。
(五)利用新知 问题回解赵州桥AB=8，CD=2，求半径。
人教版九年级数学24.1.2：垂径定理(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对垂径定理的理解普遍较好，他们能够通过观察和实验操作，发现直径与弦的关系。但在定理的证明部分，有些学生显得有些吃力，需要我通过图示和步骤分解来逐步引导。这让我意识到，在今后的教学中，我应该更加注重培养学生的逻辑推理能力和几何直观。
在讲授垂径定理的应用时，我尽量用生活中的实例来说明，让学生感受到数学知识在实际生活中的重要性。这一点从学生的反馈来看，效果还是不错的，他们能够主动思考定理在生活中的应用。但我也注意到，部分学生在解决综合性较强的题目时，还是显得有些力不从心。这说明在今后的教学中，我需要进一步加强学生对知识综合运用能力的培养。
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在画圆或者观察圆的时候，有没有注意过直径与弦的关系？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对垂径定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决与圆相关的几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调垂径定的证明，我会通过图示和步骤分解来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际画圆和测量，学生可以直观地看到直径和弦的关系。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
人教版数学九年级上册同步导学案-24.1.2垂直于弦的直径导学案
《24.1.2垂直于弦的直径》导学案课题垂直于弦的直径数学年级九年级上册知识目标1.掌握垂径定理及其推导过程。
2. 利用垂径定理解决圆的一般问题。
重点难点重点：垂径定理及其运用难点：垂径定理及其运用教学过程知识链接什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？圆也是轴对称图形吗？怎样验证一个图形是轴对称图形，是否圆也具有轴对称的性质呢？今天这节课我们一起来探索相关知识，板书课题。
合作探究活动一、拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形。
有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．活动二、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？结论：AE=BE,即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即=,=.试一试证明你的发现！已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．∴AE＝BE，你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？（1）垂径定理：（2）符号语言：∵AB是⊙O的又∵CDAB⊥∴DECE= = ； =_________我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试：例如：①直径过圆心③平分弦推出②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧证明这个结论。
（这个证明方法类似上面的证法，教师点评）形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．类比推论1你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!小组之间讨论，最后教师归纳总结：垂径定理及推论小结：垂径定理的几个基本图形，教师展示ppt，垂径定理中出现的常见三角形，用于计算：在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．例、我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。
24.1.2垂径定理(1)
24.1.2垂直于弦的直径（1） 班级： 姓名：学习目标：1.通过画图和观察，发现垂径定理，了解垂径定理的证明方法，会简单运用垂径定理.2.培养合情推理能力，发展空间观念.学习重点和难点：1. 重点：垂径定理。
2．难点：垂径定理的证明。
一、自主学习1.:垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的几何语言：∵AB 为⊙O 的直径 ，AB ⊥CD∴DP= , =⋂ DB ，=⋂ DA （垂径定理）二、巩固训练1．下列说法正确的是( )A ．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B ．平分弦的直径垂直于弦C ．垂直于直径的直线平分这条直径D ．弦的垂直平分线经过圆心 2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是( )A.AC ︵＝AD ︵B.BC ︵＝BD ︵C ．OE ＝BED ．CE ＝DE3. 如图，AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ，则CE= ，⋂AC = .（第3题） （第4题） （第5题）4.如图，OC ⊥AB 于点C ，AC=3，则BC= ，AB= .5.如图，在⊙O 中，半径r ＝10，弦AB ＝12，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 长的最小值是( )A ．10B ．16C ．6D ．86.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于( )A ．4.1米B ．4.0米C ．3.9米D ．3.8米7.在⊙O 中，弦AB 的长为16cm ，圆的半径是10cm ，求圆心O 到AB 的距离。
解：连接AO ，作OE ⊥AB 于E∵OE 经过⊙O 的圆心，OE ⊥AB ∴AE= = cm （ ）在Rt △AOE 中，∵OE 2= （ ）∴OE= = 答：OE 的长为ABCO.8.证明：重直于弦的直径平分弦.已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB. 求证：AE=BE.证明：连结OA ，OB.9. 如图，已知在⊙O 中，（1）弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径（2）弦AB 的长为6厘米，⊙O 的半径为5厘米，求圆心O 到AB 的距离（3）⊙O 的半径为10厘米，圆心O 到AB 的距离为6厘米，求弦AB 的长拓展延伸：好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB 宽度16 m 时，拱顶高出水平面4 m ，货船宽12 m ，船舱顶部为矩形并高出水面3 m.(1)请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径．(2)小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．E ADC BO.。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》说课稿1一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章圆的一部分，它是圆的性质中的重要定理之一。
