2019高职高考数学复习-向量的内积及其运算
→
→
→
→
【答案】C
8.已知|a|2=1,|b|2=2,(a-b)· a=0,则a与b的夹角为 A.30° B.45° C.60°
( ) D.90°
【答案】B
9.若向量a⊥b,则一定有 A.|a+b|=|a|+|b| C.|a+b|=|a-b|
( ) B.|a+b|=|a|-|b| D.|a-b|=|a|+|b|
→
→
→
【分析】 根据������������=������������+ AC| =| = |������������ + ������������|������, ������������可得| ������������+ ������������| 从而可以运用上两例的方法求解. → 2 → → 2 → → 2 → 【解】 ∵| + | =| | + 2 · + | ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������| =9+2× 3× 5× cos120° +25=19
( 3) 内积的性质
①如果 e 是单位向量, 则 a·e=e·a=| a| cos<a, e>;
2 ②a⊥b⇔a·b=0; ③a·a=| a| 或| a| = ������ ·������;
④cos<a, b>=|������ |������|; ⑤| a·b| ≤| a| | b| .
2.向量内积的运算律 ( 1) a·b=b·a; ( 2) λ( a·b) =( λa) ·b=a·( λb) ; ( 3) ( a+ b) ·c=a·c+ b·c. 【说明】 法的结合律”. 一般地, ( a·b) ·c≠a·( b·c) .也就是说, 向量内积没有“乘
【答案】C
10.已知| a| =2, | b| =1, a与b A.2 B.2 ������ C.6
������ 之间的夹角为������ , 则向量| a-4b| =
(
)
D.12
【答案】B
二、填空题 11.若 a·b=-8, | a| =4, | b| =2, 则<a, b>= 180°
→ →
������· ������
【例题精解】 【例1】 已知a· b=-8,|a||b|=16,求<a,b>.
������· ������ ������ ∵cos<a, b>=|������ |������|=-������, 且 ������������ ������
【解】 求出, 故
0≤<a, b>≤π, ∴<a, b>=
【答案】A
→
→
)
6.若a与b均为单位向量,下列命题为真命题的是 ( A.a=b B.a· b=1 C.若a∥b,则a=b D.|a Nhomakorabea2=|b|2
)
【答案】D
7.在四边形 ABCD 中, 且������������·������������=0, 则四边形 ������������=������������, ABCD 一定是 ( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形
2
→
→
→
→
→
→
→
∴������������·������������=0, 即������������⊥������������, 故∠ABC=90°
【点评】 此题也可由向量加、减法, 构造平行四边形 ABCD, 可得 其对角线相等, 从而确定 ABCD 是矩形, ∠ABC=90°.
→
→
→
→
【同步训练】 一、选择题 1.a与b是表示不同的非零向量,则下列命题为真命题的是 ( ) A.a· b表示一个向量 B.a· b表示一个实数 C.|a· b|=|a|· |b| D.<a,b>越大,a· b也越大
【例3】
已知|a|=6,|b|=8,<a,b>=120°,求|a+b|2
【分析】 |a+b|2=(a+b)· (a+b),从而用例2的方法求解. 【解】 |a+b|2=(a+b)· (a+b)=|a|2+2a· b+|b|2 =36+2×6×8×cos120°+64=52
【例 4】 在△ABC 中, 已知| =3, | =5, ∠ABC=60°, 求| . ������������| ������������| ������������|
.
������ 的夹角为 ������ , 且| a| =2, | b| =4, 则
.
20
15.已知| a| =11, | b| =23, | a-b| =30, 则| a+ b| =
.
三、解答题 16.已知|a|=3,|b|=2,<a,b>=120°,求|a+b|.
【解】 | a+ b| =
������
7.3 向量的内积及其运算
【复习目标】 1.理解向量内积的概念与性质. 2.掌握向量内积的运算律,能用向量的内积解简单平面几 何问题.
【知识回顾】 1.向量内积的概念与性质 ( 1) 两向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b, 作������������=a, 则∠AOB 是向量 a 与 b ������������=b, 的夹角, 记作<a, b>.规定 0°≤<a, b>≤180° 【说明】
17.已知|a|=1,|b|=2,若a-b与a垂直,求a与b的夹角.
【解】
������ ������
18.若a与b均为单位向量,且<a,b>=60°,求证:(2b-a)⊥a.
【证明】
∵(2b-a)· a=2b· a-|a|2
������ 2 =2 × 1× 1× -1 =0 ������
∴(2b-a)⊥a
【分析】 由∠ABC=<������������, ������������>可联想到“找向量������������、������������的关 系”; 已知式是向量的长度关系, 可根据公式| a|=a· a 转化成向量之间的关 系, 从而找到解决问题的突破口. → → → 【解】 ∵| | =| ������������ ������������ ������������| → → → → → → → → → → ∴( ) · ( ) = · = ( + ) · ( + ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������)
→ →
①a 与 b 同向时, <a, b>=0°;
②a 与 b 反向时, <a, b>=180°; ③a⊥b 时, <a, b>=90°
( 2) 内积的定义
a·b=| a| | b| cos<a, b>
【说明】
①a·b 的结果是一个实数, 可以等于正数、负数、零;
②| b| cos<a, b>叫做 b 在 a 方向上正射影的数量.
→
→
→
→
→
→
→
∴| = |������������ + ������������|������= ������������ ������������|
【点评】 求未知向量的长可以根据向量的加法转化为已知向 量的和的形式, 然后再求向量长的平方, 开方即可得.
→
→
→
【例 5】 在△ABC 中, 已知| =| , 求∠ABC 的大小. ������������-������������| ������������|
【点评】 两非零向量的夹角常由向量内积的定义公式变形
������· ������ cos<a, b>=|������ |������|也叫做向量的夹角公式.
【例2】 已知|a|=2,|b|=5,<a,b>=60°,求: (1)(a+b)(a-b) (2)(2a+b)(a-2b)
【解】 (1)(a+b)(a-b)=a· a-a· b+b· a-b· b =|a|2-|b|2=22-52=-21 (2)∵|a|=2,|b|=5,<a,b>=60° ∴ a· b=2×5×cos60°=5 (2a+b)(a-2b)=2|a|2-3a· b-2|b|2=2×22-3×5-2×52=-57 【点评】 式. 运用向量内积的性质、运算律及向量内积的定义公
)
【答案】A
4.若 a·b=5 ������, | a| =4, | b| =2.5, <a, b>= ( A.30° B.45° C.60° D.120°
)
【答案】A
5.△ABC 中, 若������������·������������<0, 则△ABC 是 ( A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.形状不能确定
【答案】B
2.已知向量a· b 的夹角为120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)· a= ( ) A.3 B.9 C.12 D.13
【答案】D
3.若| a| =5, | b| =6, <a, b>=60° , 则 a·b= ( A.15 B.15 ������ C.15 ������ D.10
.
| = ������������|
向量内积的解析-概述说明以及解释
向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。
在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。
向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。
也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。
向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。
这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。
2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。
这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。
3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。
这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。
4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。
这里，u 表示向量u的长度。
向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。
在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。
在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。
在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。
通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。
未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。
1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。
每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。
第一部分是引言部分。
在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。
内积的概念及内积公式
内积的概念及内积公式内积这个概念在数学中可是个很有趣的家伙呢！咱先来说说啥是内积。
简单来讲，内积就是两个向量之间的一种运算，通过它能得到一个数值。
想象一下，有两个向量，就像两个小伙伴，它们之间的内积就像是在计算这两个小伙伴相互作用的某种“力量”。
比如说，在二维平面上，有向量 A = (a1, a2) ，向量 B = (b1, b2) ，那它们的内积公式就是 A·B = a1*b1 + a2*b2 。
这就好比两个小伙伴 A 和 B ，各自有自己的“本事”（坐标值），通过这个公式就能算出它们一起合作能产生的“效果”（内积的值）。
我给您讲讲我曾经遇到的一件事，来帮助您更好地理解内积。
有一次，我在课堂上讲内积，有个学生就特别迷糊，一直问我：“老师，这内积到底有啥用啊？”我想了想，就跟他说：“你看啊，假如你要把一个箱子从这儿搬到那儿，你用力的方向和你移动的距离，这两个结合起来，就可以用内积来算你做了多少功。
”然后我在黑板上画了个简单的图，标上力的大小和方向，还有移动的距离，用内积公式一算，这孩子恍然大悟：“哦！原来是这样啊！”内积的应用可广泛啦！在物理学中，计算功就是一个典型的例子。
力和位移都是向量，它们的内积就能算出力对物体做功的多少。
再比如，在信号处理中，内积可以用来衡量两个信号的相似程度。
如果两个信号的内积值大，就说明它们比较相似；内积值小，就说明差异较大。
在数学里，内积还有很多有趣的性质。
比如，内积满足交换律，也就是 A·B = B·A ，这就像两个小伙伴，不管谁先谁后，相互作用的“力量”是一样的。
还有正定性，就是自己和自己的内积总是大于等于零的，而且只有当自己是零向量的时候，内积才等于零。
这就好像一个人，如果自己有真本事（不是零向量），那自己的价值（内积）肯定是正的。
内积还和向量的长度以及夹角有关系呢！两个非零向量的内积除以它们的长度的乘积，就得到了它们夹角的余弦值。
向量内积的定义及运算规律经典实用
arcco[sx, y]
xy 称为n维向量 x与y的夹角 .