本节课的主要内容是引导学生探究并证明圆中垂径定理，即圆中垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
这个定理在解决圆的相关问题时具有重要作用，为学生进一步学习圆的性质和圆的方程打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和证明有一定的理解。
他们对圆的概念和性质有一定的了解，但可能对垂径定理的理解还不够深入。
在学习本节课时，学生需要通过观察、思考、探究、证明等过程，理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、思考、探究、证明等过程，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生通过对垂径定理的学习，增强对数学的兴趣和自信心，培养坚持不懈、严谨治学的态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够通过证明过程，理解并掌握垂径定理的证明方法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生观察、思考、探究、证明。
2.教学手段：利用多媒体演示和实物模型，帮助学生直观地理解垂径定理。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考，激发学生的学习兴趣。
2.新课引入：介绍垂径定理的概念，引导学生观察和思考垂径定理的性质。
3.探究与证明：学生分组进行探究，通过观察、实验、推理等方法，引导学生自己发现并证明垂径定理。
4.讲解与解释：教师对学生的探究结果进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
5.练习与巩固：学生进行一些相关的练习题，巩固对垂径定理的理解和运用。
6.总结与拓展：学生总结垂径定理的内容和证明方法，并进行一些拓展问题的讨论。
九年级数学上册 24.1.2 垂径定理学案（1）
24.1.2 垂径定理（1）教学目标：1、使学生通过观看实验明白得圆的轴对称性；2、把握垂径定理，明白得垂径定理的推证进程；重点：明白得圆的轴对称性难点：垂径定理的推证进程教学进程一、知识频道（交流与发觉）1创设情境观看赵州桥及所给数据，你能求出赵州桥拱的半径吗？这需要用到一个重要的定理：垂径定理2想一想1）若是一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部份能够相互重合，那么那个图形叫做________；这条直线叫做________．2）等腰三角形是轴对称图形吗？答：3 试一试用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几回，你发觉了什么？答：4 悟一悟：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？答：例已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．求证：AE=EB，= ，=C O A B M N 证明：连结OA ，OB ，那么OA=OB ．又CD ⊥AB ，∴直线CD 是等腰△OAB 的对称轴，又是 ⊙O 的对称轴．因此沿着直径CD 折叠时，CD 双侧的两个半圆重合，A 点和B 点重合，AE 和BE 重合，、 别离和 、 重合． 因此， 从而取得圆的一条重要性质．5总一总：垂径定理垂直于弦的直径平分这条 ，而且平分弦所对的两条 。
反过来取得推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于 ，而且平分弦所对的 。
二 、 方式频道1、以下命题错误的选项是（ ）A 垂直于弦的直径平分这条弦B 弦的中垂线必通过圆心C 平分弧的直径平分这条弧所对的弦D 平分弦的直径平分这条弦所对的弧二、如图，在⊙O 中（填写你以为正确的结论）①假设MN ⊥AB ，垂足为C ，MN 为直径，那么 , ,②假设AC ＝BC,MN 为直径,A B 不是直经，那么 ， ，．三、利用垂径定明白得决问题 例1：如图7-10，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm.求⊙O 的半径分析：要求⊙O 的半径，连结OA ，只要求出OA 的长就能够够了，因为已知条件点O 到AB 的距离为3cm ，因此作OE ⊥AB 于E ，由 定理解：连结OA ，作OE ⊥AB ，垂足为E∵OE⊥AB，∴（）．∵AB=8cm，∴AE=又∵OE=3cm，在Rt△AOE中,OA=因此⊙O的半径为．。
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D O A 垂径定理导学案(一)
【学习目标】1.根据圆的对称性探究垂径定理，掌握垂径定理.
2.利用垂径定理解决一些实际问题．
【学习关键】区分“垂径定理”的题设与结论。
【导学过程】
一．创设情景 引入新课
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为 m ，求赵州桥主桥
拱的半径（精确到 m ）．（书本82页例题）
二、新知导学
（一）探究一：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么 结论：圆是_____对称图形，_______________是它的对称轴。
（二）探究二：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为E ．
（1）如图是轴对称图形吗如果是，其对称轴是什么
（2）用折叠法猜测图中有哪些相等的线段和弧如何验证 相等的线段：______________ 相等的弧： _____=______；_____=______。
垂径定理：
文字语言：垂直于弦的直径_______，并且__________________。
（题设，结论） 符号语言：∵CD 是⊙O_____，AB 是⊙O______，且CD__AB 于E
∴____=_____，_____=______，_____=______。
(三) 探究三：用垂径定理解决问题
已知：⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，
求⊙O 的半径。
归纳：圆中常用辅助线——作弦心距，构造Rt △.弦（a ）、
半径（r ）、弦心距（d ），三个量关系为 。
(四) 探究四：垂径定理的推论
文字语言：平分弦（ ）的直径_______，并且______ ______。
符号语言：∵AB 是⊙O_____， _____=______
∴____=_____，_____=______，_____=______。
(五)利用新知 问题回解
赵州桥AB=8，CD=2，求半径。
书本82页例题
三、巩固练习，拓展提高
1.如图，两圆都以点O 为圆心，求证:AC=BD
2.已知：⊙O 中弦AB ∥CD 。
求证：AC ＝BD
3.圆的平行两条弦长分别为6cm 、8cm,圆的半径为5cm, 求平行两弦之间的距离
四、我的收获 C E D O。