当[x, y]0时,称向量 x与y正交. 若x0,则x与任何向量都. 正交
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若 n维向 a1,量 a2, ,ar是一组两两 零向 ,则 量 a1,a2, ,ar线性.无关 定义 设 n维 向 e1,e2 量 , ,er是 向 量 V(V 空 Rn)间 的 一,如 个e果 1,基 e2, ,er两 两,则 正e称 1,交 e2, , er是 V的 一 个 规 . 范 正 交 基
2
;
( 2 ) 令 2 k 1 2 ,使 2 与 1 得 正 ,得 交
k[1,2]
1, 2
1 2
1 6
2
1 1
2
,
0
2
1 2
0
6 6
.
(3 )令 3 k 11 k 223 ,且 3 与 2 ,1 正 , 交
得
k1[1,3]1 2,
k2[2,3]1 6,
a0, aTa为一,非零数 故 a ( a T a ) a T ( a T a )a a ( T ),
A T A E [ 4 / a T a ( ) a a T ] [ 4 / a T a ( ) a a T ] E , 故A是正交矩.阵
特a 别 T a1 时 当 ,A E 2 aa T 是正 . 交
1 3
故
3
1 1
3 3
.
1
(4)将 1,2,3单位 ,得化
1 2
1
1 1
1
0 0
《向量的内积及其运算》中职数学(基础模块)下册7.4ppt课件1【人教版】
b) (a b)
a
2
b
2
⑵
a b
2
a b
2
2( a
2
b
2
)
证明：⑴
(a
b)
(aLeabharlann b )
aa ab b a b b
a
2
b
2
⑵ 因为
2 ab
(a
b)
(a
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
•
关键是，出错了你就知道上课时应该重点听哪里，注意力自然就能集中了。
•
4、即便上课时不理解也不要放弃
•
有些同学觉得老师讲的听不懂，就干脆不再听讲，按照自己的方法去学习。其实这样做真的很傻，因为不听讲就非常容易和同学们的学习进度脱节，这就会直接导致考试时成绩下降。原因是，老师讲的内容不一定都在教材中体现，有相当一部分重点内容
120；
⑵
a
8, b
4,
a, b
π.
2.已知
a
b ,a
b,
求
a,b
⑴
a b 8, a
b
职高数学第七章复习
第七章 平面向量 复习卷第一节 平面向量的基本概念与其基本运算 1．向量的概念(1)定义：既有大小又有方向的量．(2)向量的表示：用a 、b 、m 等来表示，或用AB →来表示(它表示以A 为始点，B 为终点的向量)．(3)向量的长度(或模)：记为|a |或|AB →|.(4)0(零向量)：长度为0的向量，其方向任意，零向量没有确定的方向． (5)e (单位向量)：|e |＝(6) a 的相反向量：是指与a 长度相等且方向相反的向量，记为 (7) 相等向量(同一向量)：大小相等且方向相同的向量． 2．向量的加法运算(1)加法法则：三角形法则与平行四边形法则． (2)若干个向量相加的多边形法则A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋A 4A 5→＋…＋A n－1A n＝ (首尾相接)(3)加法运算律：a ＋b ＝b ＋a (交换律) (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )(结合律) a ＋0＝0＋a ＝a ；a ＋(－a )＝0； AB →＋BA →＝0.3．向量的减法运算(1)减法法则(如图所示)．(2)a－b＝a＋(－b)即OA→－OB→＝BA→(连接两个向量的终点，且方向指向被减向量)．(3)向量不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|4．实数与向量的积(数乘向量)实数λ与向量a的乘积，叫做数乘向量，记作λa.(1)大小：|λa|＝(2)方向：λ＞0，λa与方向；λ＜0，λa与a方向；λ＝0，λa＝0.(3)运算律：λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa ；λ(a＋b)＝λa＋λb，（λ，μ为实数）5．两个向量平行(共线)的充要条件: a∥b⇔ (a≠0，λ∈R，λ存在且唯一)练习题1．下列说法正确的是( )A．相等向量就是与向量长度相等的向量 B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量是指在一条直线上的向量 D．0与任一向量共线2．a的负向量是( )A．与a方向相反的向量 B．与|a|符号相反的向量C．与a反向且大小相等的向量 D．以上均不对3．下列关于向量的关系式中，正确的是( )A．AB→＋BA→＝0 B．AB→－AC→＝BC→ C．AB→＋AC→＝CB→ D．AB→－AC→＝CB→4．－3(a－b)＋4(a－34b)＝( )A．a B．a＋b C．a－b D．2a＋b5．AB→＋CA→＋BC→＝．6．在菱形ABCD中，若AB→＝a，BC→＝b，则CD→＝________，CA→＝________．7．若向量a表示“向东走6km”，向量b表示“向北走6km”，则向量a＋b表示________．8．下列命题正确的是( )A．若|a|＝0，则a＝0 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C．若a∥b，则|a|＝|b| D．若a＝0，则－a＝09．平行四边形ABCD中，AB→＝a，BC→＝b，则BD→＝( )A．a－b B．b－a C．a＋b D．－a－b10．2(a＋b)－3(2a－b)＝( )A．4a＋5b B．－4a＋5b C．5a＋4b D．－5a＋4b 11.AB→＋CA→＋DE→－DF→＋BD→＋EF→＝________．12．已知AB→＝(1，3)，CD→＝(3，9)，CD→＝λAB→，则λ＝________．第二节平面向量的坐标表示1．向量的坐标与其运算(1)向量的坐标在直角坐标系中，i、j分别为x，y轴正方向上的单位向量，则i、j称为基底，从而平面内任一向量a都可以表示成a＝x i＋y j，把(x，y)叫做a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x称为a在x轴上的坐标，y称为a在y轴上的坐标．(2)在坐标平面内，把任一向量的始点移到坐标原点后，向量的终点坐标即为该向量的坐标．即：若OA→＝a，且A(x，y)，则有a＝(x，y)．(3)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有AB→＝(x2－x1，y2－y1)．(4)向量的坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2.2．a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.3．中点坐标公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B中点记为C(x，y)，则有x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.4．向量的长度(模)计算公式：若a＝(x1，y1)，则|a|＝x21＋y21.5．两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.练习题1．若向量a＝(3，－1)，b＝(－1，2)，则－3a－2b等于( ) A．(7，1) B．(－7，－1) C．(－7，1) D．(7，－1) 2．点A(2，－1)，B(－1，3)则AB→＝( )A．5 B． 5 C．(－3，4) D．(3，－4)3．已知点A(2，3)，B(4，3)，则其中点D的坐标为( )A．(2，1) B．(2，2) C．(3，3) D．(6，6)4．已知A(1，－1)，B(1，3)，则|AB→|＝________．5．已知a＝(2，5)，b＝(λ，3)，a∥b，则λ＝________．6．已知点A(－2，1)和B(3，－2)且AP→＝4PB→，则点P的坐标为________．7．已知平面上三点A(1，2)、B(4，3)、C(6，1)，若AB→＝CD→，则点D坐标为________．8．若平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标．第三节平面向量的内积1．向量a与b的夹角：把向量a与b的始点移到同一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB称为向量a、b的夹角，记作〈a，b〉，则〈a，b〉∈[0，π]．2．向量a与b的内积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．3．两向量a、b夹角的计算公式：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.4．向量内积的重要结论：设a、b是两个非零向量，则有(1)a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(2)a与b平行，则a·b＝±|a||b|，且同向取正，反向取负．特别地，a·a＝a2＝|a|2即|a|＝a·a.5．向量内积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2 6．向量内积的运算律 (1)a·b＝b·a (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c练习题1．若四边形ABCD中，AB→＝DC→，且AB→·BC→＝0，则四边形ABCD一定是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2．已知向量a＝(3，2)，b＝(13，4)，则a·b＝( )A．6 B．7 C．8 D．93．下列等式正确的为( )A．0·a＝0 B．0·a＝0 C．|a·b|＝|a|·|b| D．a －a＝04．设|a|＝3，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，则a·b＝( ) A．3 B．－3 C．6 D．－65．向量a＝(－2，3)，b＝(x，4)，且a⊥b，则x＝( )A．6 B．－6 C.83D．－836．已知a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2，则〈a，b〉＝________.7．已知a＝(2，2)，b＝(0，2)，则a·(2b)＝________．8．已知a＝(k，－2)，b＝(2k，k＋1)，求k的值，分别使：(1)a⊥b；(2)a ∥b.9．若向量a＝(4，－3)，则下列向量中与a垂直的向量是( )A．(3，－4) B．(3，4) C．(－35，45) D．(35，－45)10．已知a＝(3，－4)，b＝(－2，3)，则a·(a＋b)＝( ) A．－13 B．7 C．6 D．26。
《向量的内积及其运算》中职数学(基础模块)下册7.4ppt课件3【人教版】
1
1.向量内积的坐标运算 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则
两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
推广1：
设a (x, y),则a x2 y2
a
a
a
a
a
x2
y2
长度公 式 a
7.4 向量内积的坐标表 示
与度量公式
教学目标
一． 掌握向量内积的坐标运算及其应用。 二． 掌握向量的长度、两点间的距离和夹角公式。 三． 掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。
教学重难点
教学重点: 向量数量积的坐标表示以及由此推得的
长度、距离夹角公式和垂直条件的坐标 表示。
教学难点: 向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标
•
有的学生恰恰就是因为这一点，讨厌坐在前面。和老师眼神交会非常有负担，稍微做点儿小动作就会被老师发现，非常不方便。而且坐在前面说不定还会被问到一些难以回答的问题。
•
但是，那却是提升成绩最快的方法。学习要带有一定程度的紧张感，坐在前面，自然而然就会紧张起来。没有必要自己费心思集中精神，那种环境就能帮助你做到。虽然看上去好像不太方便，但其实那才是最便于学习的位置。
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
了，但等到你日后自己学习的时候，也能让你回想起很多内容。
2019年4-2向量的内积.ppt
2 2 2
5 向量空间的正交基
n R 我们仅讨论实数域上的n维向量空间 .
n n n维向量空间 R 的基： R 中任意n个线性无关
向量1，2， ，n .
R 的正交基: 若1 , 2 ,, n是向量空间R n的一组基, 且1 , 2 , , n是两两正交的非零向量 组, 则称1 , 2 ,, n是
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 . 0 3 1 3 1 1 再把它们单位化，取 1 1 1 1 b1 b2 e1 2 , e2 1 , 6 3 b1 b2 1 1 1 1 b3 e3 0 . 2 b3 1 e1 , e2 , e3即合所求.
称 xT y为向量x 与 y的内积 , 记作（ x, y） .
内积的运算性质
其中 x, y, z 为n维向量, 为实数 :
(1) ( x, y) ( y, x );
( 2) (x, y) ( x, y);
( 3) ( x y, z ) ( x, z ) ( y, z );
准正交化.
若a1 , a2 ,, ar 为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ， ( a2 , b1 ) b2 a2 b1 , ( b1 , b1 )
( a3 , b1 ) ( a3 , b2 ) b3 a3 b1 b2 ( b1 , b1 ) ( b2 , b2 )
向量的内积及其运算
向量的内积及其运算向量的内积已知两个非零向量a 和b ，作OA a = ，OB b = ，则AOB ∠就叫做向量a 与b 的夹角．记作,a b 〈〉．我们规定，0,180a b ︒≤〈〉≤︒．当,90a b 〈〉=︒时，我们说向量a 与b 垂直，记作a b ⊥．我们把a 的长与b 在a 方向上正射影的数量cos ,b a b 〈〉的乘积叫做向量a 与b 的内积．记作a b ．即cos ,a b a b a b =〈〉 (1)由上述定义可知，两个向量a 与b 的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零． 根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质：(1) 如果e 是单位向量，则cos ,a e e a a a e ==〈〉 ；(2) 0a b a b ⊥⇔=；(3) 2a a a a == 或 (4) cos ,a b a b a b〈〉= ； (5) a b a b ≤ ．以上性质的证明留给同学作为练习．例1 已知5a =，4b =，,120a b 〈〉=︒，求a b ． 解：cos ,a b a b a b =〈〉54cos12010.=⨯⨯︒=- 练习A1．已知a ，b ，,a b 〈〉，求a b ． (1) 8a =，4b =，,60a b 〈〉=︒； (2) 7a =，12b =，,120a b 〈〉=︒； (3) 4a =，2b =，,2a b π〈〉=；(4) 4a =，1b =，,0a b 〈〉=．2．已知a b ，a b ，求,a b 〈〉．(1) 5a b = ，10a b =；(2) 8a b =- ，16a b =；(3) 25a b =- ，25a b =；(4) a b = 12a b =．练习B1．已知5a =，b 在a 方向上的正射影数量如下，求a b ．(1) 6； (2) -6； (3)8； (4) -8．2．在直角坐标系xOy 内，已知向量AB 与x 轴和y 轴的正向的夹角分别为120︒和30︒，求AB 在x 轴、y 轴上正射影的数量．向量内积运算律向量的内积运算满足如下运算律：(1) a b b a =； (2) ()()()a b a b a b λλλ==； (3) ()a b c a c b c +=+． 例2 求证： (1) 22()()a b a b a b +-=- ； (2) 2222a b a a b b +=++ ； (3) 2221()2a b a b a b =+-- ． 证明：(1) 22()()a b a b a a a b b a b b a b +-=-+-=-；(2) 222()()2a b a b a b a a a b b a b b a a b b +=++=+++=++ ；(3) 由(2)式解出a b ，即得2221()2a b a b a b =+-- ． 例3 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC BD ⊥．证明：,AC AB AD BD AD AB =+=- ，22()().AC BD AB AD AD AB AD AB ∴=+-=- AB AD = ．0AC BD ∴= ． AC BD ⊥ 即．AC BD ∴⊥．练习A1．已知3a =，4b =，,60a b 〈〉=︒，求(2)(3)a b a b +-． 2．已知6a =，8b =，,120a b 〈〉=︒，求2a b +,a b +．3．在ABC ∆中，已知3AB = ，5BC = ，60ABC ∠=︒，求AC ．练习B1．在ABC ∆中，已知8AB =，7BC =，150ABC ∠=︒，求AC 的长．2．对任意向量a 、b ，求证：22222()a b a b a b ++-=+．向量内积的坐标运算在直角坐标平面xOy 内，已知1e 、2e 分别为x 轴、y 轴的基向量，12(,)a a a =，12(,)b b b =，则1122a b a b a b =+ ． (2)证明：112211221111121221212222()().a b a e a e b e b e a b e e a b e e a b e e a b e e =++=+++因为 112212211,0,e e e e e e e e ====所以 1122a b a b a b =+ ．例5 已知(3,1)a =-，(1,2)b =-．求a b ，a ，b ，,a b 〈〉．解：(3,1)(1,2)325a b =--=+=，a b ======cos ,2a b a b a b 〈〉=== ， ,4a b π∴〈〉=． 例6 已知：点A(1,2)、(2,3)B 、(2,5)C -．求证：AB AC ⊥ ．证明：(2,3)(1,2)(1,1),(2,5)(1,2)(3,3),(1,1)(3,3)0,AB AC AB AC =-==--=-=-= AB AC ∴⊥ ．注 两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的内积等于零，因此可通过计算两向量的内积来证明两条直线或两个向量垂直．练习A1．已知向量,a b 的坐标，求,,cos ,a b a b a b 〈〉 及：(1) (4,5)a =，(4,3)b =-；(2) (3,5)a =，(5,3)b =-；(3) (8,5)a =，(7,8)b =--；(4) (11,2)a =-，(3,9)b =．2．已知：A(1,2)，(5,8)B -，(2,1)C --．求证：2BAC π∠=．练习B1．已知向量(,),(,),a m n b n m ==-求证a b ⊥．2．已知向量(1,0),(1,1),a b ==求λ的值，使a b λ+与a 垂直．3．已知点A(-1,2)、(5,4)B ，点C 在x 轴上，且CA CB ⊥，求点C 的坐标． 4．已知三角形的三个顶点是A(6,3)、(9,3)B 、(3,6)C ，求AB AC 和BAC ∠的度数．。
高职高考中职数学对口升学总复习基础模块(下册)全册重点知识点小结归纳
知识清单
五.圆的方程
③
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1.圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹即为圆。定点是圆心，定长为半径
2.圆的标准方程:
① 圆心在原点(0,0)，半径为r的圆的标准方程: ② 圆心在C点(a,b)，半径为r的圆的标准方程:
y-y0=k(x-x0)
说明 不包含y轴及与y轴平行的直线 不包含y轴及与y轴平行的直线
两点式
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
不包含坐标轴及与坐标轴平行的直线
截距式 x轴上的截距a,y轴上的截距b
不包含坐标轴、平行与坐标轴及过原点的直线
一般式
A,B,C的值
Ax+By+C=0
A,B不同时为0
4.直线的方向向量与法向量
记作： 向量a的模记作：
4.特殊向量 （1）模为1的向量叫作单位向量；
（2）模为0的向量叫作零向量，记作 0 . 规定：0与任意向量平行
（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 记作
（4）相等向量：若两向量方向相同且大小相等，就说这两个向量相等 a=b
（5）相反向量：和向量a方向相反长度相同的向量叫作向量a的反向量记作-a
(6)已知 a (a1, a2 ),则 | a |2 a a (a1, a2 ) (a1, a2 ) a12 a22
故有 :| a | a12 a22 (向量模长公式)
(7)如果A(x1, y1), B(x2, y2 ),则
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (两点间距离公式)
平面的基本性质知识清单性质内容图形性质1如果直线l上的两个点都在平面a内那么直线l上的点都在平面内性质2如果两个平面有一个公共点那么它们还有其他公共点并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线性质3不在同一条直线上的三个点可以确定一个平面三
向量的积题型-概述说明以及解释
向量的积题型-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述向量的积是高中数学中的一个重要概念，也是解决几何与代数问题的基础。
在数学中，我们常常遇到需要计算两个向量的积的情况，例如内积和外积。
内积也被称为点积，是两个向量乘积的数量积，结果是一个标量。
外积也被称为叉积，是两个向量乘积的向量积，结果是一个向量。
在几何中，向量的积有很多重要的应用。
内积可以用来求解向量的长度、夹角以及判定两条线段是否相交。
外积可以用来求解平面的面积、法向量等几何问题。
在物理中，向量的积还有更广泛的应用，例如力矩、磁场等。
本文将围绕向量的积这一主题展开讨论。
首先，我们将介绍内积和外积的定义和性质，包括计算公式和几何意义。
然后，我们将详细讨论内积和外积在几何和物理中的具体应用。
最后，我们将总结向量的积的重要性，并展望未来在数学和科学领域的应用前景。
通过深入学习向量的积的知识，我们可以更好地理解几何和代数问题，并能够灵活运用向量的积解决实际问题。
不仅如此，向量的积还是数学和物理领域中的基础概念，对于进一步学习和研究相关领域具有重要意义。
在接下来的正文部分，我们将逐一介绍向量的积的各个方面，包括内积和外积的定义、性质以及应用。
希望读者通过阅读本文，能够对向量的积有一个全面的了解，进一步提升数学水平和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构部分的主要目的是介绍整篇文章的组织和布局，让读者能够清楚地了解文章的主要部分和内容安排。
本文的结构如下：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在这一部分，我们将简要介绍本篇文章的主题和目的，并概述各个章节的主要内容。
第二部分是正文，包括第一个要点和第二个要点。
在这一部分，我们将详细介绍向量的积题型的相关知识和技巧。
第一个要点将重点介绍某一种特定类型的向量积题目，并提供解题方法和实例。
第二个要点将介绍另一种类型的向量积题目，同样提供解题方法和实例。
通过这两个要点的介绍，读者将对向量的积题型有一个全面的了解。